不等式与不等关系综合练习-2027届高考数学一轮总复习（天津市适用）

2027高考数学一轮复习专题二 不等式与不等关系综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】先通过解一元二次不等式，求出集合的取值范围，再根据集合中的元素，筛选出同时满足集合条件的元素，得到两个集合的交集即可. 【详解】由，解得 或 ， 所以或， 又因为， 所以. 2．已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 4．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式不等式、交并补混合运算、交集的概念及运算 【详解】由解得或，故， 由，解得，故， 所以 5．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式比较大小 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 6．已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 7．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 8．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】参变分离可得在区间上恒成立，结合函数的单调性求出，即可得解. 【详解】因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又与均在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D 9．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知且，则与的大小关系为_________． 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】， 因为且， 所以，所以，即． 故答案为： 11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据不等式的解集和韦达定理得出，再求解一元二次不等式即可. 【详解】由题意得，且是方程的两根，则， 则， 则不等式可化为，即， 即，得， 则关于x的不等式的解集为. 故答案为：. 12．已知命题“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】利用命题与其否命题真假性关系，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，再通过判别式求解. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以其否定形式“”是真命题，即有实数根， 所以，即，解得或. 故答案为： 13．设，，则的最小值为_________． 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，，若每次购，根据条件，可求出按第一种策略购买的平均价格，若按第二种策略，设每次花元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比较二者的大小，进而可求得答案. 【详解】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 15．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 【答案】或 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 17．已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则，所以； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 18．已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用均值不等式即可求得积的最大值； （2）利用代换1法，转化为分子分母齐次式，从而可以转化积为定值，和有最小值；                        （3）利用配方法，结合积有最大值，从而可求得平方和的最小值. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为9. （2）因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为3. （3）因为，且 所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为18. 19．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 20．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】(1)2和 (2)8 (3) 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解． 【详解】（1）令，则或， 故的不动点为2和． （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8． （3）由题知：，所以， 由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得， 所以的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高考数学一轮复习专题二 不等式与不等关系综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．一元二次不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知且，则与的大小关系为_________． 11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为________． 12．已知命题“”是假命题，则的取值范围为__________． 13．设，，则的最小值为_________． 14．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 15．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 17．（10分）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且，求的最小值． 18．（12分）已知正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 19．（14分）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 20．（14分）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $