专题01 相交线与平行线中的几何综合 专题专练【重难点培优：知识梳理+7大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“知识梳理-方法总结-题型突破”构建系统性训练，聚焦平行线判定与性质的综合应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理与方法总结|6种判定方法|归纳平行线判定的定义法、公理推论及角关系（同位角等）、垂直关系法|从基础概念（判定与性质）到系统方法，形成“概念-原理-应用”链条| |重难点题型|8类（含动态问题、压轴真题）|复杂图形转化、角度关系探究、动态问题分类讨论|题型从静态计算到动态探究（平移/旋转/折叠/动点），层层递进，覆盖中考核心考法|

专题01相交线与平行线中的几何综合 /小生必主月大 题型①》 复杂图形中的角度计算与证明 1.将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：① ∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE:④如果∠2=45°，则有 BC∥AD.上述结论中正确的个数是() 373 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：：∠BAC=∠DAE=90°， .∠1+∠2=∠3+∠2=90°， ∠1=∠3，故①正确： :LCAD=∠1+∠2+∠3， ∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=180°，故②正确； 如果∠2=30°，则∠1=90°-∠2=60°=∠E,故AC∥DE,故③正确： 如果∠2=45°，则∠3=90°-∠2=45°=∠B,故BC∥AD,故④正确： 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D 2.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)∠COM的邻补角为 (2)若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由； (3)若∠1=∠B0C,求∠M0D的度数. (1)解：由邻补角的定义可知，∠COM的邻补角有：∠M0D,故答案为：∠MOD: (2)解：ON⊥CD 理由如下： :∠1+∠A0C=90o，∠1=∠2 ÷∠2+∠A0C=90°， 又'∠NOC=∠2+∠A0C 1/86 .∠N0C=90o, ON L CD: (3)解：：OM⊥AB, .∠M0B=∠M0A=90o, :∠B0C=∠1+∠M0B,∠M0B=90°， 又：∠1=LB0C ∠1=（∠1+90°） 4∠1=30°. :∠A0C=90°-30°=60°，∠A0C=∠B0D, &∠B0D=60°， :∠MOD=∠MOB+∠BOD, :∠M0D=90°+60°=150°· 3.如图，已知AP‖DM,点B,C分别是射线AP,DM上的点， ∠D=∠ABC=60°，AM,AN分别平分∠BAC和∠CAD: M (1)求∠MAN的度数； (2)若∠AND=∠ACB,求∠ACB的度数. (1)解：：AP‖DM, B ∠BAD=180°-∠D=120°， 'AM,AN分别平分∠BAC和∠CAD, LCAN=克∠CAD,LCAM=∠BAC, ∠MAN=∠CAN+LCAM=克∠BAC+吉∠CAD=(∠BAC+∠CAD)=∠BAD=60； (2)解：：∠BAD=120°，∠ABC=60°， ∠BAD+∠ABC=180°， AD I BC ∠ACB=∠CAD, ·AP IDM, 2/86 ·∠AND=∠BAN, '∠AND=∠ACB, ∠CAD=∠BAN, ·∠DAN=∠BAC, ∠DAN=∠BAC=∠NAC=青∠BAD=40, ∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80·. 4.已知直线a∥b,点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC,BE平分 ∠ABC,DE平分∠ADC,且BE、DE所在直线交于点E, B B .b -P C D C 图1 图2 备用图 (1)如图1： ①如果∠ABC=100°，∠ADC=60°，那么∠BED的度数为 ②如果设∠ABC=m°，∠ADC=n°，那么∠BED的度数为」 (用含有m、n的式子表示) (2)如图2：①试说明∠ABC+∠ADC=2∠E; ②设线段BE与线段AD的交点为点M,线段DE与线段BC的交点为点N,如果 LABC+∠ADC=90°，那么∠BMD+∠BND的度数为 (1)解：①如下图，过点E作EF∥a, B b :∠ABC=100°，BE平分∠ABC, ∠4BE=∠ABC=x100°=50°， 1 2 2 EF∥a, .∠BEF=180°-∠ABE=130°， 3/86 :∠ADC=60°，DE平分∠ADC, ∠c0E-40c=60=0, EF∥a,a∥b, EF∥b, ,∠DEF=∠CDE=30°， .∠BED=∠BEF+∠DEF=130°+30°=160°； ②如下图，过点E作EF∥a, D :∠ABC=m°，BE平分∠ABC, :∠ABE=∠ABC=m°， 1 2 2 :EF∥a, ∠BEF=180°-∠ABE=180°-1 m°， :LADC=n°，DE平分∠ADC, ∠CDE=∠ADC=n°， 1 2 EF∥a,a∥b, .EF∥b, 1 ÷∠DEF=LCDE=21, ∠BED=∠BEF+∠DEF=180P-m+5r, 1 故答案为：①160°；②180°-1 (2)①证明：如下图，过点E作EF∥a, D 4/86 :BE平分∠ABC, ∠ABE= ∠ABC, 2 :EF∥a, :∠BEF=∠ABE=∠ABC, :DE平分∠ADC, 2CDB日ADC EF∥a,a∥b, ,EF∥b, .∠DEF=∠CDE=5∠ADC, ∠BED=∠BEF+∠DEF=2 (∠ABC+∠ADC), .∠ABC+LADC=2LBED; ②如下图， B M N C :a∥b, .∠BAD=LADC,∠ABC=∠BCD, :BE平分∠ABC, :∠ABE=∠ABC, 2 ÷∠BMD=∠BAD+∠ABE=∠ADC+∠ABC, ”DE平分∠ADC, LCDE-ZADC ∠BND=∠CDE+∠BCD=∠ADC+∠ABC, :∠ABC+∠ADC=90°， ∠BMD+∠BND=∠4DC+A8c+ADC+∠4BC=ABC+∠ADC)-x90e-133 故答案为：135°. 5/86 5.如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点， ∠HAB+∠BCG=∠ABC. A H -D B B B R G G C C 图1 图2 图3 (1)求证：AD∥CE; (2)如图2，作∠BCF=∠BCG,CF与∠BAH的角平分线交于点F.若a+B=40°，求 ∠B+∠F的度数； (3)如图3，CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,BM∥CR,已知LBAH=50°，则∠NBM= (直接写出结果). (1)证明：如图所示，过B点作BM∥HD, A M G E C 图1 .∠HAB=∠ABM, :∠ABM+∠CBM=∠ABC,∠HAB+LBCG=∠ABC，∠HAB=LABM, .∠CBM=∠BCG, .BM∥GE, ∴.BM∥HD∥GE, AD∥CE; (2)解：如图，过B点作BM∥GE,过F点作FN∥HD, 6/86 H D B ------…M G C 图2 则HD∥FN∥BM∥GE, .∠NFC=∠GCF,∠ABM=∠HAB, :LBCF=LBCG,AF是∠BAH的角平分线， LHAF=LBAF=B,∠CBM=∠BCG=a,∠GCF=2a=∠NFC,LHAB=2B=LABM ,LAFN=LHAF=B,∠CBM=∠BCG=a, :∠AFC=∠AFN+NFC,∠ABC=∠ABM+∠CBM, ZAFC=B +2a,ZABC =a+2B ∴.∠ABC+∠AFC=B+2a+a+2B=3B+a=3×40°=120°， 即∠B+∠F的度数为120°； (3)解：：∠HAB+∠BCG=∠ABC, .∠HAB=∠ABC-∠BCG, :BM∥CR, .∠BCR=∠MBC, :CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,∠BCR=∠MBC, ∴.∠BAH=∠ABC-∠BCG=2(∠NBC-∠MBC)=2LNBM, ·∠NBM=∠BAH=250. 2 故答案为：25° 6.如图，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像Σ，称为“∑形BAMCD”. B B M 图1 图2 图3 7/86 (1)如图1，Σ形BAMCD中，若AB∥CD,∠BAM=20，°∠DCM=30°，则∠AMC= O: (2)如图2，连接Σ形BAMCD中B,D两点，过点A作AN∥CD,若∠ABD+∠BDC=I50°， LAMC=a,用a的值表示LBAM+∠MCD的值，并说明理由； B)如图3，已知AB∥CD,EF平分∠AEC,FD平分LEDC,若LCED=2LEFD,求 ∠EFD的度数. (1)解：过点M作MN∥AB,如图所示： B AB∥CD, .MN∥AB∥CD, ∴LAMN=∠BAM=20°，∠CMN=∠DCM=30°， .∠AMC=∠AMN+∠CMN=20°+30°=50°. 故答案为：50； (2)解：过点E作BE∥AN,过点M作MF∥AN,如图所示： :AN∥CD, .BE∥AN∥CD∥MF, .LEBD+∠CDB=180°，即∠EBA+∠ABD+∠CDB=180°. :∠ABD+∠BDC=150°， ∠EBA=180°-150°=30°. :BE∥AN∥CD∥MF, .∠AMF=∠MAN,∠CMF=∠DCM, .∠BAM+∠MCD=∠BAN+∠MAN+∠MCD =∠EBA+∠AMF+∠CMF 8/86 =∠EBA+∠AMC =30°+a; (3)解：过点F作FM∥AB,如图所示： A B -----M 设∠EFD=x,则LCED=2LEFD=2x, :EF平分∠AEC,FD平分∠EDC, ∠4EF=AEC,∠CDF=5∠CDE 2 :AB∥CD, AB∥FM∥CD, ∠EFM=∠4r-4c,∠rM=∠CDF-CDE,AEC=∠EcD, ∠EFM=∠AEF-ABC=BCD. 2 ∠BFD-∠EPM+Dnv-ED+cDE-∠BcD+∠cDE),年 ∠ECD+∠CDE=2∠EFD=2x, :∠ECD+∠CDE+∠CED=180°， .2x+2x=180°， x=45°，即∠EFD=45°. 题型2》 探究角度间的数量关系 1,己知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧. 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CD,，∠BPC=Q时， ①若BO平分∠ABP,CO平分LDCP,则LBOC= 9/86 ②若∠AB0=!∠ABP,∠DC0=!∠DCP,则∠B0C= ； 3 ③若∠AB0=1∠ABP,∠DC0=1∠DCP,则∠B0C= (2)如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的 数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用(2)的结论探究下列问题： ①若BO平分∠ABP,CO平分∠ACP,当LBPC=120°，LB0C=95°时，求∠A的度数； ②若∠AB0=1∠ABP,∠AC0=1∠ACP,当∠BPC=a,∠BOC=B时，求∠A的度数， n (1)解：①分别过点O,P作OE∥AB,PQ∥AB, A B D :AB∥CD, ∴.OE∥PQ∥AB∥CD, ∠ABP=∠BPO,∠DCP=∠CPQ,∠ABO=∠BOE,∠DCO=∠COE, ∴∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC, :∠BPC=a, ·BO平分∠ABP,CO平分∠DCP, ∠AB0=∠PB0=∠ABP,∠DCO=∠PC0=∠DCP, 2 ∴∠BOC=ABP+∠DcP-∠1BP+∠DCP=BPC-号 ②同理①得：∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC, :∠AB0=∠ABP,∠DC0=∠DCP, 3 ∠B0c=48PDcP=4BP+DCP-aPC-号： ③同理①得：∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC, :∠AB0=L∠ABP,∠DC0=1∠DCP, n ∠B0C∠iBP+DcP=∠ABP+2Dcm-BPc-g n n (2)解：∠A+∠B+LC=LBPC,理由如下： 10/86 如图，作射线BF,分别过点P,A,C作PQ∥BF,AG∥BF,CE∥BF, F------ B P69 则PQ∥BF∥AG∥CE, ∴.∠ABF=∠BAG,∠ACE=∠CAG,∠PBF=∠BPQ,∠PCE=∠CPQ, :LBPC=LPBF+∠PCE, :∠PBF=∠ABF+∠ABP,∠PCE=∠ACE+∠ACP, :∠BCP=LABF+∠ABP+∠ACE+LACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP, 即原图中：∠A+∠B+∠C=∠BPC, (3)解：由(2)可得：∠A+∠ABP+LACP=∠BPC=120°， ∠A+∠AB0+∠AC0=∠B0C=95°， :BO平分∠ABP,CO平分∠ACP, ∠AB0=∠OBP=∠ABP,∠AC0=∠0CP=)4 1 ZACP, A+∠ABP+∠ACP=∠B0C=95, :∠A+LABP+∠ACP-∠A+∠ABO+∠ACO=LBPC-∠BOC=25°即 4p24CP=25 ∠ABP+∠ACP=50°， ∠A=LBPC-∠ABP+∠ACP)=70°； ②：∠AB0=L∠ABP,∠AC0=1∠4CP, :LA+∠ABP+LACP=LBPC=Q,∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC=B, :∠A+(∠ABP+∠ACP)=∠BOC=B, n 同理①的：∠BPC-∠BOC=a-B, :”(∠ABP+∠ACP=a-,即∠ABP+4CP=a-, n-1 24=∠a-(24aP+2n=a-a--A-a 11/86 2.己知AB∥CD,点E,F分别是直线AB,CD上的两点，点P在AB,CD之间，连接 PE,PF. 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠BEP=35°，∠DFP=55°，求证：PE⊥PF: (2)若点G是CD下方一点，PE平分LBEG,DF平分LGFP.请在图(2)中补全图形， 并探究∠EGF,∠EPF与∠BEP之间的数量关系， (1)证明：过P作PQ∥AB, E A :AB∥CD, D .PQ∥CD, LQPF=LDFP=55°， 图(1) :PQ∥AB, .∠QPE=∠BEP=35°， ∠EPF=∠QPF+∠QPE=90°， 即PE⊥PF: (2)如图，补图如下： B M 过P作PQ∥AB,过G作GM∥AB, AB∥CD, .AB∥PQ∥CD∥MG, 设LQPE=x°，∠QPF=y°，则LEPF=(x+y)°， .∠BEP=∠QPE=x°，∠PFD=∠QPF=y°， :PE平分∠BEG,DF平分LGFP, ∠BEG=2x°，∠DFG=∠PFD=y°， :CD∥MG,AB∥MG, 12/86 ∴∠MGF=∠GFD=y°，∠MGE=∠BEG=2x°， .∠EGF=2x-y)°， LEPF+LEGF=(x+y)°+(2x-y)°=3x :LBEP=x°， ,LEPF+∠EGF=3∠BEP. 3.如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. 图① 图② (1)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系； (2)CO平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F ①如图②，探究∠E和∠F的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线AB,CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的度数. (1)解：如图，过点E作EF‖CD, .∠DCE+∠CEF=180°， D AB∥CD, .AB∥EF, .∠ABE=∠BEF, :BP平分∠ABE, ∠P8E-4E, :ZPBE= ∠BEF, 2 BP∥CE, .∠BEC=LPBE, ZBEC-ZBEF,即ZBEF=2LBEC 又：∠BEF=∠BEC+∠CEF, :ZBEC ZCEF, 13/86 LBEC+∠DCE=180°. F (2)解：①∠BEC+2∠PFQ=180°，理由如下： B :BP平分∠ABE,CQ平分∠DCE, D A8P=ABE,∠DC0=5DCE, 2 如图，过点E作MN∥CD,过点F作GH∥CD, AB∥CD∥MN∥GH, :∠GFP=LABP=∠ABE,∠HFQ=∠DCQ=∠DCE, ∠ABE=∠BEN=∠BEC+∠NEC,∠DCE=∠MEC=∠BEC+LBEM, LBEC=180°-∠NEC-∠BEM =180°-LABE-∠BEC-∠DCE-LBEC) =180-ZABE-ZDCE+2ZBEC, .ZABE +ZDCE =180+ZBEC, .∠PFQ=180°-∠GFP-∠HFQ =1s0-48E-0cE =180°-∠ABE+∠DCE) =180°-180°+∠BEC 90°-BEC .∠BEC+2∠PFQ=180° ②：BP平分∠ABE,CQ平分LDCE, ∠ABP-ABE,∠DCQ=DCE. 2 (I)如图1，当点E在直线AB,CD之间，且∠ABE为锐角，∠DCE为钝角时，过点E作 EM CD,过点F作FN∥CD, :AB∥CD,EM CD, AB∥CD∥EM, ∠ABE=∠BEM,∠CEM=180°-∠DCE, :∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°， ,∠ABE+180°-∠DCE=40°，即∠DCE-∠ABE=140°， 14/86 :AB∥CD,FN∥CD, ABII CD‖FN, 点∠NPB=LABP=)∠ABE,∠NFC=∠DCO=∠DCE, ∠BrC=∠NrC-∠NFB=<DCE-ABE=∠DCE-∠AB=0, (IⅡ)如图2，当点E在直线AB,CD之间，且∠ABE和∠DCE均为钝角时，过点E作 EM CD,过点F作FN∥CD, :AB∥CD,EM CD, AB∥CD∥EM, ,∠BEM=180°-∠ABE,∠CEM=180°-∠DCE, :LBEM+LCEM=LBEC=40°， 180°-∠ABE+180°-∠DCE=40°，即∠DCE+∠ABE=320°， :AB∥CD,FN∥CD, .ABI CDI FN, :∠NFB=∠ABP=∠ABE,∠NFC=∠DCQ=∠DCE, 2 ∠BPC=∠NrC+∠NFB=DCE+∠ABE=∠DCE+∠ABE)=160, 2 2 (I)如图3，当点E在直线AB,CD之间，且∠ABE和∠DCE均为锐角时，过点E作 EM CD,过点F作FN∥CD, :AB∥CD,EM CD, .AB∥CD∥EM, ,∠BEM=∠ABE,∠CEM=∠DCE, ∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°， .LABE+∠DCE=40°， :AB∥CD,FN∥CD, :ABI CD FN, :∠NFB=∠ABP=∠ABE,∠NFC=∠DCQ=∠DCE, 2 :∠BFC=∠NFC+∠NFB=∠DCE+∠ABE=(∠DCE+∠ABE)=20°： (IV)如图4，当点E在直线AB,CD之间，且∠ABE为钝角，∠DCE为锐角时，过点E作 EM CD,过点F作FN∥CD, 15/86 ---M :AB∥CD,EM CD, AB∥CD∥EM, :ZBEM =180-ZABE ZCEM ZDCE, :∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°， .180°-∠ABE+∠DCE=40°，即∠ABE-∠DCE=140°， :AB∥CD,FN∥CD, :ABI CD FN ∠NFB=∠48P-4E,∠Nc=∠DcQ=号DcE, &∠BFC=∠NFB-∠NFC= 2 ∠ABE∠DCE=)∠ABE-ZDCE=70 2 综上，∠BFC的度数为70°或20°或160°. 4.已知：如图，AR∥CD,点B为CD上一点，∠A=∠C. P 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB‖CR; (2)如图2，点E为线段CR上一点，∠DBE的角平分线与∠ARC的角平分线相交于点H,请 直接写出∠BHR与∠BER的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BR,且BR平分∠ABE,延长BE交AR的延长线于点F ,过点F作FG⊥AF交线段BC于点G,FP平分∠BFG交线段HB的延长线于点P,若 LHRC=5LHBR,∠BHR-2LHPF=47°，求∠HRB的度数， (1)证明：：AR∥CD, .∠A=∠ABD, :∠A=∠C, .∠C=∠ABD, ABI CR; (2)解：2∠BHR+∠BER=360°，理由如下： 16/86 M 如图：分别过点E,H作AR的平行线PQ,MN, AR∥CD,AR‖P2,ARII MN, :ARII MN I POI CD, 设∠ABD=x,∠ABH=y,则∠HBD=x+y, ∠C=x,∠BHN=x+y, .∠ARC=180°-x,∠PER=x, :BH平分∠DBE,RH平分∠ARC, ÷ARH=∠CRH=Ac=90P-5∠HBE=∠HBD=x+y .∠CBE=180°-∠HBD-∠BHE=180°-2x-2y,∠RHN=∠ARH=90°- 1 2t, .∠BEP=∠CBE=180°-2x-2y, ·∠BEP=∠CBE=180°-2x-2y 六∠BHR=∠BHN+∠RHN=x+y+90°- ，x=90°+5x+y, ∠BER=∠BEP+∠PER=180°-2x-2y+x=180°-x-2y 2∠BHR=180°+x+2y, .2∠BHR+∠BER=360°； (3)解：设∠HBR=a,∠ABH=B,则∠ABR=a+B, BR平分∠ABE, .∠EBR=∠ABR=a+B, .∠HBE=∠HBR+∠EBR=2a+B, :BH平分∠DBE, ·∠DBH=∠HBE=2a+B, .∠ABD=∠DBH-LABH=2a, .∠C=∠ABD=2a, ∠HRC=5∠HBR, :ZHRC =5a, :RH平分∠ARC, .∠ARH=∠HRC=5a, .∠CRF=180°-10a, 17/86 :AR‖CD, .∠C=∠CRF,即2a=180°-10a, =15°， :LC=LCRF=30°，LARH=∠HRC=5a=75°， ∠CBE=180°-2∠DBH=180°-4a-2B=120°-2p, .∠C=LCRF=30°， 如图，过点P作PK CD,过点H作ST ICD, .∠DBH=∠THB=2a+B=30°+B,∠THR=∠ARH=75°， ,∠BHR=∠DBH+∠ARH=7a+B=105°+B, :∠CBH=180°-∠DBH=180°-2a-B=150°-B, .∠KPB=∠CBH=150°-B, FG⊥AF, .LAFG=90°， :AR‖CD, ·∠CBE=∠AFB=120°-2B, .∠BFG=∠AFG-∠AFB=90°-120°-2B）=2B-30°， :FP平分∠BFG, .∠PFG=∠PFB= ∠BFG=B-15°， 2 AR CD,PKCD, AR‖PK, ∠KPF=∠AFP=∠AFB+∠PFB=I05°-B, LHPF=∠KPB-∠KPF=4S°， ∠BHR-2∠HPF=47°， ,.105°+B-2×45°=47°， β=32°， .∠DBR=∠DBH+∠HBR=2a+B+a=77°， .∠ARB=180°-∠DBR=103°， :∠ARH=75°， ,∠HRB=∠ARB-∠ARH=28°. 18/86 5.如图，已知AB∥CD,CH平分LBCD交AB于E点，点F是CH上一动点（点F在 AB的上方) y (1)如图1，当AF∥CB时，若∠BCE=三∠A,求∠B的度数； (2)如图2，当AF⊥CE时，判断∠A与∠B数量上有何关系？并说明理由； 3)若LA=a°，∠ABC=B°，分别作LAFC和LABC的平分线FG和BG且交于点G,如图 3,求出LMGB的度数（用含a°和B°的式子表示）. (1)解：AF∥CB, .∠A=∠B :ZRCE-34.CE平分4B0D .∠BCD=3LA=3LB :AB∥CD, ∠BCD+∠B=180°， .3∠B+∠B=180°， LA=LB=45°； (2)∠B=2∠A,理由如下： 如图，过F点作F0∥AB,则LA+LAFO=180°， 即LA+∠AFE+∠0FE=I80° 设LA=x°， :AF⊥CE, ∠AFC=90° .∠0FC=180°-90°-x°=90°-x°， :AB∥CD,.FO∥CD, ∠BCD+∠B=180°，∠DCF=∠0FE=90°-x°， :CE平分∠BCD, 19/86 B .∠BCD=2∠DCF=180°-2x°， ∠B=180°-∠BCD=180°-(180°-2x=2x°， ∠B=2∠A; (3)如图，过F点作FP∥AB,过G点作GQ∥AB, FP∥GQ, :LA=a°，∠ABC=B°， ·LPFA=LA=a°，∠PFG=∠FGQ,∠ABG=∠BGQ, :AB∥CD, .FP∥CD,∠ABC+∠BCD=180°，∠PFC+∠DCF=180°， :∠BCD=180°-∠ABC=180°-B°， :BG平分∠ABC,CE平分LBCD, ∠ABG=48c-号B,DcF-<Bcn-180-B四=90-p ∠PFC=180°-∠DCF=90+2B :∠AFC=∠PFC-∠PFA=90°+B°-a :FG平分∠AFC, ∠aG=Arc=4s+0-a 又：∠PFG=∠FGQ,∠PFG=∠PFA+LAFG,∠FGQ=∠MGB+∠BGQ, .a)ZMGB+ 1 ∠MGB=45°+ B 4 6.已知EM∥BN. E E -M 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由。 (2)如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F. 20/86 ①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD= ②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由. (3)如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,过点F作FG⊥BD交BN于点G,若 4∠A=3LEFG,求∠EFB的度数 (1)解：(1)过A作AQ∥EM, E M B 图1 .∠E+∠EAQ=180°， EM∥BN, AQ∥BN, .∠QAB+∠B=180°， :∠EAB=∠EAQ+∠QAB, .∠E+∠EAB+∠B=360°； (2)①由(1)知LAEM+LA+LABN=360°， :∠A=120°，∠AEM=140°， .∠ABN=100°， :∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F, :.∠DEF=70°，LFBC=50°， :EM∥BN, .LEDF=∠FBC=50°， :∠EFD=180°-∠DEF-∠EDF=180°-70°-50°=60°， 故答案为60°； ②由(1)知∠AEM+∠A+∠ABN=360°， .LAEM+∠ABN=360°-∠A, :∠AEM与LABN的角平分线相交于点F, 2DEF=AEM,∠FBc-4N, :EM∥BN, 21/86 :∠EDF=∠FBC=∠ABN, 2 ∴.∠EFD=180°-∠DEF-∠EDF =1s0-4EM-48, =180-24EM+ABN. 180°360°-∠A =∠A, 21 即∠A=2LEFD; (3)解：设∠EFD=x,则LA=2x, 由题意得4×2x=390+x, 解得x=54°， 答：∠EFB的度数为54° 7.已知：AB∥CD,P为平面内点. A B A B B C D D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AP,DP,已知∠P=80°，∠D=50°，∠A=-°； (2)如图2，求证：∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)如图3，当点P在直线AB,CD之间时，AP⊥PD于P,DQ平分∠PDC,连接AQ,使 ∠AQD=40°，设∠PAQ=a°，∠PAB=B°，直接写出与B之间的数量关系. (1)解：过点P作PE∥AB,如图所示： :AB∥CD, .AB∥CD∥PE, .∠EPD=∠D=50°， :∠APD=80°， .∠APE=80°-50°=30°， AB∥PE, 22/86 .∠A+∠APE=180°， .∠A=180°-30°=150°. 故答案为：150： (2)证明：过点P作EF∥AB, AB∥CD, .AB EF∥CD :∠CDP=LDPF,∠FPA+∠PAB=180°， :∠FPA=∠DPF-∠APD, ∠DPF-∠APD+∠PAB=180°， .∠CDP+∠PAB-∠APD=180°， 即∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)解：当点P在点A的左侧时，过点P作PM∥AB,QN∥CD,如图所示： :DQ平分∠PDC, ∴·∠CDQ=∠PDg= L∠CDP, QN∥CD, :∠DQN=∠cD0=5∠CDP ∠40N=40°-∠D0N=400-1∠cDP, QN∥CD,AB∥CD, AB∥ON, .∠AQN+∠QAB=180°， .∠QAB=180°-∠AQN =180°- =140°+三∠CDP, 2 1 a+B=140+2∠CDP, PM∥AB,AB∥CD, :PM ABI CD, ,∠DPM=∠CDP,∠PAB+∠APM=180°， :AP⊥PD, 23/86 .∠APD=90°， B=∠PAB =180°-∠APM =180°-(90°-∠DPM =180°-(90°-∠CDP) =90°+∠CDP, .∠CDP=B-90°， a+B=140°+2B-90), 整理得：+。B=95°： 2 当点P在点A的右侧时，过点P作PN∥AB,QM∥CD,如图所示： ”AB∥CD, .QM∥AB∥PN∥CD, ∠MQA=∠EAQ,∠MQD=∠CDQ=-∠CDP, :∠M0A=∠MOD-∠AQD=∠CDP-40°， ∴a+B=∠PAB+∠PAQ =180°+∠EAQ =180°+∠MQA 1 =180°+二∠CDP-40° 1 =140°+5∠CDP, 2 AP⊥DP, ∠APD=90°， :AB∥PN, ∠APN=∠PAB=B, .∠DPN=90°-∠APN=90°-B, :PN∥CD, .∠CDP=180°-∠DPN =180°-(90°-β 24/86 =90°+B, 0+B=140°+ ∠CDP 2 =140+904 即a+B=185°+)B 2B=185°. 综上分析可知：a+B=95°或a+B=185°， 8.已知直线MW∥PQ,点A、C在直线MN上，点B、D在直线PO上. E M B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB∥CD,AE⊥AB,且∠EAM=42°，求LCDQ的度数； (2)如图2，若AE⊥AB,AG平分∠EAM,AB∥CD,过D点作DF⊥CD交MN于F,求 证：2∠BAG=∠FDQ; 3)如图3，若LABD=60°，直线AB和直线CD相交于K,点H在直线CD上，探究∠BAH 、∠AHB和∠HBD之间的数量关系，请直接写出结论 (1)解：：AE⊥AB,∠EAM=42°， .∠BAM=90°-∠EAM=48°， MN∥PQ, ,.∠ABQ=∠BAM=48°， AB∥CD, .LCD0=LAB0=48°： (2)证明：设∠GAB=x, :AE⊥AB, ,∠EAG=90°-∠GAB=90°-x, 25/86 :AG平分∠EAM, .∠EAM=2∠EAG=180°-2x, .∠BAM=90°-∠EAM=2x-90°， 同理可得LCDQ=∠ABQ=∠BAM=2x-90°， :CD⊥DF, LFD0=90°+LCDQ=2x, 2∠BAG=∠FDQ; (3)解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作HT∥MN,则HT∥MN∥P2, ,∠1=∠HBD,∠MAB=∠ABD=60°，∠AHT+∠HAM=180°， .∠HBD+∠AHB+∠HAM=180°， .∠HBD+∠AHB+∠HAM+∠MAB=240°， .∠HBD+∠AHB+∠BAH=240°； T M D六Q 如图所示，当点H在C、H之间时，过点H作HT∥MN,则HT∥MN∥PQ, .∠HBD=∠THB,∠THA=∠HAC,∠BAC=180°-∠ABD=120°， ,∠HBD=∠THA+∠AHB=∠AHB+∠HAC, .∠HBD=∠AHB+∠BAH-∠BAC, .∠AHB+∠BAH-∠HBD=∠BAC,即∠AHB+∠BAH-∠HBD=I20°； M 如图所示，当点H在CD之间时，过点H作HT∥MN,则HT∥MN∥PQ, ,∠HAN=∠AHT,∠BHT=∠HBD,∠BAC=180°-∠ABD=120°， .∠AHT=120°-∠BAH, ∴.∠AHB=∠AHT+∠BHT=120°-∠BAH+∠HBD, .∠AHB+∠BAH-∠HBD=120°； 26/86 D 如图所示，当点H在点D下方时，过点H作HT∥MN,则HT∥MN∥PQ, .∠HAN=∠AHT,∠BHT=∠HBD,∠BAC=180°-∠ABD=120°， ,∠HAN=∠AHT=∠AHB+∠HBD, .∠BAC=∠BAH+∠HAN=∠AHB+∠HBD+∠BAH=I20°： M B H 综上所述，当点H在点K上方时，∠HBD+∠AHB+∠BAH=240°：当点H在DK之间时， ∠AHB+∠BAH-∠HBD=120°；当点H在点D下方时，∠AHB+∠HBD+∠BAH=120°， 9.如图1，E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD,连接EA,ED ④ ③ ① ② D F 图1 图2 (1)探究猜想： ①若∠A=20°，∠D=50°，则∠AED=_度； ②若∠A=35°，∠D=45°，则∠AED=-度； ③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的数量关系并证明你的结论. (2)拓展应用： 如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被 射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四 个区域上的点，猜想：∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系.（直接写出结论，不要求证明） (1)解：①如图①，过点E作EF∥AB, 27/86 :AB∥CD, .EF∥AB∥CD, :∠A=20°，∠D=50°， :∠1=∠A=20°，∠2=∠D=50°， :∠AED=∠1+∠2=70°， 故答案为：70； ②过点E作EF∥AB, B :AB∥CD, .EF∥AB∥CD, :∠A=35°，∠D=45°， ∠1=LA=35°，∠2=∠D=45°， ∠AED=∠1+∠2=80°， 故答案为：80； ③猜想：∠AED=LEAB+∠EDC, 理由：过点E作EF∥AB, B AB∥CD, ,EF∥AB∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)， I=∠EAB,∠2=∠EDC(两直线平行，内错角相等)， :∠AED=∠I+∠2=∠EAB+∠EDC(等量代换). (2)解：根据题意得： 28/86 点P在区域①时，如图所示： R P<① ② F 图1 根据解析(1)中的结论可知：∠EPF=∠AEP+∠DFP, :∠AEP=180°-∠PEB,∠DFP=180°-LPFC, ∠EPF=∠AEP+∠DFP=36O°-（∠PEB+∠PFC); 点P在区域②时，如图所示： E ① ② D F 图2 根据解析(1)中的结论可知：∠EPF=∠PEB+∠PFC; 点P在区域④时，如图所示 P ③ ① ② D F C 图3 :AB∥CD, ·.∠MEB=∠EFC, ∠PEM=∠EPF+∠PFE, .∠EPF=∠PEM-∠PFE ZPEB-ZMEB-(ZPFC-ZEFC =∠PEB-LPFC; 点P在区域③时，如图所示： 29/86 P ③ B E M ① ② 图4 :AB∥CD, ·∠PMB=LPFC, :∠PMB=∠EPF+∠PEB, .∠EPF=∠PMB-∠PEB =∠PFC-∠PEB. 10.【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形， 我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系. 2 图1 图2 图3 (1)如图①，AB∥CD,E为AB,CD之间一点，连接BE、DE,得到∠BED.试探究 ∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由 (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图 ②，若AB∥CD,点E、F为直线AB、CD之间两个点，连接BE、EF、CF,LE=8O°， 求∠B+∠C+∠F的值.并说明理由 3)【拓展延伸】如图③，如图，AB∥CD,BE平分LABG,CF平分∠DCG,BE、CF的 30/86 反向延长线相交于点H,∠G=∠H+30°，求∠H的值.写出必要的求解过程. 【详解】(1)解：∠BED=∠B+∠D,理由如下： 过E作ET∥AB,如图， C .AB∥CD, .ET∥AB∥CD, LB=∠BET,LD=LDET, .∠B+∠D=∠BET+∠DET, 即∠BED=∠B+∠D: (2)如图，过E作EK∥AB,过F作FT∥CD, ”AB∥CD, :AB∥EK∥FT∥CD, A E ∠B=∠BEK,∠TFE=∠KEF,∠C+∠TFC=180°， ∠BEF=80°， .∠B+LEFT=LBEF=80°， .∠B+∠EFT+∠TFC+∠C=∠B+∠EFC+∠C=80°+180°=260°. (3)如图，分别过B,C作AB,CD的垂线KT,RS, ∠ABT=90°=∠DCS, AB∥CD, :KT lI RS, K:H R G S 31/86 由(1)可得：∠BHC=∠5+∠6，∠G=∠3+∠4， :BE平分LABG,CF平分∠DCG, .∠ABG=2∠1，∠DCG=2L2, .∠3=2∠1-90°，∠4=2∠2-90°，∠5=∠EBT=90°-∠1，∠6=∠SCF=90°-∠2， :∠G=∠BHC+30 .∠3+∠4=∠5+∠6+30°， .2∠1-90°+2∠2-90°=90°-∠1+90°-∠2+30°， ∠1+∠2=130°， 过H作AB的平行线，而AB∥CD, .HR∥AB∥CD, ∠1=∠BHK,L2=∠CHR, .∠1+∠2+∠BHC=∠BHK+∠BHC+∠CHR=180°， .∠BHC=180°-∠1+∠2)=180°-130°=50°. 题型3》 生活中的应用 1.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源P点照射到抛物 线上的光线PA,PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP=45°， ∠APB=100°，则∠DBP的度数为() A D A.45° B.50° C.55° D.无法确定 解：：AC∥EF,∠CAP=45°， .∠APE=∠CAP=45°， ∠APB=100°， .LBPE=55°， BD∥EF, ∠DBP=∠BPE=55°. 故选：C. 32/86 2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由 于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122°，则∠2的度 数为() 空气 A.32° B.58° C.68° D.78° 解：：水面和杯底互相平行， 空气 人3 ∠1+∠3=180°， :∠1=122°， ∠3=180°-∠1=180°-122°=58°. :水中的两条光线平行， ∠2=3=58°. 故选：B. 3.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两 次转弯的角度可以是() A.先右转80°，再左转100 B.先左转80°，再右转80 C.先左转80°，再右转100° D.先右转80°，再右转80 解：如图所示： 100° 809 80 故本选项错误； 80 故本选项正确： 33/86 100° 80 故本选项错误； 80. D、 80° 故本选项错误。 故选B, 4.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图② 是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角 度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=110°. B M 图① 图② (1)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数： (2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数， (1)解：如图，过点C作CF∥BE, .∠BCF+∠CBE=180°， :∠CBE=130°， ∠BCF=50°， :∠BCD=110°， .∠DCF=∠BCD-∠BCF=60°， :BE∥MN, .CF∥MN, ∠CDM=LDCF=60°： (2):AB‖CD, .∠ABC+∠BCD=180°， ∠BCD=110°， ∠ABC=70°， :∠CBE=130°， ·LABE=LCBE-LABC=60°. 34/86 5.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF,前支 架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N, ∠AOE=∠BNM. B E (1)请对OEDM说明理由； (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度 数. (1)解：理由如下：：∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM, ∠AOE=∠AND, ·OEDM; (2)解：“AB与底座CD都平行于地面EF, AB IICD. ·∠B0D=∠0DC=30°， :∠A0F+∠B0D=180°， ∠A0F=150°， :0E平分∠A0F, LB0F=A0F=75°， ∠B0E=∠B0D+∠E0F=105o, “OEDM, ∠ANM=∠B0E=105o· 题型4 定值问题 1.如图，MN∥PQ,AB∥CD,∠BDC的平分线DF交AB于点F,∠DBN的平分线BE交 CD的延长线于点E, 35/86 M ○ (1)若∠BAC=30°，BD⊥CD,则∠BED的度数为度； (2)若∠DGB+∠DCA=180°，试探索LBDC,∠EBN,∠DGB的数量关系，并说明理由； 3在(2)的条件下，若∠DBN=2LB4C,试探究∠BED∠DGB 的值是否为定值，若不是 ∠FDG 定值，请说明理由；若是定值，请求出值. (1)解：MN∥PQ, .∠ABN=180°-∠BAC=150°， :BD⊥CD,AB∥CD, ,BD⊥AB,∠BDC=∠BDE=90° .∠ABD=90°， .∠NBD=∠ABN-∠ABD=60° :BE平分∠DBN, ∠DBE=∠DBN=30°， ∠E=180°-∠DBE-∠BDE=60°； 故答案为：60： (2)∠BDC=2LEBN+∠DGB,理由如下： :AB∥CD, :∠BAC+∠ACD=180°，∠BAC=∠DCQ, ∠DGB+∠DCA=180°， LDGB=∠CAB, .DG∥CP, ·∠CDG=∠DCQ, .LCDG=∠CAB=∠DGB, MN∥PQ, .DG∥MN, ∠DBN=∠BDG, 36/86 :BE平分∠DBN, :∠BDG=∠DBN=2∠EBN, .∠BDC=LBDG+∠CDG=2LEBN+LDGB; (3)是定值： ·∠BDG=∠DBN=2LEBN=2∠EBD,且∠DBN=2∠BAC, .∠EBN=∠DBE=∠BAC=∠DGB, :∠BDC=∠DBE+∠BED=2LEBN+∠DGB=3LBAC, .∠DBE=2∠BAC, ”DF平分∠BDC, ∠FDC=∠BDC=3∠BAC, DG=∠EDC-ZCDG-ZBAC-∠BAC=∠B ∠BED-∠DGB_2LBAC-∠BAC=2 ∠FDG 1 ∠BAC 2 2.已知：点A在直线DE上，点B、C都在直线PQ上（点B在点C的左侧），连接AB, AC,AB平分∠CAD,且∠ABC=∠BAC. D E D E P B B 图1 图2 P B 备用图1 备用图2 (1)如图1，求证：DE∥PQ; (2)如图2，点K为线段AB上一动点，连接CK,且始终满足2LEAC-∠BCK=90°. ①当CK⊥AB时，在直线DE上取点F,连接FK,使得∠FKA=)∠AKC,求此时∠AFK的 2 度数； ②在点K的运动过程中，∠AKC与∠EAC的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若 不是，说明理由 (1)证明：：AB平分∠CAD, 37/86 .∠DAB=∠BAC, 又：∠ABC=LBAC, ∠DAB=LABC, DE∥PQ; (2)解：①如下图，当F点可以在A点的右侧， D F E P B CK⊥AB, LAKC=90°， 又：∠FKA=2 ∠AKC, .∠FKA=45°， 设LEAC=x°， :∠DAB=∠BAC=∠ABC, ·∠ABC=180°-x° 2 90°1 , 又：2LEAC-∠BCK=90°， .∠BCK=2x°-90°， 在△BKC中，∠BCK+∠ABC=90°， 2=90, 即2x°-90°+90°- 解得x=60, ∠4FK=∠DAB-∠AKF=90°-1x-45°=15°， 当F点可以在A点的左侧， E D B 同理，可得∠AFK=75°， 综上，∠AFK的度数为15°或75°： 38/86 ②∠AKC3 ∠EAC2,理由如下： 如图，设∠EAC=x°， D E K P B Co :∠DAB=∠BAC=∠ABC, ∠ABC=180°-x° 2 90°-1 x°， 2 .2∠EAC-∠BCK=90°， .∠BCK=2x°-90°， 1 .∠AKC=∠ABC+∠BCK=2x°-90°+90°- x= 3 ° 2 3 3 ∠EACx°2 3.在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.己知直线 AB、CD,直角三角板EFG,AB∥CD,LFEG=90°，∠EGF=60°. B B A万 &E @ G D G D (图) (图2) (图3) (1小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上，边GF与AB交于点H,若∠FHA=80 ,则LEGD=」 (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F、G分别在AB、CD上，∠FEG的角平分线与 ∠FGC的角平分线交于点M,若LEGD=4∠BFE,求∠M的度数： 3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点F、G仍然分别在AB、CD上，如图3，再将 ∠DGE沿边GE翻折，边GD的对应边GN与AB交于点N,小颖给出下列两个结论： ①LCGN+LBFE的值不变：②∠CGN ∠BFE的值不变 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由。 39/86 (1)解：：∠FHA=80°，AB∥CD, .∠CGH=∠AHF=80°， :∠FGH=60°， .∠EGD=180°-60°-80°=40°； (2)解：如图，过E作EK∥AB,而AB∥CD, .AB∥EK∥CD, ,∠BFE=∠KEF,∠FEG=∠EGD, B M D :∠FEK+∠KEG=∠FEG=90°， .∠BFE+∠EGD=90°， :∠EGD=4∠BFE, ∠BFE=18°，∠EGD=72°， ∠FGE=60°， .∠FGC=180°-60°-72°=48°， :ME平分∠FEG,MG平分LFGC, :∠FEM=x90°=45°，∠MGC=x48°=24°， ,∠KEM=45°-18°=27°， 同理可得：∠M=∠KEM+∠MGC=27°+24°=51°； (3)解：②<CGN 的值不变，理由如下： ∠BFE 设LDGE=∠NGE=x°， .∠CGN=180°-2x°， 同理可得：∠BFE+∠DGE=∠FEG=90°， ∠BFE=90°-x°， ∠CGN180°-2x° =2;∠CGN+∠BFE=270°-3x°； ∠BFE90°-x° :①LCGN+LBFE的值变化；②∠CGN 的值不变 ∠BFE 40/86 题型5>》 平移与旋转问题 1.如图，已知AD∥BC,∠A=∠C. B 图1 图2 图3 (1)如图1，试说明：AB∥CD; (2)如图2，连接BD,若点E,F在线段AB上，且满足DB平分LFDC,DE平分∠ADF, LA=∠C=110°，求∠EDB的度数： 3①如图2，在(2)中，若∠A=LC=x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答 案，用含x的代数式表示)： ②如图3，在(3)①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分 ∠EDB时，若LA=LC=x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）： ③如图3，在(3)①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当 ∠AED=∠CBD时，若∠A=∠C=x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式 表示)； (1)证明：AD∥BC, .∠A+∠B=180°， ”∠A=∠C, .∠B+∠C=180°， AB∥CD: (2)解：AB∥CD, .∠A+∠ADC=180°， :∠A=110°， .∠ADC=180°-∠A=70°， DE平分∠ADF, ∠EDF-4DF, :DB平分∠FDC 1 .∠FDB=∠BDC=S∠FDC, 2 41/86 .∠EDB=∠EDF+∠FDB =∠ADF+ 21 ADF+FDCY F号c =35°. (3)解：①：AB∥CD, LA+∠ADC=180°， :LA=x°， .∠ADC=(180-x°， :DE平分∠ADF, :∠EDF=)∠ADF, :DB平分LFDC 1 ∴.∠FDB=∠BDC=∠FDC, 2 .∠EDB=∠EDF+∠FDB =∠ADF+5∠FDC 21 )ADF+∠FDC ∠ADC 2 ②：LA=x°， .∠ADC=(180-x)°， :DE平分∠ADF, :∠EDF=∠ADF, :DB平分∠FDC, 1 &∠FDB=∠BDC=2∠FDC, :DF平分∠EDB, 42/86 :∠FDB=∠EDF=∠EDB, :LFDB=LEDF=∠ADE=∠BDC, ∠EDC-2∠ADC=3180-x°， 4 4 AB∥CD, ∠ABD=∠BDC=3∠ADC=3180-x°； 4 4 ③：AB∥CD, :ZAED ZEDC ZEDB+ZBDC AD∥BC, ∠CBD=∠ADB=∠ADE+∠EDB, ZAED ZCBD, ∴LEDB+∠BDC=∠ADE+LEDB, .LADE=∠BDC, ∴.∠ADE=∠EDF=∠FDB=∠DBC, :∠BDC=∠ADC, 4 AB∥CD, .∠ABD=∠BDC, 480=0--(5- 2.已知点C在射线OA上. 一B B E E 图① 图② 图③ (1)如图①，CD∥0E,若∠A0B=90°，∠0CD=120°，求LB0E的度数； (2)在①中，将射线OE沿射线OB平移得O'E'(如图②)若LAOB=a,探究L0CD与 ∠B0'E'的关系（用含a的代数式表示）； (3)在②中，过点O作OB的垂线，与∠0CD的平分线交于点P,(如图③)若∠CP0'=90° ,探究∠AOB与LBO'E'的关系. 43/86 (1)解：：CD∥0E, .∠A0E=∠0CD=120°， ∠B0E=360°-∠A0E-∠A0B=360°-90°-120°=150°： (2)解：∠0CD+∠B0'E'=360°-a理由如下： 证明：如图②，过O点作0F∥CD, A D 图② CD//O'E', .OF∥O'E', ∠A0F=180°-∠0CD,∠B0F=∠E'0'0=180°-∠B0'E', ∠A0B=∠A0F+∠B0F=180°-∠0CD+180°-∠B0'E'=360°-L0CD+∠B0'E'=a, .∠0CD+∠B0'E'=360°-a: (3)解：∠A0B=∠BO'E'.理由如下： ∠CP0'=90°， .PO'L CP, P0'⊥0B, CP∥OB, ,∠PCO=∠AOB=180°， .2∠PC0=360°-2∠A0B, CP是∠OCD的平分线， .∠0CD=2∠PC0=360°-2∠A0B, 由(2)知，∠0CD+LB0'E'=360°-a=360°-LA0B, .360°-2∠A0B+∠B0'E'=360°-∠A0B, .∠AOB=∠BO'E' 3.如图，O,D两点在直线AB上，在AB的同侧作直角三角形DOE和射线OC,使 ∠DOE=90°，∠BOC=30°. 44/86 备用图 (1)分别求∠B0C的余角和补角的度数： (2)将aD0E绕点O按每秒5°的速度逆时针方向旋转， ①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线OE恰好平分∠BOC,则此时直线OD是否平分 ∠A0C？请说明理由 ②在旋转一周的过程中，满足OE在∠AOC的内部，请探究此时LAOD与∠COE之间的数 量关系，请说明理由. (1)解：：∠B0C=30°， .∠B0C的余角的度数是90°-30°=60°，补角的度数是180°-30°=150°； (2)解：①有两种情况： 如图1，当OE在AB的下方时， A 0 B E D 图1 :OE恰好平分∠B0C,LB0C=30°， :LB0E=15°， 未旋转之前，∠D0E=90°，则未旋转之前LB0E=90°， :旋转角=90°-15°=75°，t=75÷5=15(秒)，即在旋转一周的过程中，第15秒时，直线 OE恰好平分∠BOC, LA0D=75°， ∠A0C=180°-30°=150°， ∠AOD)∠A0C 0D平分∠A0C: 当OE在AB的上方时，过点O作AB的垂线， 45/86 B D 此时∠1=∠2= ∠BOC=15°， 2 .∠B0E=180°-15°=165°， :旋转角：165°+90°=255°，1=255÷5=51（秒），即在旋转一周的过程中，第51秒时，直 线OE恰好平分∠B0C, :∠1=15°， LA0D=∠E0D-∠1=75°， 而∠A0C=180°-∠B0C=150°， :∠A0D=∠A0C, 2 :.直线0D平分∠AOC; 综上，在旋转一周的过程中，第15秒或51秒时，直线OE恰好平分∠B0C,则此时直线 0D平分∠A0C: ②有两种情况： )当0D在OA的下方时，有∠A0D+∠C0E=60°，理由是： 如图2，OE在∠A0C的内部， A D B 图2 ,∠AOD=∠EOE', :∠B0E'=90°， .∠B0C+∠C0E+∠E0E'=90°， :∠C0E=90°-30°-∠E0E=60°-∠A0D, LA0D+∠C0E=60°. 46/86 i词当0D在OA的上方时，有∠C0E-∠A0D=60°，理由是： B 图3 如图3，OE在∠A0C的内部， ∠A0E=90°-∠A0D .∠COE=180°-∠BOC-∠AOE =180°-30°-(90°-∠A0D)】 =60°+∠A0D, :∠C0E-∠A0D=60°. 4.如图，已知直线PQ∥MN,点A在直线MN上，点B、C在直线PO上，射线AD是 ∠CAN的三等分线，即∠CAN=3∠DAN,AC平分∠BAE,LBAC=40°. g A N M N D PE C B PE B CB'■ B DQ 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAD=30°，求∠AEC的度数； (2)如图2，在AE上有一点F,满足CF∥AD,且FG平分∠AFC交AB于点G,试探究 ∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若∠ABC=80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC 为∠B'AC',∠C'AN的三等分线为AD',即LC'AN=3LD'AN,同时BA绕点B逆时针旋转 至BA',速度始终为4°每秒，当AC'与射线AM重合时，∠B'AC'立即以原来速度的一半逆 时针旋转，当AC'运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过 程中，当AD'∥BA'时，请直接写出t的值. (1)解：：AC平分∠BAE,∠BAC=40°， .∠CAE=∠BAC=40°， 又∠BAD=30°， .∠CAD=∠BAC+∠BAD=70°， 47/86 :∠CAN=3∠DAN, ·∠CAW=3 ∠CAD=105°， ∴.∠EAN=∠CAE+∠CAN=145°， :Pg∥MN, .∠AEC=180°-∠EAN=35°， (2)解：3∠AGF+∠ACB=270 理由：如图， M G PE B 图2 设∠BAD=2y,则∠CAD=40°+2y :∠CAN=3∠DAN, ∠C4N=3<CaD=40+2)=60+3y,D4w-0· 2 ∠EAN=LEAC+CAN=100°+3y, :PQ∥MN, :LAEC=180°-LEAN=80°-3y,LADC=LDAN=20°+y, CF∥AD, LFCE=LADC=20°+y, :ZAFC ZAEC+ZFCE =100-2y,ZACB=ZAEC+ZEAC =120-3y, :FG平分∠AFC, ∠AFG=AFC=50-y, LAGF=180°-∠AFG-LFAG=180°-(50°-y)-40°×2=50°+y, 3∠AGF+∠ACB=350°+y+120°-3y=270°： (3)解：：∠ABC=80°，∠BAC=40°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， :PQ∥MN, ,∠CAN=180°-LACB=120°，∠CAM=∠ACB=60°，∠BAN=∠ACB=80°， 48/86 :∠CAN=3∠DAN, .∠DAN=40°， 当AC'与射线AM重合时，1=60°÷6°=10，返回时，当AC'与AC重合，1=10+60°÷3°=30， 当AC'与射线AN重合时，1=10+180°÷3°=70，当AB在AB的延长线时，1=180°÷4°=45， 当0≤t≤10时，∠CAC=(6t)°， .∠C'AN=LCAC'+∠CAN=(61+120)°， :∠CAN=3LD'AN, ∠D'AN=2t+40)°， .∠BAD'=∠BAN-∠D'AN=40-2t°， :AD'∥BA', ·∠ABA'=∠BAD', .4t)°=(40-2t°， 解得1=20 : 当10<1≤30时， M B B 则∠CAC'=60°-[3(t-10)]°=(90-3)° :∠C'AN=∠CAC'+∠CAN=(210-31)°， :∠C'AN=3∠D'AN, .∠DAN=(70-t°， .∠BAD'=∠BAN-∠D'AN=(I0+t°， AD'∥BA', ,∠ABA'=∠BAD', 49/86 .(4)°=(10+t°， 解1 (舍去)： 当30<1≤45时， M N -D' A B DO 则∠CAC'=[3(t-10)]°-60°=(31-90)° .∠C'AN=∠CAC'-∠CAN=210-3t°， :∠C'AN=3∠D'AN, .∠DAN=(70-t°， LBAD'=∠BAN-∠D'AN=(I0+t°， AD'∥BA', .∠ABA'=∠BAD', (4)°=(10+t°， 10 解得1= 3 (舍去)； 当45<1≤70时， M C------ B. B D' A 则∠CAC'=[3t-10)]°-60°=(3-90)° ,∠C'AN=∠CAC'-∠CAN=210-3t°， :∠C'AN=3∠D'AN, .∠DAN=(70-t°， 50/86 ∠BAD'=∠BAN-∠D'AN=(I0+t)°， :AD'∥BA', .∠ABA'=∠BAD', (360-41°+(10+t)°=180°， 解得1=190 (舍去)： 综上，t的值为2”或10 31 3 5.已知AB∥CD,M,N分别在AB,CD上 A M一B M A —B -D (1) (2) D M M B -D C- /N N 一D (3) 备用图 (1)如图(1)，求证：∠MEN=∠AME+∠CNE; (2如图(2)，若F在AB,CD之间，∠EMF=3LBMF,NF平分∠END,若∠F=2∠E,求 ∠AME与∠CNE的数量关系 3)如图(3)，射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从 ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于P,若直线ME与 直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒(0≤1≤14)的值. (1)解：如图，过E作ET∥AB, M A -B E N 一D ∠MET=∠AME,① 又AB∥CD, :ET CD, 51/86 ∴∠TEN=∠CNE.② ①+②得，∠MET+∠TEN=LAME+LCNE, ∠MEN=LAME+∠CNE. (2)解：如图， A M -B C D 设∠BMF=y,则∠EMF=3y,设∠ENF=x,则∠DNF=x, 由(1)可知∠E=∠AME+∠CNE=180°-4y)+(180°-2x)=360°-4y-2x 同理可得∠F=x+y 又∠F=2∠E, ∴x+y=2(360°-4y-2x), 则9y+5x=720°， 由∠AME=180°-4y,得y=180°-∠AME, 4 由LCNE=180°-2x,得x=180°-∠CNE. 将x=I80-∠CNE,y=410-∠AMEf代入9y+5x=720,得 1 9∠AME+10∠CNE=540°， (3)解：将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，如图， M B E C N(M) D N 根据题意得，∠DME,=10t,∠DNF=251,则∠FNE,=10t, :直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠FNE,=30°， .251-101=30°，解得t=2, 52/86 M B E N(M) D E 根据题意得∠DNM1=10t,∠CNE,=25t-180°， :直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠MNE=30°， :∠CNE,+∠M,NE=∠DNM1,即25t-180°+30°=10t,解得t=10, M E N(M) B N 根据题意得∠DNM,=10°t,∠CNE,=360°-25t, :直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠NNE1=30°， ∠N,NE=∠DNN,-∠DNE,,即30°=180°-101-360°-25t,解得1=14， 故满足题意得1=2或10或14. 6.在几何软件中，将ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中LACB=∠DFE=90°， ∠D=45°，∠ABC=30°，点D,A,F,B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB<ED. D G E 图1 图2 图3 53/86 (1)如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA=二； (2)将图1中的ADEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC,直 线DM平分∠FDB,直线EN平分∠GED交直线DM于点N.在图2中按以上叙述补全图 形（无需尺规作图），并直接写出∠END的度数， 3)如图3，将图1中的ABC绕点B逆时针旋转， ①当BC∥DE时，连接AF,BF,则LDFA-∠FAB= ②若∠E与LABC的角平分线所在直线相交于点？，∠EQB=27°，直接写出∠DBA的度数. (1)解：将aDEF绕点F顺时针旋转至第一次BC∥DE,延长DF交BC于点M, D M B :BC∥DE,∠D=45°， .∠BMF=180°-45°=135°， ∠ABC=30°， .∠BFM=180°-135°-30°=15°， .∠DFA=∠BFM=15°， (2)解：补全图形如下： G N -…0 过点N作NOIl BC,设∠END=a,∠DNQ=B, 则∠ENQ=a+B, :EG∥BC, ·EGII BCINO, .∠GEN=∠ENQ=a+p,∠MDB=∠DNQ=p, :EN为LGED的平分线，DM为LFDB的平分线， ∠GED=2∠GEN=2a+B),∠FDB=2∠MDB=2B, ∠EDF=45°， 54/86 .∠EDB=∠EDF+∠FDB=45°+2B, EG∥BC, .∠GED=∠EDB, 2(a+B）=45°+2B, 解得：a=22.5°， .∠END=a=22.5°. (3)解：①当ABC绕点B逆时针旋转第一次BC∥DE时，由题意可得D,F,B同一条直 线上，如图， :ED‖BC,∠D=45°， .∠CBD=45°， ∠ABC=30°， .∠ABF=15°， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∠DFA-∠FAB=∠ABF=15°. 当ABC绕点B逆时针旋转第二次BC∥DE时，如图所示，由题意可得D,F,B同一条直线 上， D ED BC,∠D=45°， .∠CBD=180°-45°=135°， :∠ABC=30°， .∠ABF=135°+30°=165°， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， 55/86 ,∠DFA-∠FAB=∠ABF=165°， 故答案为15或165 ②当Q在两条角平分线左下侧时，当ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图所示， D :∠ACB=∠DFE=90°，∠D=45°， ,∠DEF=45°， :QE是∠DEF的角平分线， ·∠DEM=∠MEF= ×45°=22.50， ,∠DM0=45°+22.5°=67.5°， 又：∠EQB=27°， .∠MBQ=∠DMQ-∠EQB=67.5°-27°=40.5°， :QB是∠ABC的角平分线，∠ABC=30°， :∠AB0=x30=15°， 2 ∠DBA=∠MBQ-∠ABQ=40.5°-15°=25.5°， 同理可得∠DBA'=154.5°. 当Q在两条角平分线右上侧时，当ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图所示， E ∠ACB=∠DFE=90°，∠D=45°， ∠DEF=45°， :QE是∠DEF的角平分线， 1 ∠DEM=∠MEF=2×45°=22.5， 56/86 ∠DM0=45°+22.5°=67.5°， 又：∠EQB=27°， ∠MBQ=180°-∠DM-∠EQB=180°-67.5°-27°=85.5°， :QB是∠ABC的角平分线，∠ABC=30°， A80-30=15. .∠DBA=∠MBQ+∠ABQ=85.5°+15°=100.5°， 同理可得∠DBA'=79.5°， 综上可得∠DB4的度数为79.5°或100.5°或25.5°或154.5°. 题型6》折叠问题 1.如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A,B两点， 连接AB,点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线AB上的点B处， 折痕MN交AB于点Q: M M G Q A A A 图1 图2 图3 备用图 (1)①判断折痕MN与AB的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与AB有①中的位置关系， 其中的数学道理是 (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与AB平行的折痕 DE(折痕左端点记为点D,右端点记为点E),请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若∠DEF=26°， ∠EDS=a,∠CAS=B,请直接写出∠DSA的度数.（用、B的代数式表示） (1)解：①MN1AB;理由如下： 根据折叠可知：∠BQM=∠B'QM, :∠BQM+∠B'QM=180°， 57/86 ∠BQM==×180°=90°， MN⊥AB; ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与AB有①中的位置关系，其中的数学道理 是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线P9上，折痕为DE;如图所示： D A N 理由：根据解析(1)可得：∠MPE=90°， :∠BQM=90°， .∠MPE=∠BQM=90°， DE∥AB: (3)解：当点S在线段EF上时，如图所示： F S E G :正方形纸片中FG∥AC, .∠CAS+∠ASG=180°， :∠CAS=B, :∠ASG=180°-B, ∠DEF=26°，∠EDS=a, .∠DSE=180°-∠SDE-LSED, .∠DSF=180°-∠DSE =180°-(180°-∠SDE-∠SED】 58/86 =180°-180°+∠SDE+∠SED =∠DEF+LEDS =26°+a, .∠DSA=180°-∠DSF-∠ASG =180°-26°+a）-(180°-B) =180°-26°-0-180°+阝 =阝-0-26°； 当点S在线段EF上时，如图所示： F B A :正方形纸片中FG∥AC, .∠CAS+∠ASG=180°， :∠CAS=B, :∠ASG=180°-B, ∠DEF=26°， .∠DES=180°-∠DEF=180°-26°， :∠EDS=a, ·.∠DSF=180°-∠DES-∠EDS=26°-a, .∠DSA=180°-∠DSF-∠ASG =180°-(26°-a-(180°-β) =180°-26°+-180°+B =B+a-26°； 综上分析可得：∠DSA=B--26°或∠DSA=B+0-26° 2.【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，如图，已知AB=9, 59/86 AD=3,点E,F分别在边AB,CD上，且AE=2. D D A A B 【初始探究】 (1)小西将纸片沿直线EF翻折，点D的对应点为D,点A的对应点A恰好落在对角线 AC上. ①求线段EF的长度： ②若点P为线段AA上一动点，求V0EP+A'P的最小值. 【拓展提升】 (2)在(1)的条件下，在EF,A'D'上取点M,N,沿着直线MN继续翻折，使点E与 点F重合，求折痕MN长， 解：(1)①过F点作FG⊥AB于G点，如图， D 在长方形ABCD中，AB=CD,BC=AD,∠DAB=∠D=90°， :FG⊥AB, LFGA=∠FGE=90°，∠AEF+∠GFE=90° :四边形AGFD是矩形， AD=FG,DF=AG, 根据翻折的性质有AA'⊥EF, :∠CAB+∠AEF=90 ∠CAB=∠GFE AB=9,BC=AD=3, :tan∠CAB=tan∠GFE 3 GE 93 60/86 :GE=1 在Rt△FGE中， EF=GE2+FG2=+3210 ②如图所示，过点A作A'Q∥AB,过点P作PQ⊥AQ于点Q,过点E作EN⊥OA交AA'于 点M,交AQ于点N,设EF,AA'交于点S,则AS=A'S D D F G P AQ∥AB, ·∠CAB=∠AAQ, tan∠CAB=BC tan ZA4O=3 1 PO 1 403,设P0=a,则40=30 :A'P=10a, Po=10 A'P, 10 :10EP+4'P=10 EP+0P-0(EP+PO)20EN 10 即√10EP+A'P的最小值为V10EW, AB=9,BC=AD=3, :AC=10BC=310 AB 9 310 ,sin∠CAB= BC 310 .coS∠CAB= 4c310=10 AC31010 EA'=EA=2, 在RtAASE中，AS=AE·coS∠SAE=2× 3√10310 10 5 AA'=2AS= 6V10 5 61/86 ÷NE=AH=44'sin∠CAB=⑩xio-6 5105 i0EP+A'P的最小值为VOEN=6@ 5 (2)如图所示，连接NF=NE D D G B 由(1)可得GE=1, 根据翻折的性质有：DF=D'F=1,AE=A'E=2,AD=A'D'=3,∠D=∠D=90, ∠D'A'E=∠DAB=90, :在EF,A'D'上取点M,N,沿着直线MN继续翻折，使点E与点F重合， .MN垂直平分EF, ·NF=NE,FM=ME 在Rt△D'FN,Rt△A'EN中， FN2=FD2+D'N2,EN2=A'N2+A'E2, 设A'W=x,则D'N=3-x .12+(3-x)2=x2+22 解得：x=1, ,AN'=1,则D'N=3-x=3-1=2 .FN2=FD2+DN2=12+22=5,EN2=A'N2+A'E2=12+22=5 又：EF=0 ∴.EF2=FNP+EW2 :△EFN是等腰直角三角形， ÷MM=EF=i@ 2 3.如图，直线L∥I2,线段AB的端点A在（上，端点B在马上 62/86 人aA N 图1 图2 (1)如图1，平行移动线段AB到CD,点M在线段CD上，连接AM,BM.如果△AMC的面 积为S1,△BMD的面积为S2,△AMB的面积为S,写出S,S2,S,的数量关系式，并给出推理 过程 (2)如图2，平行移动线段AB到CD,直线CE交线段BD于点E,点N在直线上点D的右 侧；连接AE;把△CDE沿着直线CE翻折，点D的对应点F恰好落在线段AE上；线段AB 与直线Z的夹角为. ①若a=60°，∠ACF=10°，求∠DCE的度数 ②探究：如果∠CAE=∠CED，,那么是否存在a,使得直线CF⊥AE,同时CE,CF把 ∠ACD三等分？如果存在，请求出Q的值；如果不存在，请说明理由. (1)解：S,+S2=S3, 理由如下： 由平移性质可得AB∥CD,AB=CD, 过点A,B分别作AE⊥CD,BH⊥CD,垂足分别是点E和点H,过点M作MN⊥AB, 垂足为N,如图所示： C M B D H ∴.AE∥MNI∥BH,AE=MN=BH, :△AMC的面积为S,△BMD的面积为S2,△AMB的面积为S, S1= xMCxAE.S.=XDMxBH.S.=xABXMN. 63/86 :S,+S,=。×CM×AE+二×DM×BH 1 XCM×AE+-xDM×AE 2 1 ×(CM+DM)xAE CDXAE, 1 :3+5,=2×ABXMN, S,+S2=S3, (2)解：①如图，由平移性质可得AB∥CD, ∠ABD=∠CDN=a=60°， :直线1∥12， :LCDN ZACD, ∴LACD=a=60°， :三角形CDE沿着直线CE翻折， ∠DCE=LECF, :∠DCE+LECF+LACF=∠ACD, .∠DCE+∠DCE+10°=60°， ∠DCE=25°； ②存在a=90°时，直线CF和直线AE互相垂直，同时CE,CF把∠ACD三等分， 理由如下： 由平移性质可得AB‖CD, ∠ABD=∠CDN=a=90°，∠CDE=90° :直线4∥12， ∠CDN=∠ACD=90°， :ZCED ZACE ∠CAE+∠AED=180°， :三角形CDE沿着直线CE翻折， :∠ECD=LECF, ∠CED=∠CEF, 64/86 LCFE=∠CDE=90°， CF⊥AE, LCAE+∠FEC+∠CED=180°， :LCED=∠FEC=∠CAE=60°， :∠CED=∠ACE=60°， :∠ACD=90°， :LECD=∠ACD-LACE=90°-60°=30°， :∠ECD=∠ECF, ∠ECD=∠ECF=30°， LACF=30°， ∠ECD=∠ECF=∠ACF=30°=3ZACD, :CE、CF把∠ACD三等分， :a=90°时，直线CF和直线AE互相垂直，同时CE,CF把LACD三等分 题型7动点与动角问题 1.【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路 (AB∥CD)两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习.经观 察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至 FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G. 【猜想验证】(1)如图，转至某刻，∠G=60°，∠AEG=25°，则∠CFG为多少度？请说明 理由； 【应用迁移】(2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°，若两灯同时开始转动， 则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF=90°？请画图分析并计算. E A D 解：(1)∠CFG=35°. 理由如下：如图，过点G作GH∥AB, 65/86 -B H D :AB∥CD,GH∥AB, .GH∥CD, .∠AEG=∠EGH,∠CFG=∠FGH, :∠EGH+∠FGH=∠EGF, ,LAEG+∠CFG=∠EGF, :∠EGF=60°，∠AEG=25°， .∠CFG=60°-25°=35°. (2)设灯F转动t秒时，∠EGF=90°， :灯E转动的速度是每秒2°， :∠BEG=21°， :∠AEG=(180-21°， :当灯E射线第一次到达EA时，1=180÷2=90（秒）， .0≤1≤90， ①如图所示，当点G在EF右边时， E -B :灯F转动的速度是每秒4°， :∠CFG=(4t)°，∠DFG=180-4t°， 由题意得，∠EGF=∠BEG+∠DFG=90°， 21+180-41=90, 解得1=45，符合题意， :灯F转动45秒时，∠EGF=90°. (此时点G在CD上) 66/86 ②如图所示，当点G在EF左边时， E一B 即当灯F射线旋转180°后返回时， 则∠CFG=(360-41)°，∠AEG=(180-2°， 由(1)中结论可得LAEG+∠CFG=∠EGF, 得：360-41+180-21=90， ：.-6t=90-360-180, 1=75. :灯F转动45秒和75秒时，∠EGF=90°. 2.某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.已知PQ∥CN,A,B为PQ上两点，连 接AC,∠C=20,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点，连接BE. P O P A o B E G D N D 备用图 (1)求∠EAP=_ (2)如图，G为CN上一点，连接AG.当∠I= ∠ADC,∠2=3∠1时，试说明：AC∥BE； 3 (3)探照灯A,D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度 逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后 立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当DN回到出发时的位置 时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的 值 (1)解：PQ∥CN, .∠PAC=∠C=20°， .∠CAB=180°-20°=160°， 67/86 :AD平分∠CAB, 2C4D-2∠C0-号x160=80, ∠EAP=∠PAC+∠CAD=20°+80°=100°， 故答案为：100°； (2)证明：∠1=。∠ADC, 3 .LADC=3∠1， ∠2=3∠1， .∠2=∠ADC, PQ∥CN, .LEAP+∠ADC=180°， ∠ADC=180°-100°=80°， ∴.∠2=80°， ∠PAC=20°，∠EAP=100°， .∠CAE=100°-20°=80°， .∠CAE=∠2， .AC∥BE; (3)解：360°÷15°=24s,当AC∥DN时，则∠ACD=∠HDN,如图， A B H D PB∥CH, .∠PAC=∠ACD, .∠PAC=∠HDN, 由题意得，∠PAC=20°+51，∠HDN=15t, .20°+5t=15°1， .t=2; 当AC⊥DN时，则∠CND=90°，如图， 68/86 A B D H :PA∥CD, .∠ACD=∠PAC=20°+5t, :∠NDH=15t, .∠NDC=180°-15t, .20°+51+180°-151=90°， .1=11: 若DN转射线DC后回旋， 当AC⊥DN时，则∠CND=90°，如图， P A B N C D H :PB∥CH, LACD=LPAC=20°+5t. :∠NDC=15t-180°， .20°+5°1+151-180°=90°. 1=12.5. 当ND∥AC时，则∠NDC=∠ACH,如图， A M D C 由题意得，∠MDN=15t-180°，∠PAC=20°+5t, .∠NDC=180°-∠MDN=360°-151， .20°+51=360°-151 1=17; 当DN1AC时，∠DNC=90°，如图， 69/86 B 6 :∠NDC=360°-151， .∠NDC+∠DCN=90°， :∠NCD=180°-20°+5t, .360°-151+180°-20°+51)=90°， .t=21.5: 综上，t的值为2或11或12.5或17或21.5. 3.台州汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江 水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自射线AM顺时针旋转至射线AN便立即回转，灯B 射线自射线BP顺时针旋转至射线BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的 速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a,b满足a-3b-1+(a+b-5)2=0,假定这 一带长江两岸河堤是平行的，即PQI1MN,且∠BAN=45°. B -P M N (1)求a,b的值； (2)若两灯同时转动，经过40秒，两灯射出的光束交于C,求此时∠ACB的度数： (3)若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达BQ之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（直接写出答案） 解：(1)：a、b满足|a-3b-1+(a+b-5)2=0, .a-3b-1=0,且a+b-5=0, .a=4,b=1; (2)若两灯同时转动，t=40时，如图， 70/86 B E M N 则∠PBC=40°，∠MAC=160°， .∠NAC=180°-160°=20°， .PQIIMN, ∠BCE=40°，∠ACE=20°， ∠ACB=∠BCE+∠ACE=60°； (3)①当0<t<45时， ∴.4t=10+t, 解得 3, ②当45<t<90时， .360-4t=10+t, 解得t=70; ③当90<t<135时， .4t-360=10+t, 解得370 ， ④当135<t<170时， ∴.720-4t=10+t, 解得t=142; 综上所述：t10或t=70或t370或t142. 3 4.如图，∠COD在∠AOB的内部绕点O自由旋转，旋转过程中∠AOB、∠COD的大小始终 保持不变，其中∠C0D=10°，首先∠C0D绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒6°，旋 转开始前OC与OA重合，当旋转至OD与OB重合时，∠COD立即再以另一速度绕点O逆时 针匀速旋转，当旋转至0C与OA重合时，旋转停止，设时间为t秒，记 W·=∠AOC-∠BOD,W用含t的代数式表示，己知∠COD绕点O顺时针匀速旋转过程中， 当t=5和10时，与之对应的W的两个值互为相反数：∠C0D从开始旋转到最后停止，整个 71/86 过程总用时33秒. 顺时针 A 、逆时针 B (1)∠C0D绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：（填“由负到正”或“由 正到负”)； (2)求∠AOB的大小及∠COD逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若W=60,直接写出t的值. (1)解：∠C0D绕点O顺时针匀速旋转过程中，∠AOC从0°逐渐增大到∠A0B-∠C0D, ∠BOD从∠AOB-∠C0D逐渐减小到0°， :Wo=∠AOC-∠B0D, ·.W的值的变化情况是由负到正. 故答案为：由负到正 (2)解：设∠A0B的度数为x, 当t=5时，W=5×6°-(x-5×6°-10)， 当t=10时，W=10×6°-(x-10×6°-10)， 根据题意得，5×6°-(x-5×6°-10)+10×6°-(x-10×6°-10)=0， 30°-x+40°+60°-x+70°=0， 2x=200°， x=100°， .∠A0B=100°， :(100°-10)÷6°=15（秒）， ÷∠C0D逆时针旋转时的速度为10°-10 =5(度/秒). 33-15 答：∠AOB的大小为100°，LC0D逆时针旋转时的速度为每秒5°. (3)解：当0≤1≤15时，∠A0C=6t、∠B0D=(100°-61-10)， 72/86 P=∠A0C-∠B0D=61-(100-61-10)=60,解得：1=25 当25<t≤33时，∠AOC=100-10-5(t-15)、∠B0D=51-15), W=∠A0C-∠B0D=100-10-51-15)-5(t-15)=60,解得：t=18· 答：当w=60时，t的值为2或18 2 5.如图1，点D、O、A共线且∠COD=20°，∠BOC=80°，射线OM,ON分别平分∠AOB 和∠BOD. 如图2，将射线OD以每秒6的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4的速 度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动，设射线OD的运 动时间为t. (1)运动开始前，如图1，∠AOM=°，∠DON=°； (2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AOW? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=35?若存在，请求出t的值；若不存在， 请说明理由. B B D 0 0 图1 图2 (1)解：：∠C0D=20°，∠B0C=80°， .∠B0D=20°+80°=100°， ∠A0B=180°-∠B0D=180°-100°=80°， :射线OM,ON分别平分∠AOB和∠BOD, ÷∠AOM=1∠AOB=40,∠DON=∠BOD=50, 2 2 故答案为：40,50： (2)解：：射线OD以每秒6的速度绕点O顺时针旋转，∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺 时针旋转， ∴.∠B0D=100°+4°t-6°t=100°-2t, 73/86 .∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t, 2×(10-2)=80°4， 解得：t=10, ·当t为10时，射线OB平分∠AON; (3)解：存在某一时刻使得∠MON=35°，分以下两种情况： ①OM在OA上方， 此时∠NOB+∠BOM=35°， 2×C100°2)+×(80°-4t)买 2 解得 3 ②OM在OA下方， 即×(100-2)+}(4t-80)=35, 1 解得t=25, 综上，符合条件的t的值为55或25. 3 一、单选题 1.(2025黑龙江绥化七下期末)如图，AD是∠EAC的平分线，ADBC,∠B=38°，则 ∠C的度数是() C B A A.160 B.30° C.38° D.76° 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质 成为解题的关键， 由平行线的性质可得∠DAE=∠B=38°，DAC=∠C,再根据角平分线的定义可得 ∠DAC=∠DAE=38°，最后根据等量代换即可解答. 74/86 【详解】解：“ADBC∠B=38, ∠DAE=∠B=38°，∠DAC=∠C, “AD是∠EAC的平分线， ·∠DAC=∠DAE=38°， ∠C=∠DAC=38°· 故选C. 2.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入 水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=70°， ∠2=46·，则∠DBC的度数为() 空气 M B人2 A.240 B.20o C.34o D.46° 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出∠MBC的度数，由对顶角定义得 ∠MBD=∠2=46°，再根据∠DBC=∠MBC-MBD求解即可. 【详解】解：“MN‖EF,∠1=70 ∠MBC=∠1=70°， :∠MBD=∠2=46°， ∠DBC=∠MBC-∠MBD=24°， 故选：A. 3.(25-26八年级上安徽蚌埠期中)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边AB 与DE相交于点G,当EFBC时，∠AGE的度数是() E D 75/86 A.45o B.600 C.75o D.1050 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题 的关键.过点G作HGBC则有∠HGB=∠B,∠HGE=∠E又因为△DEF和△ABC都 是特殊直角三角形，得∠E=60·，∠B=45°，进而可求解∠BGB的度数，再根据平角的 定义即可得出答案 【详解】解：过点G作HGBC, H D B ·EFBC HGIEFIBC ∠HGB=∠B,∠HGE=∠E, 在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠E=60°，∠B=45°， ∠HGB=B=45°，∠HGE=∠E=60°， ∠EGB=HGE+∠HGB=60°+45°=105o, "∠AGE+∠EGB=180°， ·∠AGE=180°-105°=750， 故选：C 4.(25-26七年级上四川乐山期末)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被 反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的 光线为n,则∠1=∠2.如图，一束光线AB先后经平面镜0M、ON反射后，反射光线CD 与AB平行，若∠ABM=a,则∠DCN=() M A.a B.90°- c.2 D.180°-2 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关 76/86 键 由平面镜反射光线的规律和LABM=a,可得LABM=a=∠CBO,∠BCO=∠DCN,根 据平角的定义可求出∠ABC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数， 从而求出∠DCN的度数 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和∠ABM=a,可得∠ABM=C=∠CBO, ∠BCO=DCN, ∠ABC=180°-∠ABM-∠CB0=180°-2a' :反射光线CD与AB平行， ∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-(180°-2a)=2a, ·∠BC0+∠DCN=180°-∠BCD=180°-2a, ∠DCN=18%2g=900-Q' 2 故选：B 二、填空题 5.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，ABCD,F为AB上一点，FD EH,过点F作 FG⊥EH于点G,且FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D,则下列结论：①∠EHF=∠HFD: ②∠AFG+∠EHC=∠FGH;③FD平分∠HFB;④∠E=60°.其中正确的结论 是」 B D 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，垂线定义理解，角平分线定义，三角形 内角和定理应用，根据FDEH直接得出∠HP=∠HFD:判断①正确；根据FDEH, FG⊥EH,得出∠GFD=180°-∠FGH=90°： ∠AFG+∠BFD=180°-∠GFD=90°；根据ABICD,得到∠BFD=∠D,得出 ∠HC=D=30·，求出∠E=60，即可判断②④正确；根据已知条件，无法推出 ∠HPD的度数，即可判断③错误， 【详解】解：FDEH, 77/86 ∠R=HFD,故①正确： FDJEH,FG⊥EH ∠GFD=180。-FGH=90°； ·∠AFG+∠BFD=180°-∠GFD=90°： AB IICD. ·∠BFD=∠D: “∠AFG=2D, 2∠D十∠D=90°， 解得：∠D=30°， ∠AFG=2X30°=60， ·FDEH, ∠HC=D=30°， ∠EHC+∠AFG=30·+60°=90°=∠FGH,故②正确； :∠EGF=90°，∠EFG=AFE=号∠AFG=30°， ·∠B=180°-90°-30°=600，故④正确； 根据已知条件，无法推出∠HFD的度数， :无法推出FD平分∠HPB, 故③错误； 综上，正确的有①②④. 故答案为：①②④. 6.(25-26七年级上重庆万州期末)如图ABCD,点F,H分别是AB,CD上的点，点G在 AB,CD之间，连接HG并延长至点M,点E是CD下方一点，连接EH,EF,若HM平分 ∠DHE,FE平分∠BFG,∠E+2∠FGH=150°，则∠BFE=, A B 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质， 利用辅助线构造平行线是解题的关键 78/86 过点G作GL‖AB交EF于点L,令EF交CD于点N,则GL‖ABII CD,∠BFE=a, ∠DHM=B,根据角平分线的性质和角平分线的定义，用a和B表示出∠PGH和∠E,结合已 知条件即可解答。 【详解】解：如图，过点G作GLAB交EP于点L,令EF交CD于点N, F B G 万 设∠BFE=,∠DHM=B, :HM平分∠DHB,FE平分∠BFG, ∠GFE=∠BFE=a,∠BFG=2a'∠DHM=∠EHM=B,∠DHE=2B, ·∠AFG=180°-∠BFG=180°-2a,∠AFE=180°-∠BFB=180°- “ABIICD,GL|AB, GL‖AB I CD, ·∠FGL=AFG=180°-2a,∠LGH=DHM=B,∠HNE=∠AFE=180°-： ∴∠FGH=∠FGL+LGH=180°-2a+B, '∠NHE+∠HNE+∠E=180°， ∠E=180°-NHE-∠HNE=180°-23-(180°-a)=a-23, ∠E+2∠FGH=150°， c-23+2(180°-2a+β)=150°， 整理得3α=210 0=70°， 即∠BFE=70°· 故答案为：70° 三、解答题 7.（(25-26八年级上江西景德镇期末)如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底 79/86 座CD都平行于地面EF,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交 于点N,∠AOE=∠BNM. M (1)求证：OEDM; (2)若OE平分∠A0F,∠ODC=30·,求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM度数： 3)当前支架0E与后支架0F正好垂直，∠0DC=33°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB 与支架0E的夹角∠A0E. 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、角的和差等知识点，灵活运用相 关知识是解题的关键 (1)由对等角相等可得∠BNM=∠OND,进而得到∠AOE=∠OND,再根据同位角相等、 两直线平行即可证明结论： (2)由平行线的性质以及题意可得∠A0D=150，再根据角平分线的定义可得 LB0F=∠A0D=75,再根据平行线的性质以及角的和差可得∠CDN=105,再根 据同位角相等、两直线平行即可解答； (3)由题意可得∠B0D=∠0DC=33°，再根据角的和差即可解答. 【详解】(1)证明：“∠BNM=∠OND,∠AOE=LBNM: ÷∠A0E=∠0ND, ·OEDM (2)解：：ABJEF,CDIEF, ABICD ÷∠0DC+∠A0D=180°， :∠0DC=30°， .∠A0D=150°， :OE平分A0F, ÷∠E0F=∠A0D=75·, 80/86 ·OEDM, ·∠0DN=∠E0F=75°， :∠CDN=∠0DC+∠0DN=30°+75°=105°， “ABIICD, .∠ANM=∠CDN=105o. (3)解：ABICD,∠0DC=33°， .∠B0D=∠0DC=33°， :∠E0F=90°且平角为180°，即∠A0E+∠E0F+∠B0D=180, :∠A0E=180°-∠E0F-∠B0D=180°-900-33°=57°. 8.(25-26七年级上福建泉州期末)（1)如图1，点O在直线AB上，作射线0C, ∠A0C=50°，0D平分∠B0C ①求∠BOD的度数； ②射线ON从OD出发，绕点O以每秒5·的速度逆时针转动，当射线ON首次与OA重合时 立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当∠DON=4∠CON时，求t 的值； (2)如图2，点O、D在直线AB上，∠A0C=∠BDE=40°，射线0M从OC出发，绕 点O以每秒1·的速度逆时针转动；同时射线DN从射线DE出发，绕点D以每秒5·的速度 逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线DN转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 OM‖DN?若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由. OD B O D B 图1 图2 备用图 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的数量关系，以及平行线的性质，以及一元一次方 程的应用，分类讨论是解答本题的关键 (1)①先求出∠B0C=130°，由角平分线的定义求出∠B0D=∠C0D=65。即可， ②分2种情况求解：当ON在∠COD内，当ON在∠AOC内： (2)分4种情况根据平行线的性质列方程求解：当0<t≤28时，OM与DN均在AB上方： 当28<t≤40时，OM在AB上方，DN在AB下方；当40<t≤64时，OM,DN均在AB下 81/86 方；当64<t≤72时，0M在AB下方. 【详解】解：(1)①如图1.1，“∠A0C=50° ∠B0C=180°-∠A0C=1300 “OD平分∠B0C ∠B0D=∠C0D=号∠B0C=65· D 0 B 图1.1 ②当0N在∠00D内，如图1.2，∠D0N=5t,∠00N=∠C0D-∠N0D=65°-5t :∠DON=4LCON 5t=4(65°-5t),即25t=260° “t=望（秒） 5 D C A 0 B 图1.2 当0N在∠A0C内，如图1.3，∠D0N=5t ∠C0N=∠D0N-∠C0D=5t-65° :∠D0N=4∠CON .5t=4(5t-65°)，即15t=260 “t=号（秒). 综上所述，t值为52秒或52秒 5 N 0 B 图1.3 82/86 (2)存在某时刻，使OMDN,理由如下 :∠A0C=∠BDE=40o ∠ADE=180°-∠BDE=1400 当0M与0A重合时，t=40÷1=40(秒) 当DN与DA重合时，t=140÷5=28(秒) 当DN与DB重合时，t=14+180=64(秒) 5 当DN恰好转动一周时，t=360÷5=72(秒) 当0<t≤28时，OM与DN均在AB上方 如图2.1，∠A0M=(40-t)°，∠ADN=(140-5t) OMIDN. ∠AOM=∠ADN, ·40-t=140-5t t=25(秒)，符合题意； C E N M、 D B 图2.1 当28<t≤40时，OM在AB上方，DN在AB下方， 如图2.2，∠D0M=(140+t)°，∠ADN=(5t-140)° E M D B N 图2.2 OMDN. ·∠DOM=∠ADN, 140+t=140-5t, ·t=0(秒)，不合题意舍去， 当40<t≤64时，0M,DN均在AB下方， 83/86 如图2.3，∠A0M=(t-40)·,∠ADN=(5t-140)° C M D B N 图2.3 OMDN. ∠AOM=∠ADN 即t-40=5t-140, t=25(秒)，不合题意舍去： 当64<t≤72时，OM在AB下方，DN在AB上方， 如图2.4，∠A0M=(t-40)°，∠BDN=(5t-140-180)°， C E A M D 图2.4 OMDN. ·∠DOM=∠ODN, ∠AOM=∠BDN 即t-40=5t-140-180, t=70(秒)，符合题意 综上所述，满足条件的t值为25秒，70秒。 9.(25-26八年级上四川达州期末)已知：ABIICD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的 点，∠1=∠2 G -B G B D 图1 图2 图3 84/86 (1)如图1，求证：EF列GH; (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于 点N,EN交GH于点P,求∠N的度数： 3)如图3，在(2)的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q,交EF于点K.若 ∠FEN:∠HFM=5:4,直接写出祭的值. 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定 义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键. (1)由平行线的性质得∠1=∠AEF,再由内错角相等得出EF川GH: (2)过点N作NK!CD,设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论： (3)设∠FEN=x,∠NFM=y,则∠HPM=2y,由∠FEN:∠HFM=5:4,结合前面(2) 的结论，求出角度可得<g的值 ∠PN 【详解】(1)解：证明：：ABCD, :∠2=AEF 又"∠1=∠2， ·∠1=∠AEF, .EFIIGH; (2)解：如图2，过点N作NK‖CD, E A 4 B 5 D 且 D K M 图2 ·AB I CD, ÷KNJCD‖AB, .∠KNE=∠4，∠6=∠7， :EN、FN分别平分∠BER,∠DFM, .设∠4=∠5=x,∠7=L8=y 85/86 :∠ENK=∠5=∠4=x,∠6=∠8=∠7=y, 又：AB I CD, ÷∠EFD=180°-（∠4+5）=180°-2x, 又：FML GH,EFIGH ∠EPM=90°， ÷180°-2x+2y=90°， .8-y=45°， ÷∠ENF=∠ENK-∠6=x-y=45°： (3)解：设∠FEN=x,∠NFM=y,则∠HFV=2y: :∠FEN:∠HFM=5:4,即4x=5×2y: …x=y x-y=y-y=45° ÷y=30°，x=750, EFIGH: ∠BEF+∠EGP=180o, :EN和GQ是角平分线， LBEP+∠AGQ=∠BEP+∠AGP=90, .GQ⊥EN ·∠EKG=∠PGK=∠EGK=90°-x=15o 又：∠MPN=∠PEG=X=75o, …部= 故答案为：言 86/86专题01相交线与平行线中的几何综合 o 0 1.平行线的判定与性质： 同位角相等 平行线的判定 内错角相等 两直线平行 平行线的性质 同旁内角互补 2.垂线相关： 垂线段最短 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离： 【方法总结】 判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，两直线永不相交： 方法二：平行公理推论：如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 方法三：同位角相等，两直线平行： 方法四：内错角相等，两直线平行： 方法五：同旁内角互补，两直线平行； 方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【题型1：复杂图形中的角度计算与证明… 2】 【题型2：探究角度间的数量关系 .6】 【题型3：在生活中的应用 16】 【题型4：定值问题… 18】 【题型5：平移与旋转问题 21】 【题型6：折叠问题…。 27】 【题型7：动点与动角问题 30】 【题型8：压轴真题… 35】 1/38 题型1》 复杂图形中的角度计算与证明 1,将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：① ∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE;④如果∠2=45°，则有 BC∥AD.上述结论中正确的个数是() 7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)∠COM的邻补角为 (2)若∠1=∠2，判断0N与CD的位置关系，并说明理由； (3)若∠1=∠B0C,求∠M0D的度数. 2/38 3.如图，已知APIIDM,点B,C分别是射线AP,DM上的点， ∠D=∠ABC=60°，AM,AN分别平分∠BAC和∠CAD. (1)求∠MAN的度数： (2)若∠AND=∠ACB,求∠ACB的度数. 4.已知直线a∥b,点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，连接AD、BC,BE平分 ∠ABC,DE平分∠ADC,且BE、DE所在直线交于点E. D C 图1 图2 备用图 (1)如图1： ①如果∠ABC=100°，∠ADC=60°，那么∠BED的度数为 ； ②如果设∠ABC=m°，∠ADC=n°，那么∠BED的度数为 (用含有m、n的式子表示) (2)如图2：①试说明∠ABC+∠ADC=2∠E; ②设线段BE与线段AD的交点为点M,线段DE与线段BC的交点为点N,如果 ∠ABC+∠ADC=90°，那么∠BMD+∠BND的度数为 3/38 5.如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点， ∠HAB+∠BCG=∠ABC. H D H F B B G C E G -E C 图1 图2 图3 (1)求证：AD∥CE; (2)如图2，作LBCF=LBCG,CF与∠BAH的角平分线交于点F.若+B=40°，求 ∠B+∠F的度数； (3)如图3，CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,BM∥CR,己知∠BAH=50°，则∠NBM= (直接写出结果). 4/38 6.如图，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像Σ，称为“Σ形BAMCD”. B 图1 图2 图3 (1)如图1，Σ形BAMCD中，若AB∥CD,∠BAM=20°，LDCM=30°，则∠AMC= O: (2)如图2，连接Σ形BAMCD中B,D两点，过点A作AN∥CD,若LABD+∠BDC=I50°， ∠AMC=a,用O的值表示∠BAM+∠MCD的值，并说明理由； B)如图3，已知AB∥CD,EF平分LAEC,FD平分LEDC.若LCED=2LEFD,求 ∠EFD的度数. 5/38 题型2>》 探究角度间的数量关系 1.已知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧. 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CD,∠BPC=a时， ①若BO平分∠ABP,CO平分LDCP,则LBOC= ②若∠A80-∠A8P,∠Dc0-<DCP,则∠B0C= ③若∠AB0=1∠ABP,∠DC0=1∠DCP,则∠BOC= (2)如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的 数量关系，并说明理由； 3)如图3，直接运用(2)的结论探究下列问题： ①若B0平分∠ABP,C0平分∠ACP,当∠BPC=120°，∠B0C=95°时，求∠A的度数； ②若∠AB0=L∠ABP,∠4CO=1∠ACP,当∠BPC=Q,∠B0C=B时，求∠A的度数. 6/38 2.己知AB∥CD,点E,F分别是直线AB,CD上的两点，点P在AB,CD之间，连接 PE,PF. E 一D -D 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若LBEP=35°，∠DFP=55°，求证：PE⊥PF (2)若点G是CD下方一点，PE平分LBEG,DF平分LGFP.请在图(2)中补全图形， 并探究∠EGF,∠EPF与∠BEP之间的数量关系， 7/38 3.如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. 图① 图② (1)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系： (2)CO平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F ①如图②，探究∠E和∠F的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线AB,CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的度数 8/38 4.己知：如图，AR∥CD,点B为CD上一点，∠A=∠C. D H H 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB‖CR: (2)如图2，点E为线段CR上一点，∠DBE的角平分线与∠ARC的角平分线相交于点H,请 直接写出∠BHR与∠BER的数量关系，不必写出证明过程； 3)如图3，在(2)的条件下，连接BR,且BR平分∠ABE,延长BE交AR的延长线于点F ,过点F作FG⊥AF交线段BC于点G,FP平分LBFG交线段HB的延长线于点P,若 ∠HRC=5∠HBR,∠BHR-2∠HPF=47°，求∠HRB的度数. 9/38 5.如图，己知AB∥CD,CH平分LBCD交AB于E点，点F是CH上一动点（点F在 AB的上方). H E A M E G O 图1 图2 图3 a图1，当4F∥C8时，若∠BCE-A,求∠B的度数： (2)如图2，当AF⊥CE时，判断∠A与∠B数量上有何关系？并说明理由； 3)若LA=a°，∠ABC=B°，分别作LAFC和LABC的平分线FG和BG且交于点G,如图 3,求出LMGB的度数（用含°和B°的式子表示）. 10/38 6.己知EM∥BN. E D M F C G N 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由. (2)如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F. ①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=_ ②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由. 3)如图3，∠AEM与ABN的角平分线相交于点F,过点F作FG⊥BD交BN于点G,若 4∠A=3∠EFG,求∠EFB的度数. 7.已知：AB∥CD,P为平面内点. 11/38 B A B A B 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AP,DP,已知∠P=80°，∠D=50°，∠A=-°； (2)如图2，求证：∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)如图3，当点P在直线AB,CD之间时，AP⊥PD于P,DQ平分∠PDC,连接AQ,使 ∠AQD=40°，设∠PAQ=°，∠PAB=B°，直接写出a与B之间的数量关系. 8.已知直线MN∥PQ,点A、C在直线MN上，点B、D在直线PO上. 12/38 E G -N M C M -N B D B D /B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB∥CD,AE⊥AB,且∠EAM=42°，求LCD0的度数； (2)如图2，若AE⊥AB,AG平分∠EAM,AB∥CD,过D点作DF⊥CD交MN于F,求 证：2∠BAG=∠FD0; (3)如图3，若∠ABD=60°，直线AB和直线CD相交于K,点H在直线CD上，探究∠BAH 、∠AHB和∠HBD之间的数量关系，请直接写出结论. 9.如图1，E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD,连接EA,ED. 13/38 ④ ③ B ① ② D 图1 图2 (1)探究猜想： ①若∠A=20°，∠D=50°，则∠AED=度； ②若∠A=35°，∠D=45°，则∠AED=度： ③猜想图1中∠AED、∠EAB、LEDC的数量关系并证明你的结论。 (2拓展应用： 如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被 射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四 个区域上的点，猜想：∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系.（直接写出结论，不要求证明） 10.【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形， 我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系 14/38 图1 图2 图3 (I)如图①，AB∥CD,E为AB,CD之间一点，连接BE、DE,得到∠BED.试探究 ∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由 (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图 ②，若AB∥CD,点E、F为直线AB、CD之间两个点，连接BE、EF、CF,∠E=80°， 求∠B+∠C+∠F的值.并说明理由. 3)【拓展延伸】如图③，如图，AB∥CD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,BE、CF的 反向延长线相交于点H,∠G=∠H+30°，求∠H的值.写出必要的求解过程. 题型3》 生活中的应用 1.生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光源P点照射到抛物 15/38 线上的光线PA,PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若LCAP=45°， LAPB=100°，则∠DBP的度数为() A D B A.45° B.50° c.55° D.无法确定 2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由 于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=122°，则∠2的度 数为() 空 A.32° B.58° C.68 D.789 3.一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两 次转弯的角度可以是() A.先右转80°，再左转100° B.先左转80°，再右转80° C.先左转80°，再右转100 D.先右转80°，再右转80 4.如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图② 是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角 度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角∠BCD=I10°. M- -N D 图① 图② (1)求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数： (2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数. 5.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF,前支 架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N, 16/38 ∠AOE=∠BNM. M N/ -B E (1)请对OEDM说明理由； (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度 数 17/38 题型4》 定值问题 1.如图，MN∥PQ,AB∥CD,∠BDC的平分线DF交AB于点F,∠DBN的平分线BE交 CD的延长线于点E. M B E G D C (1)若∠BAC=30°，BD⊥CD,则∠BED的度数为度； (2)若∠DGB+∠DCA=180°，试探索LBDC,∠EBN,LDGB的数量关系，并说明理由； 3在(2)的条件下，若∠DBN=2LB4C,试探究∠BED-∠DGB 的值是否为定值，若不是 ∠FDG 定值，请说明理由；若是定值，请求出值 18/38 2.己知：点A在直线DE上，点B、C都在直线PO上（点B在点C的左侧），连接AB, AC,AB平分∠CAD,且∠ABC=∠BAC. D A ) D A P B 图1 图2 D E D E P B CO co 备用图1 备用图2 (1)如图1，求证：DE∥PQ; (2)如图2，点K为线段AB上一动点，连接CK,且始终满足2∠EAC-∠BCK=90°. ①当CK1AB时，在直线DE上取点F,连接FK,使得∠FKA=】∠AKC,求此时∠AFK的 度数； ②在点K的运动过程中，∠AKC与∠EAC的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若 不是，说明理由 19/38 3.在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.己知直线 AB、CD,直角三角板EFG,AB∥CD,∠FEG=90°，∠EGF=60°. B A F A B E M C ⊙ D G D D (图1) (图2) (图3) (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上，边GF与AB交于点H,若∠FHA=80° ，则LEGD= (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F、G分别在AB、CD上，∠FEG的角平分线与 ∠FGC的角平分线交于点M,若LEGD=4LBFE,求∠M的度数： (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点F、G仍然分别在AB、CD上，如图3，再将 ∠DGE沿边GE翻折，边GD的对应边GN与AB交于点N,小颖给出下列两个结论： ①LCGN+∠BFE的值不变；②∠CGN的值不变 ∠BFE 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由 题型5》平移与旋转问题 1.如图，已知AD∥BC,∠A=∠C. 20/38 E D 图1 图2 图3 (1)如图1，试说明：AB∥CD; (2)如图2，连接BD,若点E,F在线段AB上，且满足DB平分LFDC,DE平分∠ADF, ∠A=∠C=110°，求∠EDB的度数： 3①如图2，在(2)中，若LA=∠C=x°，其他条件不变，求∠EDB的度数（直接写出答 案，用含x的代数式表示)： ②如图3，在(3)①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当DF平分 ∠EDB时，若LA=∠C=x°，求∠AED的度数（直接写出答案，用含x的代数式表示）： ③如图3，在(3)①的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当 ∠AED=∠CBD时，若LA=LC=x°，求∠ABD的度数（直接写出答案，用含x的代数式 表示)： 2.已知点C在射线OA上. 21/38 A D 0' P 一B B E 图① 图② 图③ (1)如图①，CD∥OE,若∠A0B=90°，∠0CD=120°，求∠B0E的度数； (2)在①中，将射线OE沿射线OB平移得0'E'(如图②)若∠AOB=α，探究LOCD与 ∠B0'E'的关系（用含a的代数式表示）： (3)在②中，过点O作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P,(如图③)若∠CP0'=90 ,探究∠AOB与∠BO'E'的关系. 3.如图，O,D两点在直线AB上，在AB的同侧作直角三角形DOE和射线OC,使 22/38 ∠DOE=90°，∠BOC=30°. AD B 备用图 (1)分别求∠B0C的余角和补角的度数： (2)将△D0E绕点O按每秒5°的速度逆时针方向旋转. ①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线OE恰好平分∠B0C,则此时直线0D是否平分 ∠AOC？请说明理由 ②在旋转一周的过程中，满足OE在∠AOC的内部，请探究此时LAOD与∠COE之间的数 量关系，请说明理由. 4.如图，己知直线PQ∥MN,点A在直线MN上，点B、C在直线PQ上，射线AD是 23/38 ∠CAN的三等分线，即∠CAN=3∠DAN,AC平分∠BAE,∠BAC=40°. M A N M A N M N A D PE C B PE C B CB' B D'Q 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAD=30°，求∠AEC的度数； (2)如图2，在AE上有一点F,满足CF∥AD,且FG平分∠AFC交AB于点G,试探究 ∠AGF与∠ACB的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若∠ABC=80°，∠BAC绕点A顺时针旋转，速度为6°每秒，记旋转中的∠BAC 为∠B'AC',∠C'AN的三等分线为AD',即∠C'AN=3LD'AN,同时BA绕点B逆时针旋转 至BA',速度始终为4°每秒，当AC'与射线AM重合时，∠B'AC'立即以原来速度的一半逆 时针旋转，当AC'运动到与射线AN重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过 程中，当AD∥BA'时，请直接写出t的值. 5,已知AB∥CD,M,N分别在AB,CD上. 24/38 B -D (2) M B -D —D N (3) 备用图 (1)如图(1)，求证：∠MEN=∠AME+∠CNE; (2)如图(2)，若F在AB,CD之间，LEMF=3LBMF,NF平分LEND,若∠F=2LE,求 ∠AME与LCNE的数量关系； (3)如图(3)，射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从 ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于P,若直线ME与 直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒(0≤1≤14)的值. 6.在几何软件中，将ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中LACB=∠DFE=90°， 25/38 ∠D=45°，∠ABC=30°，点D,A,F,B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB<ED· D 图1 图2 图3 (1)如图1，将ADEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA=-°； (2)将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC,直 线DM平分∠FDB,直线EN平分∠GED交直线DM于点N,在图2中按以上叙述补全图 形（无需尺规作图），并直接写出∠EWD的度数。 (3)如图3，将图1中的ABC绕点B逆时针旋转， ①当BC∥DE时，连接AF,BF,则∠DFA-∠FAB= ②若∠E与LABC的角平分线所在直线相交于点Q,∠EQB=27°，直接写出∠DBA的度数. 题型6》折叠问题 1.如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A,B两点， 连接AB,点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线AB上的点B处， 折痕MN交AB于点Q. 26/38 M G D B B B A A A 图1 图2 图3 备用图 (1)①判断折痕MN与AB的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与AB有①中的位置关系， 其中的数学道理是 (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与AB平行的折痕 DE(折痕左端点记为点D,右端点记为点E),请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若∠DEF=26°， ∠EDS=a,∠CAS=B,请直接写出∠DSA的度数.（用a、的代数式表示） 2.【研究背景】 小西同学用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，如图，己知AB=9, AD=3,点E,F分别在边AB,CD上，且AE=2. 27/38 D D. D A 【初始探究】 (1)小西将纸片沿直线EF翻折，点D的对应点为D,点A的对应点A恰好落在对角线 AC上. ①求线段EF的长度； ②若点P为线段AA'上一动点，求√0EP+A'P的最小值. 【拓展提升】 (2)在(1)的条件下，在EF,AD'上取点M,N,沿着直线MN继续翻折，使点E与 点F重合，求折痕MN长. 3.如图，直线l∥12，线段AB的端点A在Z上，端点B在上 28/38 ED 图1 图2 (1)如图1，平行移动线段AB到CD,点M在线段CD上，连接AM,BM.如果△AMC的面 积为S,△BMD的面积为S2,△AMB的面积为S,写出S,S2,S,的数量关系式，并给出推理 过程， (2)如图2，平行移动线段AB到CD,直线CE交线段BD于点E,点N在直线上点D的右 侧；连接AE;把aCDE沿着直线CE翻折，点D的对应点F恰好落在线段AE上；线段AB 与直线Z的夹角为. ①若a=60°，∠ACF=10°，求∠DCE的度数. ②探究：如果∠CAE=∠CED,那么是否存在a,使得直线CF⊥AE,同时CE,CF把 ∠ACD三等分？如果存在，请求出Q的值；如果不存在，请说明理由. 题型⑦》动点与动角问题 1.【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路 (AB∥CD)两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习.经观 察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至 29/38 FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G. 【猜想验证】(1)如图，转至某刻，∠G=60°，∠AEG=25°，则∠CFG为多少度？请说明 理由； 【应用迁移】(2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°.若两灯同时开始转动， 则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF=90°？请画图分析并计算. E 一B G C D 2.某段铁路两旁安置了A,D两座可旋转探照灯.己知PQ∥CN,A,B为PQ上两点，连 接AC,∠C=20,AD平分∠CAB交CN于点D,E为AD上一点，连接BE. 30/38 A P A 0 12 E D -N 备用图 (1)求∠EAP=_ 2)如图，G为CN上一点，连接AG.当∠A=∠ADC,∠2=3∠1时，试说明：AC∥BE: 3 (3)探照灯A,D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC以每秒5度的速度 逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒15度的速度逆时针转动，DN转至射线DC后 立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为1秒，当DN回到出发时的位置 时同时停止转动，则在转动过程中，当AC与DN互相平行或垂直时，请直接写出此时t的 值 3.台州汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江 水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自射线AM顺时针旋转至射线AN便立即回转，灯B 31/38 射线自射线BP顺时针旋转至射线BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的 速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a,b满足a-3b-+(a+b-5)'=0.假定这 一带长江两岸河堤是平行的，即PQ11MN,且∠BAN=45°， 8 Q M A W (1)求a,b的值； (2)若两灯同时转动，经过40秒，两灯射出的光束交于C,求此时∠ACB的度数； (3)若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达BQ之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（直接写出答案） 4.如图，∠C0D在∠AOB的内部绕点O自由旋转，旋转过程中∠AOB、∠COD的大小始终 保持不变，其中∠C0D=10°，首先∠C0D绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒6°，旋 32/38 转开始前0C与OA重合，当旋转至0D与OB重合时，∠C0D立即再以另一速度绕点O逆时 针匀速旋转，当旋转至0C与OA重合时，旋转停止，设时间为t秒，记 W°=∠AOC-∠BOD,W用含t的代数式表示，己知∠COD绕点O顺时针匀速旋转过程中， 当t=5和10时，与之对应的W的两个值互为相反数；∠C0D从开始旋转到最后停止，整个 过程总用时33秒. 顺时针 A C D 不逆时针 0 B (1)∠C0D绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：一 (填“由负到正”或“由 正到负”)； (2)求∠AOB的大小及∠COD逆时针旋转时的速度； (3)在整个旋转过程中，若W=60,直接写出t的值. 5.如图1，点D、O、A共线且∠COD=20°，∠BOC=80°，射线OM,ON分别平分∠AOB 33/38 和∠BOD. 如图2，将射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4的速 度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动.设射线OD的运 动时间为t. B B D M D O 0 A 图1 图2 (1)运动开始前，如图1，∠AOM=°，∠DON=°： (2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AOW? 3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=35？若存在，请求出t的值；若不存在， 请说明理由. 34/38 一、单选题 1.(2025黑龙江绥化中考真题)如图，AD是∠EAC的平分线，ADBC,∠B=38°，则 ∠C的度数是() B A.16° B.30o C.38 D.76° 2.(25-26八年级上·陕西西安期末)如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入 水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=70°， ∠2=46·，则∠DBC的度数为() 1空气 B2 D A.24° B.20o C.34o D.46° 3.(25-26八年级上·安徽蚌埠期中)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边AB 与DE相交于点G,当EFBC时，∠AGE的度数是() E G D A.45° B.60° C.75o D.105° 4.(25-26七年级上四川乐山期末)平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被 反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的 光线为n,则∠1=∠2.如图，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD 与AB平行，若∠ABM=,则∠DCN=() B A 一D anmA9片m A.a B.90o- C.2a D.180°-2 二、填空题 35/38 5.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，ABICD,F为AB上一点，FDIEH,过点F作 FG⊥EH于点G,且FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D,则下列结论：①∠EHF=∠HFD: ②∠AFG+∠EHC=∠FGH;③FD平分∠HFB;④∠E=60·.其中正确的结论 是 6.(25-26七年级上.重庆万州期末)如图ABCD,点F,H分别是AB,CD上的点，点G在 AB,CD之间，连接HG并延长至点M.点E是CD下方一点，连接EH,EF,若HM平分 ∠DHE,FE平分∠BFG,∠E+2∠FGH=150°，则∠BFE=- A 三、解答题 7.(25-26八年级上江西景德镇期末)如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底 座CD都平行于地面EF,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交 于点N,∠AOE=∠BNM. (1)求证：OEDM; (2)若OE平分∠AOF,∠ODC=30。,求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM度数： (3)当前支架0E与后支架0F正好垂直，∠ODC=33。时，人躺着最舒服，求此时扶手AB 与支架0E的夹角∠A0E. 36/38 8.(25-26七年级上·福建泉州期末)(1)如图1，点O在直线AB上，作射线0C, ∠A0C=50°，0D平分∠B0C ①求∠BOD的度数； ②射线ON从OD出发，绕点O以每秒5·的速度逆时针转动，当射线ON首次与OA重合时 立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当∠DON=4∠CON时，求t 的值： (2)如图2，点O、D在直线AB上，∠A0C=∠BDE=40°，射线0M从0C出发，绕 点O以每秒1·的速度逆时针转动；同时射线DN从射线DE出发，绕点D以每秒5·的速度 逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线DN转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 OM‖DN?若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由. A OD B 图1 图2 备用图 37/38 9.(25-26八年级上四川达州期末)己知：ABCD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的 点，∠1=∠2 G H H M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EF列GH; (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于 点N,EN交GH于点P,求∠N的度数； 3)如图3，在(2)的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q,交EF于点K.若 ∠FEN:∠HFM=5:4,直接写出的值. 38/38