精品解析：福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数学

南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数 学 （时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中最小的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算绝对值，再比较大小即可． 本题考查了有理数的大小比较，绝对值计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故最小的数是 ， 故选：D． 2. 将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列几何图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆，不符合题意； B、四棱锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为四边形，不符合题意； C、球的三视图均为圆，符合题意； D、圆柱的主视图和左视图为长方形，俯视图为圆，不符合题意. 4. 如图，在的正方形网格中，A，B两点在格点上，线段绕点A逆时针旋转一定的角度后得到线段 ，点B与格点C对应，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理以及逆定理求解． 【详解】解：如图，连接 ， 由勾股定理得， ∴， ∴． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集如下： ． 6. 已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（ ） A. 30 B. 38 C. 39 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，分子中各项的系数为对应数据出现的频数，样本容量等于所有频数之和，将各频数相加即可得到样本容量． 【详解】解：在方差计算公式中，公式分母的 为样本容量，分子中各项的系数是对应数据的频数，样本容量等于所有频数的和， 又∵本题中各频数分别为13，14，3， ∴ ，即样本容量为30． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算的相关法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，逐一验证选项即可． 【详解】A． ，错误，故不符合题意． B．，错误，故不符合题意． C． ，错误，故不符合题意． D．，正确，故符合题意． 8. 如图，与分别相切于点A，B，点C 在优弧上，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质以及圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与分别相切于点A，B， ∴， ∴， ∴． 9. 在矩形 中，点E在边 上，，将沿着 翻折，点C的对应点F恰好落在线段 上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，在 中即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， 在 中，，即， ∴． 10. 抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线与x轴两交点，求出对称轴；根据抛物线平移对称轴不变，算出A、B两点到对称轴的距离，分别为定值2和；按开口向上：函数值越大，离对称轴距离越远；开口向下，函数值越小，离对称轴距离越远，分类进行讨论，根据列绝对值不等式，结合a的正负范围取交集，求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴ ，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 写一个使二次根式有意义的 的值_________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，写出一个符合题意的x即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 一个圆心角为 ，半径为2的扇形面积为______．（结果保留π ） 【答案】 【解析】 【详解】解：扇形的圆心角为 ，半径为 ， 该扇形的面积为： ． 14. 小明训练引体向上，记录了6次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的众数是_______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：该组数据中出现次数最多的是8， ∴众数为8． 15. 在大气环境科研观测作业中，气象探测仪A位于地面气象站点C的正上方，从探测仪A上观测地面综合指挥台B的俯角为，已知，，则 约为______．（结果取整数，参考数据：，，．） 【答案】185 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴（米）， 答： 约为米． 16. “费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643年提出的一个著名的几何极值问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．当的三个内角均小于时，使得的点P即为费马点．如图，若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出点 ，再计算，和的长，可得的最小值． 【详解】解：如图， ∵， ∴ 是等腰三角形， 根据对称性得，费马点 在 的垂直平分线上， 设点为 的中点，连接，则，点 在上，且， ∴， ∵， ∴， 在 中，由勾股定理得； 在中，，即， ∴， 又， ∴， 解得：， 由对称性得：， 又， ∴ ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，再计算． 【详解】解：原式=， . 18. 已知：如图，在四边形 中，， 平分 ．求证：． 【答案】证明： ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， ∵在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD． 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义，即可证得∠BAC=∠DAC，再根据AAS定理即可证得△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】略 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ， ， 检验：当 时，， 所以，原分式方程的解为 ． 20. 如图，在 中，，线段 是 的角平分线． （1）尺规作图：求作菱形，使得点D，F分别在边， 上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，当，时，求菱形的边长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）菱形的边长为3 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分可作 的垂直平分线交于点，交 于点 ，则四边形即为所求的菱形； （2）由，可得，由四边形是菱形，设菱形边长为x，可得，，可得，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，四边形是菱形， 设菱形的边长为x， ∴，， ∴，， ∴， 即， 解得， ∴菱形的边长为3． 21. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴交于点B，四边形是平行四边形． （1）填空：______， ______； （2）动点P从点O出发，沿对角线 向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿对角线 向终点O运动，运动速度都是每秒个单位长度．设两个点的运动时间为秒，在点P，Q运动过程中，当时，求出的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，利用平行四边形的性质求出点的坐标； （2）利用线段的和差列出方程求解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 解得； ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴，即， ∴由勾股定理得； 【小问2详解】 解：设两个点的运动时间为秒， ∵， ∴， ∴或 解得或． 22. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中红球1个，白球2个，从中随机摸出一个，记下颜色后放回袋子中，再随机摸球一次． （1）求第一次摸出白球的概率； （2）如图，在的正方形网格中设计一款小游戏，规则：从上述的不透明的袋子中摸出白球就往右移动一个单位长度；摸出红球就往上移动一个单位长度．用列表法或画树状图求从A成功到B的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单概率公式计算； （2）利用画树状图求概率． 【小问1详解】 解：∵等可能出现的情况有（种），符合条件的情况有2种， ∴第一次摸出白球的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 等可能出现的情况有9种，其中符合要求的有4种， ∴从A成功到B的概率为． 23. 阅读下列材料，回答相应问题. 数字黑洞 在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949年发现． 三位数黑洞规则简述如下： 1.一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111，222）； 2.三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数； 3.得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495命名为“三位数数字黑洞”． 例如：取三位数315，重排得531，135，作差；对396重复操作，重排得963，369，作差；对594重复操作，重排得954，459，作差，后续运算结果始终为495． （1）用三位数213按规则运算，写出每一步算式，直至得到495； （2）设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且（a，b，c为非负整数）． ①用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简； ②若最大数与最小数的差记为（x，y，z为整数，），求y的值． 【答案】（1） 解：， ， ， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据规则列式计算即可； （2）①先得到最大数与最小数，再作差即可； ②先得到，则能被99整除，再求出的取值范围，进而得出的值，然后根据建立不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵且为非负整数， ∴得到的最大数为，最小数为， ∴最大数与最小数的差为 ． ②由（2）①得：最大数与最小数的差为， ∵最大数与最小数的差记为， ∴， ∴， ∴能被99整除， ∵均为整数，且， ∴，， ∴， 又∵能被99整除，不全为0， ∴， ∴， ∴， 解得， 又∵为整数， ∴． 24. 已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 【答案】（1） （2） 解：命题一正确；理由如下： 当 时，则， 解得：，， 因为抛物线与x轴交于， 所以， 又因为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 所以直线的解析式为：， 由（1）得，抛物线的解析式为：， 又因为点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点， 所以，， 所以 ， 线段的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以，当时，随p的增大而减小， 所以，当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 如果，则此时， 所以，命题一正确； 命题二不正确； 反例：当时，此时． 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线求出m的值，即可得出答案； （2）先求出点，再求出直线的解析式为：，过点P作垂直于x轴的直线交于点，得出，， 求出，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得： ， 解得：， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 略 25. 如图，四边形 内接于圆，， 平分 交 边于点E，点B，C分别在 的两侧，点F在边 上，且，与的延长线交于点G，设． （1）当圆的半径为2，C与F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形 的面积； （2）求的大小； （3）求证：． 【答案】（1） 示意图如图所示： （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出示意图即可，连接，证明，得到，再证明， 和都是等边三角形，推出 是圆的直径，即可求解； （2）连接 ，同（1）可证，得到，求出，，即可求解； （3）由（2）可知，，，，，证明是等边三角形，在上截取一点H使得，证明，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， 平分 ， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形 是圆的内接四边形， ∴， 又∵，F，C重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 是圆的直径， ∵圆的半径为2， ∴的边长都为2， ∴四边形 的面积为3个边长为2的等边三角形的面积和， ∵边长为 的等边三角形的高为， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ， 同（1）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：由（2）可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 在上截取一点H使得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数 学 （时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中最小的是（　　） A. B. C. 3 D. 2. 将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何图形中，三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，A，B两点在格点上，线段 绕点A逆时针旋转一定的角度后得到线段 ，点B与格点C对应，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（ ） A. 30 B. 38 C. 39 D. 41 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与分别相切于点A，B，点C 在优弧 上，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形 中，点E在边 上，，将沿着 翻折，点C的对应点F恰好落在线段 上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 写一个使二次根式有意义的 的值_________． 12. 因式分解：__________． 13. 一个圆心角为 ，半径为2的扇形面积为______．（结果保留π ） 14. 小明训练引体向上，记录了6次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的众数是_______． 15. 在大气环境科研观测作业中，气象探测仪A位于地面气象站点C的正上方，从探测仪A上观测地面综合指挥台B的俯角为，已知，，则 约为______．（结果取整数，参考数据：，，．） 16. “费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643年提出的一个著名的几何极值问题．问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点．当的三个内角均小于时，使得的点P即为费马点．如图，若，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 计算：． 18. 已知：如图，在四边形 中，， 平分 ．求证：． 19. 解方程：． 20. 如图，在 中， ，线段 是 的角平分线． （1）尺规作图：求作菱形，使得点D，F分别在边 ， 上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，当，时，求菱形的边长． 21. 如图，在平面直角坐标系 中，过点的直线与x轴交于点B，四边形是平行四边形． （1）填空：______， ______； （2）动点P从点O出发，沿对角线 向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿对角线 向终点O运动，运动速度都是每秒个单位长度．设两个点的运动时间为秒，在点P，Q运动过程中，当时，求出的值． 22. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中红球1个，白球2个，从中随机摸出一个，记下颜色后放回袋子中，再随机摸球一次． （1）求第一次摸出白球的概率； （2）如图，在的正方形网格中设计一款小游戏，规则：从上述的不透明的袋子中摸出白球就往右移动一个单位长度；摸出红球就往上移动一个单位长度．用列表法或画树状图求从A成功到B的概率． 23. 阅读下列材料，回答相应问题. 数字黑洞 在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949年发现． 三位数黑洞规则简述如下： 1.一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111，222）； 2.三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数； 3.得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495命名为“三位数数字黑洞”． 例如：取三位数315，重排得531，135，作差；对396重复操作，重排得963，369，作差；对594重复操作，重排得954，459，作差，后续运算结果始终为495． （1）用三位数213按规则运算，写出每一步算式，直至得到495； （2）设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且（a，b，c为非负整数）． ①用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简； ②若最大数与最小数的差记为（x，y，z为整数，），求y的值． 24. 已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 25. 如图，四边形 内接于圆，， 平分 交 边于点E，点B，C分别在 的两侧，点F在边 上，且，与 的延长线交于点G，设． （1）当圆的半径为2，C与F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形 的面积； （2）求的大小； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $