第一章　三角形的证明课件 2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

第4课　等腰三角形的判定 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，且∠ACD＝∠BCD.若DE＝9，BE＝7.5，则BC的长为 ( ) A．16.5     B．15.5     C．14     D．13 A 数学　八年级下册 2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为 ( ) A．5     B．3     C．4     D．2 D 数学　八年级下册 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD.求证：△ACD为等腰三角形． 证明：∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ECD. ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°＝∠B. 又∵AB＝CE， ∴△ABC≌△CED(ASA). ∴AC＝CD. ∴△ACD为等腰三角形． 数学　八年级下册 (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE⊥BC，∴∠FEB＝∠DEC＝90°. ∴∠B＋∠BFE＝90°，∠C＋∠D＝90°. ∴∠BFE＝∠D. 又∵∠BFE＝∠AFD，∴∠D＝∠AFD. ∴AD＝AF.∴△ADF是等腰三角形． 4．(BS八下P17T7·改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC于点E，交AB于点F. (1)求证：△ADF是等腰三角形； 数学　八年级下册 (2)解：如图，过点A作AG⊥DE，垂足为G， 易得△AFG≌△BFE，∴GF＝EF. ∵AB＝AC，AC＝10，∴AB＝10. ∵F为AB的中点， (2)若AC＝10，BE＝3，F为AB的中点，求DF的长． ∴AF＝BF＝ AB＝5. 在Rt△BFE中，BE＝3，∴EF＝ ＝4. ∴GF＝4. ∵AD＝AF，AG⊥DF，∴DF＝2GF＝8. 数学　八年级下册 5．用反证法证明“△ABC中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设 ( ) A．这个三角形中有一个内角大于60° B．这个三角形中有一个内角大于或等于60° C．这个三角形中每一个内角都大于60° D．这个三角形中每一个内角都小于60° 6．要用反证法证明命题：“在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，应先假设_________． D ∠B≥90° 数学　八年级下册 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，DF⊥BC于点F. (1)求证：AB＝BF. (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠FBD. ∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∴∠BAD＝∠BFD. 又∵BD＝BD，∴△ABD≌△FBD(AAS).∴AB＝BF. 数学　八年级下册 (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． (2)解：AD＝AG.理由如下： ∵AE是斜边BC上的高，∴AE⊥BC. 又∵DF⊥BC，∴AE∥DF. ∴∠AGD＝∠BDF. 由(1)得△ABD≌△FBD，∴∠ADB＝∠BDF. ∴∠AGD＝∠ADB. ∴AG＝AD. 数学　八年级下册 解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠BDC＝∠A＋∠ACD， ∠ACB＝∠BCD＋∠ACD， ∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB. ∴∠ABC＝∠BDC.∴CD＝CB. 8.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，∠BCD＝∠A. (1)如图1，试说明CD＝CB的理由． 数学　八年级下册 (2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F. ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． (2)①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°.∴∠CBE＋∠ACB＝90°. 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°－α. ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α. ∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝ 180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α. ∴∠BCD＝2∠CBE. 数学　八年级下册 ②由①得∠BFD＝∠CBE＋∠BCD＝α＋2α＝3α. 分三种情况： 当BD＝BF时，∠BDC＝∠BFD＝3α. 又∵∠BDC＝90°－α， ∴90°－α＝3α.∴α＝22.5°. ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 数学　八年级下册 当DB＝DF时，∠DBE＝∠BFD＝3α. ∵∠DBE＝∠ABC－∠CBE＝90°－α－α＝90°－2α， ∴90°－2α＝3α.∴α＝18°.∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时，∠DBF＝∠BDF. ∵∠BDF＝∠ABC>∠DBF， ∴不存在FB＝FD. 综上所述，∠A的度数为45°或36°. 数学　八年级下册 $第13课　《三角形的证明》复习作业 数学　八年级下册 1.如图所示，借助“三等分角仪”能将任意角三等分．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可以绕点O旋转，已知点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝102°，则∠O的度数是 ( ) A．34°     B．51°     C．25.5°     D．17° A 数学　八年级下册 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，E是AB的中点．如果BC＝2，那么DE的长为　 ( ) A．1     B．2     C．4     D．6 A 数学　八年级下册 3．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地ABC的边AB 上建一个休息亭D，使它到AC和BC两边的距离相等．下列方案中，能满足休息亭D的位置要求的是 ( ) A 数学　八年级下册 4．如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为 ( ) A．30°     B．60°     C．120°     D．150° B 数学　八年级下册 5．小明认为，在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么∠B与∠C所对的边AC与AB也不相等．要用反证法证明这一结论，应先假设 ( ) A．∠B＝∠C     B．AC＝AB     C．AB＞AC     D．AB＜AC B 数学　八年级下册 6．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是 ( ) A．10°    B．15°     C．20°    D．25° 7．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝ ， AC＝2，BD是边AC上的中线， 则线段BD的长是_____． B 数学　八年级下册 证明：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA. 又∵∠B＝42°， ∴∠DAB＝∠B＝42°. ∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝84°. ∵∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝84°＝∠ADC， ∴CA＝CD.∴△ACD是等腰三角形． 8.如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，∠B＝42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD.求证：△ACD是等腰三角形． 数学　八年级下册 9．我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系．按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质：等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质． 已知：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，_____________________． 求证：____________． AD是斜边BC上的中线 AD＝ BC 数学　八年级下册 解：证明如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC. ∴∠B＝∠BAD.∴AD＝BD. ∴等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ∴∠BAD＝ ∠BAC＝45°. ∵BD＝ BC， ∴AD＝ BC. 数学　八年级下册 10.定义：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫作筝形． ∠ABC与∠ADC叫作筝形的正对角，AC与BD是它的对角线，它们交于点O，其中AC叫作筝形的正对角线． Ⅰ.根据定义可以进行如下推理： 推理1：∵四边形ABCD是筝形,∴①_____. 推理2：在四边形ABCD中，∵AB＝AD， CB＝CD，∴②________. 数学　八年级下册 Ⅱ.性质：从整体来看，筝形ABCD是轴对称图形，它的对称轴是正对角线AC所在的直线．由此，可以猜想得到筝形局部元素的性质如下： 从“角”的角度，可以发现筝形的正对角相等． 从“对角线”的角度，可以发现筝形的正对角线垂直平分另一条对角线．这个命题的证明如下： 已知：如图1，在筝形ABCD中, AB＝AD， CB＝CD. 求证：AC垂直平分BD. 证明：… 数学　八年级下册 (1)上述材料中，序号“①”“②”处所对应的内容依次为： ①___________________； ②____________________． (2)补全材料中命题的证明过程． (2)证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在直线是线段BD的垂直平分线， 即AC垂直平分BD. AB＝AD，CB＝CD 四边形ABCD是筝形 数学　八年级下册 (3)解：∵四边形ABMN是筝形，BN是正对角线， ∴BA＝BM，NA＝NM. ①当点M在BC，点N在CD上时，如答图1， 过点N作NH⊥BC于点H，连接BN，AC. ∵AB＝MB，AN＝MN，BN＝BN，∴△ABN≌△MBN(SSS).∴∠ABN＝∠MBN. (3)如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝2 ，∠B＝90°，∠A＝120°，M，N是筝形ABCD边上的两个动点(不与点C，D重合).当四边形ABMN是筝形时，请直接写出它的正对角线BN的长． 数学　八年级下册 ∵∠ABC＝∠ABN＋∠MBN＝90°， ∴∠ABN＝∠MBN＝45°. 在四边形ABCD中，∠BCD＝360°－∠ABC－∠D－∠BAD＝360°－90°－90°－120°＝60°. 设CH＝x.在Rt△CHN中，∠HCN＝60°， ∴∠HNC＝30°.∴CN＝2x.∴HN＝ x. ∴BH＝HN＝ x，BN＝ x. ∴△HBN为等腰直角三角形． 在Rt△ABC中，∠BCA＝30°， ∴BC＝ AB＝6. 又∵∠HBN＝45°，∠BHN＝90°. 数学　八年级下册 ②当点M在BC上，点N在AD上时， 易得∠BMN<∠BAN＝120°，不成立． ③如答图2，过点B作BO⊥CD于点D，∵∠BCO＝60°， ∴OB>AB，即当点M在CD上时，BM>AB， 不成立． ∵BC＝BH＋CH＝ x＋x＝6,∴x＝3 －3. ∴BN＝ x＝9 －3 ； ∴∠OBC＝30°.∴OC＝ BC＝3. ∴OB＝ .∵3 >2 ， 综上所述，正对角线BN的长为9 －3 . 数学　八年级下册 $第7课　直角三角形全等的判定 数学　八年级下册 1．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是 ( ) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′     B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′     D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ C 数学　八年级下册 2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是( ) A．AE＝DF     B．∠A＝∠D     C．∠B＝∠C     D．AB＝DC D 数学　八年级下册 3．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是 ( ) A．1     B．2     C．3     D．4 C 数学　八年级下册 4．如图，A，B，C，D四个点在同一条直线上，∠BED＝∠CFA＝90°，且AB＝CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE， 则可以添加条件：_____________． (请写出一个答案即可) CF＝BE 数学　八年级下册 5.如图是由边长为1的小正方形拼成的网格．在图1、图2、图3中找格点C，使得△ABC是直角三角形，且AB为斜边，并直接写出该三角形的面积，要求三个直角三角形都不全等． 数学　八年级下册 解：如图1，S△ABC＝ ×1×3＝ . 如图2, AC＝ ,BC＝ ,S△ABC＝ × × ＝ . 如图3, AC＝ , BC＝ , S△ABC＝ × ×2 ＝2 . 数学　八年级下册 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于点D，EC⊥BC于点C，且AB＝BE，CD＝CE.求证： (1)AB＝AC； 证明：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴△ADB≌△ADC(ASA).∴AB＝AC. 在△ADB和△ADC中， 数学　八年级下册 (2)Rt△ABD≌Rt△BEC. (2)∵△ADB≌△ADC，∴BD＝CD. 又∵CD＝CE，∴BD＝CE. ∵EC⊥BC，∴∠BCE＝90°. ∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL). 在Rt△ABD和Rt△BEC中， 数学　八年级下册 7.(BS八下P15例题3·改编)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高． (1)若∠B＝∠ACB＝15°，求证：CD＝ AB； (1)证明：∵∠B＝∠ACB＝15°， ∴AC＝AB，∠CAD＝∠B＋∠ACB＝30°. ∵CD是边AB上的高， ∴CD＝ AC. ∴CD＝ AB. 数学　八年级下册 (2)解：如答图，延长CD到点C′，使C′D＝CD＝3，连接AC′，C′E. ∵CD是边AB上的高， ∴BD是CC′的垂直平分线． ∴AC′＝AC. ∴AC＋AE＝AC′＋AE≥C′E， 即AC＋AE的最小值为C′E的长． (2)若∠B＝30°，CD＝3，E是边BC上的中点，求AC＋AE的最小值． 数学　八年级下册 ∵∠B＝30°，CD＝3， ∴BC＝2CD＝6. ∵E是边BC上的中点， ∴CE＝3.∴CD＝CE. 又∵BC＝C′C＝6，∠BCD＝∠C′CE， ∴△BCD≌△C′CE(SAS). ∴BD＝C′E. ∴C′E＝3 ，即AC＋AE的最小值为3 . 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝ ＝3 ， 数学　八年级下册 $第2课　三角形的外角 数学　八年级下册 1．如图，△BCE的一个外角是 ( ) A．∠A     B．∠ACE     C．∠AEC     D．∠BCD C 数学　八年级下册 2．如图，∠A＝38°，∠C＝117°，则∠CDB的度数是 ( )　　　　　　　　　　　　 A．99°     B．135°     C．155°     D．159° C 数学　八年级下册 3．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是 ( ) C 数学　八年级下册 4．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3＝120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮小明计算一下，正确的答案为 ( ) A．50°     B．60°     C．70°     D．不能确定 B 数学　八年级下册 5．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片 ABC(∠A＝25°，∠B＝65°)沿DE向上 折叠，点A落在点A′处，当DA′∥BC时， ∠DEC＝_______°. 6．如图,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____． 57.5 180° 数学　八年级下册 7.(BS八下P47T17·改编)如图，已知△ABC， BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠FCB的 平分线．若∠D＝62°，则∠A＝_____． 8．如图，已知∠A＝30°，∠B＝45°， ∠C＝40°，求∠DFE的度数． 解：∵∠DFE＝∠B＋∠BEF， ∠BEF＝∠C＋∠A， ∴∠DFE＝∠A＋∠B＋∠C ＝30°＋45°＋40°＝115°. 56° 数学　八年级下册 9.【概念认识】 如图1，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 数学　八年级下册 【问题解决】 (1)如图1，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC 的“三分线”，则∠ABE＝_____°； 40 数学　八年级下册 解：(2)如答图1.当BD是“邻AB三分线”时， ∵∠A＝60°，∠ABC＝45°， (2)如图2，在△ABC中，∠A＝60°,∠B＝45°, 若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝___________； 当BD′是“邻BC三分线”时，同理 ∠BD′C＝∠A＋∠ABD′ ＝60°＋ ×45°＝90°. ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝60°＋ ×45°＝75°; 综上所述，∠BDC的度数为75°或90° . 故答案为75°或90°. 75°或90° 数学　八年级下册 (3)如图3，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数． (3)∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°. ∴∠PBC＋∠PCB＝90°. ∵BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和 ∠ACB的“邻AC三分线”， ∴∠ABC＋∠ACB＝135°. ∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－135°＝45°. ∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ∴ ∠ABC＋ ∠ACB＝90. 数学　八年级下册 (4)分为以下四种情况： 情况一：如答图2，当BP，CP分别是“邻 AB三分线”和“邻AC三分线”时， 【延伸推广】 (4)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的“三分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于点P.若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数．(用含m，n的代数式表示) ∠PCD＝ ∠ACD＝ (m°＋n°)， ∴∠BPC＝∠PCD－∠PBC ＝ (m°＋n°)－ n°＝ m°； 数学　八年级下册 情况三：当BP，CP分别是“邻AB三分线” 和“邻CD三分线”时， 情况二：如答图3，当BP，CP分别是“邻BC三分线”和“邻AC三分线”时，∠PCD＝ ∠ACD＝ (m°＋n°)， ∴∠BPC＝∠PCD－∠PBC ＝ (m°＋n°)－ n°＝ ； 当m°>n°时，如答图4， ∠PCD＝ ∠ACD＝ (m°＋n°)， 数学　八年级下册 ∴∠BPC＝∠PCD－∠PBC ＝ (m°＋n°)－ n°＝ ； 当m°<n°时，如答图5， ∠PCB＝∠DCE＝ ∠ACD＝ (m°＋n°)， ∴∠BPC＝∠FBC－∠PCB ＝ n°－ (m°＋n°)＝ ； 数学　八年级下册 情况四：如答图6，当BP，CP分别是“邻BC三分线”和“邻CD三分线”时，∠PCD＝ ∠ACD＝ (m°＋n°)， ∴∠BPC＝∠PCD－∠PBC ＝ (m°＋n°)－ n°＝ m°. 综上所述，∠BPC的度数是 m°或 或 或 m°. 数学　八年级下册 $第6课　直角三角形的性质与判定 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，则下列结论中一定正确的是 ( ) A．∠1＞∠2     B．∠3＝∠4 C．∠A＋∠B＝90°     D．∠2＝∠3 C 数学　八年级下册 2．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A． ， ，     B．1， ， C．4，5，6     D．1，1， B 数学　八年级下册 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝  cm，则AC的长为 ( ) A．3 cm     B．  cm     C．2 cm     D．1 cm B 数学　八年级下册 4．如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是___________． 北偏西18° 数学　八年级下册 5．下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行； ②偶数一定能被2整除； ③若a2＝b2，则a＝b； ④锐角与钝角互为补角． 其逆命题是假命题的个数是 ( ) A．1个    B．2个    C．3个    D．4个 A 数学　八年级下册 6．命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是___________________________________，这个逆命题是____命题.(填“真”或“假”) 三个角都相等的三角形是等边三角形 真 数学　八年级下册 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，CE＝ ，则BC的长为_________． 1＋ 数学　八年级下册 8．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°. (1)求证：AB平分∠EAC； (1) 证明：∵∠ABC＝∠EBD＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝∠ABD＋∠ABE. ∴∠CBD＝∠ABE. ∴△ABE≌△CBD(SAS). ∴∠EAB＝∠C. ∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠C. ∴∠EAB＝∠BAC.∴AB平分∠EAC. 在△ABE和△CBD中， 数学　八年级下册 (2)若AD＝1，CD＝3，求BD. (2)解：∵AD＝1，CD＝3， ∴AC＝AD＋CD＝4. ∵BA＝BC，∠ABC＝90°， 如图，过点B作BF⊥AC于点F，则△BCF为等腰直角三 角形． 同理BF＝CF＝2，∴DF＝CD－CF＝1. ∴∠C＝45°，BA2＋BC2＝2BC2＝AC2＝16.∴BC＝2 . 在Rt△BFD中，由勾股定理，得BD＝ ， 即BD的长为 . 数学　八年级下册 9.如图，AC⊥BC，DB⊥BC，垂足分别为C，B，点E在BC上，连接DE，交AB于点F，AC＝EB，BC＝DB. (1)判断AB与DE的位置关系，并说明理由； 解：(1)AB⊥DE.理由如下： ∵AC⊥BC，DB⊥BC， ∴∠ACB＝∠EBD＝90°. 在△ABC和△EDB中， ∴△ABC≌△EDB(SAS).∴∠ABC＝∠EDB. 数学　八年级下册 (2)如图，连接AD，AE. 由(1)知△ABC≌△EDB， ∴BC＝DB＝a，AC＝EB＝b，AB＝ED＝c， CE＝BC－EB＝a－b. (2)连接AD，AE，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，通过用不同方法计算四边形ACBD的面积(即“算两次”思想)，来验证勾股定理． ∵∠ABC＋∠ABD＝∠EBD＝ 90°， ∴∠EDB＋∠ABD＝90°. ∴∠BFD＝90°.∴AB⊥DE. 数学　八年级下册 ∵AB⊥DE， ∴S四边形ACBD＝ (a＋b)a＝ a2＋ ab. 整理，得a2＋b2＝c2. ∴ a2＋ ab＝ c2＋ ab－ b2， ∴S四边形ACBD＝S四边形AEBD＋S△ACE ＝ c2＋ b(a－b)＝ c2＋ ab－ b2. 数学　八年级下册 $第1课　三角形内角和定理 数学　八年级下册 1．一个三角形的三个内角可能 ( ) A．全是锐角 B．全是直角 C．全是钝角 D．锐角、直角、钝角各有一个 A 数学　八年级下册 2．(BS八下P7T1·改编)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC的形状是 ( ) A．锐角三角形     B．直角三角形     C．钝角三角形     D．不能确定 A 数学　八年级下册 3．(BS八下P3例题1·改编)如图，△ABC中，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，若∠BCD＝30°，则∠AEB的度数是 ( ) A．80°     B．90°     C．100°     D．110° C 数学　八年级下册 4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB交BD于点E.当∠BAC＝α时，∠CED的度数为 ( ) A．135°－2α     B．2α     C．45°＋ α     D．90°－ α D 数学　八年级下册 5．在△ABC中，∠A＝∠B＋50°，∠C＝∠A－10°，求∠B的度数． 解：在△ABC中，∵∠A＝∠B＋50°， ∠C＝∠A－10°＝∠B＋50°－10°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝∠B＋50°＋∠B＋∠B＋50°－10° ＝180°. ∴∠B＝30°. 数学　八年级下册 6．如图，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，相交于点F，且∠AEF＝∠AFE. (1)请说明：AB⊥AC； 解：(1)∵BE是△ABC的角平分线， ∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°. 又∵∠BFD＝∠AFE＝∠AEF， ∴∠BAE＝∠ADB＝90°，即AB⊥AC. ∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC. 数学　八年级下册 (2)若∠AEF＝2∠ABC，求∠C的度数． ∴∠AEF＝4∠ABE. ∵∠BAE＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°. ∴∠ABE＋4∠ABE＝90°，即5∠ABE＝90°， 解得∠ABE＝18°. ∴∠ABC＝2∠ABE＝36°. ∴∠C＝90°－∠ABC＝54°. 解：(2)∵∠AEF＝2∠ABC，∠ABE＝ ∠ABC， 数学　八年级下册 7.已知AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝55°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝__________． 8．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC＋∠ABC＝90°. (1)求证：MN∥PQ； (1)证明：∵AC⊥AB，∴∠BAC ＝90°. ∴∠ABC＋∠ACB＝90°. ∵∠NAC＋∠ABC＝90°， ∴∠NAC＝∠ACB.∴MN∥PQ. 55°或15° 数学　八年级下册 (2)若∠ABC＝∠NAC＋10°，求∠ADB的度数． (2)解：∵∠ABC＝∠NAC＋10°＝∠ACB＋10°，∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠ACB＋∠ACB＋10°＝90°. ∴∠ACB＝40°. ∴∠ABC＝90°－∠ACB＝50°. ∵BD平分∠ABC， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠ADB＝90°－∠ABD＝65°. ∴∠ABD＝ ∠ABC＝25°. 数学　八年级下册 9.当三角形中的一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”，其中α称为“二倍角”． 如果一个“二倍角三角形”的一个内角为40°，求此三角形的“二倍角”的度数． 解：由题意，分以下几种情况： ①∵2×20°＝40°，且20°＋40°＋120°＝180°， ∴三角形的“二倍角”可以是40°； ②∵40°×2＝80°，且40°＋80°＋60°＝180°， ∴三角形的“二倍角”可以是80°； 数学　八年级下册 ③∵180°－40°＝140°，且140°× ＝ °， ∴三角形的“二倍角”可以是 °. 综上所述，此三角形的“二倍角”的度数是40°或80°或 °. 数学　八年级下册 $第9课　三角形三边垂直平分线的性质 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，AD＋CD＝BC，则点D一定在 ( ) A．AB的垂直平分线上     B．AC的垂直平分线上 C．BC的中点处     D．∠BAC的平分线上 A 数学　八年级下册 2．如图，三座商场分别坐落在A，B，C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在 ( ) A．三角形三条中线的交点     B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的平分线的交点     D．三角形三条边的垂直平分线的交点 D 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，∠A＝70°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为 ( ) A．20°     B．30°     C．25°     D．35° A 数学　八年级下册 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，利用尺规以点C为 圆心，线段CB的长为半径作弧，交边AB于点D，分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线CE，交边AB于点F.若CF＝4， 则线段BF的长为 ( ) A．1     B．2    C．3     D．4 B 数学　八年级下册 5．如图，已知∠BAC＝60°，AD平分∠BAC且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，过点D作DE⊥AC于点E，则△DEF的周长为__________． 10＋10 数学　八年级下册 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BA延长线上一点． (1)尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AC于点F；(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答(2)题) (1)解：如图，DE即为所求． 数学　八年级下册 (2)证明：∵DE⊥BC， ∴∠BED＝∠CEF＝90°. ∴∠B＋∠BDE＝∠C＋∠CFE＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠CFE＝∠BDE. 又∵∠CFE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠ADF. ∴AD＝AF. (2)在(1)得到的图中，求证：AD＝AF. 数学　八年级下册 7．如图，在长方形ABCD中，E为CD的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF.若∠BAF＝α，则∠EFC的度数为_________． 45°＋ 数学　八年级下册 8．如图，在△ABO中，OA＝OB，∠AOB＝90°，AD平分∠OAB，OE⊥AD于点E，交AB于点F.求证： (1)OD＝BF；  证明：(1)如图，连接DF. ∵OF⊥AD，∴∠AEF＝∠AEO＝90°. ∵AD平分∠FAO， ∴∠FAE＝∠OAE. 在△FAE和△OAE中， 数学　八年级下册 ∴△FAE≌△OAE(ASA). ∴AF＝AO. 又∵AD＝AD，∠FAD＝∠OAD， ∴△FAD≌△OAD(SAS). ∴FD＝OD，∠AFD＝∠AOD＝90°. ∴∠BFD＝90°. 又∵OA＝OB， ∴∠B＝45°. ∴∠FDB＝45°. ∴FB＝FD.∴OD＝BF. 数学　八年级下册 (2)如图，在AD上截取AM＝OF，连接OM. ∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB， ∴∠OAM＝22.5°. ∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF. 又∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF， ∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM. (2)AD－OF＝2DE. 在△AMO和△OFB中， 数学　八年级下册 ∴△AMO≌△OFB(SAS). ∴MO＝BF＝OD. ∵OF⊥AD， ∵2DE＝AD－AM＝AD－OF＝DM， 即AD－OF＝2DE. ∴DE＝ME＝ DM. 数学　八年级下册 $第11课　三角形中角平分线的性质 数学　八年级下册 1．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么油库的位置应建在　　 ( ) A．AB，BC两边垂直平分线的交点处     B．AB，BC两边高的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处     D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处 D 数学　八年级下册 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，那么△ADC的面积是　 ( ) A．6     B．5     C．4      D．3 C 数学　八年级下册 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD， BE是△ABC的角平分线，AD，BE相交于 点F，若AF＝3 ,EF＝2,则AE的长是( ) A．2    B．2      C．     D．2 4．如图，△ABC的三条角平分线交于点O， OD⊥AC，若△ABC的周长为10，OD＝4， 则S△ABC＝_____． C 20 数学　八年级下册 5.如图1，点A，D在y轴正半轴上，点B，C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于点D，∠CAO＝90°－∠BDO. (1)求证：AC＝BC； (1)证明：∵∠BOD＝90°，∴∠DBO＝90°－∠BDO. 又∵∠CAO＝90°－∠BDO，∴∠DBO＝∠CAO. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD. ∴△ACD≌△BCD(AAS).∴AC＝BC. 在△ACD和△BCD中， 数学　八年级下册 (2)如图2，点C的坐标为(4，0), E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC＋EC的长． (2)解：如图2，过点D作DF⊥AC于点F. ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，∠AOC＝90°， ∴DO＝DF，∠DOC＝∠DFC＝90°. ∴Rt△DOC≌Rt△DFC(HL).∴OC＝FC. 在Rt△DOC和Rt△DFC中， 数学　八年级下册 ∴△DOB≌△DFE(AAS). ∴BO＝EF. ∴BC＋EC＝BO＋OC＋CF－EF＝2OC. ∵点C的坐标为(4，0)，∴OC＝4. ∴BC＋EC＝2OC＝8. 在△DOB和△DFE中， 数学　八年级下册 解：(1)∠A＝2∠E.证明如下： 6.如图1，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点E. 【提出问题】 (1)试说明∠E与∠A满足怎样的数量关系,请写出证明过程． ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝ ∠ABC. ∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝ ∠ACD. ∴∠E＋∠EBC＝ ∠A＋ ∠ABC. ∴∠E＝ ∠A，即∠A＝2∠E. ∴∠E＋∠EBC＝∠ECD＝ ∠ACD＝ (∠A＋∠ABC). 数学　八年级下册 【数学感悟】 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC＝102°，D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与BC相交于点F，延长ED交AB于点M，若DM平分∠ADB， AE平分∠DAC，求∠B的度数． (2)如图2，延长AD到点N. ∵∠BAC＝102°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝78°. ∵DM平分∠ADB， 数学　八年级下册 ∴∠ADM＝∠BDM＝∠EDF＝∠EDN. ∴DE平分∠CDN. 又∵AE平分∠DAC，由(1)可知∠E＝ ∠C. 根据翻折可知∠B＝∠E，∴∠B＝ ∠C. ∴ ∠C＋∠C＝78°，解得∠C＝52°. ∴∠B＝ ∠C ＝26°. 数学　八年级下册 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，2∠ACD＋∠ACB＝180°，若∠BDC＝18°， 则∠DAC的度数为____.　 (3)如图3，过点D分别作DM⊥BA交BA延 长线于点M，DN⊥AC于点N，DO⊥BC 交BC延长线于点O. ∵2∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACO＝180°， ∴∠ACO＝2∠ACD.∴CD平分∠ACO. 72° 数学　八年级下册 又∵BD平分∠ABC，∠BDC＝18°， 由(1)可知∠BAC＝2∠BDC＝36°. ∴∠CAM＝180°－∠BAC＝144°. ∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DO⊥BC，∴DM＝DO. ∵CD平分∠ACO，DO⊥BC，DN⊥AC， ∴DO＝DN.∴DM＝DN. 又∵DM⊥BA，DN⊥AC， ∴AD平分∠CAM. 故答案为72°. ∴∠DAC＝ ∠CAM＝72°. 数学　八年级下册 $第8课　线段垂直平分线的性质与判定 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点E，D，AB＝5，BC＝9，则△ABD的周长是 ( ) A．23     B．19     C．15     D．14 D 数学　八年级下册 2．如图是一个风筝的骨架示意图(可称为筝形ABCD).已知AC垂直平分BD，AB＝60 cm，CD＝40 cm，则筝形ABCD的周长为 ( ) A．100 cm     B．140 cm     C．160 cm     D．200 cm D 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为 ( ) A．10     B．12     C．14     D．15 C 数学　八年级下册 4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是 ( ) A．MA＝MB，NA＝NB     B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB     D．MA＝MB，MN平分AB C 数学　八年级下册 5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝4，点E在边AC上，连接BE.若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，则CE的长为____． 2 数学　八年级下册 6.如图，在△ABC中，AB＝BC. (1)用直尺和圆规在边AC上找一点P，使得点P到点A，B的距离相等；(保留作图痕迹，不要求写作法) (1)解：如图，点P即为所求． 数学　八年级下册 (2)证明：如图，设PD与AB交于点D，连接BP. ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°. 由(1)，知PD是AB的垂直平分线． ∴AP＝BP. ∴∠A＝∠PBA＝30°. ∴∠CBP＝∠ABC－∠PBA＝90°. ∴PC＝2BP. ∴PC＝2AP. (2)若∠ABC＝120°，求证：PC＝2AP. 数学　八年级下册 解：(1)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴AD＝BD，AE＝CE. ∵△ADE的周长为9 cm，即AD＋DE＋AE＝9 cm， ∴BD＋DE＋CE＝9 cm，即BC＝9 cm. 7．(BS八下P34T4·改编)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为9 cm. (1)求线段BC的长； 数学　八年级下册 (2)若∠BAC＝118°，求∠DAE的度数； (2)∵∠BAC＝118°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝62°. ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB. ∴∠DAE＝∠BAC－ (∠BAD ＋∠EAC) ＝∠BAC－ (∠ABC＋∠ACB)＝ 56°. 数学　八年级下册 (3)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴OA＝OB＝OC. ∵△OBC的周长为21 cm，即OC＋OB＋BC＝21 cm， ∴OC＋OB＝21－9＝12(cm). ∴OC＝OB＝6 cm. ∴OA＝6 cm. (3)连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为21 cm，求线段OA的长． 数学　八年级下册 解：如图，线段AD，AE即为所求．理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝108°， 8.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝108°.利用尺规作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由．(不写作法，保留作图痕迹) ∵MN为线段AB的垂直平分线， ∴BD＝AD，即△ABD是等腰三角形． ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠BAC)＝36°. 数学　八年级下册 ∴∠BAD＝∠B＝36°. ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝72°. ∵AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形． ∴∠AED＝∠ADE＝72°. ∴∠EAC＝∠AED－∠C＝36°. ∴∠EAC＝∠C. ∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形． 数学　八年级下册 $第3课　等腰三角形的性质 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接 BD，则∠ABD的度数为 ( ) A．60°    B．45°    C．40°    D．30° B 数学　八年级下册 2．如图，AB∥EF，∠A＝128°，DC＝DE，则∠CED的度数为 ( ) A．26°     B．38°     C．52°     D．64° A 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为中线，∠B＝70°，则∠1＝ ( ) A．20°     B．35°     C．40°     D．70° A 数学　八年级下册 4．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为边BC上的中线，点P在AD上，连接PB，PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为 ( ) A．10     B．11     C．12     D．13 C 数学　八年级下册 5．如图，在等边△ABC中，AB＝4 cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE＝ ( ) A．1 cm     B．2 cm     C．3 cm     D．4 cm B 数学　八年级下册 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°. ∵∠OCB＝∠ABO， ∴∠OBC＋∠OCB＝∠OBC＋∠ABO ＝∠ABC＝60°. ∴在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－60°＝120°. 6．如图，O为等边三角形ABC内一点，∠OCB＝∠ABO，求∠BOC的度数． 数学　八年级下册 7.如图，M，N是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是 ( ) A．3     B．4     C．5     D．6 C 数学　八年级下册 8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为 ( ) A．16     B．32     C．64     D．128 C 数学　八年级下册 9.综合与实践 图1、图2均是5×7的正方形网格，图3是7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺找出点C(点C在格点上)，使得△ABC的面积为6； 解：(1)如图1，△ABC即 为所求．(答案不唯一) 数学　八年级下册 (2)如图2，△ABD即为所求．(答案不唯一) (3)如图3，点F即为所求． (2)在图2中，仅用无刻度的直尺找出点D(点D在格点上)，使得△ABD的面积为5； (3)在图3中，点E在格点上，仅用无刻度的直尺在AE上找出点F，使得BF平分∠ABE. 数学　八年级下册 $第10课　角平分线的性质与判定 数学　八年级下册 1．如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过点P作PQ⊥OB于点Q，如果PQ＝7 cm，那么点P到OA的距离为　 ( ) A．4 cm     B．5 cm     C．6 cm     D．7 cm D 数学　八年级下册 2．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为 ( ) A．3    B．4     C．5     D．6 D 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，∠B＝80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC＝_______°. 130 数学　八年级下册 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G.若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为______． 2 数学　八年级下册 5．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6. (1)作∠BAC的平分线AD交BC于点D；(要求：保留作图痕迹，不写作法)  解：(1)如图，AD即为所求． 数学　八年级下册 ∴DE＝DF＝ ＝3. (2)如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 由(1)可知AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF. ∵S△ABD＝12，AB＝8， (2)在(1)的条件下，若S△ABD＝12，求△ABC的面积． ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝12＋9＝21. ∵AC＝6，∴S△ADC＝ AC·DF＝ ×6×3＝9. 数学　八年级下册 6.作图： (1)如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中． ①画出△ABC关于直线l对称的△DEF，其中 D，E，F分别是A，B，C的对应点； ②直接写出△ABC中边AB上的高＝______． 解：(1)①如图1，△DEF即为所求． ②设边AB上的高为h. ∴ ×5×h＝ .∴h＝ .故答案为 . ∵S△ABC＝4×5－ ×5×1－ ×1×4－ ×3×4＝ ， AB＝ ＝5， 数学　八年级下册 (2)如图2，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等．(用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，点P即为所求． 数学　八年级下册 解：(1)根据题意，得BP＝2t， ∴PC＝16－2t＝16－2×3＝10. 在Rt△APC中，AC＝8，PC＝10， 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t秒，连接AP. (1)当t＝3时，求AP的长度； 由勾股定理，得AP＝ . 数学　八年级下册 (2)在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16， (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； 由勾股定理，得AB＝ . 若AP＝AB，则BP＝2BC＝2×16＝32， 即2t＝32，解得t＝16； 若PB＝PA，则PA＝2t.在Rt△ACP中，AP2＝PC2＋AC2，即(2t)2＝(16－2t)2＋82，解得t＝5. 若BP＝BA，则2t＝8 ，解得t＝4 ； 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为4 或16或5. 数学　八年级下册 (3)①如答图1，当点P在线段BC上时， ∵DE⊥AP，∴∠AED＝∠PED＝90°. ∴∠PED＝∠ACB＝90°. ∵PD平分∠APC，∴DE＝DC＝3. (3)过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值． ∴Rt△PDE≌Rt△PDC(HL).∴PE＝PC＝16－2t. 在Rt△PDE和Rt△PDC中， 数学　八年级下册 ②如答图2，当点P在线段BC的延长线上时， 同①得△PDE≌△PDC，ED＝CD＝3， AE＝4， ∴PE＝PC＝2t－16.∴AP＝AE＋PE＝4＋2t－16＝2t－12. 在Rt△APC中，由勾股定理，得AC2＋CP2＝AP2， 即82＋(2t－16)2＝(2t－12)2，解得t＝11. 综上所述，当PD平分∠APC时，t的值为5或11. ∴AP＝AE＋PE＝4＋16－2t＝20－2t. 在Rt△APC中，由勾股定理，得AC2＋PC2＝AP2， 即82＋(16－2t)2＝(20－2t)2，解得t＝5； ∵AD＝AC－CD＝8－3＝5，∴AE＝ ＝4. 数学　八年级下册 $第5课　等边三角形的判定 数学　八年级下册 1．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是 ( ) A．AB＝AC，∠B＝60°     B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60°     D．∠A＋∠B＝2∠C D 数学　八年级下册 2．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是 ( ) A．钝角三角形     B．直角三角形     C．等边三角形     D．无法确定 C 数学　八年级下册 3．下列三角形中，不一定是等边三角形的是 ( ) A．三个角都相等的三角形     B．有两个角等于60°的三角形 C．有一个外角等于120°的等腰三角形     D．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 4．在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠B＝60°，则BC＝____cm. D 6 数学　八年级下册 5．如图，从电线杆离地面4米处向地面拉一条钢索，若这条钢索与地面的夹角为30度，则钢索的长为 ( ) A．4米     B．6米     C．4 米     D．8米 D 数学　八年级下册 6．如图，等边△ABC的周长为12，则它的高AD为 ( ) A．     B．2     C．3     D．4 B 数学　八年级下册 7.如图，在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝10 cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒2 cm的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以每秒1 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． 设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时， 求t的值． 数学　八年级下册 解：由题意，得BP＝2t cm，AQ＝t cm，且t≤6， ∴AP＝AB－BP＝(12－2t)cm. ∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°， ∴当∠AQP＝90°时，∠APQ＝30°. 当∠APQ＝90°时，∠AQP＝30°， 综上所述，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形． ∴AQ＝ AP.  ∴t＝ (12－2t)，解得t＝3； ∴ AQ＝AP.∴ t＝12－2t，解得t＝4.8. 数学　八年级下册 8.如图，在边长为10的等边三角形ABC中，Q是BC上任意一点，P是AB上一动点，以每秒2个单位长度的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若CQ＝6，当t为何值时，PQ∥AC? (2)如图2，若点P从点A向点B运动， 同时点Q以每秒3个单位长度的速 度从点B经点C向点A运动，当t为 何值时，△APQ为等边三角形？ 数学　八年级下册 解：(1)∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， ∠B＝60°，AB＝BC. ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ＝60°. ∴△BPQ是等边三角形． ∴BP＝BQ.∴AP＝CQ. 由题意可知，AP＝2t，则2t＝6，∴t＝3. ∴当t的值为3时，PQ∥AC. 数学　八年级下册 (2)①如答图1，当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形； ②如答图2，当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ. 由题意可知，AP＝2t，BC＋CQ＝3t， ∴AQ＝BC＋AC－(BC＋CQ) ＝10＋10－3t＝20－3t. ∴20－3t＝2t，解得t＝4. 综上所述，当t＝4时， △APQ为等边三角形． 数学　八年级下册 $第12课　问题解决策略：反思 数学　八年级下册 1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则 ( ) A．AB＝BC     B．AB＝AC     C．BC＝AC     D．∠A＝60° B 数学　八年级下册 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①AD平分∠BAC，②DA平分∠EDF，③AE＝AF，④AD上的点到AB，AC两边的距离相等，其中正确的有 ( ) A．1个     B．2个     C．3个     D．4个 D 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在边BC上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长是 ( ) A．3     B．     C．2     D． C 数学　八年级下册 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形， 则CD的长为______________． 6或 或4 数学　八年级下册 5．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为_____． 10 数学　八年级下册 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且AD＝ AB，AE＝ AC.求证： (1)CD＝BE； 证明：(1)∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. ∴△ACD≌△ABE(SAS).∴CD＝BE. ∵AD＝ AB，AE＝ AC， ∴AD＝AE. 在△ACD和△ABE中， 数学　八年级下册 (2)由(1) 得△ACD≌△ABE， ∴∠ACD＝∠ABE. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE. 又∵∠BFD＝∠CFE，∠DBF＝∠ECF，∴△BDF≌△CEF(AAS). ∴DF＝EF. (2)DF＝EF. 数学　八年级下册 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，BD交AC于点F，连接AD. (1)解答下列问题： ①若∠BAC＝40°，则∠BDC＝_____； ②求出∠BDC与∠BAC之间的数量关系．  (1)解：②∠BDC＝ ∠BAC. ∴∠BDC＋ ∠ABC＝ ∠ACE. ∵∠BAC＋∠ABC＝∠ACE， ∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA， 20° 数学　八年级下册 (2)证明：如图，过点D分别作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于点H. ∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA， ∴DM＝DH，DN＝DH. ∴DM＝DN. ∴AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. (2)求证：△ABD为等腰三角形． ∴∠BDC＋ ∠ABC＝ ∠BAC＋ ∠ABC. ∴∠BDC＝ ∠BAC. 数学　八年级下册 又∵∠GAC＝∠ABC＋∠ACB， 即∠GAD＋∠CAD＝∠ABC＋∠ACB， ∴∠GAD＝∠ABC.∴AD∥BC. ∴∠ADB＝∠DBC.∴∠ABD＝∠ADB. ∴AB＝AD. ∴△ABD为等腰三角形． (3)当∠EBA的大小满足什么条件时，以A，B，F为顶点的三角形为等腰三角形？ 数学　八年级下册 (3)解：由BF为△ABC的角平分线知，F是线段AC上一点， ∴AB≠AF. ∵∠BAF＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∠ABC＝∠ACB， ①当AF＝BF时，∠BAF＝∠ABF＝ ∠ABC. ∴ ∠ABC＝180°. ∴∠ABC＝72°，即∠EBA＝72°； 数学　八年级下册 ∴3x＋2x＋2x＝180°，解得x＝ °. ∴∠EBA＝2x＝ °. 综上所述，满足条件的∠EBA的度数为72°或 °. ②当AB＝BF时，设∠ABF＝∠FBC＝x， 则∠ABC＝∠ACB＝2x，∠BAF＝∠BFA＝3x. ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 数学　八年级下册 $