宁夏银川市第二十四中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 立足七年级下册核心知识，融合生活情境与数学思维，梯度设计考查运算能力、推理意识及应用意识，如整式运算、平行线性质与概率统计的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|整式运算（第1题）、科学记数法（第2题）、垂线段应用（第3题）|成语描述事件类型（第4题）渗透文化，三角板摆放（第5题）考查空间观念| |填空题|8/24|三角形内角和（第10题）、幂的运算（第12题）、绝对值化简（第15题）|阴影面积概率（第11题）体现几何直观，角度规律探究（第16题）发展推理能力| |解答题|8/72|整式混合运算（第17题）、平行线证明（第19题）、统计应用（第20题）|面积法推导公式（第24题）培养模型意识，质检数据计算（第20题）发展数据观念|

宁夏银川市第二十四中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣3x3）3＝﹣9x9 D．2x2•x3＝2x5 2．（3分）某绿色植物细胞的直径约为0.0000065米，数据0.0000065用科学记数法表示为（　　） A．0.65×10﹣5 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣5 D．65×10﹣6 3．（3分）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月 5．（3分）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中∠α和∠β不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（　　） A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B 7．（3分）已知x2+8x+m2是完全平方公式，则m的值为（　　） A．4 B．4或﹣4 C．16 D．﹣4 8．（3分）已知m，n是等腰三角形ABC的两边，且|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 二.填空题（每小题3分，共24分） 9．（3分） 　 　 ． 10．（3分）在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：1，则三角形ABC是　 　 三角形． 11．（3分）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影部分的概率为　 　 ． 12．（3分）已知am＝4，an＝5，则a2m﹣3n＝ 　 　 ． 13．（3分）一个角比它的补角的2倍多12°，则这个角为　 　 ． 14．（3分）已知（x﹣1）（x﹣k）的展开式中不含x的一次项，则k＝　 　 ． 15．（3分）已知a，b，c分别是三角形ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　 　 ． 16．（3分）如图，AB∥CD．求∠1+∠2+∠3．这一题的解决方法有很多，以图1为例： （i）过点E作AB的平行线； （ⅱ）过点E作CD的平行线； （ⅲ）连接AC； （ⅳ）延长AE，与DC的反向延长线相交于一点． 请你选择其中一种方法解决问题．如图（2）、（3），随着AB与CD之间点数的增加，则∠1+∠2+…+∠n＝ 　 　 ． 三.解答题（共72分） 17．（25分）计算： （1）； （2）（9x2y﹣6xy3+3x2y4）÷（3xy）； （3）（a﹣1）（a+1）（a2+1）； （4）利用乘法公式计算：1001×999﹣9972； （5）（2x+1）（x﹣2）﹣3x（4x﹣1）． 18．（6分）先化简，再求值：[（a﹣2b）2﹣（a+2b）（﹣2b+a）﹣6b2]÷2b，其中a＝1，b＝2． 19．（6分）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E，线段BE与CD平行吗？为什么？ 20．（6分）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： （1）表格中m的值为　 　 ，n的值为　 　 ． 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （2）任抽一件该产品是合格品的频率稳定在　 　 ，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为　 　 ．（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 21．（9分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2＝∠3（ 　 　 ）， ∴∠1+∠3＝180°． ∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）． ∴∠B＝　 　 （ 　 　 ）． ∵∠B＝∠DEF（已知）， ∴∠DEF＝　 　 （ 　 　 ）． ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行） 22．（6分）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；若转到其他号码，则重新转动转盘，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 23．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，点P在格点上，直线AB经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图，（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （1）在图1中过点P作直线PM（M为格点），使PM∥AB． （2）在图2中过点P作直线PN⊥AB，垂足为N． 24．（9分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）求出图②所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长分别为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）的长方形，求x+y+z的值． 宁夏银川市第二十四中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A D B C 一.选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣1）2＝a2﹣1 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣3x3）3＝﹣9x9 D．2x2•x3＝2x5 【考点】整式的混合运算．版权所有 【答案】D 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项A错误，不符合题意； 3ab﹣2ab＝ab，故选项B错误，不符合题意； （﹣3x3）3＝﹣27x9，故选项C错误，不符合题意； 2x2•x3＝2x5，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（3分）某绿色植物细胞的直径约为0.0000065米，数据0.0000065用科学记数法表示为（　　） A．0.65×10﹣5 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣5 D．65×10﹣6 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：数据0.0000065用科学记数法表示为6.5×10﹣6． 故选：B． 3．（3分）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A． B． C． D． 【考点】垂线段最短．版权所有 【答案】C 【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【解答】解：根据垂线段最短，线段的性质分别判断如下： A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（3分）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．瓜熟蒂落 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月 【考点】随机事件．版权所有 【答案】D 【分析】根据随机事件、确定事件的定义进行解题即可． 【解答】解：A、瓜熟蒂落是必然事件，故该项不正确，不符合题意； B、守株待兔是随机事件，故该项不正确，不符合题意； C、水涨船高是必然事件，故该项不正确，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，故该项正确，符合题意； 故选：D． 5．（3分）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中∠α和∠β不一定相等的是（　　） A． B． C． D． 【考点】余角和补角．版权所有 【答案】A 【分析】根据对顶角和余角的性质即可判断． 【解答】解：A、∠α与∠β互余，但不一定相等，故本选项符合题意； B、根据同角的余角相等，则∠α和∠β一定相等，故本选项不合题意； C、根据等角的补角相等，则∠α和∠β一定相等，故本选项不合题意； D、根据对顶角相等，则∠α和∠β一定相等，故本选项不合题意； 故选：A． 6．（3分）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（　　） A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B 【考点】平行线的判定．版权所有 【答案】D 【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠B+∠2＝180，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； B、∵∠1＝∠4，∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意； C、∵∠B＝∠3，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题意； D、∵∠1＝∠B，∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥EF，符合题意． 故选：D． 7．（3分）已知x2+8x+m2是完全平方公式，则m的值为（　　） A．4 B．4或﹣4 C．16 D．﹣4 【考点】完全平方式．版权所有 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构特征进行计算即可． 【解答】解：∵x2+8x+16＝（x+4）2，而x2+8x+m2是完全平方式， ∴m2＝16， 解得m＝±4， 故选：B． 8．（3分）已知m，n是等腰三角形ABC的两边，且|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．版权所有 【答案】C 【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m﹣2＝0以及n﹣9＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形ABC腰的长，进而得到周长． 【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣9）2＝0，∴m﹣2＝0，n﹣9＝0，解得m＝2，n＝9．因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，9，因为2+2＜9，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，9，9，此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：9+9+2＝20．故选：C． 二.填空题（每小题3分，共24分） 9．（3分） 　8　 ． 【考点】负整数指数幂；零指数幂．版权所有 【答案】8． 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂法则进行解题课． 【解答】解：原式＝9﹣1＝8． 故答案为：8． 10．（3分）在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：1，则三角形ABC是　等腰直角　 三角形． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】等腰直角． 【分析】由∠A：∠B：∠C＝1：2：1，得∠A＝∠C，且∠B＝2∠C，由三角形内角和定理得∠C+2∠C+∠C＝180°，则∠A＝∠C＝45°，所以AB＝CB，∠B＝90°，可知三角形ABC是等腰直角三角形，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：1， ∴∠A＝∠C，且∠B＝2∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝CB，∠B＝2∠C＝90°， ∴三角形ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 11．（3分）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影部分的概率为　　 ． 【考点】几何概率．版权所有 【答案】． 【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质求出阴影区域的面积即可． 【解答】解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等， 根据旋转的性质易证阴影区域的面积＝正方形面积4份中的一份， 故针头扎在阴影区域的概率为． 故答案为：． 12．（3分）已知am＝4，an＝5，则a2m﹣3n＝ 　　 ． 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【答案】． 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵am＝4，an＝5， ∴a2m﹣3n＝（am）2÷（an）3＝42÷53． 故答案为：． 13．（3分）一个角比它的补角的2倍多12°，则这个角为　124°　 ． 【考点】余角和补角．版权所有 【答案】124°． 【分析】设这个角为α，根据题意得α＝2（180°﹣α）+12°，然后求解即可． 【解答】解：设这个角为α， 根据题意得α＝2（180°﹣α）+12°， 解得α＝124°， 故答案为：124°． 14．（3分）已知（x﹣1）（x﹣k）的展开式中不含x的一次项，则k＝　﹣1　 ． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【答案】﹣1． 【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据（x﹣1）（x﹣k）的展开式中不含x的一次项得出﹣k﹣1＝0，再求出k即可． 【解答】解：（x﹣1）（x﹣k）＝x2﹣kx﹣x+k＝x2+（﹣k﹣1）x+k， ∵（x﹣1）（x﹣k）的展开式中不含x的一次项， ∴﹣k﹣1＝0， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．（3分）已知a，b，c分别是三角形ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　﹣a+3b﹣c ． 【考点】三角形三边关系；绝对值．版权所有 【答案】﹣a+3b﹣c． 【分析】由三角形三边关系定理得到a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，即可化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）]﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c． 故答案为：﹣a+3b﹣c． 16．（3分）如图，AB∥CD．求∠1+∠2+∠3．这一题的解决方法有很多，以图1为例： （i）过点E作AB的平行线； （ⅱ）过点E作CD的平行线； （ⅲ）连接AC； （ⅳ）延长AE，与DC的反向延长线相交于一点． 请你选择其中一种方法解决问题．如图（2）、（3），随着AB与CD之间点数的增加，则∠1+∠2+…+∠n＝ 　（n﹣1）×180°　 ． 【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．版权所有 【答案】图1，∠1+∠2+∠3＝360°；图3，（n﹣1）×180°． 【分析】选择其中一种方法解决问题，连接AC，如图，根据平行线的性质得到∠BAC+∠DCA＝180°，根据三角形内角和定理得到∠2+∠EAC+∠ECA＝180°，两式相加得到∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3，连接AC，根据平行线的性质得到∠BAC+∠DCA＝180°，利用多边形AEN...C为n边形得到此多边形的内角和为（n﹣2）×180°，然后把两式相加得到∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）×180°． 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA＝180°， ∵∠2+∠EAC+∠ECA＝180°， ∴∠BAC+∠DCA+∠2+∠EAC+∠ECA＝360°， 即∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3，连接AC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA＝180°， ∵多边形AEN...C为n边形， ∴n边形的内角和为（n﹣2）×180°， ∴∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣2）×180°+180°＝（n﹣1）×180°． 故答案为：（n﹣1）×180°． 三.解答题（共72分） 17．（25分）计算： （1）； （2）（9x2y﹣6xy3+3x2y4）÷（3xy）； （3）（a﹣1）（a+1）（a2+1）； （4）利用乘法公式计算：1001×999﹣9972； （5）（2x+1）（x﹣2）﹣3x（4x﹣1）． 【考点】整式的混合运算．版权所有 【答案】（1）﹣4x7y5； （2）3x﹣2y2+xy3； （3）a4﹣1； （4）5990； （5）﹣10x2﹣2． 【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式的乘法即可； （2）根据多项式除以单项式的方法计算即可； （3）根据平方差公式计算即可； （4）先变形，然后根据平方差公式计算即可； （5）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1） ＝8x6y3•（xy2） ＝﹣4x7y5； （2）（9x2y﹣6xy3+3x2y4）÷（3xy） ＝9x2y÷（3xy）﹣6xy3÷（3xy）+3x2y4÷（3xy） ＝3x﹣2y2+xy3； （3）（a﹣1）（a+1）（a2+1） ＝（a2﹣1）（a2+1） ＝a4﹣1； （4）1001×999﹣9972 ＝（1000+1）×（1000﹣1）﹣（1000﹣3）2 ＝10002﹣1﹣10002+6000﹣9 ＝5990； （5）（2x+1）（x﹣2）﹣3x（4x﹣1） ＝2x2﹣4x+x﹣2﹣12x2+3x ＝﹣10x2﹣2． 18．（6分）先化简，再求值：[（a﹣2b）2﹣（a+2b）（﹣2b+a）﹣6b2]÷2b，其中a＝1，b＝2． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【答案】﹣2a+b；0． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入即可． 【解答】解：原式＝[a2﹣4ab+4b2﹣（a2﹣4b2）﹣6b2]÷2b ＝（a2﹣4ab+4b2﹣a2+4b2﹣6b2）÷2b ＝（﹣4ab+2b2）÷2b ＝﹣2a+b， 当a＝1，b＝2，原式＝﹣2×1+2＝0． 19．（6分）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E，线段BE与CD平行吗？为什么？ 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【答案】BE∥CD，理由如下： ∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠ABE＝∠E， ∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BE∥CD． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：BE∥CD，理由如下： ∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠ABE＝∠E， ∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BE∥CD． 20．（6分）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： （1）表格中m的值为　475　 ，n的值为　0.95　 ． 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （2）任抽一件该产品是合格品的频率稳定在　0.95　 ，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为　0.05　 ．（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．版权所有 【答案】（1）475，0.95； （2）0.05； （3）42元． 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率，用1减去合格品频率的稳定值即可的不合格品的概率； （3）总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可． 【解答】解：（1）m＝500×0.95＝475，n＝950÷1000＝0.95； 故答案为：475，0.95； （2）任抽一件该产品是合格品的频率稳定在0.95，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05； 故答案为：0.95，0.05； （3）420×0.05×2＝42（元）， 答：估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 21．（9分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2＝∠3（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠1+∠3＝180°． ∴AB ∥EF （ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． ∴∠B＝　∠EFC （ 　两直线平行，同位角相等　 ）． ∵∠B＝∠DEF（已知）， ∴∠DEF＝　∠EFC （ 　等量代换　 ）． ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行） 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【答案】对顶角相等；AB，EF，同旁内角互补，两直线平行；∠EFC，两直线平行，同位角相等；∠EFC，等量代换． 【分析】由于∠1+∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）， ∴∠1+∠3＝180°， AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B＝∠DEF（已知）， ∴∠DEF＝∠EFC（等量代换）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；AB，EF，同旁内角互补，两直线平行；∠EFC，两直线平行，同位角相等；∠EFC，等量代换． 22．（6分）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；若转到其他号码，则重新转动转盘，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【考点】游戏公平性；倍数；概率公式．版权所有 【答案】这个游戏不公平． 1至9九个号码中，2的倍数有2、4、6、8，则小亮去参加活动的概率； 1至9九个号码中，3的倍数有3、6、9，则小芳去参加活动的概率； 因为， 所以这个游戏不公平． 【分析】先在1到9这9个数中找出2的倍数和3的倍数，再分别计算出小亮去参加活动的概率和小芳去参加活动的概率，然后比较两个概率的大小即可判断这个游戏是否公平． 【解答】解：这个游戏不公平． 1至9九个号码中，2的倍数有2、4、6、8，则小亮去参加活动的概率； 1至9九个号码中，3的倍数有3、6、9，则小芳去参加活动的概率； 因为， 所以这个游戏不公平． 23．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，点P在格点上，直线AB经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图，（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （1）在图1中过点P作直线PM（M为格点），使PM∥AB． （2）在图2中过点P作直线PN⊥AB，垂足为N． 【考点】作图—应用与设计作图；垂线；平行线的性质．版权所有 【答案】（1）如图1中，直线PM即为所求； （2）如图2中，直线PN即为所求． 【分析】（1）取格点M，作直线PM即可； （2）取格点J，作直线PJ交AB于点N，直线PN即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，直线PM即为所求； （2）如图2中，直线PN即为所求． 24．（9分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）求出图②所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长分别为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）的长方形，求x+y+z的值． 【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）45； （3）2016． 【分析】（1）推导数学等式 大正方形边长为a+b+c，面积为（a+b+c）2；大正方形由3个小正方形和6个小长方形组成，面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；两种方法面积相等，得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）利用（1）的等式变形：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）；代入a+b+c＝11、ab+bc+ac＝38，计算得结果； （3）计算（25a+7b）（18a+45b）的展开式：450a2+1251ab+315b2；对应x（a2系数）、y（b2系数）、z（ab系数），求和得x+y+z． 【解答】解：（1）大正方形的边长为（a+b+c）， 根据正方形面积公式，其面积为（a+b+c）2， 大正方形由1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、1个边长为c的正方形，2个长为a宽为b的长方形、2个长为a宽为c的长方形、2个长为b宽为c的长方形组成， 各部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 因此（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， 由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）， 可得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac） ＝112﹣2×38 ＝121﹣76 ＝45； （3）（25a+7b）（18a+45b） ＝450a2+1125ab+126ab+315b2； ＝450a2+1251ab+315b2； 因为x张边长为a的正方形面积为xa2，y张边长为b的正方形面积为yb2，z张长为a宽为b的长方形面积为zab， 所以x＝450，y＝315，z＝1251， x+y+z＝450+315+1251＝2016． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $