精品解析：湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高一年级第二学期中段教学检查数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级中段教学检查 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题19小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 2. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义求解向量的数量积即可. 【详解】. 3. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥的母线和高的长求出底面半径，再由体积公式计算即得. 【详解】由题意，圆锥的母线，高，则底面半径 ， 故其体积 . 故选：B. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以． 故选：A． 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】因为， 所以，，解得． 6. 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理知，， 整理得，解得或， 又，所以， 由正弦定理得. 7. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，，B正确； 对于选项C，可知，则，C错误； 对于选项D，，D正确； 10. 已知的内角，下列说法正确的是（ ） A. B. 是的充要条件 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角的两个锐角，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式分析选项A中角的三角函数关系；结合正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再结合三角形大边对大角的性质推导选项B；根据正弦函数的性质，可得角的关系，据此分析三角形的形状判断选项C；因为是钝角三角形的两个锐角，所以​，利用诱导公式将转化为，再结合正弦函数的单调性分析大小关系即可判断选项D. 【详解】选项A，由，得， 因此，A错误； 选项B，充分性：三角形中大角对大边，， 由正弦定理（为外接圆半径）， 得，充分性成立； 必要性：，必要性成立. 因此是的充要条件，B正确； 选项C，由得 或 ，即或 ， 因此是等腰三角形或直角三角形，不一定为等腰三角形，C错误； 选项D，钝角三角形只有一个钝角，若为锐角，则为钝角， 因此​，即. 又，在单调递增， 因此，D正确. 11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【详解】对于A，若，由的定义有或. 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即. 所以，故，A正确； 对于B，设有非零向量，则，，故，B错误； 对于C，由于，故，C错误； 对于D，若，，，则，D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，方程的另一个根为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】由是关于x的方程的一个根，则另一个根为， ，解得， 所以． 13. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 14. 在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，，利用两角差的正弦公式求出，结合三角形面积公式及代入求解即可. 【详解】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. （1）求“浮球”的体积； （2）求“浮球”的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得球的半径和圆柱底面半径相等都是，圆柱母线为， 因此“浮球”的体积. 【小问2详解】 “浮球”的表面积. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； 【小问2详解】 设（为实数）， 由，可得： 解得，即或， 所以或. 17. 某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 【小问2详解】 过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 18. 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． （1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； （2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设，，根据条件得到，结合条件，即可求解； （2）①根据条件，利用三角形面积及余弦定理得到，利用正弦定理边转角，得到，即可求解；②设，利用①及正弦定得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设，，在中，，， 由余弦定理，得到 又， 所以， 得到，又，所以，则，所以， 则. 【小问2详解】 ①由，则，又， 所以，即，又由余弦定理， 得到，所以，得以， ∴，又 ∴，又，， ∴或，即或（舍去），故， 即. ②不妨设，则， 由正弦定理知，所以， 又，∴， ∴ 又，∴原式， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为，此时. 19. 已知函数，其中为常数. （1）若为定义在上的奇函数，求的值； （2）若，求在[0，4]上的最大值； （3）若在[0，4]上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义 ，把绝对值部分转化为关于 的等式，求出 ． （2）按 与区间 的位置关系讨论，把 化为分段二次函数，再利用二次函数的图象和最值求解． （3）先用端点差给出必要条件，再根据函数在 上的单调变化情况给出和式的上界，最后构造满足条件的点列，得到 的取值范围． 【小问1详解】 因为 是定义在 上的奇函数，所以对任意实数 ，都有. 又，. 所以对任意实数 ，有. 当 时，两边同除以 ，得. 两边平方，得.展开可得. 因为上式对任意 都成立，所以. 当 时，. 此时，所以 是奇函数． 故所求 的值为 ． 【小问2详解】 因为 ，所以分情况讨论． 当 时，若 ，则； 若 ，则. 在上，二次函数 的图象开口向下，对称轴为，所以最大值为. 在 上，二次函数 的图象开口向上，且对称轴为. 因为 时，，所以 在 上单调递增，最大值为. 于是当 时，. 比较两者大小： 等价于. 因为 ，所以. 因此当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ． 当 时，对任意 ，都有 ，所以. 该二次函数图象开口向下，对称轴为. 若 ，则 ，最大值为. 若 ，则 ，所以 在 上单调递增，最大值为. 综上， 【小问3详解】 记. 由于 ，，所以由绝对值不等式可得. 又，，且 ，所以. 解得.因此下面只需在 内讨论． 当 时， 在 上为 ，在 上为 ． 函数 在 上先增后减，最大值为，且. 函数 在 上单调递增，且. 所以不论怎样取满足条件的递增点列，和式 都不会超过. 要使 有可能成立，必须有. 整理得，即. 结合 ，得. 反过来，当 时，有. 所以可在 上取一点 ，使. 当 时，，把除端点外的其余点均取在 内即可， 此时 在 上单调递增，故 ． 当 时，取到的 满足 ．选取点列时，让它经过 ， 并把其余点分别插入相应的单调区间内，则插入点不会改变对应单调区间首尾函数值差之和． 此时.所以. 因此 均满足条件． 当 时，. 因为 ，所以对称轴 在区间 内． 函数在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为，且. 所以和式 不会超过. 要使 有可能成立，必须有. 整理得，即. 结合 ，得. 反过来，当 时，有. 所以可在 上取一点 ，使. 选取点列时，让它经过 ，并把其余点插入区间 内，则插入点不会改变 上首尾函数值差之和． 此时. 因为 ，，所以. 因此 均满足条件． 综上，实数 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级中段教学检查 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题19小题，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 6 6. 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角，下列说法正确的是（ ） A. B. 是的充要条件 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角的两个锐角，则 11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 13. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 14. 在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. （1）求“浮球”的体积； （2）求“浮球”的表面积. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的坐标. 17. 某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 18. 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． （1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； （2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 19. 已知函数，其中为常数. （1）若为定义在上的奇函数，求的值； （2）若，求在[0，4]上的最大值； （3）若在[0，4]上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $