第一章 三角形的证明及其应用 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4　线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质和判定 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. △ABC纸片上有一点P，量得PA＝5 cm，PB＝5 cm，则点 P一定(　D　) A. 是边AB的中点 B. 在边AB的中线上 C. 在边AB的高上 D. 在边AB的垂直平分线上 D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E， 下列结论不一定成立的是(　D　) A. AB＝AD B. AC平分∠BCD C. △BEC≌△DEC D. AB＝BD D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝43°，则 ∠BDC的度数为(　C　) A. 90° B. 60° C. 86° D. 43° C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图△ABC，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于 点D，连接BD。若AD＝3，AC＝10，则BD的长为(　B　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，O是AD 上一点，且OB＝OC。若BC＝4，则BD的长为 ⁠。 2　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于 点D，E，AE＝3 cm，△ADC的周长为 9 cm，则△ABC的周 长是 ⁠。 15 cm　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，已知AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上。求证： EB＝EC。 证明：如图，连接BC。 ∵AB＝AC， ∴点A是线段BC的垂直平分线上的点。 ∵DB＝DC， ∴点D是线段BC的垂直平分线上的点。 ∴AE是线段BC的垂直平分线。∴EB＝EC。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接 AD，CD，则下列结论正确的是(　A　) A. AD＝CD B. ∠A＝∠C C. ∠B＝∠ADC D. DE＝DF A B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB。若 AC＝12，BC＝18，则AE的长为 ⁠。 13　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. 如图，已知点A(2，3)和点B(4，1)，在x轴或y轴上有一 点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为 ⁠ ⁠。 (1，0) 或(0，－1)　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N 分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到 ⁠ 处时，与村庄M，N的距离相等。 线段MN的 垂直平分线与公路的交点　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一 点，BD的垂直平分线EG交AB于点E，DE交AC于点F。求 证：点E在AF的垂直平分线上。 证明：∵EG垂直平分BD，∴BE＝DE。 ∴∠BEG＝∠DEG。 ∵∠ACB＝90°，∴EG∥AC。 ∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE。 ∴∠EAF＝∠AFE。∴AE＝EF。 ∴点E在AF的垂直平分线上。 证明：∵EG垂直平分BD，∴BE＝DE。 ∴∠BEG＝∠DEG。 ∵∠ACB＝90°，∴EG∥AC。 ∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE。 ∴∠EAF＝∠AFE。∴AE＝EF。 ∴点E在AF的垂直平分线上。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 13. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是14，腰 AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F。若D为底边 BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值 为 ⁠。 9　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $1　三角形内角和定理 第4课时　多边形的外角和 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 目录 CONTENTS 温馨提示 | 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 1. 正十二边形的外角和为(　C　) A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800° C A层 基础练 2. 佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内 角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为 (　C　) A. 36° B. 40° C. 45° D. 60° C A层 基础练 3. 已知边数为n的多边形的内角和是x°，外角和是y°，且 x＝2y，求n的值。 解：∵多边形的外角和为360°， ∴y＝360。 ∵n边形的内角和为(n－2)·180°，x＝2y， ∴(n－2)·180＝2×360。 解得n＝6。 解：∵多边形的外角和为360°， ∴y＝360。 ∵n边形的内角和为(n－2)·180°，x＝2y， ∴(n－2)·180＝2×360。 解得n＝6。 A层 基础练 4. (教材P11习题T8)是否存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻 内角的 ？简述你的理由。 解：存在。理由如下： 设每个外角是x°，则相邻的内角是5x°。 由题意，得x＋5x＝180。 解得x＝30。 ∴多边形的边数是360°÷30°＝12。 ∴这个多边形是正十二边形。 故存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 。 解：存在。理由如下： 设每个外角是x°，则相邻的内角是5x°。 由题意，得x＋5x＝180。 解得x＝30。 ∴多边形的边数是360°÷30°＝12。 ∴这个多边形是正十二边形。 故存在一个多边形，它的每个外角都等于相邻内角的 。 A层 基础练 5. 一个正多边形的每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°。 (1)求每个外角的度数； 解：(1)设正多边形的每个外角为x°，则与其相邻的内角为 (3x＋20)°。 由题意，得(3x＋20)＋x＝180。 解得x＝40。 ∴正多边形的每个外角为40°。 (2)求这个正多边形的边数。 (2)∵正多边形的外角和为360°， ∴正多边形的边数为 ＝9。 A层 基础练 6. 如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化， 下列说法正确的是(　D　) A. 内角和不变，外角和增加180° B. 外角和不变，内角和增加180° C. 内角和不变，外角和增加360° D. 外角和不变，内角和增加360° D B层 提升练 7. 一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始 到停止所行走的路程为 ⁠。 24 m　 B层 提升练 8. 如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平 面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN。若 ∠ABN＝120°，则n的值为(　A　) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 A B层 提升练 9. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别 是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝ °。 180　 B层 提升练 10. 如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两 条边的一部分。若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°， 则n的值是(　B　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 B B层 提升练 11. 已知A，B是两个多边形，请阅读关于A，B的相关信息， 并完成下列各小题。 (1)刘鹏说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大。”请你 判断刘鹏的说法是否正确，并说明理由； 解：(1)该说法错误。理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角和都等于 360°，所以该说法错误。 C层 拓展练 (2)设A的边数为n(n＞3)。小红说：“无论n取何值，x的值始终不 变。”请用列方程的方法说明理由。 (2)∵A的边数为n(n＞3)，则B的边数为n＋x， ∴A的内角和为180°(n－2)，B的内角和为180°(n＋x－2)。 ∵B的内角和比A的大360°， ∴B的内角和为180°(n－2)＋360°＝180°n。 ∴180°(n＋x－2)＝180°n。 解得x＝2。 ∴无论n取何值，x的值始终不变，为2。 (2)∵A的边数为n(n＞3)，则B的边数为n＋x， ∴A的内角和为180°(n－2)，B的内角和为180°(n＋x－2)。 ∵B的内角和比A的大360°， ∴B的内角和为180°(n－2)＋360°＝180°n。 ∴180°(n＋x－2)＝180°n。 解得x＝2。 ∴无论n取何值，x的值始终不变，为2。 11. 已知A，B是两个多边形，请阅读关于A，B的相关信息，并完成下列各小题。 C层 拓展练 $1　三角形内角和定理 第1课时　三角形的内角和及其证明 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 1. 在△DEF中，∠D＝42°，∠E＝73°，则∠F的度数为 (　A　) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° A A层 基础练 2. 将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚 恰好接触直尺的一组对边。已知∠1＝40°，∠2＝112°，则 ∠3的度数为(　D　) A. 72° B. 68° C. 40° D. 28° D A层 基础练 3. 一张三角形纸片如图所示，已知∠B＋∠C＝α。若沿着虚 线剪掉阴影部分纸片，记∠1＋∠2＝β，则下列选项正确的是 (　A　) A. α＝β B. α＞β C. α＜β D. 无法比较α和β的大小 A A层 基础练 4. 在△ABC中，如果∠A＋∠B＝∠C，那么∠C的度数 为 ⁠。 5. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则这个三角 形为 三角形(按角的分类)。 90°　 钝角　 A层 基础练 6. (教材P4练习T1·改编)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB， BD与CE交于点O，∠ACB＝60°，∠A＝46°。求∠BOC的度数。 解：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°。 ∵∠A＝46°，∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－46°＝74°。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×74°＝37°。 ∴∠BOE＝180°－∠ABD－∠BEC＝180°－37°－90°＝53°。 ∴∠BOC＝180°－∠BOE＝180°－53°＝127°。 A层 基础练 7. 在Rt△ABC中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数 为(　B　) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° B B层 提升练 8. (思想方法·整体思想)如图，在△ABC中，∠B＝60°，点P 在边BC上，点D在边AC上，连接AP，DP，且∠1＝∠2，则 ∠APD的度数为 ⁠。 60°　 B层 提升练 9. 如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线 于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G。 (1)若2∠1＋∠EAB＝180°，求证：EF∥BC； (1)证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°。 ∴∠C＋∠CAB＝90°。 ∵AD是△ABE的角平分线， ∴∠EAB＝2∠CAB。 ∵2∠1＋∠EAB＝180°， ∴2∠1＋2∠CAB＝2(∠1＋∠CAB)＝180°。 ∴∠1＋∠CAB＝90°。∴∠C＝∠1。 ∴EF∥BC。 B层 提升练 (2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数。 9. 如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD 的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G。 (2)解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°。 ∴∠CAB＝90°－∠C＝90°－72°＝18°。 ∵AD是△ABE的角平分线， ∴∠EAB＝2∠CAB＝2×18°＝36°。 ∴∠ABE＝180°－∠EAB－∠AEB ＝180°－36°－78°＝66°。 ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝90°－66°＝24°。 B层 提升练 10. 在△ABC中，点D在边AB上(不与点A，B重合)，点E在边AC上(不与点A，C重合)，CD与BE交于点O。 (1)如图1，若∠A＝60°，BE，CD为△ABC的角平分线，求∠BOC的度数； 解：(1)∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°。 ∵BE，CD为△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB。 ∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝60°。 ∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝120°。 C层 拓展练 10. 在△ABC中，点D在边AB上(不与点A，B重合)，点E在边AC上(不与点A，C重合)，CD与BE交于点O。 (2)如图2，若∠EBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，请直接写出∠BOC与∠A的数量关系。 (2)∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A。 ∵∠EBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB， ∴∠EBC＋∠DCB＝ ∠ABC＋ ∠ACB ＝ (∠ABC＋∠ACB) ＝ (180°－∠A) ＝60°－ ∠A。 ∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－ ＝120°＋ ∠A。 C层 拓展练 $4　线段的垂直平分线 第2课时　与垂直平分线有关的尺规作图 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定 在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离 相等，则超市应建在(　C　) A. AC，BC两边高线的交点处 B. AC，BC两边中线的交点处 C. AC，BC两边垂直平分线的交点处 D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处 C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，在△ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于点O。 若OA＝2，则OA＋OB＋OC＝ ⁠。 6　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. (教材P37练习T1)如图，已知△ABC，完成下列尺规作图： (1)作AC边上的高； 解：(1)如图所示，线段BH即为所求。 答图 解：(1)如图所示，线段BH即为所求。 答图 (2)作BC边上的高。 (2)如图所示，线段AD即为所求。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°。 (1)利用尺规作图：作线段AC的垂直平分线MN(保留作图痕 迹，不写作法)； 解：(1)如图所示，MN即为所求。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 (2)BC＝1，设MN与AB交于点D。连接CD，求△BCD的周长。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°。 (2)连接CD。 ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－30°＝60°。 ∵BC＝1，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2。 ∵MN是AC的垂直平分线，∴CD＝AD。 ∴AB＝BD＋AD＝BD＋CD。 ∴△BCD的周长＝ BD＋CD＋BC＝AB＋BC＝2＋1＝3。 ∴△BCD的周长是3。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的 方法在BC上确定一点D，使AD＋BD＝BC，那么符合要求 的作图痕迹是(　D　) A B C D D B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 已知：线段a，直线l及l外一点A。 求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，且点B，C在直线l上 (保留作图痕迹，不写作法)。 解：如图所示，△ABC即为所求。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠B＝30°， AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交 BC于点N。 (1)求△AEN的周长； (1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝EA。 ∵MN是AC的垂直平分线，∴NA＝NC。 ∴△AEN的周长＝AE＋EN＋AN ＝BE＋EN＋NC＝BC＝12。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠B＝30°， AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交 BC于点N。 (2)求证：EB＝EN＝NC。 (2)证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°。 ∵EB＝EA，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°。 ∴∠AEN＝∠EAB＋∠B＝60°， ∠ANE＝∠NAC＋∠C＝60°。 ∴△AEN是等边三角形。∴EA＝EN＝NA。 ∴EB＝EN＝NC。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. (思想方法·辅助线)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交 BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，垂足分别为M， N。若BD＝ ，DE＝2，EC＝ ，则△ABC的面积为 　 　。 　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $2　等腰三角形 第4课时　等边三角形的判定及含30°角 的直角三角形的性质 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. △ABC的三边长分别为a，b，c。若满足(a－b)2＋｜b－ c｜＋(c－a)2＝0，则△ABC的形状为(　A　) A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 含30°角的直角三角形 D. 钝角三角形 A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这 个三角形的形状是(　C　) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 上述三种情形都有可能 C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 下列条件中，不能判断△ABC是等边三角形的是(　D　) A. ∠A＝∠B＝∠C B. AB＝AC，∠B＝60° C. ∠A＝60°，∠B＝60° D. AB＝AC，且∠B＝∠C D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于 点B，再以点B为圆心，BO的长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线OC，则∠O的度数为(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 快过年了，小明和妈妈去商场，如图是商场营业大厅自动 扶梯示意图。若自动扶梯AB的长为 18 m，倾斜角为30°，则 自动扶梯的垂直高度BC＝ m。 9　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，在△ABC中，D为边BC延长线上的一点，已知 ∠A＝60°，∠ACD＝120°。求证：△ABC是等边三角形。 证明：∵∠ACD＝120°， ∴∠ACB＝180°－∠ACD＝60°。 ∵∠A＝60°， ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝60°。 ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°。 ∴△ABC是等边三角形。 证明：∵∠ACD＝120°， ∴∠ACB＝180°－∠ACD＝60°。 ∵∠A＝60°， ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝60°。 ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°。 ∴△ABC是等边三角形。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，在△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点 A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD。求证：△ECB是等边 三角形。 证明：∵AD∥CE，∴∠A＝∠CEB＝60°。 ∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB。 ∴△ECB是等腰三角形。 又∵∠CEB＝60°， ∴△ECB是等边三角形。 证明：∵AD∥CE，∴∠A＝∠CEB＝60°。 ∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB。 ∴△ECB是等腰三角形。 又∵∠CEB＝60°， ∴△ECB是等边三角形。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是 斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是(　D　) A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm D B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 某市计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草 皮以美化环境，已知∠BAC＝150°，则这块草皮的面积为 m2。 150　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. (思想方法·整体思想)如图，△ABC是等边三角形，AB＝ 10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于 点F，则BE＋CF的长是(　A　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 A B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使 AD＝BE＝CF。求证：△DEF是等边三角形。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C。 ∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE。 在△ADF和△BED中， ∴△ADF≌△BED(SAS)。∴DF＝DE。 同理DE＝EF。∴DE＝DF＝EF。 ∴△DEF是等边三角形。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 12. (思想方法·辅助线)如图，等边三角形ABC的边长为4，过 边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点。 当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为(　A　) A C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $2　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 山西万荣东岳庙的飞云楼的建筑风格是典型的重檐歇山 式，如图1所示，飞云楼的顶端可以近似看作是等腰三角形 ABC(如图2)，其中AB＝AC，AD是BC边上的中线，已知 ∠B＝61°，则∠BAD的度数为(　D　) A. 61° B. 58° C. 39° D. 29° D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点E是BC延长线上一点， ∠ACE＝100°，则∠A＝ ⁠。 50°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，则∠C的度数为 ⁠。 72°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝ 32°，∠BAD＝42°，则∠DAC的度数为 ⁠。 74°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点 C作CE∥AB交AD的延长线于点E。求证：∠E＝∠CAE。 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴AD平分∠BAC。 ∴∠BAE＝∠CAE。 ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAE。 ∴∠E＝∠CAE。 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴AD平分∠BAC。 ∴∠BAE＝∠CAE。 ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAE。 ∴∠E＝∠CAE。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 证明：等腰三角形两腰上的高相等(补全图形，并证明)。 已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D。 求证：BD＝CE。 证明：补全图形如图所示。 ∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°。 ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD(AAS)。 ∴CE＝BD。 ∴等腰三角形两腰上的高相等。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠ABC＝50°， BE＝DE，则∠AED的度数为 ⁠。 50°　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D， DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为 (　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。求证： AD⊥BC。 证明：如图，延长AD，交BC于点E。 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD。 而AD＝AD，∠ADB＝∠ADC， ∴△ABD≌△ACD(ASA)。∴AB＝AC。 ∴△ABC是等腰三角形。 ∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线， ∴AE⊥BC。∴AD⊥BC。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. (思想方法·辅助线)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是 BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF。求 证：DE＝DF。 证明：如图，连接AD。 ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC。∴∠EAD＝∠FAD。 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS)。∴DE＝DF。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D，E分别 在BC，AC上(点D不与B，C两点重合)，且∠1＝∠C。若 AD＝DE，则AE的长为 ⁠。 2　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $5　角平分线 第2课时　三角形三个内角的平分线 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 如图，一个加油站恰好位于两条公路a，b所夹的角的平分 线上。若加油站到公路a的距离是80 m，则它到公路b的距离 是(　C　) A. 60 m B. 70 m C. 80 m D. 90 m C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，P是△ABC内的一个点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC 于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF，则点P是(　B　) A. △ABC三条中线的交点 B. △ABC三条角平分线的交点 C. △ABC三条高的交点 D. △ABC三边垂直平分线的交点 B A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BD＝4，根 据尺规作图的痕迹可知，CD的长为 ⁠。 2　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好 在BC边的高AD上，则△ABC一定是 三角形。 等腰　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 下列各图中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分 ∠BAC的有 (填序号)。 ①③　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. (教材P44习题T2)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线。 求证：BD＝2CD。 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E。 ∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD。 在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴DE＝ BD。 ∴BD＝2DE＝2CD。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，BP，CP分别平分 ∠ABC，∠ACB，PD⊥BC于点D，且PD＝5，则图中阴影 部分的面积为 ⁠。 50　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. (情景题)如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构 成一个直角三角形(Rt△ABC)，两直角边AC，BC的长分别为 60 m和80 m。已知输油中心O是Rt△ABC三个内角平分线的交 点，从输油中心O向三条支路各铺设一条最短的管道，则铺设 的三条管道的总长(视管道为线段)是(　C　) A. 20 m B. 30 m C. 60 m D. 90 m C B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，在Rt△ABC中。 (1)利用尺规)等于PC的长(保留作图痕迹，不写作法)； 解：(1)如答图1所示，点P即为所求。 答图1 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 (2)画出(1)中的线段PD。若AC＝5，BC＝12，求PB的长。 (2)如答图2所示，线段PD即为所求。 答图2 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝ ＝13。 由作图知AP平分∠CAB， ∵∠C＝90°，PD⊥AB，∴PC＝PD。 ∵AP＝AP，∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)。 (2)如答图2所示，线段PD即为所求。 答图2 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝ ＝13。 由作图知AP平分∠CAB， ∵∠C＝90°，PD⊥AB，∴PC＝PD。 ∵AP＝AP，∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)。 ∴AC＝AD＝5。∴BD＝13－5＝8。 设PC＝PD＝x，则BP＝12－x。 在Rt△BDP中，由勾股定理，得 x2＋82＝(12－x)2。解得x＝ 。 ∴PB＝12－ ＝ 。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. (思想方法·辅助线)如图，△ABC的外角∠MBC，∠NCB 的平分线交于点P。求证：点P在∠A的平分线上。 证明：如图，过点P作PD⊥AM于点D，作PE⊥BC于点E， 作PF⊥AN于点F。 证明：如图，过点P作PD⊥AM于点D，作PE⊥BC于点E， 作PF⊥AN于点F。 答图 ∵BP，CP分别是△ABC的外角∠CBD，∠BCF的平分线， ∴PD＝PE，PF＝PE。 ∴PD＝PF。 ∴点P在∠A的平分线上。 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $1　三角形内角和定理 第3课时　多边形的内角和 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 1. 下列多边形中，内角和最小的是(　A　) A B C D A A层 基础练 2. 求出下列图形中x的值。 (1)x＝ ； (2)x＝ ⁠； 50　 75　 (3)x＝ ⁠。 110　 A层 基础练 3. 菲菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点 分别与其他不相邻的各顶点相连，这样把原来的七边形分割成 了 个三角形，最终求出七边形的内角和是 ⁠。 5　 900°　 A层 基础练 4. 正十边形的内角和等于 ⁠。 1 440°　 A层 基础练 5. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂。”图1窗棂的外边框 为正六边形(如图2)，则该正六边形的每个内角为 °。 120　 A层 基础练 6. 一个正多边形的每个内角为108°，则它的边数是 ⁠。 5　 A层 基础练 7. 在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝90° ＋β，则(　B　) A. α＝－β B. α＝90°－β C. α＝180°－β D. α＝360°－β B A层 基础练 8. (教材P8练习T1)小彬求出一个正多边形的一个内角为145°。 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果 不正确，请说明理由。 解：不正确。理由如下： 设正多边形的边数为n。 由题意，得145°n＝(n－2)·180°。解得n≈10.29。 ∵n是正整数， ∴他求的正几边形的内角不正确。 解：不正确。理由如下： 设正多边形的边数为n。 由题意，得145°n＝(n－2)·180°。解得n≈10.29。 ∵n是正整数， ∴他求的正几边形的内角不正确。 A层 基础练 9. 如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角 形，则∠EAF等于(　B　) A. 36° B. 48° C. 54° D. 60° B B层 提升练 10. 如图，四边形纸片ABCD中，∠A＋∠B＝150°。将纸片 折叠，使点C，D落在边AB上的点C'，D'处，折痕为MN，则 ∠AMD'＋∠BNC'＝ °。 60　 B层 提升练 11. 如图，六边形ABCDEF的每个内角相等。若∠1＝58°， 则∠2的度数为 ⁠。 58°　 B层 提升练 12. (教材P11习题T13·节选)图中所示的是由三个完全相同的正 多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种正多边形 是几边形？为什么？ 解：正多边形是正六边形。理由如下： ∵由三个完全相同的正多边形拼成， ∴每个内角度数为360°÷3＝120°。 设这种正多边形是n边形。 ∴120°n＝(n－2)·180°。 解得n＝6。 故这种正多边形是正六边形。 B层 提升练 13. 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求x的值。 解：五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°。 ∵五边形ABCDE的内角都相等，∴每个内角为540°÷5＝108°。 ∴∠E＝∠EDC＝∠C＝108°。 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由三角形内角和定理可知， ∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－108°)÷2＝36°。 ∴∠1＋x°＋∠3＝108°， 即36°＋x°＋36°＝108°。解得x＝36。 C层 拓展练 $3　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定、 逆命题与逆定理 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐 角的度数是(　C　) A. 25° B. 55° C. 65° D. 75° C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝50°，则∠A的 度数为 ⁠。 3. 命题“若a＞b，则a＋1＞b＋1”的逆命题是 ⁠ ⁠。 70°　 若a＋1＞b ＋1，则a＞b　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E，F分别是边 AB，AC上一点，且AF＝EF。若∠CFE＝72°，则∠B ＝ ⁠。 54°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2， BC＝1，CD＝3，则∠B的度数是(　D　) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 下列线段中，a＝10，b＝5，c＝6，d＝8，选择其中的三 条能构成直角三角形的是(　C　) A. a，b，c B. b，c，d C. a，c，d D. a，b，d C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，在△ABC中，AD＝BD＝CD。求证：△ABC是直角 三角形。 证明：∵AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD。 ∵∠ACD＋∠BCD＋∠A＋∠B＝180°， 2∠ACD＋2∠BCD＝180°。 ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°。 ∴△ABC是直角三角形。 证明：∵AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD。 ∵∠ACD＋∠BCD＋∠A＋∠B＝180°， 2∠ACD＋2∠BCD＝180°。 ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°。 ∴△ABC是直角三角形。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中， 各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是 (　A　) A B C D A B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°，按 如图方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC 中，∠1，∠2满足的等量关系为(　B　) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＋∠2＝270° C. ∠1－∠2＝20° D. ∠1－∠2＝∠C B B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. 下列命题：①若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；②直角三角形 的两个锐角互余；③如果a＝0，那么ab＝0；④互为相反数的 两个数的和为0。其中原命题和逆命题均为真命题的是 ⁠ (填序号)。 ②④ B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等 边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32。 (1)求证：△BDC为直角三角形； (1)证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°。 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝90°。 ∴△BDC为直角三角形。 (1)证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°。 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝90°。 ∴△BDC为直角三角形。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等 边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32。 (2)求CD的长。 (2)解：∵AD＋AB＋BC＋CD＝32，AD＝AB＝8， ∴BC＋CD＝16。 设CD＝x，则BC＝16－x。 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°， 由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2， 即64＋x2＝(16－x)2。解得x＝6。 ∴CD＝6。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 12. 如图，正四棱柱的底面边长为 10 cm，侧棱长为16 cm，一 只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C'处吃食物，那么它需要 爬行的最短路径的长是 cm。 4 　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $1　三角形内角和定理 第2课时　三角形的外角及其推论 第一章 ｜ 三角形的证明及其证明 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 1. 关于三角形的外角，下列说法错误的是(　A　) A. 一个三角形只有三个外角 B. 三角形的每个顶点处都有两个外角 C. 三角形的每个外角是与它相邻的内角的邻补角 D. 一个三角形共有六个外角 A A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 2. 如图， 是△ABD的外角，以∠ADB为外角的三 角形有 个，它们是 ⁠。 ∠BDC　 2　 △DEC和△BDC　 A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 3. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD＝100°，BE 平分∠ABC，∠ABC＝48°，则： (1)∠A＝ ⁠； (2)∠BEC＝ ⁠。 52°　 76°　 A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 4. 如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1的度数 为 ⁠。 105°　 A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 5. 如图1是榫卯结构的一种，图2是它的示意图，已知∠1＝ ∠2＝120°，那么∠3的度数为 ⁠。 120°　 A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 6. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上， DE∥AB交AC于点F。若∠1＝105°，求∠C的度数。 解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝60°。 ∵∠1是△CDF的外角， ∴∠1＝∠C＋∠CDE。 ∴∠C＝∠1－∠CDE＝105°－60°＝45°。 解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B＝60°。 ∵∠1是△CDF的外角， ∴∠1＝∠C＋∠CDE。 ∴∠C＝∠1－∠CDE＝105°－60°＝45°。 A层 基础练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 7. 将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝ 45°，EF∥AB，则∠CGD＝ ⁠。 75°　 B层 提升练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 8. 如图是一个“燕尾形”，已知∠ADC＝105°，∠ABC＝ 63°，∠A＝22°，则∠C的度数为(　B　) A. 15° B. 20° C. 22° D. 42° B B层 提升练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 9. (情景题)电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图1 是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图2是图1的简易 示意图，若笔记本电脑的屏幕AB垂直于支架底座CD的位置。 (1)∠ABC与∠BCD的数量关系是 ， 并写出证明过程； ∠ABC－∠BCD＝90° (1)证明：如图，延长AB交CD于点G。 ∵AB⊥CD，∴∠BGC＝90°。 ∴∠ABC＝∠BCD＋∠BGC＝∠BCD＋90°。 ∴∠ABC－∠BCD＝90°。 B层 提升练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 (2)若图中的撑杆FE⊥BC于点E，试探索∠ABC与∠DFE的数量关系， 并说明理由。 (2)解：∠ABC＝∠DFE。理由如下： ∵FE⊥BC，∴∠FEC＝90°。 ∴∠DFE＝∠FEC＋∠BCD＝∠BCD＋90°。 由(1)可知，∠ABC＝∠BCD＋90°， ∴∠ABC＝∠DFE。 (2)解：∠ABC＝∠DFE。理由如下： ∵FE⊥BC，∴∠FEC＝90°。 ∴∠DFE＝∠FEC＋∠BCD＝∠BCD＋90°。 由(1)可知，∠ABC＝∠BCD＋90°， ∴∠ABC＝∠DFE。 9. (情景题)电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图1 是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图2是图1的简易 示意图，若笔记本电脑的屏幕AB垂直于支架底座CD的位置。 B层 提升练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 10. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E。 (1)若∠B＝35°，∠BAC＝105°，求∠E的度数； (1)解：∵∠B＝35°，∠BAC＝105°， ∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝140°。 ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝ ∠ACD＝70°。 ∴∠E＝∠ECD－∠B＝35°。 C层 拓展练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 10. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA 的延长线于点E。 (2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。 (2)证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ECA。 ∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ECA＋∠E， ∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。 (2)证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ECA。 ∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ECA＋∠E， ∴∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。 C层 拓展练 上一页 下一页 学霸智慧课堂·数学·八年级下册(深圳专版) 返回导航 $2　等腰三角形 第3课时　等腰三角形的判定及反证法 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 下列三角形中，不是等腰三角形的是(　A　) A B C D A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于 60°。证明的第一步是(　A　) A. 假设最大的内角小于60° B. 假设最大的内角大于60° C. 假设最大的内角大于或等于60° D. 假设最大的内角小于或等于60° A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C。若AB＝3，BC＝4，则 △ABC的周长为 ⁠。 10　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，则图中的等腰三角形 是 ⁠。 △ABC　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，∠1＝∠2，BD＝CD，求证：△ABC是等腰三角 形。 证明：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB。 ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB， 即∠ABC＝∠ACB。∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形。 证明：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB。 ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB， 即∠ABC＝∠ACB。∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分 ∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D。求证：AD＝BD。 证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABE＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°。 ∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE。 ∴BE＝AE。∴△ABE为等腰三角形。 ∵ED⊥AB，∴AD＝BD。 证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABE＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°。 ∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE。 ∴BE＝AE。∴△ABE为等腰三角形。 ∵ED⊥AB，∴AD＝BD。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. (情境题)将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示 意图如图所示。若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长 为(　A　) A. 10 cm B. 11 cm C. 12 cm D. 13 cm A B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 求证：如果实数a，b满足a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0。 (用反证法证明) 证明：假设a≠0或b≠0， 则有3种情况：①a≠0且b≠0；②a≠0且b＝0；③a＝0且b≠0。 当a≠0且b≠0时，a2＞0，b2＞0， ∴a2＋b2＞0，这与a2＋b2＝0矛盾； 同理可得当a≠0且b＝0或a＝0且b≠0时，a2＋b2＞0，这与 a2＋b2＝0矛盾。 因此，假设“a≠0或b≠0”不成立。 所以，如果实数a，b满足a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点， BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P， CH∥AB交AD的延长线于点H。 (1)求证：△APF是等腰三角形； 证明：(1)∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P。 ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2。 ∴∠4＝∠P。∴AF＝AP。 ∴△APF是等腰三角形。 证明：(1)∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P。 ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2。 ∴∠4＝∠P。∴AF＝AP。 ∴△APF是等腰三角形。 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点， BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P， CH∥AB交AD的延长线于点H。 (2)①求证：△BEF≌△CDH； (2)①∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1。 ∵EF∥AD，∴∠1＝∠3。∴∠H＝∠3。 在△BEF和△CDH中， ∴△BEF≌△CDH(AAS)。 ②直接写出AB与PC的数量关系 ⁠。 AB＝PC　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $3　直角三角形 第2课时　直角三角形的HL全等判定 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，能根据“HL”判定 △ABD≌△ACD最好的条件是(　D　) A. BD＝CD B. ∠B＝∠C C. ∠BAD＝∠CAD D. AB＝AC D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D。若CB＝CD， 且∠1＝30°，AC＝2，则CD的长为(　A　) A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，添加一个条件 ，使得Rt△ABE≌Rt△DCF。 AB＝CD(答案不唯一)　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD ＝BE，∠C＝∠F＝90°。若∠ABC＝57°，则∠ADF的度 数为 ⁠。 123°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AD＝BE， ∠1＝∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC是直角三角形。 ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC。 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，AB＝CD，点D，B到AC的距离相等，即DE＝ BF。求证：AB∥CD。 证明：由题意知DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°。 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)。 ∴∠BAF＝∠DCE。∴AB∥CD。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板 刻度相同，即PM＝PN，画射线OP，则OP平分∠AOB。作 图过程中用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的 判定定理是(　C　) A. SSS B. AAS C. HL D. ASA C B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AD与BC交于点O，AD＝ BC。求证：OD＝OC。 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C＝∠D＝90°。 在Rt△ABD和Rt△BAC中， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)。 ∴BD＝AC。 在△BOD和△AOC中， ∴△BOD≌△AOC(AAS)。∴OD＝OC。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE＝CF。求证：Rt△ADE ≌Rt△CDF。 证明：如图，连接BD。 ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)。∴AD＝CD。 ∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°。 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. (思想方法·辅助线)如图，在平面直角坐标系中，P(4，4)。 点A在x轴的正半轴运动，点B在y轴的正半轴上，且PA＝ PB，则OA＋OB的值为 ⁠。 8　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $2　等腰三角形 第2课时　等边三角形的性质 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 下列直线不是等边三角形的对称轴的是(　A　) A. 三条中位线所在的直线 B. 三条高所在的直线 C. 三条中线所在的直线 D. 三条角平分线所在的直线 A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则 ∠BAD的度数为(　D　) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，过等边三角形ABC的顶点B作射线。若∠1＝20°， 则∠2的度数为 ⁠。 80°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC 上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为 ⁠。 105°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点 E，使CE＝CD，则下列结论错误的是(　D　) D A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，△ABC为等边三角形，BC⊥CD，垂足为C，AC＝ CD。求∠CED的度数。 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°。 ∵BC⊥CD，∴∠ECD＝90°。 ∴∠ACD＝∠ACB＋∠ECD＝60°＋90°＝150°。 ∵AC＝CD，∴∠D＝ ×(180°－150°)＝15°。 ∴∠CED＝180°－∠D－∠ECD＝180°－15°－90°＝ 75°。 解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°。 ∵BC⊥CD，∴∠ECD＝90°。 ∴∠ACD＝∠ACB＋∠ECD＝60°＋90°＝150°。 ∵AC＝CD，∴∠D＝ ×(180°－150°)＝15°。 ∴∠CED＝180°－∠D－∠ECD＝180°－15°－90°＝ 75°。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，在等边三角形ABC中，点E是AC边上一点，AD为 BC边上的中线，AD，BE相交于点F。若∠AEB＝100°， 则∠AFB的度数为 ⁠。 130°　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. 如图，等边三角形OAB的边长为2，则它的面积为 ⁠。 　 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 10. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在 同一直线上，连接BE。若BE＝2，AE＝8，则CE的长是 (　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的 点，且AE＝CD。 (1)求证：AD＝BE； (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°。 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(SAS)。∴BE＝AD。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 11. 如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的 点，且AE＝CD。 (2)求∠AFB的度数。 (2)解：由(1)可知△ABE≌△CAD。 ∴∠ABE＝∠CAD。 ∵∠BAD＋∠CAD＝60°， ∴∠BAD＋∠ABE＝60°。 ∴∠AFB＝180°－(∠BAD＋∠ABE)＝180°－60°＝ 120°。 (2)解：由(1)可知△ABE≌△CAD。 ∴∠ABE＝∠CAD。 ∵∠BAD＋∠CAD＝60°， ∴∠BAD＋∠ABE＝60°。 ∴∠AFB＝180°－(∠BAD＋∠ABE)＝180°－60°＝ 120°。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 12. (思想方法·面积法)如图，已知△ABC是等边三角形，O是BC边上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2。求OE＋OF的值。 解：如图，连接OA。 ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC。 ∵OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2， ∴S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＝ BC×2 ＝ AB·OE＋ AC·OF。 ∴OE＋OF＝2。 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $5　角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 第一章 ｜ 三角形的证明及其应用 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 目录 CONTENTS B层 提升练 A层 基础练 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 1. 如图，AD是∠BAC的平分线，点P在AD上，PM⊥AB于 点M，PM＝3，则点P到AC的距离是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 2. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上 的一个动点。若PA＝4，则PQ的长不可能是(　A　) A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 A A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交 BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为 ⁠。 3　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 4. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分 线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE的周长为12，则AC的 长为 ⁠。 8　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 5. 如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝ 30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，连接OB。若 OM＝ON，则∠ABO的度数为 ⁠。 15°　 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 6. 如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F且BD＝ CD。求证：点D在∠BAC的平分线上。 证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°。 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)。∴DE＝DF。 又∵CE⊥AB，BF⊥AC，即DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上。 A层 基础练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 7. 如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分 ∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②DE平分∠ADC； ③DE＝BE；④AD＝AB＋CD。其中正确的是(　D　) A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ D B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 8. 如图，点A，B分别在∠O的两边上，点P是∠O内一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，且OA＝OB， PC＝PD。求证：PA＝PB。 证明：如图，连接OP。 ∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD， ∴OP是∠AOB的平分线。∴∠AOP＝∠BOP。 在△AOP和△BOP中， ∴△AOP≌△BOP(SAS)。∴PA＝PB。 B层 提升练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 9. (思想方法·辅助线)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC延长线于点F。 (1)求证：BE＝CF； (2)若AB＝5，AC＝3，则BE＝ ⁠。 (1)证明：如图，连接BD，CD。 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°。 ∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD。 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)。∴BE＝CF。 1　 C层 拓展练 上一页 下一页 数学·八年级下册 返回导航 $