天津市滨海新区经济开发区第二中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试卷

绝密大启用前 泰达中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学期中检测卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数求导正确的是() A.(cosx)′=sinx B.0m2)′=-3 C.()′=x3 D.(2为′=21n2 2.从A,B,C,D,E,F中任选三个字母，所有的选法有() A.6种 B.10种 C.20种 D.720种 3.A+C10=() A.55 B.57 C.100 D.110 4.曲线y=3x2在点(-1,3)处的切线的方程为) A.3x-y+3=0 B.6x+y+3=0C.6x-y-3=0D.x-6y-3=0 5.在(x-)的二项展开式中，第二项的系数为() A.4 B.-4 C.6 D.-6 6.某同学通过计算机测试的概率为， 他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为(). A等 B号 c告 D品 7.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是 A.在(-o∞，0)上为减函数 B.在x=0处取得最大值 C.在(4，+∞)上为减函数 D.在x=2处取得最小值 8.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是(： A.CCZ C00 器 C.1- Cioo D.1-0 9.己知函数f(x)=x一alnx-有极值点，则实数a的取值范围为） A.(1,2) B.(2,+∞) C.(2V2,+∞) D.(4,+o) 第1页，共4页 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10某地区气象台统计，该地区下雨的概率是告，刮风的概率为号既刮风又下雨的概率为品设A为下雨，B 为刮风，那么P(BIA)等于· 11.(x-)1的展开式中二项式系数最大的项是第项. 12.设曲线y=ax+e*在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1,则a= 13.已知随机变量x服从正态分布N(2,o2),且P(X>-1)=0.85,则P(X之5)= 14.已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总量的20%，40%，40%若已知三 人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%，现任取一个零件，则它是次品的概率为 15.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初在为凋髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜 色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为 D B 可 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题12分) 已知二项式(1+2x)”=0+a1x+a2x2+a3x3+…+anx,且其二项式系数之和为64. (1)求n的值； (2)系数a3的值是多少？： (3)求a1+2+ag+…+an: 第2页，共4页 17.(本小题15分) 有3名勇生与4名女生；在下列不同条件下，分别求排法种数 (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (②)全体排成一排，男生互不相邻： (3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变， 18.(本小题15分) 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预 约，若预约成功，便停止预约：若连续预约三天都没成功，则放弃预约、假设该同学每天预约门票成功的 概率均为0.7. (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率： (2)记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列、期望E()和方差D() 19.(本小题15分) 己知f)=-x3+ax2+bx+c(a,b,ceR),且f'(-1)=f'()=0. (1)求a,b的值： (2)若函数f(x)在-2,2上的最大值为4，求函数f(x)在L-1,」上的最小值 20.(本小题18分) 已知函数f(x)=nx+x-1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)x∈[1，+∞)，f(x)≥-2ln+nx)2,求a的取值范围.泰达中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学期中检测答案 【答案】 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8 10.11.6和712.113.0.1514.0.03815.1560 16.解：(1)二项式系数之和2=64， 则=6………… ………………………2 （2)(1十2)展开式的通项+1=6·(2)=6·2·，……4 其中3为3前面的系数， 令=3，则3=g.23=160;…7 (2)令=1，则0十1十2十3十…十6=36=729……9 令=0，则0=1…11 所以1+2+3十…+6=728…… ……12 17.解：(1)（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法…2 再将4名女生进行全排列，也有种方法…4 故共有4X牙=576种排法.……5 (2)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法… *…7 再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法…9 故共有AXA3=1440种排法。……10 (3) (定序法)从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有A种方法…12 剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排…14 故共有A=840种排法。… …15 18.(1)设(=1,2,3)表示事件“甲同学在第天预约成功” 表示事件“甲同学到第3天才预约成功”… 则（)=0.7，（)=0.3… ……3 可得()=（123)=0.3×0.3×0.7=0.063 ………………………5 (2)依题意，的所有可能取值为1,2,3… 且(=1)=0.7 (=2)=0.3X0.7=0.21…8 (=3)=0.3×0.3=0.09 …0*04…9 则的分布列为 1 23 0.70.210.09 ()=1×0.7+2×0.21+3×0.09 …11 =139……… …………12 D()=(12×0.7+22×0.21+32×0.09)-1.392 ……14 =0.4179……… ……15 19.解：(1)函数()=-3+2++， 求导得’()=-32+2+ ……………1 由‘(-1)=‘(3)=0， (-3-2+=0 得-+号+=0 …………3 所以=-1，=1： (2)由(1)得()=-3-2++，'()=-32-2+1=-(+1)3-1).………6 由‘()>0，得e(-1,3) ……7 由‘()<0，得∈(-∞，-1)U(写，+∞)… 所以函数()在(-2，-1)，(3,2)上单调递减，在(-1，)上单调递增 ………9 而(-2)=+2，(2)=-10…… ……………………………………10 )=+多，(-2)>() 0……11 所以()在[-2,2]上的最大值为(-2)，即+2=4，…12 则=2，（)=-3-2十十2，…13 又因为函数()在(-1，)上单调递增，在()上单调递减， …14 且(-1)=1<（分）=名，所以函数()在[-1，]上的最小值为1 …………………………15 20.解：(1) ()的定义域为(0，十0)，… ,…1 ′()=-+1=+ 。。。。。。。。 ……2 当≥0时 ’()>0,所以()在(0，+o∞)上单调递增：… 当<0时 当∈(0，-)时，1()<0，… …5 当∈(-，十0∞)时，/（)>0，…6 所以（)在(0，-)上单调递减，在(-，十∞)上单调递增；…7 综上所述：当≥0时，()在(0，+∞)上单调递增；当<0时，()在(0，-)上单调递减，在(-，+∞) 上单调递增： (2) 当=1时，()≥-2ln+①n)2显然成立，此时可为任意实数： …………………9 当>1时，由ln>0,()≥-2ln+In)在(1，+o)上恒成立， 得之信+ln-2,… ………10 令()=长+ln-2,e4.+o) …11 则)=息 ……12 =1-n)+0n)2-1 (n)2 =1-ln(-n-12, (ln)2 设h()=-ln-1(>1)… ………14 由(1)可知，h()在(1，+o)上单调递增，所以h()>h(1)=0,……15 当∈(1，)时，′（)>0，当∈(，+∞)时，'()<0，所以()在(1，)上单调递增，在(，+∞)上单 调递减： …6 则（)max=()=一，所以≥-，……17 综上，实数的取值范围为[-，十0∞).…I8 【解析】 1.【分析】 本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题。 根据基本初等函数的导数公式依次计算选项中函数的导数，分析即可得答案. 【解答】 解：选项A:()′=一，故A错误 选项B:2是一个常数，因此(2)′=0，故B错误； 选项C:(4′=43，故C错误； 选项D:(2)′=2ln2,故D正确. 故选：· 2.略 3.【分析】 本题主要考查了排列数和组合数公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题. 根据已知条件，结合排列数和组合数公式，即可求解。 【解答】 解：子+0=4×3+10x9=57. 2 故选： 4.【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于基础题 首先求出函数在=一1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程. 【解答】 解：由题意′=6，把=-1代入导数得切线斜率为=-6， 所以曲线=32在点(-1,3)处的切线方程为-3=-6(+1)，即6++3=0. 故选B. 5.【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式， 求展开式中某项的系数，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得，第二项 的系数 【解答】 解：：(-的展开式中的通项公式为+1=4：4·(-1)·一=(-1)·4·42， 令4-2=2，解得=1， 故展开式中的常数项是(-1)4=-4. 故选B 6.【分析】 本题主要考查二项分布及其概率计算，属于基础题， 根据题意知该同学通过计算机测试的次数一(3，)，结合二项分布的概率公式求(=1)的概率即可. 【解答】 解：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为= )'1-)}- 故选A 7.【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于基础题. 结合图象，求出函数的单调区间，再判断函数的最值即可. 【解答】 解：当0<<2或>4时，′()<0，故函数()在(0,2)，(4，+∞)上单调递减， 当2<<4或<0时，′()>0，故函数()在(2,4)，(-∞，0)上单调递增， 故A错误，C正确， “当=0或=4时函数取得极大值，当=2时函数取得极小值， 但函数的最值与端点值的大小有关，故(0)未必是最大值，(2)未必是最小值， 故BD错误， 故选C 8.【分析】 本题考查超几何分布的概率计算，属于基础题。 求出基本事件总数=0，恰有1件不合格品的取法有3·7种，根据概率公式计算即可. 【解答】 解：一批产品共100件，其中有3件不合格品，有97件合格品， 所有的取法有0种，恰有1件不合格品的取法有3·7种， 故从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率为3立 i00 故答案选： 9.解：由‘()=1-+专=2-，“，若函数()有极值点，一元二次方程2-+4=0必有2个不 相等的正根， 又市1+2=，12=4>0，必有[≥0，-16>0可得>4 故选： 10.【分析】 本题考查条件概型，属于基础题，根据条件概率公式即可求出结果 【解答】 解： ()=告()=0 由条件概车公式符(1)=号=孕-层 故答案为 11.由=11为奇数，则展开式中第1+1项和第+1+1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最 2 2 大 12.【分析】 本题考查导数的几何意义求切线方程，属于基础题， 对函数求导可得切线的斜率的关系式，从而可得结果， 【解答】 解：对函数=+求导得′=+， 由已知可得’|=0=+1=2，解得=1. 故答案为1. 13.【分析】 本题主要考查正态分布曲线的特点及性质，正态分布的概率计算，属于基础题 根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得结果. 【解答】 解：因为随机变量服从正态分布(2,2)，（≥5）=（≤-1）=1-（>-1)=1-0.85=0.15. 14.【分析】 本题考查了全概率公式，由全概率公式可得答案. 根据全概率公式求解即可. 【解答】 解：任取一个零件，是次品的概率为0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03=0.038. 15.【分析】 本题考查两个计数原理的综合应用，属于中档题， 把问题分成四步，先涂区域，然后对讨论，分与颜色相同和不同两种情况，最后相乘即可. 【解答】 解：分4步进行分析： ①对于区域，有6种颜色可选， ②对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选， ③对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选， ④对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， 则区域、有4+3×3=13种选择， 则不同的涂色方案有6×5×4×13=1560种. 故答案为：1560. 16.本题考查二项式定理的应用，利用赋值法求解，是基础题 (1)由二项式系数之和2=64，得=6，再得出(1+2)6展开式的通项，可得3： (2)在二项式及其展开式中，令=1，即可求得结果： (3)把二项式及其展开式两边求导，再令=1求得结果。 17.本题考查排列数的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题。 (1)根据排列的定义结合捆绑法进行求解即可； (2)运用插空法，结合排列的定义进行求解即可； (3)运用定序法，结合排列的定义进行求解即可. 18.略 19.详细解答和解析过程见【答案】 20.利用导数求函数的单调区间（含参），利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题. (1)求导得'()=-+1=+，分是否小于0进行讨论即可求解： (②)显然=1时，不等式恒成立，所以原题条件等价于之片+n-2,在(1，+∞)上恒成立，构造函数 ()=行+1n-2,∈(1，+∞)，利用导数求得其最大值即可得解.