精品解析：北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以或 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法和除法运算，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】由题意知，，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】数列为等差数列，所以，得 又有，得.所以等差数列的公差， 则. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得，所以展开式中的常数项为. 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 6. 已知无穷等比数列的公比为 ，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 7. 把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 8. 在平面直角坐标系中，角 与角均以为始边，点在角 的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（ ） A. 与关于 轴对称 B. 与关于 轴对称 C. 与关于直线 对称 D. 与关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】设出点的坐标，由确定该点横纵坐标的范围，再利用正弦函数的定义逐项求解判断. 【详解】设，由，则角 的终边在 轴上方，即， 对于A，由与关于 轴对称，得，则，A不是； 对于B，由与关于 轴对称，得，则，B是； 对于C，由与关于直线 对称，得，当时，，C不是； 对于D，由与关于直线对称，得，当时，，D不是. 9. 已知直线 过点，其倾斜角为，设原点 到直线 的距离为.当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，设直线 的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线 过点，且原点 到直线 的距离， 则直线 的斜率存在，设直线 的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 10. 已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】①结合题设定义分、两种情况求出的值域即可判断；②根据减函数的定义可得，且时，都有，再结合的定义可得，进而判断即可. 【详解】①由， 当时，，则， 即，所以，则， 此时； 当时，，则， 即，所以，则， 此时. 综上所述，的最大值为，故①正确； ②因为函数和都是减函数， 则对于，且时，都有， 由，则， 所以必有，， 又，则， 所以也是减函数，故②正确. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p. 【详解】由抛物线方程知，，， 所以焦点到准线的距离为2. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题. 12. 已知正方形 的边长为2，点为 中点，则__________. 【答案】3 【解析】 【详解】在边长为2的正方形 ，点为 中点，， 所以. 13. 在 中，. ①若，则__________. ②若 为锐角三角形，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由正弦定理求解即可；②由余弦定理求解即可. 【详解】①由正弦定理: ,代入数据得 解得：. ② 构成三角形，必有，所以 若 为锐角三角形，则，即 ，， 所以，，， 代入数据得，因为，所以， 综上所述，的取值范围是. 14. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上），，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为__________，图二所示的几何体的体积为__________. 【答案】 ①. ; ②. ； 【解析】 【分析】根据棱柱的性质知侧面为平行四边形，结合面积公式求解；根据题意可知，分别求出两个棱柱体积即可. 【详解】由题意四棱柱，则侧面为平行四边形, 所以； 由正方形ABCD可知，，， ，平面，则三棱柱为直三棱柱 ，，同理可知 为边长为2的等边三角形， 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与 轴的交点位于 轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当 时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有 个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 是棱上一点，满足 （1）求证：平面 ； （2）求平面 与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ∵ 平面平面 ，且平面平面， 平面，， 由面面垂直的性质定理， ∴ 平面 . （2） 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质，结合即可证明线面垂直； 以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个平面的法向量夹角即可得到平面夹角的余弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以，，的方向为 轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意得，，，. ∵ ， ∴ ， ∴ . 由得 平面 ， ∴平面 的一个法向量为 . 设平面的法向量为 ， ，， 则， 令，解得，，即 . 设平面 与平面的夹角为， 则. 17. 已知函数，其中. （1）若，求值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式将函数化简为，代入 得到关于的三角函数方程，结合的取值范围即可求解. 先根据的单调性、的条件，得到的取值范围与、的等式关系，再结合所选补充条件建立方程，联立求解验证是否能得到唯一的、 值即可. 【小问1详解】 由两角和的正弦公式，可得 . ∵ ，且， ∴ . 【小问2详解】 由题意 ， ∴ ，即 ，. 又在区间上单调递减，该区间长度为， 正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得. 选择条件①：在区间上单调递增， 同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值， ∴ ，即 ，. 联立， 两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得， 代入 得， 因为，解得. 此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定. 选择条件②： ， 已知 ，由得： ，即 ， ---（1） 又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得. 由条件② 得： ，即 ， ---（2） （1）-（2）得 ，即， . 结合，仅时符合要求，代入（1）得，解， 因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定. 选择条件③： 由条件③得 ，即 ， ---（3） 联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， . 结合： 时，不符合要求； 时，代入（3）得，因为，所以， 此时，当时，，不满足单调递减的要求； 时，不符合的要求，故条件③不满足要求. 18. 在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播 部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. （1）求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； （2）记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； （3）设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【答案】（1） （2）的分布列为： ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求概率. （2）利用古典概型求离散型随机变量的分布列与期望. （3）利用古典概型求离散型随机变量的方差. 【小问1详解】 因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. 【小问2详解】 最后一部反诈宣传短片可能在第 部或第 部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. 【小问3详解】 文明出行宣传短片可能在第部、第 部、第 部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 19. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与 轴交于点，点在直线 上，且.求证：的面积为定值. 【答案】（1） （2）依题意，，， 过斜率为的直线（），与椭圆方程联立： 解得 （对应）或， 则.得， 直线 与 轴交于点， 令得，故. 点，直线 的斜率， 所以直线 方程为， 点在 上，可设 ， 由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ， 即 ，解得， 于是， 因此点的纵坐标为定值， 而 ， 所以的面积 所以的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上下顶点的距离得出短半轴的长度，再利用离心率与长半轴、短半轴的关系求出长半轴，从而得到椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程，与椭圆方程联立求得交点的坐标；求出直线与 轴的交点，进而写出直线 的方程，点在 上，由垂直条件得出的纵坐标为常数，由此得到的面积为定值. 【小问1详解】 由题意，上、下顶点 ，故，得， 离心率，且 ， 代入 ，得 ，解得 ，故 ，所以椭圆方程为  . 【小问2详解】 略 20. 已知函数，，. （1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； （2）设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【解析】 【分析】（1）由两条曲线在一点处的切线相同，则根据导数的几何意义即在该点处的斜率相等，即可求出的值； （2）①先求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性，从而确定极值点； ②通过判断极大值大于，极小值小于，再结合端点的函数值，即可判断零点的个数. 【小问1详解】 解：由题意知，，所以点在 两条曲线上， 分别求导得，， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，则， 即，所以. 【小问2详解】 ①解：，， 所以， 令，则或， 因为，所以， 又，所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取极大值为； 在处取极小值为. ②由①可知，，，， 则，所以. 又在处取极小值为，， 令，则，， 因为，所以，因此在单调递减， 又，所以，即. 因为当时，；当时，，，则， 因此在有1个零点；在存在1个零点；在存在1个零点， 因此，函数有3个不同的零点. 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】（1）不是的完美子集，是的完美子集 （2）证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和 都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【小问1详解】 中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意 ，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于 ，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知无穷等比数列的公比为 ，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，角 与角均以为始边，点在角 的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（ ） A. 与关于 轴对称 B. 与关于 轴对称 C. 与关于直线 对称 D. 与关于直线对称 9. 已知直线 过点，其倾斜角为，设原点 到直线 的距离为.当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 12. 已知正方形 的边长为2，点为 中点，则__________. 13. 在 中，. ①若，则__________. ②若 为锐角三角形，则的取值范围是__________. 14. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上），，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为__________，图二所示的几何体的体积为__________. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 是棱上一点，满足 （1）求证：平面 ； （2）求平面 与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）若，求值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播 部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. （1）求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； （2）记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； （3）设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 19. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与 轴交于点，点在直线 上，且.求证：的面积为定值. 20. 已知函数，，. （1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； （2）设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $