专题02 平行线模型和辅助线 专题专练【重难点培优：知识梳理+8大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以8类平行线模型为核心，通过“模型梳理-辅助线技巧-综合应用”三阶体系，培养几何直观与推理能力，实现从基础模型到压轴题的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型梳理|4类基础模型（猪蹄/铅笔头等）|总结“拐角和差”“多拐点累加”等结论|从单拐点到多拐点，构建模型认知链| |辅助线方法|4类辅助线（过拐点作平行等）|提炼“作平行转化角”“连线构造三角形”等技巧|辅助线与模型结合，强化转化思想| |综合应用|压轴真题（动态点/角平分线综合）|融合模型结论与辅助线技巧解决复杂问题|从单一模型到多模型综合，提升应用意识|

专题02平行线模型和辅助线 N世必主大 【题型1：猪蹄模型与锯齿模型…。 …1】 【题型2：铅笔头模型及进阶… 6】 【题型3：臭脚模型与骨折模型…13】 【题型4：蛇形模型... 18】 【题型5：平行线中常见辅助线一一过拐点作平行 23】 【题型6：平行线中常见辅助线一一连接两点 29】 【题型7：平行线中常见辅助线一一延长线段使相交 35】 【题型8：平行线中常见辅助线一一其他 … 43】 【题型9：压轴真题…。 54】 题型①》猪蹄模型与锯齿模型 1.如图，直线a‖b,矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为() Q A.410 B.51o C.49° D.59o 【详解】解：：矩形ABCD, ∠ABC=90°， 过点B作BEla, D --------B b A allb, :BElallb, 1/71 ∴.∠1=∠ABE,∠2=∠CBE, ∠ABC=∠ABE十∠CBE=∠1+∠2， :∠2=41°， ∠1=90°-41°=49°； 故选C 2.在图中，AB//CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？ B G 【详解】分别过E,F,G作AB的平行线， A E- -M 3 …H C D AB //CD, :AB //EM //FN //GH //CD, 则∠1=∠B,∠2=∠3，∠4=5，∠6=∠D, .∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D, 即，∠E+∠G=∠B十∠F+∠D 3.已知直线2，A是11上的一点，B是12上的一点，直线13和直线11， 12交于C和D,直线CD上有一点P. B (1)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系？ 2/71 请说明理由. (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合)，试探索∠PAC, ∠APB,∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【解答】(1)解：∠PAC+∠PBD=∠APB. 过点P作PE,如图1所示. B D 图1 PE,2, PEl ·∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE, '∠APB=∠APE+∠BPE, ·∠PAC+∠PBD=∠APB (2)解：结论：当点P在直线l上方时，∠PBD-∠PAC=∠APB:当点P在直线2 下方时，PAC-∠PBD=∠APB ①当点P在直线l上方时，如图2所示.过点P作PE山1： E 图2 PE, PE ·∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE, '∠APB=∠BPE-∠APE, ·∠PBD-∠PAC=∠APB ②当点P在直线L2下方时，如图3所示.过点P作PEl: 3/71 ⊙ D E p 图3 PE,上l2, PEl ·∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE, :∠APB=∠APE-∠BPE, ·∠PAC-∠PBD=∠APB 4.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线 来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即 已知：如图1，ABCD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE得到∠AEC 求证：∠AEC=∠A+∠C A 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作EFAB :∠1=∠A D ABCD,EFAB 图1 图2 :EFCD ∴.∠2=∠C H ∴.∠AEC=∠1+∠2 ∴∠AEC=∠A+∠C 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题. (1)如图2，若AB引CD,∠E=60°，求∠B+∠C+∠F; 图3 (2)如图3，ABICD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°，求∠H. 【详解】(1)作EMAB,FNICD,如图，且ABICD 4/71 B E ·EMIABIIFNICD ∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180° ∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180°， “∠BEF=60°， ∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°： (2)如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS, R H S B C E --- G M :BE平分∠ABG,CF平分∠DCG, ∴∠ABE=∠ABG,∠SHC=∠DCF=∠DCG, ABICD ·ABIICD IIRSIMN .∠RHB=∠ABE=∠ABG,∠SHC=∠DCF=∠DCG, ∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°， :LBHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-支（∠ABG+∠DCG), ∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG- ∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC, :∠BGC=∠BHC+2T, 5/71 .180°-2∠BHC=∠BHC+27°， ∠BHC=51°. 题型2》 铅笔头模型及进阶 1.如图，两直线AB、CD平行，则∠1十∠2十3+∠4+∠5+∠6=(). A B E 2 30F 40G 6 TH C D A.630° B.720° C.800o D.900o 【详解】分别过E点，F点，G点，H点作L1,12,3,L4平行于AB B ---------…1 C C D 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则∠1+∠2+3+∠4+∠5+∠6=180°×5=900 故选D 2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是 动力传输.如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，己知AB引CD, CG‖EF,∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 图1 图2 【详解】解：如图，过点F作FMCD, 6/71 --M B ABIICD, :ABICD IFM, ∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°， :∠BAG=150°，∠DEF=130°， ∠MFA=30°，∠EFM=50°， ,∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°， CGEF, ∠AGC=∠EFA=80o. 故答案为80°. 3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪 出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD),则∠BAE+∠AEC+∠ECD= (度)； 图① 图② 图③ 图④ (1)如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD), 则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= （度)； (2)如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC ∠GCD),则∠BAE+∠AEF+∠EFG十∠FGC+∠GCD= (度)： (3)根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角 的和是 (度) 【详解】过E作EHAB(如图②). 原四边形是长方形， :ABICD, 7/71 又：EHAB, “CDEH(平行于同一条直线的两条直线互相平行). EHILAB, ·∠BAE+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）. CDIEH, .∠2+∠DCE=180。(两直线平行，同旁内角互补). ∠BAE+∠1+∠2+∠ECD=360°， 又：∠1+∠2=∠AEC, ∠BAE+∠AEC+∠ECD=360o; B E H D 图② (1)分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， B D 图③ 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC十∠FCD=540°； (2)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， A B D 图④ 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+LGCD=720°； (3)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度. 8/71 故答案为：360；540；720；180n: 4.(1)如图(1)AB‖CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由. (2)观察图(2)，已知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由. (3)观察图(3)和(4)，已知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说 明理由， A C D (1) (3) (4) 【详解】(1)解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°. 理由：过点P作EF‖AB, ∠B+∠BPE=180°， :ABII CD,EFI‖AB, :EF CD, ∠EPD十∠D=180°， ∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， ∠B+∠BPD+D=360°； (2)∠BPD=∠B十∠D: 理由：如图，过点P作PEAB, A B C D (2) AB CD, :PEll AB II CD, ∠1=∠B,∠2=∠D, ∠BPD=∠1十∠2=∠B+∠D; 9/71 (3)如图(3)：∠BPD=∠D-∠B 理由：AB‖CD, C (3) ∠1=∠D, :∠1=∠B+∠P, ∴∠D=∠B十∠P, 即∠BPD=∠D-∠B: 如图(4)：∠BPD=∠B-∠D 理由：AB川CD, A (4) ∠1=∠B, :∠1=∠D+∠P。 ∠B=∠D十∠P, 即∠BPD=∠B-∠D 5.已知AB/ICD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有 一动点P. B AE B C F D C F D 图1 备用图1 A E B C F D C F D 备用图2 备用图3 10/71 (1)如图1所示时，试问∠AEP,∠EPP,∠PFC满足怎样的数量关系？并说明 理由. (2)除了(1)的结论外，试问∠AEP,∠EPP,∠PFC还可能满足怎样的数量 关系？请画图并证明 (3)当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD, ①若∠EPF=60°，则∠EQF= ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系.（直接写出结论） 【解答】解：(1)如图1，过点P作PG//AB, E B G C F D 图1 PG AB, :∠EPG=∠AEP, AB//CD. PG CD, ·∠FPG=∠PFC, ·∠AEP+∠PFC=∠EPF: (2)如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP,∠EPF,∠PFC满足数量关系为： ∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； E B G…P 图2 过点P作PG//AB, PG AB. ·∠EPG+∠AEP=180°， 11/71 AB//CD, :PG//CD. ÷∠FPG+∠PFC=180°， ·∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°； (3)①如图3，若当P点在EF的左侧时， E F D 图3 "∠EPF=60°， ÷∠PEB+∠PFD=360°-60°=300°， :EQ,FQ分别平分∠PEB和∠PFD, ·∠BEQ=∠PEB,∠QFD=∠PFD, ·∠EQF=∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)=专X300°=150°： 如图4，当P点在EF的右侧时， B 图4 :∠EPF=60°， ∠PEB+∠PFD=60°， ·∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)=专X60°=30°： 故答案为：150°或30： ②由①可知： ∠EQF=∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)=(360°-∠EPF, .∠EPF+2∠EQF=360°； ∠EQF=∠BEQ+∠QFD=(∠PEB+∠PFD)=∠EPF, 12/71 ·∠EPF=2∠EQF. 综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或 LEPF=2EQF 题型3》 臭脚模型与骨折模型 1.①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+LC=360°；②如图2，AB∥CD,则LP=∠A-∠C; ③如图3，AB∥CD,则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF 上，则4a-4B+4?=180°.以上结论正确的个数是() A D C D 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【详解】解： B B C a D E 图1 图2 图3 图4 ①如图1，过点E作直线EFAB, ABIICD, .ABI CDIEF, :∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， ,∠A+∠B+∠AEC=360°， 故①错误： ②如图2，：∠1是△CEP的外角， :∠1=∠C+∠P, .ABII CD, ∴.∠A=∠1， 13/71 即∠P=∠A-∠C, 故②正确： ③如图3，过点E作直线EF‖AB, .ABIICD, ∴ABIICDIIEF, .∠A+∠3=180°，∠1=∠2， :∠A+∠AEC-∠1=180°， 即∠AEC=180°+∠1-∠A, 故③错误： ④如图4，ABEF, .∠a=∠BOF, .CDIIEF, ∠Y+∠C0F=180°， :∠BOF=∠COF+∠B, .∠CoF=∠a-∠B, .∠+∠a-∠B=180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B. 2.如图，已知ABIDE,∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= D 【详解】解：如图，过点C作CFAB, A B D E -F 14/71 '∠ABC=80°， ·∠BCF=∠ABC=80°， 又：ABDE, ·DECF, ·∠DCF+∠CDE=180°， ÷∠DCF=40°， ·∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°. 故答案为：40°。 3.如图，如果ABIIEF,EF‖CD,则∠1，∠2，∠3的关系式 D 【详解】解：ABEF,EFCD .∠2+∠B0E=180°，∠3+∠C0F=180°， .∠2+∠3+∠B0E+∠C0F=360°， ∠B0E+∠C0F+∠1=180°， .∠B0E+∠C0F-180°-∠1， ∠2+∠3+(180°-∠1)=360°， 即∠2+∠3-∠1=180°. 故答案为：∠2+∠3-∠1=180°. 4.己知AB/CD,求证：∠B=∠E+∠D A B 【详解】证明：过点E作EFCD,如图 15/71 ABIICD, ∠B=∠BOD, :EF‖cD(辅助线)， :.∠BOD=∠BEF(两直线平行，同位角相等)；∠D=∠DEF(两直线平行，内错角相等)； ,.∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D(等量代换)， ∠BOD=∠E+∠D(等量代换)，即∠B=∠E+∠D. 5.已知AM//CN,点B为平面内一点，AB1BC于B. M D EA FM M B B C N 图1 图2 图3 (1)如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为 ； (2)点B在两条平行线之间，过点B作BD⊥AM于点D ①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由； ②如图3，BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若 ∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数 【解答】解：(1)如图1，AM与BC的交点记作点O, ,'AM∥CN, ∴.∠C∠A0B, .AB⊥BC, .∠A+∠A0B-90°， .∠A+∠C90°； 16/71 图1 (2)①如图2，过点B作BG∥DM, D M B G N 图2 ,BD⊥AM, .DB⊥BG, ∴.∠DBG-90°， ∴.∠ABD+∠ABG90°， ,AB⊥BC, ∴.∠CBG+∠ABG90°， .∠ABD∠CBG, ,'AM∥CN,BG∥DM, ·BG//CN, .∠C∠CBG, ∠ABD∠C: ②如图3，过点B作BG∥DM, D EA FM B G N 图3 17/71 .BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, ∴，∠DBF=∠CBF,∠DBE∠ABE, 由(2)知∠ABD∠CBG, ∴.∠ABF=∠GBF, 设∠DBEa,∠ABF=B, 则∠ABEa,∠ABD2a=∠CBG, ∠GBF=∠AFBB, ∠BFC3∠DBE-3a, ∴.∠AFC=3a+B, .'∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴.∠FCB∠AFC-3a+B, △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2a+B+3a+3a+B=180°， AB⊥BC, .B+B+2a-90°， .a=15°， ∴.∠ABE=15°， .∠EBC-∠ABE+∠ABC-15°+90°=105° 题型④蛇形模型 1.已知直线ABCD,P为平面内一点，连接PA、PD: 图1 图2 图3 (1)如图1，己知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若 ∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度数. 【详解】(1)解：如图1，过点P作EF‖AB, 18/71 D 图1 "∠A=50°， ·∠APE=∠A=50°， AB|ICD, :EF CD, .∠CDP+∠EPD=180°， :∠D=150°， ÷∠EPD=180°-150°=30°， ÷∠APD=∠APE+∠EPD=50o+30°=80°； (2)如图2，过点P作EF‖AB,则ABIEF‖ICD, D -----------F B C D 图2 ÷∠CDP=∠DPF,∠FPA+∠PAB=180°， :∠FPA=∠DPF-∠APD, ÷∠DPF-∠APD+∠PAB=180°， :∠CDP+∠PAB-∠APD=180°， 故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°； (3)如图3，设PD交AN于点O, 一B 图3 :AP⊥PD, ÷∠APD=90°， 19/71 :∠PAN+∠PAB=∠APD ∠PAN+号∠PAB=90°， ÷∠P0A+∠PAN=90°， ÷∠P0A=∠PAB, :∠POA=∠NOD, ∠N0D=∠PAB, :DN平分∠PDC, ∠0DN=3∠PDC, :∠AND=180°-∠NOD-∠0DN =180°-（∠PAB+∠PDC), 由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°， :∠CDP+∠PAB=180°+∠APD, ·∠AND=180°-（∠PAB+∠PDC =180°-(180°+∠APD) =180°-(180°+90) =45°. 2.如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，ADIBE B E B 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量 关系 20/71 3)如图③，在(2)的前提下，且有ACIQ B,直线AQ、BC交于点P,QP⊥PB,直接写出 ∠DAC:∠ACB:∠CBE= 【详解】(1)在图①中，过点C作CFAD,则CFBE. F C B 图① CFIADIBE, ∠ACF=∠A,∠BCF+∠B=180°， :∠ACB+∠B-∠A=∠ACF+∠BCF+∠B-∠A=∠A+180°-∠A=180°. (2)在图2中，过点Q作QMIAD,则QMIBE E B 图② QMIAD,QMIBE, .∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ. :AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE, ∠NAD=∠CAD,∠EBQ=青∠CBE, :∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD) :∠C=180°-（∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB, 2∠AQB+∠C=180°. (3)ACIIQB, :∠AQB=∠CAP=∠CAD,∠ACP=∠PBQ=∠CBE, :∠ACB=180°-∠ACP=180·-∠CBE, 2∠AQB+∠ACB=180°， 21/71 ∠CAD=号∠CBE. 又QP⊥PB, :∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°， .∠CAD=60°，∠CBE=120°， .∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD)=120°， ∠DAC:∠ACB:∠CBE=60°：120°：120°=12：2， 故答案为：122 3.如图，AB‖DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE (1)写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B,求∠B的度数； D E A B 【详解】(1)解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180°， 理由如下：过点E作EFI CD,如图， D F_------- B ∠EDC=∠DEF, :AB‖CD, ABEF, .∠ABE+∠BEF=180°， .∠BEF=180°-∠ABE, ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+180·-∠ABE, ∠BED+∠ABE-∠EDC=180°； (2)解：由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°， 22/71 2∠B+∠B-∠EDC=180, 3∠B-21°=180°， 解得∠B=67·. 题型5》平行中常见辅助线—一 过拐点作平行 1.如图，直线ABCD,在AB上任选一点E,将一直角三角板直角顶点放在E处， ∠G=30°，当∠CHF=10°，此时∠AEF的大小是() A、 E B A.55 B.65 C.70 D.80° 【解答】解：如图，过点G作GMILAB,则∠MGE=∠BEG, E A B M D ABIICD, ∴.MGICD, ∴.∠MGF=∠CHF=10°， ∴∠EGM=∠EGF-∠MGF=30°-10°=20°. ∴.∠BEG=∠EGM=20°. .∠AEF=180°-90°-20°=70°. 故选：C. 2.己知ABICD,点E在AB上，点F在CD上，点Q为射线EF上一点. 23/71 :: 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=22°，∠C=35°，则∠AQC= (2)如图2，当点Q在线段EF的延长线上时，请写出∠A、∠C和∠AQC三者之间 的数量关系，并说明理由 (3)如图3，AH平分∠QAB,CH交AH于点H ①若CH平分∠QCD,求∠AQC和∠AHC的数量关系。 ②若∠QCH:∠DCH=1:3,∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接写出∠AQC的 度数为 【解答】(1)解：过点Q作QHⅡAB, B 图1 AB II CD :QH Il AB II CD. ∠C=∠CQH=35°，∠A=∠HQA=22°， ·∠AQC=∠CQH+∠HQA=35°+22°=57， 故答案为：57°； (2)数量关系：∠A-∠C=∠AQC, 证明：过点Q作MN II CD, 24/71 D AB II CD, AB II MN, ·∠NQC=∠C,∠MQA=180°-∠A, .∠AQC=180°-∠NQC-∠MQA=∠A-∠C (3)①过点H作PG‖CD, P----------- H---G “AB II CD, :AB II PH, ·∠PHC=∠HCD,∠GHA=180°-∠HAB, ·∠AHC=∠HAB-∠HCD 又：AH平分∠CAB,CH平分∠QCD, ·∠HAB=克∠QAB,∠HCD=克∠QCD ·∠AHC=克（∠QAB-∠QCD) 由(2)可得∠AHC=专∠AQC. ②∠AQC=72°，理由如下： :∠QCH:∠DCH=1:3,∠HCD=33°，AHC=25°， ·∠QCH=11°，∠DCH=33°， ÷∠HAB=33°+25°=58°， ÷∠AQC=58°×2-44°=72°， 故答案为：72°. 25/71 3.如图1，在四边形ABCD中，ADBC,∠A=∠C. D 图1 图2 图3 (1)求证：ABIIDC; (2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG, ∠AEB=2LG,求证：BG是LEBC的平分线； (3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，LEDC的平分线DH交 BG于点H,若∠ABE=66°，求∠BHD的度数.（提示：需添加辅助线求解） 【解答】(1)证明：如图1中， D 图1 AD BC, ∠A+∠B=180°， :∠A=∠C, ∠C+∠B=180°， :ABI DC (2)如图2中， G D 图2 26/71 ADI BC, LCBG=LG,∠AEB=LCBE, :∠AEB=2∠G, ∠CBE=2LG, LEBG+∠CBG=2∠G, :ZEBG ZG, ZEBG ZCBG, :BG是∠EBC的角平分线. (3):DH是∠GDC的平分线， ·LGDH=∠HDC, 设LGDH=∠HDC=a,则LGDC=2a, AD BC, :ZBCD =ZGDC 2a, 设∠CBG=B,则∠EBC=2B, .ABI CD, ,∠ABC+∠BCD=180°， :LABE+∠EBC+∠BCD=I80°， ∠ABE=66°， .66°+2p+2a=180°， .a+B=57°， 如图，过点H作HP‖AB, P---H D 图3 ∠PHB+∠ABH=180°， AB‖CD, 27/71 :CDHP ∠DHP=∠HDC=a, ∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=I80°， 即a+∠BHD+66°+B=180°， ∠BHD=57°. 4.【阅读探究】如图1，已知AB∥CD,E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、 CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EVF的度数， 解：过点M作MN∥AB .AB∥CD -D B .MN∥CD 图1 图2 ∴.∠EMN=∠AEM=45 ∠FMN=∠CFM=25° ∴.∠EMF=∠EMNH∠FMN =45°+25°=70 图4 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和 DC℉M“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决， 【方法运用】如图2，已知直线m∥n,AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O 射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光 线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射 光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB. (1)由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由 (2)如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在 两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传 播路径为O-→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系. 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山 里与外面的世界.数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了 一个问题： 28/71 在图4中，AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数. 【解答】方法运用，解：(1)∠OPQ∠AOP+∠BQP,理由如下， 如图所示，过点P作PEOA,则PEBQ. O E、 OB ∴.∠AOP-∠OPE,∠BQP∠QPE. ,'∠OPQ∠OPE+∠QPE ∴.∠OPQ∠AOP+∠BQP: (2)解：∠OPQ∠ORQ, 理由如下，由(1)得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ, 同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ, ,入射角等于反射角： .∠AOP∠DOR,∠BQP∠CQR, .∠OPQ∠ORQ: 【应用拓展】如图，过点P作PMAB:过点Q作QNAB, 则ABIPMIIQNIICD. M.-- C D ∴.∠ABP+∠BPM180,∠MPQ∠PON,∠DCQ+∠CQN180° .∠B-125°，∠C-145°， .∠BPM180°-125°=55°，∠CQN180°-145°=35°， ,∠PQC-65°， ,∴.∠PQN∠PQC-∠CQN65°-35°=30°， ∴.∠QP∠PQN30°， ∴.∠BPQ∠BPMt∠QPM30°+55°=85°. 29/71 题型6》平行线中常见辅助线一连接两点 1.如图，已知AB/CD,∠AFC=120°，∠EAF=专∠EAB, ∠ECF=专∠ECD,则∠AEC=() E D A.60 B.80° C.90° D.100° 【解答】解：连接AC,设∠EAF=x,∠ECF=y, .∠EAB=3x,∠ECD=3X, ∴.∠FAB=4X,∠FCD-4X, ,AB∥CD, .∠CAB+∠ACD=180°， ,∠AFC-=120°， .∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°， .∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°， 解得：x+y=30°， .∠AEC =180°-（∠EAC+∠ECA) =180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC) =180°-(x+y+60°) =90° 故选C. B 2.如图，ABI‖CD,BE平分∠ABF,∠DCF=∠ECF,已知∠F-∠E=15°， 则∠ABE+∠DCF= 度 30/71 【解答】解：如图所示，连接EF,过点C作MN‖EF, .AB‖CD, ∴.∠ABF=∠CHF, BE平分∠ABF, ∴∠ABE=∠FBE=∠ABF, ∴.∠ABE=∠FBE=LCHF, .MNEF, ∴.∠MCE=∠CEF,∠NCF=∠CFE, :∠MCE+∠NCF+∠ECF=180°， ∴.∠CFE+∠CEF+∠ECF=180°， 同理可得∠PBE+∠BEC+∠BFE=180°，∠DCF+∠CHF+∠CFH=180°， ∴.∠FBE+∠BFC+∠CFE+∠BEC+∠CEF=180°， ∴.∠FBE+∠BFC+∠BEC+180·-∠ECF=180°， ,'∠DCF=∠ECF, ∴.∠FBE+∠BFC+∠BEC+180°-∠DCF=180°， ∴.∠FBE+∠BFC+∠BEC+∠CFH+∠CHF=180°， .∠ABE+∠BFC+∠BEC+2∠ABE+∠CFH=180°， .3∠ABE+2∠BFC+∠BEC=180°， .∠BFC-∠BEC=15°， ∴.3∠ABE+2∠BEC+30°+∠BEC=180°， .3∠ABE+3∠BEC=150°， .∠ABE+∠BEC=50°， :∠HCF+∠CFH+∠CHF=180°， .2∠ABE+∠HCF+∠BEC+15°=180°， ∴.2∠ABE+50°-∠ABE+15°+∠HCF=180°， 31/71 .∠ABE+∠HCF=115°，即∠ABE+∠DCF=115°， 故答案为：115. D 3.已知：如图，AB//CD:∠BFE=∠FEC. 求证：∠ABF=∠DCE. A B E D 【解答】证明：连接BC B >E D :∠BFE=∠FEC, :BF//CE. ·∠FBC=∠ECB, AB//CD. ·∠ABC=∠DCB, ·∠ABC-∠FBC=∠DCB-∠ECB,即∠ABF=∠DCE 4.如图①，已知AB/CD:BP、DP分别平分∠ABD∠BDC 32/71 图① 图② (1)∠BPD= (②)如图②，将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条 件不变，若∠BED=150°，求∠BPD的度数：并进一步猜想∠BPD与∠BED之 间的数量关系 【解答】解：(1)：AB//CD, ÷∠ABD+∠BDC=∠180°， :BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC, ·∠PBD+∠PDB=90°， ÷∠BPD=180°-90°=90°. 故答案为：90： (2)连接BD, :∠BED=150°， ·∠EBD+∠EDB=30°， AB//CD. ·∠ABD+∠CDB=180°， :BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC, ÷∠PBE=∠ABE,∠PDE=青LCDE, ∠PBE+∠PDE=(180°-30)=75°， ÷∠BPD=180°-∠PBE-PDE-∠EBD-∠EDB=75°. 猜想：∠BPD=专LBED. 5.已知，直线AB‖CD,∠EFG=90°. 33/71 M D G (G 图1 图2 (1)如图1，点F在AB上，FG与CD交于点N,若∠EFB=71°，则∠FNC=- (2)如图2，点F在AB与CD之间，EF与AB交于点M,FG与CD交于点N,且 ∠AMF的平分线MH与∠CNF的平分线NH交于点H. ①若∠EMB=0,求∠FNC(用含8的式子表示)： ②求∠MHN的度数 【解答】(1)解：：∠EFG=90°，∠EFB=71°， ·∠BFD=90°-71°=19°， ABII CD, :∠FNC=∠BFD=19°， 故答案为：19； (2)解：①如图，过F作FP‖AB,连接EG, D G 图1 ABII CD, ·ABI CDI FP, ·∠MFP=∠EMB=O, :∠EFG=90°， .∠PFN=90°-0， FPICD, .∠FNC=∠PFN=90°-0： ②如图，过F作FQ‖AB, 34/71 E M B H -D 图2 ABII CD, ÷ABII CDI FQ, ·∠MFQ=∠AMF,∠QFN=∠CNF, .∠AMF+∠CNF=∠MFQ+∠QFN=∠EFG=90°， 过H作HRIl AB, ABI CD, ABI‖CDI HR ·∠AMH=∠MHR,∠HNC=∠NHR, :MH平分∠AMF,NH平分∠CNF, ·∠AMH=∠AMF,∠HNC=∠CNF, ·∠MHN=∠MHR+∠NHR=∠AMH+∠HNC=(∠AMF+∠CNF)=克×90°=45°. 题型⑦》平行线中常见辅助线一一延长线段使相交 1.如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D,∠B=∠D,EFIHC,连FH交 AD于G,∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG,使 ∠CKG=∠CGK,在∠AGK内部有射线GM,GM平分∠FGC.则下列结论：① AD‖BC;②GK平分∠AGC;③∠FGA=42°；④∠MGK=21°，其中正确结 论的个数有() G M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 35/71 【解答】：∠EAD=∠D,∠B=∠D, ,∠EAD=∠B, ·AD IBC,故①正确： ∴.LAGK=∠CKG ,'ㄥCKG=∠CGK, ∴.∠AGK=∠CGK, .GK平分∠AGC:故②正确： 延长EF交AD于P,延长CH交AD于Q, G B .EF ICH, .∠EPQ=∠CQP, ,∠EPQ=∠E+∠EAG, .∠CQG=∠E+∠EAG, .AD I BC, ∴.∠HCK+∠CQG=180°， .∠E+∠EAG+∠HCK=180°； ,∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴.90°-∠FGA-∠DGH=16°， ·∠FGA=∠DGH, .90°-2∠FGA=16°， ∴∠FGA=∠DGH=37°，故③错误； 设∠AGM=a,∠MGK=B, ∴.∠AGK=+B, ,GK平分∠AGC, ·∠CGK=∠AGK=a+B, 36/71 GM平分LFGC, ,∠FGM=∠CGM, ∴.∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK, ∴.37。+a=B++B, .β=18.5°， ∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：B 2.如图，ABCD,将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下 列结论：①GEMP,②∠EFN=135°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN.其中正 确的结论有 (写出所有正确结论的序号). B C M D 【解答】解：由题意得： ∠GEF=60°，∠GFE=30°，∠EGF=90°=∠MPV,∠PMN∠PNMF45°， ∴.∠MPG∠EGP-90°， .EGIIPM,故①符合题意； .∠EFG30°， .∠EFN180°-30°=150°，故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K, M D .'ABlICD, .∠GKE=∠PNF45°， 37/71 .∠KEG-90°-45°=45°， ∴.∠BEF=180°-45°-60°=75°，∠AEG∠PMN45°，故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④. 3.问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图(1)是一个 “互”字，如图(2)是由图(1)抽象的几何图形，其中ABII CD,MGIFN.点 E,M,F在同一直线上，点G,N,H在同一直线上，且∠EFN=∠G A E 互 图(1) 图(2) (1)EF与GH平行吗？理由是什么？ (2)求证：∠AEF=∠GHD(提示：延长EF交CD于点P) 【解答】(1)答：平行； MGIFN, ·∠EFN=∠EMG, :∠EFN=∠G, .∠G=∠EMG ÷EF GH; (2)延长EF交CD于点P, B M F H D 图(2) ABIl CD, ·∠BEF+∠MPH=180°， EP GH, 38/71 :∠GHP+∠MPH=180°， ·∠BEF=∠GHP, :∠BEF=180°-∠AEF,∠GHP=180°-∠GHD, ·∠AEF=∠GHD: 4.如图1，ABIICD,点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且 ∠E0F=80°. B B 图1 图2 图3 (1)求∠BEO+∠OFD的值； (2)如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N,直接写出 ∠EMN-∠FNM的值； (3)如图3，EG在∠AE0内，∠AEG=mzOEG;FH在∠DFO内， ∠DFH=m∠OFH,直线MN分别交EG、FH分别于点M、N,且 ∠FMN-∠ENM=80°，直接写出m的值. 【解答】(1)解：如图1，过点0作OTAB, ABIICD, :ABIOTICD, .∠BE0+∠E0T=180°，∠TOF+∠0FD=180°， ÷∠BE0=180°-∠E0T,∠0FD=180°-∠T0F, :∠EOT+∠TOF=∠EOF,∠EOF=80°， ·∠BE0+∠OFD=180°-∠E0T+180°-∠T0F=360°-∠E0F=280°. 39/71 D 图1 (2)解：如图2，过点M作MKIAB,过点N作NICD, ABICD, ABIMKIINIIICD, ÷∠BEM=∠EMK,∠KMN=∠MNI,∠INF=∠NFC, ·∠EMN-∠FNM=∠EMK+∠KMN-(∠MNI+∠INF)=∠EMK-∠INF, EM平分∠BEO,NF平分∠OFC, ∠EMK=∠BEM=÷∠BEO, INF=∠NFC=∠CF0=(180°-∠OFD), 又由(1)得∠BE0+∠0FD=280°， ·∠EMN-∠FNM=∠BE0-(180°-∠OFD) =(∠BE0+∠0FD)-180] =(280°-180) =50°. A ⊙ K.-- D 图2 (3)解：如图3，设直线FH交AB于点H,FH与GE相交于点P, ABICD, ÷∠AHF=∠DFH, '∠AHF=∠EPH+∠PEH=∠EPH+∠AEG, ·∠DFH=∠EPH+∠AEG, 40/71 '∠EPH=∠NPM=∠FMN-∠ENM=80°， ·∠DFH=80°+∠AEG, 即∠DFH-∠AEG=80°， ∠AEG=mOEG,FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH, ·∠CF0=180°-∠0FH-∠DFH=180°-击∠DFH-∠DFH=180°-(1+)∠DFH, ·∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+六∠AEG=(1+)∠AEG, '∠BE0+∠OFD=280°， ·∠AE0+∠CF0=180°-∠BE0+180°-∠0FD=360°-（∠BE0+∠0FD)=80°， (1+)∠AEG+180°-(1+)∠DFH=(1+品X∠AEG-∠DFH)+180°-80°， 即(1+)（∠DFH-∠AEG=100°， (1+)×80°=100°， 解得m=4 E. B H N 09 C D 图3 5.如图1，ABIICD,点E为直线AB,CD外一点. B D 图1 图2 图3 (1)若AE1AB,∠C=65°，求出∠E的度数. (2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE,EF,若CE⊥CD,EF平分∠AEC, ∠B=∠AEB,求∠BEF的度数： 41/71 (3)如图3，在(2)的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE,交EC的延长线于点G ,延长EF交CD于点H,过点F作FIlBE交CD于点I.当FH平分∠IFG时，请直 接写出∠CHF的度数。 【解答】(I)解：延长BA交CE于点M, 图1 ,'ABI CD,∠C=65 LAME=∠C=65 又AE⊥AB, ∴.∠EAM=90 ∴.∠E=90°-∠AME=25°； (2)如图，过点E作ENI‖IAB, --N D 图2 ∠B=∠NEB, ,∠B=LAEB, ∴.∠NEB=∠AEB, .EN IIAB,ABII CD, .EN I CD, ,CE⊥CD ∠ECD=90°， .∠CEN=180°-∠ECD=180°-90°=90°， ,EF平分∠AEC, 42/71 ·∠AEF=∠FEC ∴.∠BEF=∠AEF+∠AEB=(AEC+∠AEN)=∠CEN=45°； (3):∠CHF=∠IFH+∠HIF,∠IFH专∠IFG, ∴.∠CHF=号∠IFG+∠HIF, .'ABII CD,FI Il BE., ∴.∠HIF=∠BFI=∠B, ∴.∠IFG=∠BFG-∠B, ∴.∠CHF=号∠IFG+∠HIF=(∠BFG-∠B)+∠B=号∠BFG+片∠B ,∠BFG=∠BFE, ·∠CHF=克∠BFE+克∠B F号(180°-∠BEF-∠B)+片∠B 克(180°-45°-∠B)克∠B =67.5 .∠CHF=67.5°. 题型8》平行线中常见辅助线—其他 1.问题情境：如图1，ABICD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的 度数. A B D D E D 图1 图2 图3 图4 M M M /D 图5 备用图1 备用图2 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE Il AB,通过平行线性质，可分别求出∠APE、 43/71 ∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可 求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角 形外角的相关知识可求出∠APC的度数， 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得 的∠APC的度数为】 问题迁移： (1)如图5，ADIBC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时， ∠ADP=∠，∠BCP=∠B.∠CPD、∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由； (2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O 三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠、∠间的数量关系. 【解答】解：小明的思路：如图2，过P作PE‖AB, B D 图2 ABIICD, .PE Il AB II CD, .∠APE=180°-∠A=50°，∠CPE=180°-∠C=60°， .∠APC=50°+60°=110°， 故答案为：110： (1)∠CPD=∠a+∠B,理由如下： 如图5，过P作PEAD交CD于E, ADIBC, .ADPEBC, ∴∠a=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴.∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠B; 44/71 E 图5 (2)当P在BA延长线时，∠CPD=∠B-∠； 理由：如图6，过P作PEAD交CD于E, .ADIIBC, ..ADIIPEBC, ∴.∠a=∠DPE,∠B=∠CPE, ∴.∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠； M B B E D 图6 当P在BO之间时，∠CPD=∠a-∠β. 理由：如图T,过P作PEIAD交CD于E, M B N D C E 图7 .ADIIBC, .ADPEBC, ∴∠a=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴.∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠Q-∠B. 2.如图，直线m‖n,直线PQ和直线m、n分别交于C、D两点，点A、B分别在直线 45/71 m、n上，点O在直线PQ上，连接OA,OB. P P m D D B B 图1 图2 (1)猜想：如图1，若点0在线段PQ上，∠0AC=25°，∠0BD=30°，则 ∠AOB= (2)探究：如图1，若点0在线段PQ上，写出∠AOB,∠OAC,∠0BD之间的数 量关系并说明理由； (3)拓展：如图2，若点O在射线CP上或在射线DQ上时，写出∠AOB,∠OAC, ∠OBD之间的数量关系并说明理由. 【解答】(1)解：如图所示，过点0作OE‖m, D '.mlln .'.mll nll OE, ∴·∠A0E=∠0AC=25°，∠B0E=∠0BD=30°， .∠A0B=∠A0E+∠B0E=∠0AC+∠0BD=25°+30°=55°， 故答案为：55°. (2)解：∠AOB=∠OAC+∠OBD,理由如下： 如图1，过点0作0Em, 46/71 P C A -m -------E D B 图1 '.'mlln .'.mll nll OE, ∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD, ∴.∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD,即∠AOB=∠OAC+∠OBD. (3)解：∠AOB=∠OBD-∠OAC或∠AOB=∠OAC-∠OBD,理由如下： ①如图2，当点0在射线CP上时，过点0作OEIm, E O 图2 '.mlln .'mll nll OE, .∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD, .∠AOB=∠BOE-∠AOE=∠OBD-∠OAC,即∠AOB=∠OBD-∠OAC: ②如图3，当点0在射线DQ上时，过点0作OEIm, P C m D 2---…E 图3 '.mlln 47/71 ∴.mllnl OE, .∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD, ·∠AOB=∠AOE-∠BOE=∠OAC-∠OBD,即∠AOB=∠OAC-∠OBD: 综上所述，∠AOB=∠OBD-∠OAC或LAOB=∠OAC-∠OBD. 3.如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，ADIIBE A E E B 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与 ∠AQB的数量关系； (3)如图③，在(2)的前提下，且有ACIIQB,直线AQ、BC交于点P, QP⊥PB,直接写出∠DAC:∠ACB:∠CBE= 【解答】(1)在图①中，过点C作CFAD,则CFIBE. D F 图① .CFILADIBE, ∴.∠ACF=∠A,∠BCF+∠B=180°， ∠ACB+∠B-∠A=∠ACF+∠BCF+∠B-∠A=∠A+180°-∠A=180°. (2)在图2中，过点Q作QMIAD,则QMIBE. 48/71 29 E .QMIAD ,QMIIBE, .∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ ,AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE, .∠NAD=∠CAD,∠EBQ=∠CBE, .∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD): ,∠C=180°-（∠CBE-∠CAD)=180-2∠AQB, ∴.2∠AQB+∠C=180°. (3).ACIIQB, ∴∠AQB=∠CAP=∠CAD,∠ACP=∠PBQ=∠CBE, ∴.∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE. ,'2∠AQB+∠ACB=180°， .∠CAD=克∠CBE. 又，QP⊥PB, .∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°， ∴.∠CAD=60°，∠CBE=120°， ∴.∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD)=120°， ∠DAC:∠ACB:∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2，故答案为：122. 4.已知，AB∥CD,点E在CD上，点G,F在AB上，点H在AB,CD之间，连接FE ,EH,HG,∠AGH=∠FED,FE⊥HB,垂足为E. (1)如图1，求证：HG⊥HE: (2)如图2，GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证：∠GE=2 49/71 ∠GME: B H E 图3 (3)如图3，在(2)的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH =13:5,求∠HBD的度数. AF G B A F C D C D E D 图1 图2 图3 【解答】证明：(1)，AB∥CD, .∠AFE=∠FED, ,∠AGH=∠FED, ∴，∠AFE=∠AGH, .∴.EF∥GH, ∴.∠FE∠H=180°， ,FE⊥HE, .∠FEH=90°， ∴.∠H=180°-∠FEH=90°， ∴.HG⊥HE: (2)过点M作MQ∥AB, R G B H ->M 图3 ,AB∥CD, 50/71 ∴.MQ∥CD, 过点H作P∥AB, ,AB∥CD, ∴.HP∥CD, .GW平分∠HGB, ∴.∠BGM=∠HGM=∠BGH, ,EM平分∠HED, ∴∠HEM=∠DEM=支∠HED, .MQ∥AB, .∠BGM=∠GMQ, ,MQ∥CD, ∴.∠QME=∠MED, ∴.∠GME=∠GMQ+∠QME=∠BGM+∠MED, ,P∥AB, ∴.∠BGH=∠GHHP=2∠BGM, ,'HP∥CD, ∴.∠PHE=∠HED=2∠MED, ∴.∠GHE=∠GHP+∠PHE=2∠BGM2∠MED=2(∠BGM∠MED), .∠GHB=∠2GME: (3)过点M作MQ∥AB,过点H作HP∥AB, G D 图3 由∠KFE:∠MGH=13:5,设∠KFE=13x,∠MGH=5x, 由(2)可知：∠BGH=2∠MGH=10x, ,∠AFE+∠BFE=180°， 51/71 .∠AFE=180°-10x, ,FK平分∠AFE, ∴.∠AFK=∠KFE=克∠AFE, 即2(180°-10x=13x, 解得：X=5°， ∴.∠BGH=10x=50°， ,HP∥AB,HP∥CD, ∴.∠BGH=∠GHP=50°，∠PHE=∠HED, .∠GE=90°， .∠PHE=∠GHE-∠GP=90°-50°=40°， .∠HED=40°. 5.如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD,∠C=∠D. -H G 一H G H D B B 图1 图2 图3 (1)求证：GH//MN;(提示：可延长AC交MN于点P进行证明) (2)如图2，AE平分∠GAC,DE平分∠BDC,若∠AED=∠GAC,求∠GAC与 ∠ACD之间的数量关系： (3)在(2)的条件下，如图3，BF平分∠DBM,点K在射线BF上， ∠KAG=专∠GAC,若∠AKB=∠ACD,直接写出∠GAC的度数. 【解答】解：(1)如图1，延长AC交MN于点P, G H M P B N 图1 52/71 ∠ACD=∠C, ∴AP//BD, ∴∠NBD=∠NPA, ,∠GAC=∠NBD, .∠GAC=∠NPA, ∴.GH//MN; (2)延长AC交MN于点P,交DE于点Q, G 一H E /0 D M P B 图2 ,'∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°， ∴.∠AQD=∠E+∠EAQ, AP/BD. ∠AQD=∠BDQ, ∴.∠BDQ=∠E+∠EAQ, :AE平分∠GAC,DE平分∠BDC, ∴.∠GAC=2∠EAQ,∠CDB=2∠BDQ, ∴.∠CDB=2∠E+∠GAC, :∠AED=∠GAC,∠ACD=LCDB, ∴.∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC: (3)当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I, G H B 图3 53/71 GH /MN, ∴AIB=∠FBM, 'BF平分∠MBD, .∠DBF=∠FBM=(180°-∠DBN), ∴∠AIB=∠DBF, :∠AIB+∠KAG=∠AKB,∠AKB=∠ACD, ·∠ACD=∠DBF+∠KAG :∠KAG=青∠GAC,∠GAC=∠NBD, ∴.青∠GAC+(180°-∠DBN=∠ACD=3∠GAC, 即3∠GAC+90°-∠GAC=3∠GAC, 解得：∠GAC=(甜)： 当K在直线GH上方时，如图，同理可证得 ∠AIB=180°-∠DBN)=∠AKB+∠KAG, G H D B 图3 则有3∠GAC+号∠GAC=(180°-∠GAC), 解得：∠GAC=(罗)八： 综上， 故答案为（智）或（罂）。 山必 一、单选题 1.(25-26七年级下.全国.单元测试)如图，AB‖CD,M为平行线之间一点，连接AM, 54/71 CM,N为AB上方一点，连接AN,CN,E为NA延长线上一点.若AM,CM分别平分 ∠BAE,∠DCN,则∠M与∠N的数量关系为() .N A A.∠M-∠C=90 B.2∠M-∠N=180o C.∠M+∠N=180 D.∠M+2∠N=180 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出 ∠M与∠N的数量关系， 【详解】解：如图，过点M作MO‖AB,过点N作NP‖AB. P.- 0------ :AB‖CD, MO‖AB II CD II NP, ∠AM0=∠1，∠OMC=∠MCD :AM,CM分别平分∠BAE,∠DCN, ∠BAE=2∠1，∠NCD=2∠2，∠2=∠MCD, ∠AMC=∠1+∠2 CD NP, .∠PNC=∠NCD=2∠2， ∠CNE=2∠2-∠3， :NP‖AB, .∠3=∠NAB=180°-2∠1， ∠CNE=2∠2-(180°-2∠1)=2（∠1+∠2）-180°=2∠AMC-180°， ∴2∠AMC-∠CNE=180°. 故选：B 【点晴】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转 化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系 55/71 二、填空题 2.(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，已知AB‖CD,点F、G分别在AB、CD上， 点E在AB、CD之间，连结EF、EG,FQ平分∠BFE,GH平分∠CGE且交FQ的反向延 长线于点H,交AB于点P,∠BFE=70°，∠DGE=40°，给出下面四个结论： ①∠DGH=110°；②EFI‖GH;③∠HFE=∠E;④∠H=∠AFH. 上述结论中，正确结论的序号有」 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟 练运用这些知识点是解题的关键， 由补角的性质以及角平分线的性质，计算∠HGE的度数，得出∠DGH的度数，判断结论①： 由平行的性质得出∠GPB=∠CGH=70°，结合∠GPB=∠BFE=70°，可证EF‖GH ，判断结论②；分别计算出∠HFE与∠E的度数，判断结论③；由EF‖GH与FQ平分 ∠BFE,结合对顶角相等，找出等量关系，可证∠H=∠AFH,判断结论④. 【详解】解：：∠DGE=40°， ∠CGE=180°-∠DGE=140°， :GH平分∠CGE, ,∠CGH=∠HGE=专∠CGE=70°， ∠DGH=∠HGE+∠DGE=110°， 故结论①正确； ABII CD, ∠GPB=∠CGH=70°， :∠GPB=∠BFE=70o, :EFI GH, 故结论②正确； :EFGH,∠HGE=70°， 56/71 ∴∠E=180°-∠HGE=110°， :∠BFE=70°，FQ平分∠BFE, .∠EFQ=∠BFQ=∠BFE=35°， :∠HFE=180°-∠EFQ=145°+∠E, 故结论③错误； EF GH, ∴∠H=∠EFQ=∠BFQ, :∠BFQ=∠AFH, ∠H=∠AFH, 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④. 三、解答题 3.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图1，已知AB‖CD,直线AB与CD之间有一点P(点 P在直线AC的右侧)，连接AP,CP. B 图1 图2 图3 (1)若∠A=40°，∠C=29°，则∠APC的度数为-： (2)探究∠A∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 3)已知ABII CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P1均在直线MN的右侧，连接 MP,NP,MPNP,且MP1平分∠BMP, ①如图2，若点P,P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP,且∠MPN=100°，求 ∠MPN的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠PNP.设 ∠BMP1=a,且0°<《<90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含a的代数式 表示). 57/71 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键 (1)过点P作PQ川AB,则PQIlCD,可知∠APQ=∠A=40°，∠CPQ=∠C=29°， 即可求出∠APC的度数； (2)过点P作PQ‖AB,则PQIlCD,可知∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C,进而可知 ∠A∠APC与∠C之间的数量关系： (3)①由(2)得∠MPN=∠BMP+∠DNP,由角平分线可知∠BMP1=专∠BMP, ∠DNP1=克∠DNP,同(2)可得∠MP1N=∠BMP1+∠DNP1,计算即可： ②如图，过点P作PS‖AB,则有∠BMP=∠MPS,由角平分线可知 ∠BMP=∠MPS=2a,∠PND=∠DNP,同(2)可得 ∠MP1N=∠BMP1十∠PND=a十∠DNP,根据平行线的判定和性质得到 ∠DNP=∠NPS,进而计算即可. 【详解】(1)解：如图1，过点P作PQ川AB, B 图1 ·PQIlCD ÷∠APQ=∠A=40°，∠CPQ=∠C=29° ÷∠APC=∠APQ+∠CPQ=40°+29°=69° 故答案为：69°； (2)解：∠APC=∠A十∠C;理由如下： 如图1，过点P作PQ‖AB, A B C D 图1 PQIl CD ÷∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C, :∠APC=∠APQ+∠CPQ ·∠APC=∠A+∠C: 58/71 (3)解：①由(2)得∠MPN=∠BMP+∠DNP. :MP平分∠BMP,NP:平分∠DNP ·∠BMP1=∠BMP,∠DNP1=∠DNP 同(2)可得∠MP1N=∠BMP1+∠DNP1 =克∠BMP+克∠DNP =(LBMP+∠DNP) =∠MPN=50°； ②∠MP1N+∠MPN=3a.理由如下： 如图，过点P作PS‖AB,则有∠BMP=∠MPS -B C 8-----------p :MP1平分∠BMP, ÷∠BMP=2∠BMP1=2 s∠MPS=2a. :ND平分∠PNP, ·∠PND=∠DNP 同(2)可得∠MP1N=∠BMP1+∠P1ND=&+∠DNP, ABII CD, :PS CD, :∠DNP=∠NPS, .∠MPN=∠MPS-∠NPS=2a-∠DNP .∠MP1N+∠MPN=a+∠DNP+2a-∠DNP=3a. 4.（25-26七年级上·四川乐山期末)综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线 具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”. 59/71 图1 图2 图3 (1)阅读理解：如图，ABCD,点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点， 猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由.阅读并补充下面推理过程： 解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 过点P作MNAB, ∠AEP=∠EPN,( ABIICD, :MN CD, ∴∠CFP=∠FPN, ∴.∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP ∠EPF=∠AEP+∠CFP. (2)方法运用：如图，ABIICD,猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由： 3)深化拓展：如图，ABIICD、∠CFP的角平分线相交于点Q, ①若∠AEG=青∠AEQ,∠CFG=青∠CFQ,∠EPF=108°，求∠G的度数： ②若∠AEG=帝∠AEQ,∠CFG=声∠CFQ,∠EPF=n°，请直接写出∠G的度数.（用 含m、n的代数式表示) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键 (1)根据平行线的性质与判定条件结合己给推理过程求解即可； (2)同理可得∠EPF=∠BEP+∠DFP,由平角的定义可得 ∠AEP十∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°，则∠AEP十∠CFP+∠EPF=360°； (3)①根据(2)的结论得到∠AEP+∠CFP=276·,再由角平分线的定义和角之间的 关系得到∠AEG=言∠AEP,∠CFG=言∠CFP,则 ∠G=∠AEG+∠CPG=若∠AEP+言∠CFP=46°；②仿照①求解即可. 【详解】(1)解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 如图， 60/71 -B M--- ---N 过点P作MNAB, ∠AEP=∠EPN(两直线平行，内错角相等)， ABICD, .MN‖CD(平行于同一直线的两直线平行)， ∠CFP=∠FPN, ∴∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP(等量代换) ∴∠EPF=∠AEP+∠CFP. 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；等量代换. (2)解：猜想∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°，理由如下： 同理可得∠EPF=∠BEP十∠DFP, :∠AEP+∠BEP=180°，∠CFP+∠DFP=180°， ·∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°， ∠AEP+∠CFP+∠EPF=360o: (3)解：①同理可得∠AEP+∠CFP十∠EPF=360°， “∠EPF=108°， ∠AEP+∠CFP=252°， :∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q, :∠AEQ=3∠AEP,∠CFQ=青LCFP, :∠AEG=青∠AEQ,∠CPG=青∠CFQ, :∠AEG=若∠AEP,LCFG=若∠CFP, ∴∠G=∠AEG+∠CFG=言∠AEP+言∠CFP=吉（∠AEP+∠CPP)=42°； ②如图 61/71 D :∠EPF=n°，∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°， ∠AEP十∠CFP=360°-n°， :∠ABP与∠CFP的角平分线相交于点Q, :∠AEQ=∠AEP,∠CFQ=∠CFP, :∠AEG=声∠AEQ,∠CFG=声∠CFQ, :∠AEG=益∠AEP，,LCFG=益∠CFP, ∠G=LABG+∠CPG=品LAEP+六∠CPP=6Y 2m 5.(25-26八年级上山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB‖CD, ∠BEP=140°，∠PFC=50°，则∠EPF的度数为 (2)问题迁移：如图(2)，若AB‖CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、 ∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由 (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，己知∠EPF=心°，∠PFC=B°， ∠PEA的角平分线和∠PFC的平分线交于点G,则∠G= _°（用含有《、B的代 数式表示). 图(1) 图(2) 图(3) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判 定是解题的关键， (1)过点P作PMAB,根据平行线的性质与判定可求解： (2)过P点作PNIAB,则PNICD,可得∠FPN=∠PEA+∠FPE,进而可得 ∠PFC=∠PEA十∠FPE,即可求解； (3)过点G作AB的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可 62/71 【详解】解：(1)如图1，过点P作PMILAB AB IICD, ABIIP MIICD, :∠BEP=140°， ·∠1=∠AEP=180°-∠BEP=40°，∠2=∠PFC=50°. ·∠EPF=∠1+∠2=40°+50°=90°， 故答案为：90 E B --M 2 C F D 图1 (2)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下： 如图2，过P点作PNAB, AB ICD, ÷ABIINPICD, ·∠PEA=NPE,∠FPN=∠PFC, :∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF: --…N E C F D 图2 (3)如图3，过点G作AB的平行线GH,∠EPF=x°∠PFC=Bo G ----------------·/ B 图3 :GH‖AB,ABICD, GHILABIICD, ·∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG, 63/71 又：∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,∠PFC=B°， ·∠HGE=∠AEG=吉∠PEA,∠HGF=∠CPG=克∠PFC=B°， 由(2)得，∠PFC=∠PEA+∠EPF=∠PEA十a°， :∠PEA=∠PFC-∠EPF=B°-°， :LHGE=克LPEA=B·-a°， ：∠EGF=∠HGF-∠HGE=B°-B°+a°=a°. 故答案为：a. 6.(24-25七年级上福建泉州期末)已知AB‖CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点M 在AB、CD之间，连接ME、MF,∠EMF=. E A M F 图1 图2 图3 (1)如图1，若《=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； (2)如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF,NF与ME交于点G, ∠MEB=青∠MEN,∠MFN=青∠DFN,∠DFM=20°，求∠ENF的度数；（结果可 用含α的式子表示) 3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF,若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线， EN平分∠AEM交FP于点G,2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数. 【分析】(1)过点M作MNI|AB,得到MN‖AB‖CD,根据平行线的性质和角的和差关 系进行求解即可； (2)过点N作NHIAB,则：NH‖AB‖CD,根据平行线的性质和角的和差关系进行求 解即可； (3)过点N作NK‖CD,得到NK‖AB‖CD,利用平行线的性质结合角的和差和数量关 系，分2种情况讨论求解即可。 【详解】(1)解：过点M作MN‖AB, 64/71 A B M D ABII CD, .MNI‖AB II CD, ∴∠BEM=∠NME,∠DFM=∠NMF, ·,∠BEM+∠DFM=∠NME+∠NMF=∠EMF=a: u=80°， ∴∠BEM+∠DFM=80o; (2)解：过点N作NH‖AB, H---- C D ABII CD, NHAB‖CD, ∠HNF=∠DFN,∠HNE=∠NEB, 由(1)知：∠BEM+∠DFM=, :∠DFM=20°， ∴∠BEM=a-20o, '∠MEB=∠MEN,∠MFN=S∠DFN, .∠NEB=∠NEM-∠MEB=2∠MEB=2(a-20°)， ∠DFM=∠DFN-∠MFN=∠DFN, :∠DFN=∠DFM=30°， :∠HNF=∠DFN=30°，∠HNE=∠NEB=2(a-20°)， ∠ENF=∠HNF-∠HNE=30°-2(a-20°)=70°-2a: (3)解：过点N作NKCD, 65/71 E A B M D G ABII CD, :NK ABII CD, ·∠KNE=∠AEN,∠KNF=∠CFN, :EN平分∠AEM, :∠AEN=∠MEN=支(180°-∠BEM), :FP是∠CFN的三等分线，分两种情况： ①当∠CFP=青∠CFN时，如图所示： E A- >M G ◇ :∠CFP=∠DFM, .∠CFN=3∠DFM, :∠ENF=∠ENK-∠FNK, :∠ENF=∠AEN-∠CFN=90·-∠BEM-3∠DFM, :2∠ENF+∠EMF=110°， 又由(1)知：∠EMF=∠BEM十∠DFM, :2(90°-∠BEM-3∠DFM)+∠BEM+∠DFM=110°， ∴∠DFM=14°， .∠CFN=3∠DFM=42°； ②当∠CFP=号∠CFN时，如图所示 66/71 :∠CFP=∠DFM, :∠CPN=∠DFM, :∠ENF=∠ENK-∠FNK, :∠ENF=∠AEN-∠CFN=90·-3∠BEM-∠DFM, :2∠ENF+∠EMF=110·,∠EMF=∠BEM+∠DFM, :2(90°-克∠BEM-3∠DFM)+∠BEM+∠DFM=110°， ∠DFM=35°， :∠CFN=∠DFM=52.5°； 综上：∠CFN=52.5°或∠CFN=42°. 【点晴】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点 构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键。 7.(25-26八年级上广东深圳期末)如图1，AB‖CD,∠PAB=130°， ∠PCD=120°，求∠APC的度数. M D 图1 图2 备用图 小明的思路是：过P作PE‖CD,通过平行线性质来求∠APC (1)按小明的思路，求∠APC的度数； (问题迁移) (2)如图2，ABI‖CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=心，∠PCD=B,当点P在 B,D两点之间运动时，问∠APC与C,B之间有何数量关系？请说明理由： 67/71 (问题应用) (3)在(2)的条件下，如果点P在B,D两点外侧运动时（点P与点O,B,D三点不重合）， 请直接写出∠APC与%，B之间的数量关系（并画出相应的图形）. 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是 道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用， (1)利用平行线的性质，同旁内角互补，求出∠APE,∠CPE度数，利用 ∠APC=∠APE十∠CPE,进行求解即可； (2)过点P作PE‖AB,得PEI‖ABIICD,得到∠APE=《,∠CPE=B,进而得到 ∠APC=x+B: (3)分点P在BD的延长线上和在线段OB上两种情况进行讨论即可。 【详解】(1)解：：PE‖AB,AB‖CD, .PEl AB IICD, ∠APE+∠BAP=180°，∠CPE+∠PCD=180°， :∠PAB=130°，∠PCD=120°， .∠APE=50°，∠CPE=60°， ·∠APC=∠APE+∠CPE=110°； (2)∠APC=a+B, 理由如下：如图2，过点P作PE‖AB, -M 图2 ABIICD, :PEl ABIICD, ∴∠APE=∠PAB=,∠CPE=∠PCD=B, .∠APC=APE+∠CPE=aX+B; (3)如图3所示，当P在线段BD的延长线时，由(2)可知心=∠APE,B=∠CPE, ∠CPA=C-B, 68/71 B D 图3 如图4所示，当P在线段0B上时，由(2)可知a=∠APE,B=∠CPE, ÷∠CPA=B-a. E B D -M 图4 8.(25-26七年级上福建泉州期末)在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行 探究活动。 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 D H 模型抽象 图(2) 图(1) 将一个三角板ABC (∠BAC=90°， 三位同学各测量∠1的度数 ∠B=∠ACB=45°)放在直 相关信息 一次，求得∠1的平均值为 尺DE和FG之间，DEFG, 28°. 并使直角顶点A在直尺DE上， 顶点C在直尺FG上. 69/71 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求图(1)中∠2的度数： (2在图(1)中，当∠1摆成多少度时，才能使∠2=员∠1，并说明理由， 3)在图(2)中，点C在FG上保持不动，当改变直尺DE的位置时（始终保持点A在DE上， DEIFG),若∠DAB与∠FCB的角平分线交于点H,发现点H的位置会随着点A的位置变 化而变化.问：∠AC的度数是否会发生变化？如果不变，求出它的度数；如果改变，请 说明理由。 【分析】(1)利用周角的意义求解即可； (2)先利用周角的意义得出∠2=180°-∠1，再设∠1=x°，则∠2=(180-x)°，得 到关于x的方程求解即可： (3)先利用平行线的性质得出∠5=∠1和∠6=∠4，从而可得 ∠AHC=5+∠6=∠1十∠4，同理∠BAD+∠BCF=∠ABC=45°，再结合角平分线 的意义求解即可. 【详解】(1)解：依题意得：：∠1的平均值为28°. ∠2=360°-∠1-90°-90° =3600-28°-90°-900 =152°； (2)解：如图(1)，：∠1+∠2+90°十90°=360°， ∠2=180°-∠1， 设∠1=x°，则∠2=(180-x°， 若∠2=7∠1， 则180-x=x .x=40°， “当∠1=40°时，∠2=7∠1； (3)解：∠AHC的度数不变，理由如下： 如图(2)，过点H作HIDE, 70/71 G 图(2) 则∠5=∠1， DE FG, :HIlFG, ∠6=∠4， .∠AHC=5+∠6=∠1+∠4， 同理∠BAD+∠BCF=∠ABC=45°， :∠DAB与∠FCB的角平分线交于点H, ∠1=∠2=克∠BAD,∠3=∠4=∠BCF :∠1+∠4=（∠BAD+∠FCB)=22.5°， ∠AHC=22.5°. 【点晴】本题考查了其他问题（一元一次方程的应用），几何图形中角度计算问题，角平分线 的有关计算，根据平行线判定与性质求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用 来求解。 71/71专题02平行线模型和辅助线 o 0 模型名称 图示 结论 B ①猪蹄模型 若AB∥DE,则∠B+∠E=∠BCE. D : ②锯齿模型 若AB∥/DE,则∠B+∠CMN+∠E=∠BCM (猪蹄型进 +∠NMNE. 阶) 左拐角之和=右拐角之和 : D ③铅笔头模型 若AB∥DE,则∠B+∠BCE+∠E=360°. 若AB∥DE,则∠B+∠BMN+∠MNE+∠ ④铅笔头模型 E=540°. 进阶 若AB∥DE,则∠E=∠1-∠3. ⑤臭脚模型 脚尖度数=大角-小角 ⑥骨折模型 若AB∥DE,则∠E=∠3-∠1. 1/32 模型名称 图示 结论 ⑦蛇形模型 若AB∥DE,则∠BCD+∠D-∠B=180° ⑧蛇形模型 若AB∥DE,则∠BCD+∠B-∠D=180° 【题型1：猪蹄模型与锯齿模型… 2】 【题型2：铅笔头模型及进阶 5】 【题型3：臭脚模型与骨折模型… 8】 【题型4：蛇形模型 10】 【题型5：平行线中常见辅助线一一过拐点作平行 13】 【题型6：平行线中常见辅助线一一连接两点 16】 【题型7：平行线中常见辅助线 延长线段使相交19】 【题型8：平行线中常见辅助线一一其他 22】 【题型9：压轴真题… 27】 题型1> 猪蹄模型与锯齿模型 1.如图，直线a‖b,矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为() A A.410 B.51° C.49o D.59 2/32 2.在图中，AB//CD,∠E+∠G与∠B十∠F+∠D又有何关系？ 3.己知直线2，A是11上的一点，B是12上的一点，直线13和直线11， 12交于C和D,直线CD上有一点P. y B (I)如果P点在C,D之间运动时，问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系？ 请说明理由 (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合)，试探索∠PAC, ∠APB,∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 3/32 4.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题， 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线 来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味"的模型“猪蹄模型”.即 已知：如图1，AB引‖CD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE得到∠AEC. 求证：∠AEC=∠A十∠C 小明笔记上写出的证明过程如下： 证明：过点E作EFAB :∠1=∠A 0 ABICD,EFLAB 图1 图2 :EFCD .∠2=∠C ∴∠AEC=∠1+∠2 ∠AEC=∠A+∠C 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题. (1)如图2，若AB‖CD,∠E=60°，求∠B+∠C+∠F 图3 (2)如图3，ABIICD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°，求∠H. 题型2> 铅笔头模型及进阶 4/32 1.如图，两直线AB、CD平行，则∠1十∠2+3+∠4+∠5+∠6=(). B E 30 40G C D A.630 B.720 C.800° D.900° 2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是 动力传输.如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB引‖CD, CG‖EF,∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是 图1 图2 3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪 出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD),则∠BAE十∠AEC十∠ECD= (度)； B B B G M D 图① 图② 图③ 图④ (1)如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAB、∠AEF、∠EF、∠FCD), 则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD= (度)； (2)如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAB、∠AEF、∠EFG、∠FGC ∠GCD),则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= （度)； (3)根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角 的和是」 （度). 4.(1)如图(1)AB‖CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由。 (2)观察图(2)，己知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由， 5/32 (3)观察图(3)和(4)，己知AB‖CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说 明理由。 B E.…分 C D (1) 5.已知AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB,CD之间有 一动点P. 6/32 B B D 9 D 图1 备用图1 E B B C F D 备用图2 备用图3 (1)如图1所示时，试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系？并说明 理由。 (2)除了(1)的结论外，试问∠AEP,∠EPF,∠PFC还可能满足怎样的数量 关系？请画图并证明 (3)当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD, ①若∠EPF=60°，则∠EQF= ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系.（直接写出结论） 题型3》 臭脚模型与骨折模型 1.①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+LC=360°；②如图2，AB∥CD,则∠P=∠A-∠C; 7/32 ③如图3，AB∥CD,则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF 上，则4a-LB+Ly=180°.以上结论正确的个数是() D B c C D 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知AB‖DE,∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= A D E 3.如图，如果AB‖lEF,EF‖CD,则∠1，∠2，∠3的关系式 C D A■ B 4.已知AB/CD,求证：∠B=∠E+∠D A B D 5.己知AM//CN,点B为平面内一点，AB⊥BC于B. 8/32 B D M D E A FM M C N 图1 图2 图3 (1)如图1，点B在两条平行线外，则∠A与∠C之间的数量关系为 (2)点B在两条平行线之间，过点B作BD LAM于点D ①如图2，说明∠ABD=∠C成立的理由； ②如图3，BF平分∠DBC交DM于点E,BE平分∠ABD交DM于点E.若 ∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数. 题型④》蛇形模型 1.已知直线AB‖CD,P为平面内一点，连接PA、PD. 9/32 —B A —B 图1 图2 (1)如图1，己知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若 ∠PAN+克∠PAB=∠APD,求∠AND的度数， 2.如图，己知：点A、C、B不在同一条直线，ADBE 10/32 D E B E 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量 关系 (3)如图③，在(2)的前提下，且有ACIIQB,直线AQ、BC交于点P,QP⊥PB,直接写出 ∠DAC:LACB:∠CBE=, 3.如图，AB‖DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE 11/32 (1)写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B,求∠B的度数； D C E A B 题型5》平行中常见辅助线一一过拐点作平行 1.如图，直线ABCD,在AB上任选一点E,将一直角三角板直角顶点放在E处， 12/32 ∠G=30°，当∠CHF=10°，此时∠AEF的大小是() A E B H Gp A.550 B.650 C.70o D.80o 2.己知ABIICD,点E在AB上，点F在CD上，点Q为射线EF上一点. 香 B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=22°，∠C=35°，则∠AQC= (2)如图2，当点Q在线段EF的延长线上时，请写出∠A、∠C和∠AQC三者之间的数量关系， 并说明理由 (3)如图3，AH平分∠QAB,CH交AH于点H. ①若CH平分∠QCD,求∠AQC和∠AHC的数量关系， ②若∠QCH:∠DCH=1:3,∠HCD=33°，∠AHC=25°，直接写出∠AQC的度数 为 3.如图1，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=∠C. 13/32 D D D 图1 图2 图3 (1)求证：ABIDC; (2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG,∠AEB=2LG,求 证：BG是LEBC的平分线： (3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于 点H,若∠ABE=66°，求∠BHD的度数.（提示：需添加辅助线求解） 4.【阅读探究】如图1，已知AB∥CD,E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行 14/27 0 D 线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EVF的度数. 解：过点M作MN∥AB .AB∥CD .MN∥CD ∴.∠EMN=∠AEM=45° ∠FMN=∠CFM=259 ∴.∠EMF=∠EMN+∠FMN =45°+25°=70 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑” 在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。 【方法运用】如图2，已知直线m∥n,AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在 平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线，PQ为反射光线， 镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA= ∠QPB. (1)由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由. (2)如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间 四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→ O→P…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的 世界.数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数. 题型6平行线中常见辅助线—一连接两点 15/32 1.如图，已知AB/CD,∠AFC=120°，∠EAF=青∠EAB,∠ECF=青∠ECD,则 ∠AEC=() -B E -D A.60° B.80 C.90° D.100° 2.如图，AB‖CD,BE平分∠ABF,∠DCF=∠ECF,己知∠F-∠E=15°，则 ∠ABE十∠DCF=度. 3.已知：如图，AB//CD,∠BFE=∠FEC 求证：∠ABF=∠DCE, A B F >E 16/32 4.如图①已知AB//CD,BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC 。 图① 图② (1)∠BPD=— o; (2)如图②，将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条件不变， 若∠BED=150·,求∠BPD的度数：并进一步猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系. 17/32 5.己知，直线AB‖CD,∠EFG=90°. E M B D -D G G 图1 图2 (1)如图1，点F在AB上，FG与CD交于点N,若∠EFB=71°，则∠FNC=-一 o (2)如图2，点F在AB与CD之间，EF与AB交于点M,FG与CD交于点N,且∠AMF的平 分线MH与∠CNF的平分线NH交于点H. ①若∠EMB=O,求∠FNC(用含6的式子表示)； ②求∠MHN的度数. 18/32 题型⑦》平行线中常见辅助线一一延长线段使相交 1.如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D,∠B=∠D,EFHC,连FH交AD于G ,∠FGA的余角比LDGH大16°，K为线段BC上一点，连CG,使∠CKG=∠CGK,在 ∠AGK内部有射线GM,GM平分∠FGC.则下列结论：①AD‖BC;②GK平分∠AGC: ③∠FGA=42°；④∠MGK=21°.其中正确结论的个数有(） D M C K A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，AB引CD,将一副直角三角板作如下摆放，∠GEP=60°，∠MNP=45°·下列结论： ①GE列MP;②∠EFW=135°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN.其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号). 3.问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图(1)是一个“互”字， 如图(2)是由图(1)抽象的几何图形，其中AB‖CD,MGI FN.点E,M,F在同一直线 上，点G,N,H在同一直线上，且∠EFN=∠G 互 图(1) 图(2) 19/32 (1)EF与GH平行吗？理由是什么？ (2)求证：∠AEF=∠GHD(提示：延长EF交CD于点P) 4.如图1，ABICD,点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且 ∠E0F=80°. M 图1 图2 图3 (1)求∠BE0+∠OFD的值： (2)如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N,直接写出 ∠EMN-∠FNM的值； (3)如图3，EG在∠AE0内，∠AEG=m∠OEG;FH在∠DF0内，∠DFH=m2OFH, 直线MN分别交EG、FH分别于点M、N,且∠FMN-∠ENM=80°，直接写出m的值， 20/32 5.如图1，ABIICD,点E为直线AB,CD外一点. B A B D D 图1 图2 图3 (1)若AE⊥AB,∠C=65°，求出∠E的度数， (2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE,EF,若CE⊥CD,EF平分∠AEC, ∠B=∠AEB,求∠BEF的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE,交EC的延长线于点G,延长EF 交CD于点H,过点F作FIBE交CD于点I.当H平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度 数 21/32 题型8》平行线中常见辅助线一其他 1.问题情境：如图1，AB‖CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数， B B B B D D 图1 图2 图3 图4 M M M B 图5 备用图1 备用图2 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作PE‖AB,通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的 度数，从而可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的 度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相 关知识可求出∠APC的度数。 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的 度数为 问题迁移： (1)如图5，ADIIBC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时， ∠ADP=∠，∠BCP=∠B.∠CPD、∠、∠B之间有何数量关系？请说明理由： (2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）， 请你直接写出∠CPD、∠a、∠间的数量关系 22/32 2.如图，直线m‖n,直线PQ和直线m、n分别交于C、D两点，点A、B分别在直线m、n上， 点0在直线PQ上，连接OA,OB P P m m D 2 D B Q 图1 图2 (1)猜想：如图1，若点0在线段PQ上，∠0AC=25°，∠0BD=30°，则∠A0B= (2)探究：如图1，若点0在线段PQ上，写出∠A0B,∠OAC,∠OBD之间的数量关系并 说明理由； (3)拓展：如图2，若点O在射线CP上或在射线DQ上时，写出∠AOB,∠OAC,∠OBD之 间的数量关系并说明理由， 23/32 3.如图，己知：点A、C、B不在同一条直线，ADIBE D 代 D E E 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数 量关系 (3)如图③，在(2)的前提下，且有ACIIQB,直线AQ、BC交于点P,QP⊥PB,直接 写出∠DAC:∠ACB:∠CBE= 24/32 4.己知，AB∥CD,点E在CD上，点G,F在AB上，点H在AB,CD之间，连接FE,EH,HG, ∠AGH=∠FED,FE⊥HE,垂足为E. (1)如图1，求证：HG⊥E: (2)如图2，GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证：∠GHE=2∠GME: G B - E D 图3 (3)如图3，在(2)的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH=13:5,求 ∠ED的度数 H 图 图3 25/32 5.如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD,∠C=∠D G G E D D D B B 图1 图2 图3 (1)求证：GH//MN;(提示：可延长AC交MN于点P进行证明) (2)如图2，AE平分∠GAC,DE平分∠BDC,若∠AED=∠GAC,求∠GAC与∠ACD之 间的数量关系： (3)在(2)的条件下，如图3，BF平分∠DBM,点K在射线BF上，∠KAG=吉∠GAC ，若∠AKB=∠ACD,直接写出∠GAC的度数. 26/32 一、单选题 1.(25-26七年级下.全国单元测试)如图，AB‖CD,M为平行线之间一点，连接AM, CM,N为AB上方一点，连接AN,CN,E为NA延长线上一点.若AM,CM分别平分 ∠BAE,∠DCN,则∠M与∠N的数量关系为() E A.∠M-∠C=90o B.2∠M-∠N=180o C.∠M+∠N=180o D.∠M+2∠N=180° 二、填空题 2.(25-26七年级上吉林长春.期末)如图，已知AB‖CD,点F、G分别在AB、CD上， 点E在AB、CD之间，连结EF、EG,FQ平分∠BFE,GH平分∠CGE且交FQ的反向延 长线于点H,交AB于点P,∠BFE=70°，∠DGE=40·.给出下面四个结论： ①∠DGH=110°；②EF‖GH;③∠HFE=∠E;④∠H=∠AFH. 上述结论中，正确结论的序号有」 三、解答题 3.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图1，己知AB川CD,直线AB与CD之间有一点P(点 P在直线AC的右侧)，连接AP,CP. 27/32 图1 图2 图3 (1)若∠A=40°，∠C=29°，则∠APC的度数为 (2)探究∠A∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由： 3)已知ABII CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P1均在直线MN的右侧，连接 MP,NP,MP1 NP1,且MP1平分∠BMP. ①如图2，若点P,P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP,且∠MPN=100°，求 ∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP.设 ∠BMP1=a,且0<a<90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含a的代数式 表示). 4.(25-26七年级上四川乐山期末)综合探究在课堂上我们学习了平行线的性质，平行线 具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形” A B A B G M-- --N D 图1 图2 图3 (1)阅读理解：如图，ABCD,点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点， 猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由.阅读并补充下面推理过程： 28/32 解：∠EPF=∠AEP十∠CFP,理由如下： 过点P作MNIAB, ∠AEP=∠EPN,( ABICD, :MN CD, ∠CFP=∠FPN, ∴∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP( ∴∠EPF=∠AEP+∠CFP. (2)方法运用：如图，ABIICD,猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由： 3)深化拓展：如图，ABIICD、∠CFP的角平分线相交于点Q, ①若∠AEG=青∠AEQ,∠CFG=青∠CFQ,∠EPF=108°，求∠G的度数； ②若∠AEG=壳∠AEQ,∠CFG=品∠CFQ,∠EPF=n°，请直接写出∠G的度数.（用 含m、n的代数式表示) 5.(25-26八年级上山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB‖CD, ∠BEP=140°，∠PFC=50°，则∠EPF的度数为 。 (2)问题迁移：如图(2)，若AB‖CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、 ∠EPF之间有什么数量关系？请说明理由。 (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，己知∠EPF=《°，∠PFC=B°， ∠PEA的角平分线和∠PFC的平分线交于点G,则上G= 。(用含有a、B的代 数式表示). 29/32 c 1 图(2) 图(3) 6.(24-25七年级上福建泉州期末)已知AB‖CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点M 在AB、CD之间，连接ME、MF,∠EMF=· M E B -M G F 图1 图2 图3 (1)如图1，若=80°，直接写出∠BEM十∠DFM的度数； (2)如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF,NF与ME交于点G, ∠MEB=青∠MEN,∠MFN=青∠DFN,∠DFM=20°，求∠ENF的度数；（结果可 用含的式子表示) 3)如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF,若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线， EN平分∠AEM交FP于点G,2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数. 30/32 7.(25-26八年级上广东深圳期末)如图1，AB‖CD,∠PAB=130°， ∠PCD=120°，求∠APC的度数. B C -----------E A C D B D B D 图1 图2 备用图 小明的思路是：过P作PE‖CD,通过平行线性质来求∠APC (1)按小明的思路，求∠APC的度数； (问题迁移) (2)如图2，AB‖CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=U,∠PCD=B,当点P在 B,D两点之间运动时，问∠APC与%，B之间有何数量关系？请说明理由； (问题应用) (3)在(2)的条件下，如果点P在B,D两点外侧运动时（点P与点O,B,D三点不重合）， 请直接写出∠APC与C,阝之间的数量关系（并画出相应的图形）. 8.(25-26七年级上·福建泉州期末)在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行 探究活动 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 31/32 D H 模型抽象 图(2) 图(1) 将一个三角板ABC (∠BAC=90°， 三位同学各测量∠1的度数 ∠B=∠ACB=45°)放在直 相关信息 一次，求得∠1的平均值为 尺DE和FG之间，DEIFG, 28°. 并使直角顶点A在直尺DE上， 顶点C在直尺FG上. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求图(1)中∠2的度数： (2)在图(1)中，当∠1摆成多少度时，才能使∠2=∠1，并说明理由； 3)在图(2)中，点C在FG上保持不动，当改变直尺DE的位置时（始终保持点A在DE上， DEIFG),若∠DAB与∠FCB的角平分线交于点H,发现点H的位置会随着点A的位置变 化而变化.问：∠AHC的度数是否会发生变化？如果不变，求出它的度数；如果改变，请 说明理由. 32/32