精品解析：山西临汾市第一中学2025-2026学年第二学期5月高二素质测评数学试卷

5月高二素质测评 数学 考试说明： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则n＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得或（舍）． 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出双曲线的标准方程再求出的值即可求离心率的值. 【详解】双曲线，即，实半轴长，半焦距， 故所求离心率． 3. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果. 【详解】因为，所以，则， ， . 4. 某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布求解即可. 【详解】由题可得服从超几何分布，且，，，所以． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. －120 C. 110 D. －110 【答案】D 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 的展开式中的系数为. 6. 甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式可计算“密码被译出”的概率再用条件概率公式即可. 【详解】设“密码被译出”为事件，“甲译出密码”为事件，则， 已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是． 7. 某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（ ） A. 960种 B. 1056种 C. 3600种 D. 5040种 【答案】B 【解析】 【分析】题目考查了排列组合中的特殊元素优先法、分类讨论思想、插空法，重点是“不相邻问题”和“特殊位置优先安排”的解题技巧. 【详解】体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 8. 若函数在区间上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据在上恒成立，分离参数得在上恒成立.设，利用再次求导的方法判断函数的单调性，求的最小值即可. 【详解】由题可得在上恒成立. 分离参数得：在上恒成立. 令，则， 令，易知在上单调递增， 且时，，，所以，使， 即，可得. 因为，所以， 而在上单调递增， 又，所以，即有，得， 所以在上单调递减，上单调递增， 故，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中各二项式系数的和为1024 C. 展开式中各项系数的和为 D. 展开式中不存在常数项 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共有11项， 所以，故A选项正确； 各二项式系数的和为，故B选项正确； 令x＝1，则展开式中各项系数的和为，故C选项错误； 的展开式中的通项为，， 令，解得（舍去），所以展开式中不存在常数项，故D正确． 10. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件概率定义、全概率公式与事件独立性性质，通过举反例判断A错误；利用全概率公式中与均不大于的放缩证明B正确；由条件概率与事件独立的定义，从推出独立，进而得，判断C正确；通过对立事件概率求出，，再代入全概率公式求解验证D正确． 【详解】对于A，， 若互斥，则，此时， 当，，A错误； 对于B，， 因为，， 所以，B正确； 对于C，若，则相互独立，所以， 所以，C正确； 对于D，因为，， 所以，， 由全概率公式， 得，解得，D正确； 11. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“第一次掷出的点数为偶数”，事件B表示“第一次掷出的点数为3的倍数”，事件C表示“两次掷出的点数之和大于6”，事件D表示“第二次掷出的点数比第一次掷出的点数大”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. B与C相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】当第一次掷出6点时，事件A与事件B同时发生，故A与B不是互斥事件，故A错误； 因为，，， 所以， 所以A与B相互独立，故B正确； 通过列举发现满足事件C有21种情况，则, ， 所以，而，， 所以B与C不相互独立，故C错误； 因为 所以，因此，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】0.4 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴是直线. 因为，所以，所以， 所以. 13. 若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】把写成，二项式展开后前面都是的倍数，只剩，要被1000整除，正数最小就是24. 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 14. 某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”“排球”“羽毛球”“篮球”“足球”五门选修课程，要求该校每位学生在高一、高二每学年至多选修3门，高三至多选修1门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选修完，每门课程限选修一学年，则每位学生的不同的选修方式有______种．（用数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】本题是分组分配问题，第1步将五门选修课程分为3组且有3种情况；第2步将分好的三组安排在三年内选修，即可得. 【详解】第1步将五门选修课程分为3组， ①若分为3，1，1三组有种分组方法， ②若分为2，2，1三组有种分组方法， ③若分为3，2，0三组，有种分组方法， 第2步，将分好的三组安排在三年内选修， 因为要求该校每位学生高一、高二每学年至多选3门，高三至多选1门， 所以对于分组方法①②③，分别有种，种，种情况， 所以共有种选修方式． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 五一期间，甲、乙、丙、丁、戊五人前往邯郸旅游，他们准备在“邯郸道”“广府古城”“京娘湖”这三个景点中选择游玩，因时间关系每人只能选择其中一个景点． （1）若甲和乙去同一个景点，丙和丁不能去同一个景点，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） （2）若要求每个景点都有人去，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） （3）已知每个景点都有人去，求甲和乙去同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先排甲、乙去同一个景点，再排丙、丁分别去两个景点，最后排戊去任意景点即可求解； （2）依题意将五人分成三组，则分组方式有两种：1，1，3和2，2，1，进而求解即可； （3）结合（2）知甲和乙可能在1，1，3分组中的3人组或在2，2，1分组中其中一个2人组，进而求解即可． 【小问1详解】 第一步：先排甲、乙去同一个景点，将甲、乙看作整体，即在3个景区中选择1个，有种； 第二步：再排丙、丁分别去两个景点，即在3个景区中选择2个排列，有种； 第三步：最后排戊去任意景点，即在3个景区中选择1个，有种， 所以不同的安排方案有种． 【小问2详解】 由每个景点都有人去，即将五人分成三组， 则分组方式有两种：1，1，3和2，2，1， 所以不同的安排方案有种． 【小问3详解】 设事件A：每个景点都有人去，事件B：甲和乙去同一个景点． 若每个景点必须有人去，且甲和乙去同一个景点， 则甲和乙可能在1，1，3分组中的3人组或在2，2，1分组中其中一个2人组， 则不同的安排方案有种， 结合（2）得，每个景点都有人去的不同的安排方案共有种， 所以甲和乙去同一个景点的概率为． 16. 已知函数（a为常数），若曲线在点处的切线垂直于直线． （1）求a的值； （2）求的单调区间和最值． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为；最小值为1，无最大值 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导数来计算切线斜率，根据两直线垂直关系，求出的值； （2）利用的值结合对函数求导数得单调区间及函数最值. 【小问1详解】 ，，， 由曲线在点处的切线垂直于直线 ， 所以两条直线的斜率乘积为，又直线 的斜率为， 所以 ，解得； 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 因为 ，所以为偶函数； 当时， ，令，， 因为，所以在上单调递增， 且，，所以在上单调递增， 又是偶函数，所以在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，，当时，； 所以当时，为函数的最小值，无最大值. 17. 袋中装有4个白球和2个红球，除颜色不同外其他完全相同．每次从袋中随机取出1个球且取后不放回，直到取出所有红球或所有白球为止． （1）求恰在第二次取球时首次取到红球的概率； （2）求取球次数X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 P ． 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理结合古典概型公式计算，先算第一次取白球的概率，再算第一次取白球后第二次取红球的概率，两者相乘即可； （2）首先需确定取球次数X的所有可能取值，对于X的每个取值，分析对应的取球事件，利用古典概型计算其概率，列出分布列，再根据数学期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 由题意知恰在第二次取球时首次取到红球的概率为； 【小问2详解】 由题意，X的可能取值为2，3，4，5， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 3 4 5 P 所以． 18. 某公司研发了一款新产品，生产1件该产品需要经过三道相互独立的工序．已知第一道工序的合格率为0.99，第二道工序的合格率为0.9，第三道工序的合格率为0.9，若某道工序不合格，即视为该件产品不合格，并且不再进入后续工序． （1）求生产1件产品不合格的概率； （2）若1件产品合格则可获利润100元，否则损失150元，从生产线上随机抽取了10件产品，求这10件产品利润的数学期望． （3）公司要在国庆节开展新产品发布会，发布会可以在酒店会议厅举行，也可以在户外广场举行．有以下3种方案： 方案1：在酒店会议厅举行，无论天气如何，公司因售卖产品可获得利润3万元； 方案2：在户外广场举行，如果不遇到雨天，公司因售卖产品可获得利润10万元；如果遇到雨天，公司则会因设备损坏和观众减少而损失4万元； 方案3：在户外广场举行，公司需要花费3万元提前准备好临时雨棚．若有雨，公司因售卖产品可获得利润4万元；若无雨，公司因售卖产品可获得利润10万元． 根据天气预报，国庆节当天的降水概率为40%．公司应该选择哪个方案？请通过计算说明理由． 【答案】（1）0.1981 （2）504.75 （3）应选择方案3，理由： 根据题意，下雨的概率和各种方案在不同状态下的净利润如下表所示． 天气状况 有雨 没雨 概率 0.4 0.6 净利润/万元 方案1 3 3 方案2 -4 10 方案3 1 7 方案2和方案3的净利润都是随机变量，可以采用期望净利润最大的方案． 设方案1、方案2、方案3的净利润分别为万元，万元，万元． 采用方案1，无论天气如何，都获得利润3万元．因此，； 采用方案2，若遇上下雨，净利润为－4万元；若没有下雨，净利润为10万元． 因此，； 采用方案3，若遇上下雨，净利润为万元；若没有下雨，净利润为万元． 因此，； 于是，，． 因此，从期望净利润最大的角度，应选择方案3． 【解析】 【分析】（1）先计算产品合格的概率，再利用对立事件的概率关系，用1减去合格概率得到不合格概率. （2）根据合格和不合格的利润，写出利润与随机变量的关系式；最后利用二项分布的期望公式以及期望的线性性质计算利润的数学期望. （3）分别计算三个方案利润的数学期望，因为每个方案的利润是基于不同天气情况的随机变量，所以根据天气的概率，用离散型随机变量的期望公式计算每个方案的期望，再通过比较期望大小确定选择的方案. 【小问1详解】 记“生产1件产品为合格品”为事件A，则， 则生产1件产品不合格的概率为． 【小问2详解】 设这10件产品中合格品的个数为X，这10件产品的利润为Y， 则， 由题知， 则． 【小问3详解】 略 19. 教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持五育并举，践行“健康第一”教育理念，全面提高学生健康水平，加强学校体育工作，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．体育活动时间甲、乙、丙三人做投篮练习，每次仅一人投且只能投一次，之后等可能地选定另外两人当中任何一人投篮，第1次由甲投篮． （1）前三次投篮练习结束时，求丙仅投篮一次的概率； （2）求第n次由甲投篮的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前n次投篮练习中丙投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出丙仅投篮一次的情况，然后计算概率. （2）根据题意，找出与，然后根据等比数列通项公式求解即可. （3）先求出的可能取值，然后计算，然后根据求出. 【小问1详解】 由题意得投篮顺序可以是甲乙丙、甲丙乙或者甲丙甲， 所以前三次投篮练习结束时，丙仅投篮一次的概率为. 【小问2详解】 由题知＝1，若第n＋1次由甲投篮，那么第n次投篮的一定不是甲， 所以必有，即， 即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 【小问3详解】 因为第n次分别由甲、乙、丙投篮的概率和为1，且乙、丙投篮的概率相等， 所以由（2）得第n次由丙投篮的概率为， 设第n次投篮时，丙投篮的次数为，则的可能取值为0，1， 所以，显然， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月高二素质测评 数学 考试说明： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则n＝（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. －120 C. 110 D. －110 6. 甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（ ） A. 960种 B. 1056种 C. 3600种 D. 5040种 8. 若函数在区间上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中各二项式系数的和为1024 C. 展开式中各项系数的和为 D. 展开式中不存在常数项 10. 下列命题正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，，则 11. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“第一次掷出的点数为偶数”，事件B表示“第一次掷出的点数为3的倍数”，事件C表示“两次掷出的点数之和大于6”，事件D表示“第二次掷出的点数比第一次掷出的点数大”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. B与C相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 13. 若能被整除，则正数的最小值是______． 14. 某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”“排球”“羽毛球”“篮球”“足球”五门选修课程，要求该校每位学生在高一、高二每学年至多选修3门，高三至多选修1门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选修完，每门课程限选修一学年，则每位学生的不同的选修方式有______种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 五一期间，甲、乙、丙、丁、戊五人前往邯郸旅游，他们准备在“邯郸道”“广府古城”“京娘湖”这三个景点中选择游玩，因时间关系每人只能选择其中一个景点． （1）若甲和乙去同一个景点，丙和丁不能去同一个景点，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） （2）若要求每个景点都有人去，求共有多少种不同的安排方案？（用数字作答） （3）已知每个景点都有人去，求甲和乙去同一个景点的概率． 16. 已知函数（a为常数），若曲线在点处的切线垂直于直线． （1）求a的值； （2）求的单调区间和最值． 17. 袋中装有4个白球和2个红球，除颜色不同外其他完全相同．每次从袋中随机取出1个球且取后不放回，直到取出所有红球或所有白球为止． （1）求恰在第二次取球时首次取到红球的概率； （2）求取球次数X的分布列和数学期望． 18. 某公司研发了一款新产品，生产1件该产品需要经过三道相互独立的工序．已知第一道工序的合格率为0.99，第二道工序的合格率为0.9，第三道工序的合格率为0.9，若某道工序不合格，即视为该件产品不合格，并且不再进入后续工序． （1）求生产1件产品不合格的概率； （2）若1件产品合格则可获利润100元，否则损失150元，从生产线上随机抽取了10件产品，求这10件产品利润的数学期望． （3）公司要在国庆节开展新产品发布会，发布会可以在酒店会议厅举行，也可以在户外广场举行．有以下3种方案： 方案1：在酒店会议厅举行，无论天气如何，公司因售卖产品可获得利润3万元； 方案2：在户外广场举行，如果不遇到雨天，公司因售卖产品可获得利润10万元；如果遇到雨天，公司则会因设备损坏和观众减少而损失4万元； 方案3：在户外广场举行，公司需要花费3万元提前准备好临时雨棚．若有雨，公司因售卖产品可获得利润4万元；若无雨，公司因售卖产品可获得利润10万元． 根据天气预报，国庆节当天的降水概率为40%．公司应该选择哪个方案？请通过计算说明理由． 19. 教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，坚持五育并举，践行“健康第一”教育理念，全面提高学生健康水平，加强学校体育工作，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．体育活动时间甲、乙、丙三人做投篮练习，每次仅一人投且只能投一次，之后等可能地选定另外两人当中任何一人投篮，第1次由甲投篮． （1）前三次投篮练习结束时，求丙仅投篮一次的概率； （2）求第n次由甲投篮的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前n次投篮练习中丙投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $