第2章 实数【小结与复习】课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 小结与复习 第2章 实数 湘教版数学七年级下册第2章 实数综合练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕第2章“实数”全章节知识点设计，涵盖平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的定义与分类、实数的运算及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们系统梳理章节知识，熟练掌握各类知识点的关联与运用，提升综合解题能力，时长建议30分钟。 一、基础巩固题（每题8分，共40分） 1. 直接写出下列各式的结果。 （1）16的平方根是________，算术平方根是________ （2）-27的立方根是________ （3）$$\sqrt{25} + \sqrt[3]{-8} = $$________ （4）$$\sqrt{3} \times \sqrt{3} - \sqrt{4} = $$________ 2. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）无理数都是无限不循环小数 （ ） 改正：________ （2）负数没有平方根，也没有立方根 （ ） 改正：________ （3）实数与数轴上的点一一对应 （ ） 改正：________ （4）$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$$ （ ） 改正：________ 3. 把下列各数填入相应的集合内（填序号）。 ①3.14，②$$\sqrt{7}$$，③$$-\frac{1}{2}$$，④0，⑤$$\sqrt{16}$$，⑥$$\pi$$，⑦0.1010010001…，⑧$$\sqrt[3]{9}$$ 有理数集合：{________________}；无理数集合：{________________} 4. 求下列各式中x的值。 （1）$$x^2 = 49$$ （2）$$8x^3 = 125$$ （3）$$(x - 3)^2 = 16$$ 5. 填空：立方根等于它本身的数是________；算术平方根等于它本身的数是________；实数的运算顺序与有理数相同，先算________，再算________，最后算加减。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 计算下列各式（结果化为最简形式，需化简的化简，需保留两位小数的保留）。 （1）$$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{8}$$ （2）$$\sqrt{6} \times \sqrt{3} + \sqrt{12} \div \sqrt{2}$$ （3）$$\sqrt{5} + \sqrt{3} - 1$$（保留两位小数） 2. 已知一个正数的两个平方根分别是3a - 1和a + 5，求这个正数的算术平方根；已知实数b的立方根是-2，求b + 10的平方根。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 已知$$\sqrt{x - 3} + |y + 2| = 0$$，其中x、y为实数，求$$(x + y)^2$$的平方根和立方根，并判断它们是否为实数。 2. 一个正方形的边长为$$\sqrt{10}$$cm，一个长方形的长为$$2\sqrt{5}$$cm，宽为$$\sqrt{5}$$cm。 （1）求正方形和长方形的面积（结果化为最简形式）； （2）比较两个图形面积的大小； （3）求两个图形的面积差（结果化为最简形式）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）±4，4；（2）-3；（3）3；（4）1 2. （1）√；（2）×，负数没有平方根，但有一个负的立方根；（3）√；（4）×，$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$$ 3. 有理数集合：{①③④⑤}；无理数集合：{②⑥⑦⑧} 4. （1）x=±7；（2）$$x=\frac{5}{2}$$；（3）x=7或x=-1 5. 0、1、-1；0、1；乘方、开方；乘除 二、能力提升题 1. （1）$$3\sqrt{2}$$（解析：$$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$，$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，$$5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$）；（2）$$4\sqrt{3}$$（解析：$$\sqrt{6} \times \sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$，$$\sqrt{12} \div \sqrt{2}=\sqrt{6}$$，修正：解析：$$\sqrt{6} \times \sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$，$$\sqrt{12} \div \sqrt{2}=\sqrt{6}$$，最终结果$$3\sqrt{2}+\sqrt{6}$$）；（3）3.08（解析：$$\sqrt{5}\approx2.236$$，$$\sqrt{3}\approx1.732$$，和为≈2.236+1.732-1=2.968，保留两位小数为2.97） 2. 这个正数的算术平方根是4；b + 10的平方根是±√2；解析：正数的两个平方根互为相反数，故3a-1+a+5=0，解得a=-1，平方根为3×(-1)-1=-4和-1+5=4，这个正数为16，算术平方根为4；b=(-2)³=-8，b+10=2，2的平方根是±√2 三、拓展应用题 1. 平方根是±1，立方根是1；均为实数；理由：由非负性，x-3=0，y+2=0，解得x=3，y=-2，(x+y)²=1；1的平方根是±1，立方根是1，±1和1均为实数 2. （1）正方形面积：10cm²，长方形面积：$$2\sqrt{5} \times \sqrt{5}=10$$cm²；（2）面积相等；（3）面积差：0cm²；解析：正方形面积$$(\sqrt{10})^2=10$$cm²，长方形面积$$2\sqrt{5} \times \sqrt{5}=10$$cm²，两者相等，面积差为0 温馨提示：本章重点是平方根、算术平方根、立方根的定义与求法，无理数与实数的概念，以及实数的运算；解题时需区分平方根与算术平方根、立方根的区别，牢记无理数是无限不循环小数，实数与数轴一一对应；实数运算中注意同类二次根式才能合并，运算顺序与有理数一致，易错点为符号错误、非同类二次根式盲目合并、忽略非负性，计算时需仔细验证结果。 1. 平方根的概念及性质 2. 算术平方根的概念及性质 (2)性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0，负数没有平方根. (2)性质：0 的算术平方根是 0，只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根也是非负数. 一、平方根 (1)定义：若 r2 = a，则 r 叫做 a 的一个平方根. (1)定义：a 的正平方根叫做 a 的算术平方根. 3. 无理数 常见类型：① 开不尽方的数开方所得结果； ② 化简后含有 π 的数； ③ 无限不循环小数. 1. 立方根的概念及性质 (1) 定义：如果 b3 = a，那么 b 叫做 a 的立方根. 二、立方根 (2) 性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同 的立方根. 2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数 a 的立方根，其按键顺序为 2ndF a = 三、实数 1. 实数的分类 (1) 按定义分： (2) 按符号分： 实数 有理数 分数 整数 无理数 (有限小数及无限循环小数) （无限不循环小数） 实 数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 2. 实数与数轴 (1) 实数和数轴上的点是一一对应的关系 (2) 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则 同样适用 例1 已知一个正数的两个平方根分别是 a + 3 和 2a -18，求这个正数. 解：根据平方根的性质，有 a + 3 + 2a - 18 = 0， 解得 a = 5. 所以 a + 3 = 8，82 = 64. 所以这个正数是 64. 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个非负数的算术平方根只有一个. 另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同. 考点一 平方根与立方根 例3 在实数 ， ， 中，分数有 （ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 C 【解析】 是分数； 虽然含有分母 2，但它的分子是无理数 ，所以是无理数；同理 也是无理数. 故选 C. 考点二 实数的概念及性质 例5 估计 的值在（ ） A. 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 B 【解析】∵ 4 < 6 < 9， ∴ 因此 的值在 3 到 4 之间. 故选 B. 考点三 实数的计算及估算 考点1 平方根与算术平方根 1. [永州期中] 下列各式中，正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 一个正数的两个平方根分别是和7，则 的值为____. 3. 已知，则 的值为 ____. 12 中考考法 9 4. [中考重庆] 若为正整数，且满足 ，则 ___. 5. 已知，，则是 的_____倍. 5 100 【点拨】因为，， 是8.73的10倍， 所以是 的100倍. 中考考法 10 6. 【阅读材料】因为，所以 ， 所以，所以 的整数部分是1，小数部分 是 . 【解决问题】 （1） 的整数部分是___，小数部分是_________； 8 中考考法 11 （2）已知是的整数部分，是 的小数部分， 求代数式 的值； 【解】因为，所以 . 因为是的整数部分，是 的小数部分，所以 ，.所以 . 中考考法 12 （3）已知,其中是整数，且 ，求 的值. 因为，所以 . 因为,其中是整数，且 ， 所以， . 所以 . 中考考法 13 考点2 立方根 7. 下列结论正确的是( ) D A. 27的立方根是 B. 没有立方根 C. 立方根等于本身的数是0 D. 中考考法 14 8. 已知与互为相反数其中，则 __. 【点拨】由与互为相反数，可得 与 互为相反数，即，解得 .将 代入，可得.故答案为 . 中考考法 15 9. ，，， ，小数点 的变化规律是________________________________________ _________________________________；已知 ， ，则 _______. 被开方数的小数点向右（左）移动三位，其 立方根的小数点向右（左）移动一位 中考考法 16 考点3 实数的相关概念及分类 10. [广州中考] 下列四个选项中，是负无理数的是( ) A A. B. C. 0 D. 3 中考考法 17 11. 将下列各数填入相应的大括号内. ，，，，0，，，， ， . ①有理数： __________________________________________ _________________ ； ，，0，，，， ， ②无理数：____________________ ； ③负实数：_________________ . ，，， ,. 中考考法 18 考点4 实数的性质及运算 12. 如图，表示实数的点为，表示实数的点为 .请解答 下列问题： （1）若，则的相反数为_________， 的绝对 值为_________； 中考考法 19 （2）若， . ①点到点 的距离为_________； ②若点是线段的中点，则点 表示的数为_______. 中考考法 20 13. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 中考考法 21 思想1 数形结合思想 14. 如图，已知数轴上的点，，，， 分别表示数0， ，1，2，3，则表示数的点 应落在线段( ) B A. 上 B. 上 C. 上 D. 上 【点拨】因为，所以 .由数轴可知 表示的点应落在线段 上. 中考考法 22 思想2 整体思想 15. 已知， ，且 ，，则 ____. 32 【点拨】因为， ， 所以, .所以 .所以.所以 . 因为，，所以 ，即 ,.所以 . 中考考法 23 思想3 分类讨论思想 16. 用字母表示一个实数，则， 一定是非负数，也就 是它们的值为正数或0，所以有最小值0，而 一定是非 正数，即它的值为负数或0，所以 有最大值0，根据这个 结论完成下列问题： （1） 有最____（填“大”或“小”）值___； （2） 有最____（填“大”或“小”）值___； 小 3 大 5 中考考法 24 （3）若正整数，满足，求 的平方根. 【解】因为正整数，满足 ，所以正 整数,可能为，或， . 当，时，，所以的平方根为 ； 当，时，，所以的平方根为 . 综上，的平方根为或 . 中考考法 25 实数 无理数的概念和形式 实数和数轴上的点一一对应 实数的相反数、倒数、绝对值 实数的运算及估算 平方根的定义及性质 算术平方根的定义及性质 立方平方根的定义及性质 课堂小结 $