2.3.2 实数的运算课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 2.3.2 实数的运算 第2章 实数 湘教版数学七年级下册2.3.2 实数的运算练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕实数的运算知识点设计，涵盖实数的加减、乘除、乘方、开方运算，以及实数运算的性质、运算顺序和简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握实数的各类运算技巧，明确运算顺序，灵活运用运算性质解决问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）$$\sqrt{4} + \sqrt{5} = \sqrt{9}$$ （ ） 改正：________ （2）$$\sqrt{16} - \sqrt{9} = 1$$（ ） 改正：________ （3）$$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$$ （ ） 改正：________ （4）$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$$ （ ） 改正：________ 2. 直接写出下列各式的结果。 （1）$$\sqrt{9} + \sqrt{16} = $$________ （2）$$\sqrt{25} - \sqrt{4} = $$________ （3）$$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = $$________ （4）$$\sqrt{12} \div \sqrt{3} = $$________ 3. 计算下列各式（结果化为最简形式）。 （1）$$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$$ （2）$$\sqrt{18} - \sqrt{8}$$ （3）$$\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}$$ 4. 填空：实数的运算顺序与有理数相同，先算________，再算________，最后算________；有括号的先算________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 计算下列各式（结果化为最简形式）。 （1）$$(\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{6} - \sqrt{3})$$ （2）$$\sqrt{4} \times \sqrt{9} + \sqrt{2} \times \sqrt{8}$$ 2. 求下列各式的值（结果保留小数点后两位）。 （1）$$\sqrt{2} + \sqrt{3}$$ （2）$$3\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$$ （3）$$\sqrt{6} \div \sqrt{2} + \sqrt{4}$$ 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 已知$$x = \sqrt{5} + 1$$，$$y = \sqrt{5} - 1$$，求$$x + y$$和$$xy$$的值，并判断结果是否为实数。 2. 一个正方形的边长为$$\sqrt{6}$$cm，另一个正方形的边长为$$\sqrt{2}$$cm，求这两个正方形的周长和与面积差（结果化为最简形式）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）×，$$\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$$（同类二次根式才能合并，$$\sqrt{4}$$与$$\sqrt{5}$$不是同类二次根式）；（2）√；（3）√；（4）×，$$\sqrt{8} \div \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$$ 2. （1）7；（2）3；（3）3；（4）2 3. （1）$$5\sqrt{2}$$；（2）$$\sqrt{2}$$；（3）10 4. 乘方、开方；乘除；加减；括号里面的 二、能力提升题 1. （1）$$2\sqrt{3}$$（解析：去括号得$$\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$）；（2）10（解析：$$2 \times 3 + \sqrt{16} = 6 + 4 = 10$$） 2. （1）3.14（解析：$$\sqrt{2} \approx 1.414$$，$$\sqrt{3} \approx 1.732$$，和为≈3.14）；（2）3.71（解析：$$3\sqrt{5} \approx 6.708$$，$$2\sqrt{2} \approx 2.828$$，差为≈3.71）；（3）4.41（解析：$$\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3} \approx 1.732$$，加$$\sqrt{4}=2$$，和为≈3.732，保留两位小数为3.73，修正：3.73） 三、拓展应用题 1. $$x + y = 2\sqrt{5}$$，$$xy = 4$$；均为实数；理由：$$x + y = (\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5}$$，$$xy = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4$$；$$2\sqrt{5}$$是无理数，4是有理数，无理数和有理数都属于实数，故结果均为实数 2. 周长和：$$4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$cm（或$$4\sqrt{6} + 4\sqrt{2}$$cm）；面积差：4cm²；解析：第一个正方形周长$$4\sqrt{6}$$cm，第二个正方形周长$$4\sqrt{2}$$cm，周长和为$$4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$cm；第一个正方形面积$$(\sqrt{6})^2 = 6$$cm²，第二个正方形面积$$(\sqrt{2})^2 = 2$$cm²，面积差为$$6 - 2 = 4$$cm² 温馨提示：解题时需牢记实数运算的核心要点——同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能直接加减；实数的乘除运算中，$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$、$$\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a \div b}$$（$$a \geq 0$$，$$b > 0$$）；运算顺序与有理数一致，易错点为非同类二次根式盲目合并、运算顺序错误，计算时需先化简二次根式，再按顺序运算，结果保留要求需严格遵循。 1. 掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决 有关实数的运算问题.（重点） 2. 熟练掌握实数的大小比较方法．（难点） 学习目标 实数的运算 把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算. 运算顺序： 乘方、开方 乘除 加减 同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立. 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 填空：设 a，b，c 是任意实数，则 （1）a + b = （加法交换律）； （2）(a + b) + c = （加法结合律）； （3）ab = （乘法交换律）； （4）(ab)c = （乘法结合律）； b + a a + (b + c) ba a(bc) 实数的运算 1 （5）a(b + c) = （乘法对于加法的分配律）， (b + c)a = （乘法对于加法的分配律）； ab + ac ba + ca （6）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； (-b) （9） 若 ab =0 ，则 a = 或 b = ； （12）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满 足 a · b = b · a = 1，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿. （7）实数的除法运算规定为 a÷b =a ·______（ b≠0）； （8）如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0； 倒数 ≠ （11）a + 0 = 0 + a = ； （10）a + (-a) = (-a) + a = ； a 0 0 0 例1 计算下列各式的值： 解: 加法结合律 乘法对于加法的分配律 典例精析 思考：实数怎么比较大小呢？ 实数的大小比较 2 对于实数 a，b：若 a－b＞0，则称 a 大于 b (或者 b 小于 a)，记作 a＞b (或 b＜a )； 若 a－b＜0，则称 a 小于 b (或者 b 大于 a)，记作 a＜b (或 b＞a)； 若 a－b＝0，则称 a 等于 b，记作 a＝b. 要注意的是，对于任何实数 a，b，在a＞b，a＝b， a＜b这三种关系中，有且只有一种成立 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小. 4.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 与有理数一样，在实数范围内： 总结归纳 一般地，对于两个正实数 a，b， 若 a＞b，则，反过来也成立. 若a＞b，则，反过来也成立. 典例精析 例2 比较下列各组数的大小. (1) 2.5 与 ； (2) 3 与 ； (3) －3与 －. 解：(1) 因为 2.52＝6.25，()2＝7，又6.25＜7， 所以 2.5<. (3) 因为|－3|＝3，|－|＝，由(2)知3， 所以－3<－. (2) 因为3³＝27，()³＝25，又2725，所以3. 思 考 不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间. 由于102＝100＜115，()2＝115，112＝121＞115， 所以 应介于 10 和 11 之间，即 10＜＜11. 由于43＝64＜121，()3＝121， 53＝125＞121， 所以 应介于 4 和 5 之间，即 4＜＜5. 例4 利用 = 1.414213562··· 和 = 2.645751311··· 计算 + 的值(结果精确到0.001). 【方法总结】在实数运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数进行计算. 解： 由于需精确到 0.001，于是只需取 ≈ 1.4142， ≈ 2.6457， 故 + ≈ 1.4142 + 2.6457 = 4.0599 ≈ 4.060. 学而时习之 1. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）： （1）－a 一定没有平方根； （ ） （2） 是一个分数； （ ） （3） 是无理数. （ ） × π 是无理数 × × 随堂练习 2. 求下列各数的相反数和绝对值： （1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415. 解（1） 的相反数为 ， ； （2） 的相反数为 ， ； 随堂练习 2. 求下列各数的相反数和绝对值： （1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415. （3） 的相反数为 ， 因为 2.82 = 7.84 < 10，所以 2.8 < ， 随堂练习 2. 求下列各数的相反数和绝对值： （1） ；（2） ；（3） －2.8；（4）π－3.1415. （4）π－3.1415 的相反数为 3.1415－π， 因为 π = 3.1415926…，所以 π > 3.1415， |π－3.1415| = π－3.1415. 随堂练习 （1） 与 ； （2）－4 与 . 3. 比较下列各组数的大小： 解（1） ， ； ，所以 . 随堂练习 （1） 与 ； （2）－4 与 . 3. 比较下列各组数的大小： （2） ， ； 64 > 61，所以 －64 < －61， . 随堂练习 4. 不用计算器，分别估计 与 在哪两个 相邻整数之间. 所以 应介于 7 和 8 之间， 即 7 < < 8. 由于 72 = 49 < 50， ，82 = 64 > 50， 由于 53 = 125 < 196， ，63 = 216 > 196， 所以 应介于 5 和 6 之间， 即 5 < < 6. 随堂练习 5. 利用 和 计算 的值（结果精确到 0.001）. 解 由于需精确到 0.001，于是只需取 ， ， 故 ≈ 0.7337 － 0.8549 = －0.1212 ≈ －0.121. 随堂练习 温故而知新 6.（多选题）已知实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列说法正确的有（ ）. （A）a >－3 （B）b + c > 0 （C）bc > 0 （D）| a | > | d | （E）b－a > 0 0 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 -4 -5 O a b c d BE 随堂练习 7. 若 a－2 的平方根是 ±2，2a + b + 7 的立方根是 3， 求 a2 + b2 的算术平方根. 解 (a－2) = 22 = 4，a = 6， 2a + b +7 = b + 19，b + 19 = 33 = 27，b = 8， a2 + b2 = 62 + 82 = 100， 随堂练习 8. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个为一组，“完美组合数”. 例如，对于－9，－4，－1 这三个数，由于 ， ， 又 6，3，2 都是整数，所以 －9，－4，－1 这三个数 是一组“完美组合数”. 随堂练习 （1）－18，－8，－2 这三个数是一组“完美组合数” 吗？请说明理由. 12，6，4 都是整数，所以 －18，－8，－2 这三个数 是一组“完美组合数”. 随堂练习 （2）若三个数－3，m，－12 是一组“完美组合数”，且其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求 m 的值. ，m = －48 随堂练习 1. 计算 的结果为( ) B A. 2 B. C. D. 2. [北京海淀区期末] 如图，表示数 的点应在( ) B A. ，之间 B. ， 之间 C. ，之间 D. ， 之间 中考考法 26 3. 教材P44例3 运用某种电子计算器求 的近 似值，其按键顺序正确的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 27 4. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ， 祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 .比较大小：- ___（填“ ”或“ ”）. 5. 用计算器计算： _______（精确到 ） 16.906 中考考法 28 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . 中考考法 29 （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 中考考法 30 7. 解方程组： 【解】 ,得 ,③ ,得,解得 . 把代入②,得,解得 . 所以原方程组的解为 中考考法 31 8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后 输出的结果是( ) B A. 24 B. C. 25 D. 中考考法 32 9. 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一 个周期，其计算公式为，其中 表示周期 单位：，表示摆长单位：，， 取3.14.假如一台座钟的摆长为 ，它每摆动一个来回发一次滴答 声，那么在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为 ( ) D A. 60 B. 48 C. 46 D. 42 中考考法 33 【点拨】由题意知 ，所以在一 分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为 .故 选D. 中考考法 34 10. 小李同学探索 的近似值的过程如下： 因为面积为86的正方形的边长是 ，且 ，所以设 ，其中 ，画出示意图如图.根据示意图， 12.21 可得.又因为 ，所以 .当时，可忽略 ，得 ，解得，所以 .仿照该方法， 探究的近似值为______结果精确到 . 中考考法 35 实数的运算 实数的运算律 用计算器计算 实数的大小比较 课堂小结 $