精品解析：黑龙江鹤岗市第二中学等校2025-2026学年 第二学期八年级数学期中测试题

鹤岗市第二中学2025-2026第二学期八年级期中考试 数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 4. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 不能确定 7. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，在的两边上分别截取，分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E．连接OE．则OE的长为（ ） A. B. 2cm C. D. 9. 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为，为边与一点（点不与端点，重合），沿对折至，延长交边于点，连接，，对角线与、分别交于、两点．以下各结论：①；②；③；④若，则为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ①③④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则___________． 12. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 13. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 14. 有一个水池，水面是一个边长为10 m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是_____m． 15. 如图，菱形和菱形中，点在同一直线上，，点在上，是的中点，那么的长是___________． 16. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 17. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 18. 如图，正方形的边长为，在边上分别取点，使，在边上分别取点，使依此规律继续下去，则正方形的面积为___________． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （1）的长为 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 22. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 23. 像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简： （2）化简： （3）若，且为正整数，求的值． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分） 24. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是___________，与的位置关系是___________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出线段的长． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗市第二中学2025-2026第二学期八年级期中考试 数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选:D． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 3. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 5. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质． 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，得到，据此利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分平分， ∴ ∴， 由勾股定理可知． 故选B． 6. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理；分所求的边为斜边与直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当所求边为斜边时，由勾股定理得：； 当所求边为直角边时，此时边长为4的边是斜边，由勾股定理得：； 即第三边为5或； 故选：C． 7. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴或， ∴ 故选：A． 8. 如图，已知，在的两边上分别截取，分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E．连接OE．则OE的长为（ ） A. B. 2cm C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，从而可证，，四边形CODE是菱形，再运用菱形的性质及特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：如图，连接CD交OE于点G， ∵以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形CODE是菱形， ∴，即． ∵，， ∴， ∵四边形CODE是菱形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定及性质，以及运用特殊角三角函数值计算相关线段长度，综合运用以上几何知识是解题的关键． 9. 已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，已知正方形的边长为，为边与一点（点不与端点，重合），沿对折至，延长交边于点，连接，，对角线与、分别交于、两点．以下各结论：①；②；③；④若，则为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ①③④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①可证，可得，结合折叠的性质即可得证； ③连接、，可证，即可得证； ④设，则，，由，即可得证； ⑤当、、三点共线时，最小，而是定长，故当、、三点共线时，最小，即可求解； ②当时，，，代入验算即可判断． 【详解】解：如图 四边形是正方形， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中 ， （）， ， ， ， 故①正确； 连接、， 由折叠得：，， 如图，由得： 沿对折与重合， ，， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 设，则，， ， 在中：， ， 解得：， ， 是的中点， 故④正确； 当、、三点共线时，最小， 是定长， 当、、三点共线时，最小， ， ， 故⑤正确； 由上解答得：当时，，， ，， ， ， 故②错误； 故正确的有①③④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，绝对值的运算，解题思路是利用二次根式的性质将原式化为绝对值的和，再根据的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项得到结果． 【详解】解： ，， ． 12. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【解析】 【分析】由条件可得，然后根据平行四边形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 13. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 【答案】3 【解析】 【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】因为, 所以, 因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2, y=, 所以(2x＋)y=, 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 14. 有一个水池，水面是一个边长为10 m的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是_____m． 【答案】12 【解析】 【分析】首先设水池的深度为m，则这根芦苇的长度为m，根据勾股定理可得方程，求解即可． 【详解】解：设水池的深度为m，由题意得： ， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，能从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 15. 如图，菱形和菱形中，点在同一直线上，，点在上，是的中点，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据菱形的性质求出、，，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：连接、、，且、交于点，如图所示： ∵菱形和菱形中，，， ∴，，，平分，平分，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 16. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 17. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【解析】 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 18. 如图，正方形的边长为，在边上分别取点，使，在边上分别取点，使依此规律继续下去，则正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正方形的性质、勾股定理求出，，的长，再归纳类推出一般规律可得的长，然后根据正方形的面积公式即可得． 【详解】解：正方形的边长为， ，， ， ， 在中，， 同理可得：，， 归纳类推得：，其中为正整数， 则正方形的面积为． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先求出、，再根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 【小问2详解】 ． 21. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （1）的长为 ； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点的坐标 ． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ，， ， 是直角三角形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：点坐标为，点坐标为， 的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 22. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 23. 像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简： （2）化简： （3）若，且为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 ； 故答案为： 【小问3详解】 ∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分） 24. 在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是___________，与的位置关系是___________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ∵， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）AP的长为或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、，最后利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ，， ， ， ， ； 综上所述：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 如图4中，当点在的延长线上时， 同法可得， 综上所述，AP的长为或2． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O、A、C的坐标分别为，，，且x、y满足． （1）矩形的顶点B的坐标是______； （2）若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形； （3）若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得A、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明： ∵是中点， ∴， 由折叠可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得，的值，再将其代入A，B的坐标即可求得； （2）由折叠的性质可得， ，由三角形外角性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形； （3）分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点的可能性，进而得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴， ∴点， 点， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、、为顶点的四边形是菱形，分别以，为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与轴交点得出点，如图所示： ， ， ， 此时 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $