精品解析：2026年福建莆田市初中毕业班质量调研测试试卷数学

莆田市2026届初中毕业班质量调研测试试卷 数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】运用实数大小比较法则即可求解． 【详解】解：根据实数大小比较规则：负数小于0，0小于正数， ∴ 最大的数是1． 2. “十四五”期间，全国科学修复湿地万亩．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求， 为整数，只需按要求确定和 的值即可求解． 【详解】解：根据科学记数法的要求 对 ，需将小数点左移6位，得到满足的 ，此时， ． 3. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 3，4，5 C. 3，3，6 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需运用合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方的法则，逐一判断选项得到正确结果． 【详解】解：对选项A，根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变， ，，故A错误； 对选项B，根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，，，故B错误； 对选项C，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，故 C正确； 对选项D，根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，，，故 D错误． 5. 莆田聚焦打造世界妈祖文化中心，深耕“妈祖故里·灵秀莆田”品牌，实现文化传播与旅游消费双丰收．据统计，湄洲岛2023年累计接待游客万人次，2025年累计接待游客万人次．设湄洲岛这两年接待游客量的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据年平均增长率推导得到2025年游客量的表达式，再结合已知条件列出方程． 【详解】解：∵年平均增长率为 ，2023年累计接待游客 万人次， ∴2024年累计接待游客量为 万人次， ∴2025年累计接待游客量为万人次， 又∵2025年累计接待游客为 万人次， ∴可列方程为． 6. 意大利数学家托里拆利将函数的图象绕y轴旋转一周，所得几何体形似小号，故得名“托里拆利小号”，其部分如图所示．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转体的形成过程确定其三视图的形状，结合轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图为： A、主视图不是中心对称图形，是轴对称图形，原说法错误； B、左视图不是中心对称图形，是轴对称图形，原说法错误； C、俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形，原说法正确； D、只有俯视图都是中心对称图形，原说法错误． 7. 为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（ ） A. 中位数是15万件 B. 众数是15万件 C. 平均数是14万件 D. 方差是0 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，，将  的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点 在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵ 平行  轴， ∴，  ∴， ∵，  ∴，  ∴， 即 ，只有符合题意． 9. 如图，是的切线， 为切点， 为上一点，交于点 ，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和已知条件证得 ，进而利用切线性质求出 ，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，  ∴，  ∵，  ∴， ∴， ∴  ∵是 的切线，  ∴，即 ； ∴．  ∴． 10. 已知抛物线经过，当时，总有，则的值不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线性质得到的取值范围，再判断选项即可，解题用到开口向下的二次函数函数值与点到对称轴距离的关系． 【详解】∵抛物线 中 ∴抛物线开口向下，点到对称轴距离越近，函数值越大，抛物线对称轴为 ， 当 时总有 ，都有 ， 整理得 ，即（） 当时，， ∴根据抛物线的性质可知， ∵ ∴ 解得 ∵选项中只有 不满足条件 ∴的值不可能为1． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键； 原多项式根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 某校开展“阳光体育”活动，每名学生可从篮球、排球、足球、羽毛球四项活动中任选一项报名参加．为提前了解学生的报名意向，学校随机选取部分学生进行调查，并将结果绘制成扇形统计图．若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有_______人． 【答案】200 【解析】 【详解】解：若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有（人）． 13. 如图， 中，，D为上一点，直尺的一边与 重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得，再结合直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，， ∴，， ∴， ∵ 中，， ∴． 14. 在 中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断 的形状，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 是直角三角形，且． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质可得轴经过矩形对角线 的中点，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵y轴平分矩形的面积，矩形是中心对称图形， ∴轴经过矩形对角线 的中点， 设 点横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C到y轴的距离是． 16. 图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】设，再根据比例关系表示，代入计算即可． 【详解】设， 则， ∴ ∴ ∴ 解得． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，垂足为D，E为 上一点，，垂足为F．若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】推导出，，得到，继而证明∴，则，即可解答． 【详解】略 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】 ， 当时，原式． 20. 动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3． （1）若刚出生的这种动物共有a只，则活到20岁的约有________只（结果用含a的式子表示）； （2）现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据动物活到各年龄阶段的概率即可求解； （2）先根据动物各年龄阶段的概率求出活到岁和活到岁相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：活到20岁的约有只； 【小问2详解】 解：由题意得：活到岁的只数为，活到岁的只数为， 故现年25岁的这种动物活到30岁的概率为． 21. 在等边三角形中， ，垂足为 ，点 为上一点，由绕点 按顺时针方向旋转得到，且点 的对应点 恰好落在的延长线上，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是由绕点 按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵ ，， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，即可证明是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可证，进而可证四边形为菱形． （2）根据等边三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得，代入，即可求得的值，进而求得菱形的面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵ 是等边三角形，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 22. 数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中， ，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上． （1）经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； （2）丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】（1） 解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点 ，过 作直线交于点，交于点 ，使，连接，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取平行四边形对角线也就是的中点 ， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 23. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 【答案】（1） （2） 解：①∵，， 设直线 表达式为， 则， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 联立得， 整理得， 由题意 和 是方程的两个实数根， ∴； ②过点 和作直线的垂线，垂足分别为 和 ， ∵点，为抛物线上的不同两点， ∴点，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得所在直线的解析式为，联立得到，即 和 是方程的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可； ②过点 和作直线的垂线，垂足分别为 和 ，得到点，，求得，，推出，利用正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 24. 如图1， 内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． （1）求证：点F到三边所在直线的距离相等； （2）若 经过点O，连接，如图2，求证：； （3）若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：延长到点M，如图 ∵是的平分线，F是延长线上一点， ∴点F到所在直线的距离相等， ∵，， ∴， ∴点F到所在直线的距离相等， ∴点F到三边所在直线的距离相等； （2） 证明：过点F，作的延长线于点N，如图 ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， 又∵点F到三边所在直线的距离相等； ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3） 解：，理由如下： 如图，连接，过点 作的延长线于点，作于点 ，作的延长线于点， 由(1)可知，，， ，， ，， ，， ，，， ． ，， ， ． ∵， ∴，即， ，，， ，， ，， 即，， ，， ． 【解析】 【分析】（1）延长到点M，先推导出点F到所在直线的距离相等，，得到点F到所在直线的距离相等，即可解答； （2）过点F，作的延长线于点N，先推导出，得到，，，继而推导出，得到，则，即可推导出； （3）连接，过点 作的延长线于点，作于点 ，作的延长线于点，推导出，，继而推导出，得到，证明出，，得到，，推导出，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 阅读材料，回答问题． 欧拉（）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：，如下表． 名称 三棱锥 三棱柱 长方体 十二面体 图形 顶点数V 4 6 8 20 面数F 4 5 6 12 棱数E 6 9 12 30 2 2 2 2 进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象． （1）凸多面体的每个面分别记为边形，其中，2，…，F，每个顶点分别连接条棱，其中，2，…，V．下列说法正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③； ④． 定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和． 例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为，，，且都是，所以正三棱锥在点B的角亏为，故其总角亏为． （2）求三棱锥的总角亏； （3）请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）任意凸多面体的总角亏是定值，为 【解析】 【分析】（1）根据每条棱是两个相邻面的公共边，得出所有面的边数之和等于棱数的2倍，即可判断①②；根据每条棱连接两个顶点，得出所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即可判断③④； （2）根据题干所给定义并结合三棱锥的特点计算即可得出结果； （3）题意可得对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E，则所有顶点的之和为，求出总面角和，再结合题干所给定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵每条棱是两个相邻面的公共边， ∴所有面的边数之和等于棱数的2倍，即，故①正确，②错误； ∵每条棱连接两个顶点， ∴所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即，故③正确，④错误； 故说法正确的是①③； 【小问2详解】 解：三棱锥有个顶点，每个顶点处有个面角， 三棱锥的4个面都是三角形，则所有面角之和为， 因为每个顶点的角亏为与多面体在该点的面角之和的差， 故总角亏为：； 【小问3详解】 解：任意凸多面体的总角亏是定值，为，理由如下： 由题意可得对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E， ∴所有顶点的之和为， 由每个面是边形，得出总面角和为： , 由（1）可得， ∴总面角和， 故总角亏为 ， 故任意凸多面体的总角亏是定值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2026届初中毕业班质量调研测试试卷 数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. “十四五”期间，全国科学修复湿地万亩．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 3，4，5 C. 3，3，6 D. 4，5，10 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 莆田聚焦打造世界妈祖文化中心，深耕“妈祖故里·灵秀莆田”品牌，实现文化传播与旅游消费双丰收．据统计，湄洲岛2023年累计接待游客万人次，2025年累计接待游客万人次．设湄洲岛这两年接待游客量的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 意大利数学家托里拆利将函数的图象绕y轴旋转一周，所得几何体形似小号，故得名“托里拆利小号”，其部分如图所示．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形 7. 为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（ ） A. 中位数是15万件 B. 众数是15万件 C. 平均数是14万件 D. 方差是0 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，是的切线， 为切点， 为上一点，交于点 ，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过，当时，总有，则 的值不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_______． 12. 某校开展“阳光体育”活动，每名学生可从篮球、排球、足球、羽毛球四项活动中任选一项报名参加．为提前了解学生的报名意向，学校随机选取部分学生进行调查，并将结果绘制成扇形统计图．若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有_______人． 13. 如图， 中，，D为上一点，直尺的一边与 重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 14. 在 中，，，，若，则的度数是__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 16. 图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，垂足为D，E为 上一点，，垂足为F．若，求证：． 19. 先化简再求值：，其中． 20. 动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3． （1）若刚出生的这种动物共有a只，则活到20岁的约有________只（结果用含a的式子表示）； （2）现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？ 21. 在等边三角形中， ，垂足为 ，点 为上一点，由绕点 按顺时针方向旋转得到，且点 的对应点 恰好落在的延长线上，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中， ，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上． （1）经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； （2）丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 23. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 24. 如图1， 内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． （1）求证：点F到三边所在直线的距离相等； （2）若 经过点O，连接 ，如图2，求证：； （3）若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 25. 阅读材料，回答问题． 欧拉（）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：，如下表． 名称 三棱锥 三棱柱 长方体 十二面体 图形 顶点数V 4 6 8 20 面数F 4 5 6 12 棱数E 6 9 12 30 2 2 2 2 进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象． （1）凸多面体的每个面分别记为边形，其中，2，…，F，每个顶点分别连接条棱，其中，2，…，V．下列说法正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③； ④． 定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和． 例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为，，，且都是，所以正三棱锥在点B的角亏为，故其总角亏为． （2）求三棱锥的总角亏； （3）请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $