精品解析：北京市平谷区第五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

平谷区第五中学2024-2025学年度第二学期期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共4分） 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数. 【详解】因为复数z对应的点为，则， 所以z的共轭复数. 故选：A. 2. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； 选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误； 选项C，显然可得出，该选项正确； 选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误. 故选：C. 3. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得. 【详解】由题意设底面半径为，母线为， 圆柱的侧面积为. 故选：C. 4. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 5. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 6. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则 A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同 C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， ， 可得，解得， 与 方向相反， 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对两边平方，再结合正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】两边平方得： ， 解得： 故选：B 8. 已知P为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以， 故选：A. 9. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体结合正弦函数的性质可得，进而根据充分、必要条件分析判断. 【详解】因为且，则， 若在上既不是增函数也不是减函数， 则，解得， 又因为， 所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式. 【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得， ，可取，所以，故选D. 【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下： （1）求、：，； （2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出； （3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线的位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 12. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得模长. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 设，复数.若复数是纯虚数，则_________；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____________. 【答案】 ①. -1 ②. 1 【解析】 【分析】由复数是纯虚数或实数的充要条件即可列式求解. 【详解】，对于第一空：若复数是纯虚数，则，解得； 对于第二空：若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得. 故答案为：-1；1. 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量，再根据向量模的运算求. 【详解】因为，所以， 又因为与的夹角为，， 所以 ； 所以. 故答案为：. 15. 已知菱形的对角线长为3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义，将转化为，再结合菱形的性质求解． 【详解】根据向量数量积的定义，得到．  在菱形中，，为对角线，所以是等腰三角形，边上的高也是的中线． 则表示在方向上的投影，其值等于．  已知，将代入可得： ．  故答案为： 16. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 三、解答题 17. 如图，在中，，点D在边BC上，且． （1）求； （2）求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可； （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解． 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 又， ； 【小问2详解】 因为，所以， ， 由，可得， 在中根据正弦定理得： ， 又，，， 所以． 18. 如图，在正方体中，棱长为2，E是棱的中点． （1）证明：平面BDE； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接AC交BD于点O，连接OE， 因为点O，E分别是，AC的中点，则∥， 且平面BDE，平面BDE， 所以∥平面BDE. （2） 【解析】 【分析】（1）做辅助线，可得∥，由线面平行判定定理证明即可； （2）根据题意结合锥体的体积直接求三棱锥体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方体的性质可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的最小正周期及解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式； （2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值. 【小问1详解】 由图象可知的最大值为1，最小值-1，故； 又∴， 将点代入， ∴， ∵∴ 故答案为：，. 【小问2详解】 由的图象向右平移个单位长度得到函数 ∵ ∴ ∴当时，即，； 当时，即，. 20. 已知向量，，设函数． （1）求的最小正周期，对称轴； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1）最小正周期；对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算结合三角恒等变换可得，结合正弦函数性质求周期和对称轴； （2）以为整体，结合正弦函数单调递减区间运算求解即可. 【小问1详解】 因为向量，，则， 可得 ， 即，则的最小正周期； 令，解得， 所以的对称轴为. 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递减区间为. 21. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定．并解答之． 若___________，___________，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可求解. （2）根据正余弦定理结合可求，然后根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 整理得，即， 又，所以． 【小问2详解】 方案一：选①和②． 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 所以的面积． 方案二：选①和③． 由余弦定理，得， 解得．， ，所以为直角三角形， 所以的面积． 22. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的相伴函数为，当且时，求的值． 【答案】（1） . 取满足条件， 所以函数是以为“相伴向量”的“相伴函数” （2）. 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为，于是结论可证； （2）由“相伴函数”的定义得，再由条件结合同角的三角函数关系即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为向量的“相伴函数”， 所以. 由得， 又因为， 所以，即， 解得或. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷区第五中学2024-2025学年度第二学期期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共4分） 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于向量的命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 5. 在中，若，则的形状一定是（　　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则 A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同 C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是 A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 12. 已知复数，则______． 13. 设，复数.若复数是纯虚数，则_________；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____________. 14. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 15. 已知菱形的对角线长为3，则______． 16. 若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 三、解答题 17. 如图，在中，，点D在边BC上，且． （1）求； （2）求线段的长． 18. 如图，在正方体中，棱长为2，E是棱的中点． （1）证明：平面BDE； （2）求三棱锥的体积． 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的最小正周期及解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 20. 已知向量，，设函数． （1）求的最小正周期，对称轴； （2）求函数的单调递减区间． 21. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定．并解答之． 若___________，___________，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 22. 定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的相伴函数为，当且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $