系统沉淀训练18计数原理、概率、随机变量及其分布——2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦计数原理、概率与随机变量核心考点，以模拟题构建从基础概念到模型应用的递进训练，强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理与排列组合|单选1-3、填空19|含限制条件的排列组合（如景点安排、名次排列）|以加法/乘法原理为基础，推导排列组合应用，形成分步分类解题逻辑| |二项式定理|单选4-6、填空18|展开式系数、整除余数问题|基于二项式展开通项，关联多项式运算，强化代数推理| |概率基础|单选7-8、多选13-17|互斥/独立事件判断、条件概率计算|从古典概型到条件概率，构建概率公理化体系，培养随机观念| |随机变量及其分布|单选9-12、填空21-30、解答31-33|分布列、期望方差、二项/超几何分布|以离散型随机变量为核心，整合概率模型，实现从数据到决策的数学表达|

2026高考前45天 系统沉淀训练18计数原理、概率、随机变量及其分布（学生版） 主要考点：【1】加法原理与乘法原理；【2】排列组合问题；【3】二项式定理；【4】古典概型和几何概型；【5】条件概率与全概率；【6】离散型随机变量及其分布列，期望、方差；【7】二项分布；【8】超几何分布；【10】正态分布. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 2．（2026·浙江温州·二模）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 3．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 4．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 5．（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 6．（2026·广东·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 7．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 8．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 9．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 10．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 14．（2026·浙江台州·二模）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 15．（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江嘉兴·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 17．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 18．（2026·安徽马鞍山·二模）的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 19．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 20．（2026·河南南阳·模拟预测）勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 21．（2026·湖南岳阳·二模）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 22．（2026·江苏镇江·二模）已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 23．（2025·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 24．（2026·河北衡水·二模）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 25．（2026·江苏·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 26．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 27．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 28．（2026·河南·模拟预测）盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 29．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 30．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 四、解答题 31．（2026·河南信阳·模拟预测）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立. (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 32．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 33．（2026·河南周口·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练18计数原理、概率、随机变量及其分布（详解版） 主要考点：【1】加法原理与乘法原理；【2】排列组合问题；【3】二项式定理；【4】古典概型和几何概型；【5】条件概率与全概率；【6】离散型随机变量及其分布列，期望、方差；【7】二项分布；【8】超几何分布；【10】正态分布. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 【答案】B 【分析】先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果. 【详解】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1， 所以，又因为， 所以总方案数， 若A、B安排在同一天：共分组方式， 又因为三个组分配到3天，共种排列， 因此A、B同天的方案数， 所以，即不同的安排方案种数为72. 2．（2026·浙江温州·二模）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（   ） A．24 B．54 C．72 D．120 【答案】B 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 3．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【答案】C 【分析】分为选派的四人中甲乙仅有其中一人和选派的四人中甲乙均有两种情况分别讨论，结合排列组合即可求出答案. 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 4．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 5．（2026·河北邯郸·二模）已知，则被10除的余数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得. 【详解】， 由 ， 由于最后一项为，所以被10除的余数为9. 6．（2026·广东·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 7．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 8．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 9．（2026·安徽池州·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（   ） 1 2 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以 10．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以 由全概率公式可得. 11．（2026·江苏·模拟预测）在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为虚数为，事件为纯虚数为， 由题知，满足为虚数的的可能情况有共种，即， 满足为纯虚数的的可能情况有共种，故， 所以， 所以在为虚数的条件下为纯虚数的概率为. 12．（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 二、多选题 13．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【分析】根据分步计数原理，排列组合，结合概率公式逐项判断即可． 【详解】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西， 剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心， 由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步， 故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处， 则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步， 即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米， 即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况， 而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确． 14．（2026·浙江台州·二模）设，为常数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断A、B，应用赋值法求奇偶数项的和判断C、D. 【详解】由， 对于，展开式通项为，， 对于，展开式通项为，， 所以，A对， ，B对， 令，则， 令，则， 所以，则，C错， ，D对. 15．（2026·河北张家口·一模）若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 16．（2026·浙江嘉兴·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【分析】利用百分位数定义计算可得A；利用对立事件概率公式与相互独立事件定义计算可得B；利用平均数、极差与中位数的性质计算可得C；利用相关系数定义可得D. 【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 17．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 三、填空题 18．（2026·安徽马鞍山·二模）的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】120 【详解】从个因式中依次选择个，个，个， 则结果为， 故的系数为 19．（2026·河北邯郸·二模）某人计划阅读A、B、C、D、E、F六本不同的书，并且要求A在B之前读完，C与D不相邻，则不同的读书顺序有________种． 【答案】240 【详解】先将除外的四本书排序，因为要求A在B之前读完，所以共有种不同的排法； 再将排到四本书共产生的5个空位中，共有种不同的排法. 因此，由分步乘法计数原理得，不同的读书顺序有种. 20．（2026·河南南阳·模拟预测）勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 【答案】4 【分析】根据给定条件，求出给定集合中各数的质数分布区间内质数个数，再利用列举法求出方案种数. 【详解】依题意，1的质数分布区间内的质数有两个；2的质数分布区间内的质数有两个； 3的质数分布区间内的质数有两个；4的质数分布区间内的质数有三个； 5的质数分布区间内的质数有两个；6的质数分布区间内的质数有四个， 因此从中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案 有、、、，共4种方案. 故答案为：4 21．（2026·湖南岳阳·二模）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，在出现了正面朝上的条件下，未出现连续3次正面朝上的概率为______. 【答案】 【分析】设事件：“出现了正面朝上”，事件：“未出现连续3次正面朝上”，分别求出事件与事件可能的结果，利用条件的公式即可求解. 【详解】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次，所有可能的结果共种； 设事件：“出现了正面朝上”，则可能的结果有种； 设事件：“未出现连续3次正面朝上”，包含以下种情况： (1)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (2)出现次正面朝上次反面朝上，可能的结果有种； (3)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (4)出现次正面朝上次反面朝上，且未出现连续3次正面朝上，可能的结果有种； (5)出现次反面朝上，可能的结果有种; 所以事件：“未出现连续3次正面朝上”，可能结果有种情况； 则事件可能的结果有种； 所以 22．（2026·江苏镇江·二模）已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个） 【详解】，，，， 的负整数的值为. 所以答案不唯一，可以是中的任何一个. 23．（2025·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 【答案】 【分析】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球，利用全概率公式计算，，再利用条件概率的计算公式即可. 【详解】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球， 则 ； ， 则， 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 24．（2026·河北衡水·二模）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 25．（2026·江苏·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 【答案】/5.6 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以. 26．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 27．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8/ 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 28．（2026·河南·模拟预测）盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 【答案】7 【分析】设第n次取出的数字为，根据题意分析可知对任意的，，结合题中期望的性质运算求解. 【详解】设第n次取出的数字为，则，， 所以，， 设第1次取出的数字是k，则第2次只能从剩下的5个数字中取， 此时第2次取出的数字的期望为， 对所有可能的k求期望，可得， 同理，对任意的，， 所以，． 29．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 30．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 【答案】 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为. 可取， 当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当时，4次中有一个元素抽到4次，故， 故， 故的分布列如下： 故. 四、解答题 31．（2026·河南信阳·模拟预测）某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立. (1)若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； (2)若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 【答案】(1)分布列见解析，300 (2) 【分析】（1）根据题意，的可能取值为0，20，40，60，求出对应的概率，即可列出分布列及求出方差； （2）设甲、乙的最终得分分别为X，Z，“甲得分高于乙”为事件，甲得分高于乙包括：甲得20分、30分、40分、50分、70分五种情况进行求解即可． 【详解】（1）设“甲选类题答对”为事件， 根据题意，的可能取值为0，20，40，60. ，， ， ， 所以的分布列是： 0 20 40 60 设为甲答对的类题的个数，则，且， 由，故的方差为. （2）设甲、乙的最终得分分别为X，Z，“甲得分高于乙”为事件，甲得分高于乙包括：甲得20分、30分、40分、50分、70分五种情况，这五种情况之间彼此互斥． 又， ， ， 则， 故． 32．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 33．（2026·河南周口·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题目可知，的取值为， ，， ，， 因此的分布列为 ； （2）设取出的3个小球的标号和为偶数为事件，为事件， ， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $