北京市平谷中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

平谷中学2025至2026学年高一年级下学期期中考试数学试题 2026.5 第1卷（选择题共40分） 一、选邦题（本大题共10小题，每小题4分，共40分：在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。) 1.在复平面内，下列复数巾对应的点在第四象限的是（) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.设a,五是单位向量，则下列四个结论中正确的是（) A.a=b B.al/b C.a-B=1 D.a 3.已知向母ā=（1，-2)，万=(2,4)，则向量a与6夹角的余弦值为() A号 c.-1 D.1 4.已知m,n为异面直线，mC平面a,nc平面B,aB=l,则l（) A.与m,n都相交B.与mn中至少一条相交C.与m,n都不相交D.至多与m,n中的一条相交 E在△BC中，B=3,8C=1，B=?,则AC=() A.3 B.√万 C.7 D.13 6.已知向量a=(2,4),b=(-1,m)-则“m=3"是“a-)1”的（) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，在AABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点， 则CE= 布-c D. 4 4 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=c-cosA,则△ABC的形状为 A.正三角形 B.$腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.答腰直角三角形 9.设ā，石为非零向量园=2同，则万与6-a的夹角的最大值为() A君 D牙 c号 D 10.在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决杂巾，来自中国的9岁 废方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短"吉尼斯世界纪录称号如图，一个三阶鹿 方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ A.54 B.54-36N2 C.108-72W2 D.81-72√2 第Ⅱ卷 (非选择题共110分) 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡中相应题中机线上） 11复数已知复数2=1（其中是应数单位），则以-一 2i 12某种药物呈胶亵形状，该胶發中间部分为圆柱，左右两端均为半径 为】的半球。已知该胶亵的体积为16，则它的表面积为 3 2 13.已知△ABC为等腰三角形，sinA=2sinB,则cosB=一 14如图，四面体A-B,CD的四个顶点均为长方体ABCD-AB,CD,的 A 顶点.若四面体A一B,CD各校长均为√，则该四面体的表面积 为 一}体积为 15.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上，且DE=2AE,CF=2BF, 如果对于常数入，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同的点P使得PE·PF=入成立，那么1 的取值范围是 2 三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16.已知同=4，=8，日与的夹加 3 (1)求a6与a+: (I)当k为何值时，（a+2)1(a-)? 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2=b2+c2-bc (I)求A: Ⅱ)若cosC=c=8,求AMBC的面积 18.如图，正方体ABCD-AB,CD的梭长为4，E为BB中点， (1)求三搜箍A-E4D的体积： (T)求证：BCII面ADE. 19.在aMBC中，c=2b0sB,C=2 3 (1)求∠B: (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC 边上中线的长。 条件0：c=V26:条件@：△BC的周长为4+2W5:条件国：△MBC的面积为3V5 注：如果进择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果进择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 3 20.如图，游客从来旅游区的点A处到C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C,另一种先从A 沿东道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C,现有甲，乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度 50加/mm,，在甲出发2nmin后，乙从A乘缆车到B,在B处将留1min,耳从B匀速步行到C,假设缆车 12 匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量cosA=7,cosC: （I)求索道AB的长. (1)问：乙出发多少mi山后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (Ⅲ)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过31，乙步行的速度应该控侧在什么范留内？ 21.对任意正整数n,定义集合A=(:,为，，x)川-n≤≤n∈Zi=1,2,3,4).设 a=(4,a,马，a)，B=(%.6,6,ba)eAn定义：c-B=(a-4,a-b、马-，aa-b), a·B=a+a24+ab+ab4. (1)（-1,2,0,3)4(填“∈”或“E”"):44(填“二"或“g") (2)设a=(2,0,2,5),B=(5,2,0,2),2∈4，a1=p.1=0,求1： (3)证明：对任意a,BeA,存在1∈A,满足：a1=B.1=0,且1.1￥0. 一n以App