精品解析：重庆市第二外国语学校2026届高三下学期五月质量检测数学试题

重庆市第二外国语学校高三（下）五月质量检测 数学试题 本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 则. 故选：B. 2. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，则， 所以，解得. 故选：C. 3. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故选：C. 4. 若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求，再求即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故选：B. 6. 设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法根据关系可求，再求，，，根据余弦定理求结论. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，消可得， 方程的判别式，故， 设，，不妨设， 由已知为方程的根， 所以，， 设点，在准线上的投影分别为，， 因为，所以， 故，所以， 即为方程的根， 故，， 所以，， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 8. 已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，由已知可得，， 根据平面与平面夹角定义可得由确定的平面与平面夹角为，解三角形求夹角大小. 【详解】设直线的交点为，过直线上异于点的一点作平面的垂线，设垂足为，过点作，垂足为，连接，如图： 因为，所以为直线在平面内的投影， 所以直线与平面所成角为， 由已知，， 因为，， 所以，又，，平面， 所以直线平面，又平面， 所以，即， 所以由确定的平面与平面夹角为, 在中，， 在中，，即， 在中，，即， 所以， 又，， 所以，所以， 又，所以， 所以由确定的平面与平面夹角的大小为. 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 该二项式的所有二项式系数之和为64 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由利用赋值法求，，判断AD，利用二项式展开式通项公式求项的系数判断B，结合二项式展开式二项式系数性质判断C. 【详解】因为， 取，可得，A正确， 取，可得， 所以，D正确， 二项式的展开式的通项公式为，， 取可得，， 所以，B错误； 二项式的所有二项式系数之和为,C正确； 故选：ACD. 10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数的 即可判断A；根据正弦定理、两角和与差的正弦公式即可判断B；利用余弦定理计算即可判断C；利用三角恒等变换的化简计算即可判断D. 【详解】A：，且，则， 若为锐角，则且， 此时，即； 若为钝角，则且， 此时，即； 综上，为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意； B：，由正弦定理得， 即，得， 由，解得，又，所以， 即为直角三角形，故B符合题意； C：由，得， 整理得，所以或， 即为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意； D：， ， 即，由，得， 即， ， 得，所以或，解得或， 即为直角三角形，故D符合题意. 故选：BD 11. 已知函数，，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 在区间上单调递减 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求函数的周期判断A，化简函数的解析式，根据偶函数定义判断B，求导，利用导数判断函数在区间上单调的单调性，判断C，结合单调性求函数在上的值域，判断D. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期，A正确； 因为， 所以， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数是偶函数，B正确， ， 当时， 令，可得，设方程的解为， 即，， 当时，此时，， 所以，所以函数在上单调递减， 当当时，此时，， 所以，所以函数在上单调递增，C错误； 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 其中，， 又，， ， 所以函数在上的值域为，D正确； 故选：ABD. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的上顶点与右顶点分别为，若直线的倾斜角为，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质可得坐标，结合条件列出方程可得，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，则直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以， 即，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 13. 为营造安心舒适的学习环境，助力高三学子圆梦高考，重庆市第二外国语学校计划在五月底举行考前趣味活动.现已知年级领导为高三23个班级共准备了50份完全相同的奖品，若每班至少获得2个奖品，有______种不同的奖品分配方法. 【答案】 【解析】 【详解】先给每个班提前分1份奖品，总共分掉份，剩余奖品数为 再将剩余27份相同奖品分给23个班，每班至少再分1份，使用隔板法 14. 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，并确定，再结合函数性质求的最大值. 【详解】因为， 所以， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，取极大值，当时，函数取极小值， 所以，，故， 又，，， 当时，令可得， ， 所以， 故，解得（舍去）或， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） 设直线的方程为，，， 则由得， 由根与系数的关系得①， 由题意，两点不在轴上，所以，，， 又点，， 所以，，由得， 从而由已知得，即②， 又，③， 将③代入②得， 将①代入上式并整理得： ． ， 整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义求得动点的轨迹的方程. （2）设出直线的方程并与轨迹的方程联立，化简写出根与系数关系，结合列方程，化简后判断出直线过定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点. 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 19. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出，可求出、的值，即可得解； （2）由已知得出对任意的，参变量分离得出，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数的零点个数可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，， 解得，，故. 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，，可得， 令，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 则函数至多一个零点，符合题意； 当时，，当时，，且 当时，，作图所示： 由图可知，存在，使得， 且当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，对，函数至多有两个零点，符合题意； 当时，函数有两个零点， 设两个零点分别为、， 当或，，当时，， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为， 且当时，；当时，. 故当时，即当时， 函数有三个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第二外国语学校高三（下）五月质量检测 数学试题 本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. e 6. 设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 8. 已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 该二项式的所有二项式系数之和为64 D. 10. 中，角所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 在区间上单调递减 D. 在上的值域为 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的上顶点与右顶点分别为，若直线的倾斜角为，则的离心率为__________． 13. 为营造安心舒适的学习环境，助力高三学子圆梦高考，重庆市第二外国语学校计划在五月底举行考前趣味活动.现已知年级领导为高三23个班级共准备了50份完全相同的奖品，若每班至少获得2个奖品，有______种不同的奖品分配方法. 14. 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 17. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19. 已知、，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $