广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题卷

2025-2026学年第二学期期中考试数学参考答案 题号 2 3 5 6 8 9 10 答案 C C B C D D B BC BC 题号 11 答案 BCD 1.C 1 【详解】若x=0,则命题D不成立，则D为假命题，故P为真命题：若x>2,则2x-1>0,则命题9为 真命题， 2.C 1 【详解】因为样本数据x,,…,X,的方差为3，所以由方差的性质可知，数据2)，2：，一 2x.2的方差为2×3=12. 3.B 【详解】由表格得x=二×1+2+3+4+5)=3，y=×(10+15+19+23+28)19,将样本中心(3,19)代入 5 5 线性回归方程得，19=36+5.8→6=4.4， 4.C 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共CCA+CA=14种， 5.A 【详解】设等比数列的公比为9.若S4=4,Sg=12,则a+a2+a+a4=4, 故4+a6+a,+ag=g(a1+a2+a+a)l248,4g=8,所以g=2, 故a3+a4+a1s+a6=(a,+2+a+a4)g2=4×23=32 6.D 【详解】依题意，X的可能值有0,1,2. _CC.7 则Px=0=C-5,PX=D=C C315 则X的分布列为： 答案第1页，共8页 X 0 7 7 15 15 15 可得E(X)=1× +2×1=3 15 155 515 15 7.D 【详解】对于A,8×25%=2,下四分位数为49+53=51，A正确： 2 对于B,相关系数r=0的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确： 对于C,残差e=y-=34-33.991=0.009,C正确： 对于D,分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关，还与各层的样本量和层间均值差异有关，即使 写=。，总体方差也不等于+)，还需要考虑各层的样本量权重，D不正确。 8.B 【详解由塑当>0时，()-血，所以-n,所以当e0e时，了>0，当网） 时，f'(x)<0;所以f(x)在区间(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， 当x=e时f(e)=1,当x→0时，f(x)→-oo;当x→+oo时，f(x)→0； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点， 所以y=f(x)的图象与直线y=3m有4个交点， 即0<3<1，解得0<m<号 9.BC 【详解】对于A选项，由D(Y)=8p-p)=2,可得p=方放A选项错误： 对于B选项，由P(X>2)=P(X<0)=0.5-P(0<X<I)=0.5-0.42=0.08,故B选项正确 对于C选项，由PAB)=PC1B)=PA)可得PAB)=PAPB),可得事件A与B相互独立，故C P(B) 选项正确； 对于D选项，由 由0刀=5，解得n=4或6，故D述项错误， 10.BC 答案第2页，共8页 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出P的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为(22,0)，所以双曲线右焦点E(2v2,0),即c=2√2 又=6，所以a2=c2-b2=2,所以双曲线的方程为- 26 -=1. 对于A项，双曲线C的渐近线方程为y=士bx=士5x,故A项错误： x2y=, 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程{26”整理可得，3x2-8√2x-6=0, y2=8√2x, 解得x=32或x=-2 (舍去负值)，所以x=3√2，代入y2=82x可得，y=4W5. 设P35,4),又E(25,0,所以PE-22-32列+(0-43=52，故B项正确： 对于C项，易知5m=×Fx45=x42×45=86,放C项正确： 对于D项，因为PF=V-22-32)+(0-45=72, 所以，由余弦定理可得，cos∠FPE,= (72+52j-42】 296,故 2×7V2×5V2 357 D项错误. 11.BCD 【详解】对于A,在正方体中易知BC/1AD且AB=AD=D,B,=2√2，所以异面直线AB,与BC,所成的角 即∠D8或其补角，显然∠D-骨即A错误： 连接AC,AC,易知 ,D1AC,又4GC,nCC=G,4GCCc平面4CC,所以BD1平面4CC, BD⊥CC 而ACc平面ACC,所以BD⊥AC,同理可知AD⊥AC,即AC⊥平面AB,D,设垂足为E,取DB,的 中点F,连接AF，则Vn=AEx 1 ×号2=mx2x2,所以46-25， 1 3 连接EP,由勾股定理可知EP=√4p-AB= 3 对于B,易知4P与平面ABD所成的角为∠APE,an∠APE=45万，故B正确： EP 对于C,由三棱锥A,一AB,D,为正三棱锥可知E为该正三角形的中心， 则4，E,F三点共线，AF=V6.AE=26=2EF=2E那， 3 所以P点轨迹为以E为圆心，6为半径的圆上，该圆即正三角形ABD的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为2√6元 已π，故C正确： 3 对于D,假设P的轨迹圆与AF交于G点，由上可知AG=GE=EF, 答案第3页，共8页 而F到底面ABCD的距离为2，所以G到底面ABCD的距离为 3, 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是 D 6 12.40 【详解】二项式系数之和为2“=32，所以m=5,因为2 的展开式的通项公式为： =G2”-1yCx令，3-2时，所以7=g2r0, 则展开式中的系数为40。 13.1或-1 【详解】由x2+y2-2x-4y-4=0,得(x-1)2+(y-2}=9,所以圆心0(1,2)，半径r=3, 圆心0直线I的离de+2a又a四9-7玉2，a2.解器asD Va2+1 Va2+1 14.、h n+1 【详解】f(x)=1+2x+3x +…+2 41a2a3 又a=n(n+1),所以”=，” 111 a n(n+1)n(n+1)nn+1' 则m=1片后 n 15.(1)性别与使用AI工具的熟练度无关： (2) X 0 1 3 14 28 12 1 55 55 55 55 数学期望为1. 【详解】(1)设零假设H。:性别与使用AI工具的熟练度无关，一一1分 答案第4页，共8页 由统计表得a=30,b=15,c=16,d=9,n=70, 则， x2-7030x9-16x15>=7g0.051<6.635=km 一一4分 46×24×45×25138 根据小概率值=0.01的X独立性检验，没有充分证据推断H,不成立， 所以可以认为H。成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关 一一5分 (2)男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为30：15=2：1， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为×I2=8,抽取的不能够熟练使用的人数为4， -—6分 因此X的可能取值为0,1,2,3， 一一7分 RX-)-CiC_28 P(x-0)=C9C=14 Ci2551 P(X=2)= CC12,PX=3)==55 551 一一11分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 14 28 12 1 P 55 55 55 55 -一12分 数学惠塑0-0好1袋2好+351一13分 16.(04,=n(2)Z=3-"+3 2” 【详解】(1)由2Sn=a+a neN",当n≥2时，2Sn1=a+a-1, 一一1分 则2Sn-2S1=(a+an)-(a+a),即2a,=a+a,-a-a1, 一一3分 所以a-a1=an+an1,即(an+an-i)(a,-a-i)=an+a1 一一5分 由数列{an}为正项数列，所以an+an1>0,从而有an-an1=1,n≥2， 一—6分 所以数列{an}是以a,=1为首项，1为公差的等差数列，所以an=1+(n-1)×1=n,n∈N.一一7分 (2)由(1)知6，=0+1-n+1 2 2n 一一8分 所以Tn=b,+b2+b+…+bn, 20 一一9分 答案第5页，共8页 2， 一一10分 从而号 2+3243+…+m+0）-””+1 22+ 一一11分 1 即=1+ ++1n+=14 n+1_3n+ 2+2+…+ 22+1 ×1-2n+1=1+2米12分3 1 2x12 一4分 1- 所以7，=3-n+3 分 一一15分 17.)证明见解析2))6(i存在，0-3+25 BD 【详解】(1)取PA中点N,连接BN,MN,一一1分 因为M为PD中点，所以MN1IAD,且MN=AD=1,一一3分 又BC=1,BCI/AD,所以BC1/MN,BC=MN, 所以四边形BCMN为平行四边形，即CMI/BN,一一5分 又BNC平面PAB,CM文平面PAB,所以CMII平面PAB:一一7分 (2)因为PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 以点A为原点，建立如图所示空间直角坐标系：一一8分 ZA 则A(0,0,0),B(1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0),P0,0,2), 所以AB=(1,0,0),AP=(0,0,2),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0)，一-9分 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABCD, 又因为平面PABO平面ABCD=AB,AB⊥AD,ADC平面ABCD, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,O),一一11分 [PD·i=2b-2c=0 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则 CD.i=-a+b=0 不妨取a=1,则n=(L,l,1), —一13分 则cos AD,n= 2V3 2W1+1+13 所以平P0与平省D夹角的正孩做为y小-受-些。 -—15分 18.(1)当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)：当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为 0, 答案第6页，共8页 【详解】D因为f)=h-aaeR),x>0,则/(a-1",一1分 当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增：-一2分 a心0时，由f四=0，得 0<x<则f(>0:若x 则f'(x)<0 所以八)的举调遥塔区间为0。 单区何为+一4分 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，+o): 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为0，-， a 单调递诚区间为。+： 一-5分 (2)当x∈[1，e]时，由f(x)=0可得a=h ,一—6分 令8()=：，其中xc[L,e],则直线y=a与函数g)在[L]上的图象有两个交点-一7分 g()=1-hx,当1<x<e时，g()>0,此时函数g(x)单调递增 x2 当e<x<e时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减. 所以函数g()的极大值为8（回）-后 一一9分 且g0=0,8(e)子，8)在[Le]的图象知图所示。 一一10分 % =g(x) 由图可知，当之sa<时， y-a e e---- e-l 直线y=a与函数g(x)在[1，e2]上的图象有两个交点，因此，实数a的取值范 o1 e 围是21 Le'e .一11分 (3)由f(x)<e“-x,得lnx-ax<em-x恒成立，移项lnx+x<em+ax,得ex+lnx<er+ax恒成立. 一一13分 构造函数h(x)=e+x,所以h(nx)<h(ar)恒成立.又，h(x)=e+x在定义域内单调递增，一一l4分 有nr<ax在@o)内恒成立，>产恒度立，即a） .一15分 由(2)可知g()=最大值为8e)-。,所以a> .一一1分 1 9仙+y=12)D证明见解析《)2026 【详解】)由能国E若+若=1的左顶点(20.上顶点0小，得a2,合- 所以椭圆E的方程为+护=，一2分 (2)(i)当过点P(-2,1)的直线斜率不存在时，直线与椭圆E只有1个交点，即左顶点(-2,0)，不合题意， 答案第7页，共8页 所以直线1的斜率存在：设直线1的方程为y-1=k(x+2),设C(x,y),D(x2,2),一一3分 [y-1=k(x+2) 由 4+2=1 ，消去y整理得1+4k2)r2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,一4分 所以△=（16k2+8k)-41+4k2)16k2+16k)>0,解得k<0,一一5分 +x,=- 6k2+8k,xx2=102人，一一6分 1+4k2 因为0，所以宜线c值方程为1=，令=0，符，=产在+8分 X2 x, 同理可得，-为k(+2) 一—9分 X2 所以xw+x,=-k(飞+2）(+2到 x(63+2）+(x+2)2xx2+2(x+) -x+2(x2+2 -k[xx3+2(x+x)+4] 又因为2x,+2k+5)=2.16+16%42 16k2+8k16k 1+4k2 1+4K2厂1+4k2, 七七，+2(x,+x,)+4=12+2-0+8k】 4 +4= (1+4k2 1+4k2，所以xw+xw 16k=4 一一13分 -4k (ii)由(i)知A为M,N的中点，得MW=2AW, -14分 所以S@ LAN-a-yo LuN-y AN 1 MN Y8-YD MN2 2 2MN-x:l 所以△ABD与△BMD的面积之比为； 1时，SARMD=1013 1 所以当△ADB的面积为 2026 ∴SAaw+SAIDM=SaBn-Sa40m=2026 1 △ABM与△ADM这两个三角形的面积之和是为定值，为， —一17分 2026 B 答案第8页，共8页2025-2026学年第二学期期中考试 盐田高级中学高二数学试题卷 命题人：王君审题人：温红娜 考试时间：120分钟分数：150分 一、单选题： 1.若p:xeR,x2>0,q:3x∈R,2x-1>0,则( A.p,q均为真命题 B.一P,q均为假命题 C.一p,9均为真命题 D.p,q均为假命题 2。设一组样本数据5，七，，的方差为3，则数据257,2% 1 2’…,2x。-的方差为( A.4 B.8 C.12 D.32 3.已知变量y与x线性相关，现收集了5组样本数据如下表. 2 5 10 15 19 23 28 根据上表可得线性回归方程为y=bx+5.8,则6=( A.4 B.4.4 C.4.5 D.5 4.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不 同选法有（ )种 A.7 B.10 C.14 D.16 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=4,S=12,则a3+a4+as+a16=（) A.32 B.24 C.36 D.108 6.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，设这2台电脑中A品 牌的台数为X,则D(X)=( ) A居 83 C. 84 D. 28 5 25 75 7,下列说法中不正确的是( A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51 B.在成对样本数据分析中相关系数”=0，表示两个变量之间没有线性相关关系 C.根据线性回归方程得到预测值为。=33.991时的观测值为34，则残差为0.009 试卷第1页，共4页 D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为x，x,和s，s, 若可=方，则总体方差=仔+) [x2+6x+3(x≤0) 8.已知函数f()=enx(x>0) 若函数g(x)=f(x)-3m有4个不同的零点则m的取值范围是 3 B. c 二、多选题 9,下列说法正确的是（ ) A若随机变量X~B(8p川.D(X)=2,则n=日 B.设随机变量X服从正态分布N(1,o2),若P(0<X<1)=0.42,则P(X>2)=0.08 C.对于随机事件A与B,若P(A)=P(AB),则事件A与B相互独立 D.一箱苹果共有10个，其中有n(0<n<I0且n∈N)个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一 个烂苹果的隔率为行，则1=4 10.已知双曲线C:×- a2-6 =1(a>0)的左、右焦点分别为F,F,抛物线y2=8V2x的焦点与双曲线C的 右焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则( ) A.双曲线C的渐近线方程为y=±V2x B.|PE=52 C.△FPF的面积为8√6 D.cos∠FPF= 7 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P在△ABD内（含边界）且AP=√2，则以下结 论正确的是( D C i A异面直线似与C所成的角是分 A B B.AP与平面ABD所成的线面角的正切值为√2 D C.点P的运动轨迹长度为2 3 一 A B D.点P到平面BC0距离的取值范围是？，2 试卷第2页，共4页 三、填空题 12. 若2G 的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中二的系数为 13.直线1：x+ay-1=0与圆0：x2+y2-2x-4y-4=0交于A、B两点，若AB=2V7,则a= 14.已知数列a}的通项公式是0=ma+小，设了)三++。+二，则了0= aa,aa 四、解答题 15.随着科技的进步，人工智能(AI)工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工 具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率.某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行 了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据α=0.01的独立性检验，能否认为性别与使用AT工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人， 记其中不能够熟练使用AI工具的人数为X,求X的分布列以及数学期望. 附：X2= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+a)(a+c)b+d) a 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 l6.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a=1,2Sn=a+an,n∈N. (1)求数列{an}的通项公式： ②)若6=2士，求数列}的前n项和、 试卷第3页，共4页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=L,BC=1,AD=2,M是PD 的中点. (1)求证：CM/平面PAB; P (2)若AB⊥AD,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： 18.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)在1，e2上有且仅有2个零点，求a的取值范围. (3)对任意x∈(0，+oo),f(x)<e“-x恒成立，求a的取值范围， 19. 已肉知椭圆台荐+茶=a>b>的左顶点4(20，上顶点50. (1)求椭圆E的方程 (2)过点P(-2,)的直线交E于C,D两个不同的点（其中，点C在第二象限），直线BC,BD分别交x轴 于M,N两个不同的点，C点，N点分别在线段BM,BD上. (i)证明：M,N的横坐标之和是定值； (D已知当直线1的斜率为，时，△1DB的面积为026，求此时aABM与aADM的面积之和， 试卷第4页，共4页