精品解析：海南海口市第四中学2025-2026学年下学期高三数学5月模拟试卷

海南海口市第四中学2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则复数z的实部为　　 A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量､，满足，且与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 5. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设函数的图象为曲线，则（ ） A. 将曲线向右平移个单位长度后与曲线重合 B. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则与曲线E重合 C. 将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数 D. 若，且，则的最小值为 10. 已知，且的展开式中所有项的二项式系数之和为，则（ ） A. B. C. D. 为奇数 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 三、填空题 12. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 13. 箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，4．甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________． 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 四、解答题 15. 北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶．某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频率分布表： 收看时间（分钟） 频率 0.15 0.15 0.2 0.25 0.15 0.1 如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”． （1）根据已知条件请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？ 非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 男 10 总计 100 （2）将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率．现在从该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为，且每次抽取的结果是相互独立的．求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量的期望和方差． 附，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 17. 如图1，中，分别是线段上的动点，且，将沿折起至，如图2，在四棱锥中，为的中点，且平面. （1）证明：； （2）若为线段上一点，若平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口市第四中学2025－2026学年下学期高三数学5月模拟试卷 一、单选题 1. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不能为0和开偶次方被开方数不小于0即可求解. 【详解】要使式子有意义，则， 即，解得. 故使式子有意义的x的取值范围为. 故选：B. 2. 已知复数（是虚数单位），则复数z的实部为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 复数的实部为 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：∵，∴，即集合.∵集合，∴， 故选：C. 4. 已知非零向量､，满足，且与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由模的数量积运算表示出模，，求出与的数量积，利用向量的夹角（数量积的定义）可得出结论． 【详解】解：，且与的夹角为 ， 由向量夹角公式可得， 故选：B. 5. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值． 【详解】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以，移项可得，则．  因为，且，所以与异号，又因为在上，所以．  ，由于，，则． 因为，，所以，那么．  根据立方差公式． 因为，，，所以．  的值为． 故选：C． 7. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： , 关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 8. 曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 二、多选题 9. 设函数的图象为曲线，则（ ） A. 将曲线向右平移个单位长度后与曲线重合 B. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则与曲线E重合 C. 将曲线向左平移后所得图象对应的函数为奇函数 D. 若，且，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：根据余弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项B：根据余弦型函数图象变换的规律进行判断即可；选项C：根据余弦型函数图象变换的规律结合奇偶性的判断方法即可判断；选项D：根据余弦型函数的零点进行判断即可； 【详解】选项A：将曲线向右平移个单位长度后可得. 当时，，所以平移后图像与曲线不重合，故选项A不正确. 选项B：将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变可得，故B正确. 选项C：将曲线向左平移后可得 显然时，，所以此时不为奇函数，故C不正确. 选项D：由，可得，即 由，所以， 所以，由，可得的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 已知，且的展开式中所有项的二项式系数之和为，则（ ） A. B. C. D. 为奇数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理及赋值法逐项判断即可． 【详解】因为展开式中所有项的二项式系数之和为，所以，A错误； 令，得，B正确； 令，得， 所以，C正确； 令，得， 所以， 因为为偶数，所以为奇数，D正确． 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ） A. B. C. 的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C. 【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为. 由消去y，整理得，解得或. 因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，， 所以，，，故A正确. 因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确. 由圆的对称性可知，点，所以. 因为，所以点B到直线l的距离， 所以的面积，故C错误. 由以上分析可知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 13. 箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，4．甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为比赛对甲、乙公平，所以甲累计得分比乙大的概率和乙累计得分比甲大的概率相等，且二者概率和加上甲乙得分相同的概率为.所以先算甲乙得分相同概率，再求甲累计得分比乙大的概率. 【详解】如果甲乙得分相等，则得分之比只能为， 则三局中一轮平局，其余两轮各得1分，故概率为， 那么甲累计得分比乙大的概率. 故答案为：. 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求解； （2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 15. 北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶．某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频率分布表： 收看时间（分钟） 频率 0.15 0.15 0.2 0.25 0.15 0.1 如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”． （1）根据已知条件请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？ 非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 男 10 总计 100 （2）将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率．现在从该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为，且每次抽取的结果是相互独立的．求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量的期望和方差． 附，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 15 45 男 45 10 55 总计 75 25 100 没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关． （2）抽到“冬奥迷”的频率为0.25，，. 【解析】 【分析】(1)根据题目所给的条件填表，在根据独立性检验的卡方公式计算即可； (2)根据二项分布公式，直接写出方差和均值即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，有“冬奥迷”25人，故列联表如下： 非冬奥迷 冬奥迷 合计 女 30 15 45 男 45 10 55 总计 75 25 100 把列联表中的数据代入公式计算得： ， 因为，所以没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知抽到“冬奥迷”的频率为0.25，将频率视为概率， 则从观众中抽到一名“冬奥迷”的概率， 由题意得，，故， ； 综上，没有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关， ， . 16. 已知数列的前项和为，且，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）； （2）由（1）可得.. ∴. ∴数列的前项和为. 【解析】 【分析】（1）由可得出数列是等比数列，由和可算出，进而求出通项公式； （2）算出，再运用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，. ∵，∴，∴是等比数列，∴. （2）略 【点睛】（1）给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式，二是转化为的递推关系，先求出，再求. （2）数列求和的方法技巧： ①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和； ②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和； ③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和； ④裂项相消：把通项公式裂成一个新数列相邻两项的差求和. 17. 如图1，中，分别是线段上的动点，且，将沿折起至，如图2，在四棱锥中，为的中点，且平面. （1）证明：； （2）若为线段上一点，若平面与平面的夹角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，由为的中点，得， 由，得，则， 由平面，平面，平面平面， 因此，四边形是平行四边形，， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质证明四边形是平行四边形即可推理得解. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角、线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，而， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 依题意，，解得，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. 【小问2详解】 （i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3） 若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $