6.2平行四边形的判定同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.2平行四边形的判定同步练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，图中平行四边形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列条件： ①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，AD＝BC；③∠A＝∠C，∠B＝∠D； ④∠A＝∠C，AO＝CO；⑤AB∥CD，AO＝CO． 其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 3．如图，已知AB∥CD，下列结论中不能说明ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AD∥BC C．AB＝CD D．AO＝CO 4．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB＝CD B．AD＝BC，OB＝OD C．∠DAB＝∠DCB，OA＝OC D．AB∥CD且∠ABC＝∠ADC 5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AB∥CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 6．四边形的四条边的比依次如下，其中是平行四边形的为（　　） A．1：2：2：1 B．1：3：1：3 C．1：1：4：4 D．1：2：3：4 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件后，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．BD∥AC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠C 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD 9．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A． 四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 二．填空题（共6小题） 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝16cm，点E为BC上一点，EC＝7cm，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是　 　 秒． 12．如图，已知∠A＝∠E＝90°，A，C，F，E在一条直线上，AF＝EC，请添加一个条件　 　 ，使四边形BCDF是平行四边形． 13．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝18cm，点P从A出发，以1cm/秒的速度向D运动，点Q从C出发，以2cm/秒的速度向B运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动．以下时间t：①t＝6；②t；③t；④t＝8，能使以P、Q和A、B、C、D中的某两个点为顶点的四边形是平行四边形的时间t有　 　 （填序号）． 14．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形EFGH的面积　 　 （填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 15．如图，在四边形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点，已知OB＝OD＝5cm，OA＝3cm，当OC＝　 　 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD于点E，M为BC中点，连接ME，过M作MF∥AD交AB于F．则下列结论：①∠ACE＝2∠BCE；②四边形AEMF为平行四边形；③CE＝AF；④若AC＝10，BF＝16，则线段MF的长为8．其中一定正确的结论是　 　 ．（请将正确的序号填在横线上） 三．解答题（共8小题） 17．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B+∠A＝180°．求证：四边形ABCD为平行四边形． 18．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 19．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC．求证：四边形BFEC是平行四边形． 20．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）若△AEF的面积是7，求四边形BCFD的面积． 21．如图，点B是线段AC的中点，点D、E在AC的同侧，AE＝BD，AE∥BD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AD边的中点，连接CE并延长，交BA延长线于点F．若FE＝CE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 23．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的四个顶点坐标分别是A（1，3），O（0，0），B（6，0），C（7，3），D为AC的中点，点P在x轴正半轴上． （1）求证：四边形AOBC是平行四边形； （2）若△OPD为等腰三角形，求点P的坐标． 6.2平行四边形的判定同步练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，图中平行四边形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：在本题的图形中，任意两个相邻的等边三角形都可以拼成一个平行四边形． 我们可以按照顺时针或逆时针的方向，依次选取相邻的两个三角形进行组合： 第1个三角形和第2个三角形组合，可以拼成第1个平行四边形； 第2个三角形和第3个三角形组合，可以拼成第2个平行四边形； 第3个三角形和第4个三角形组合，可以拼成第3个平行四边形； 第4个三角形和第5个三角形组合，可以拼成第4个平行四边形； 第5个三角形和第6个三角形组合，可以拼成第5个平行四边形； 第6个三角形和第1个三角形组合，可以拼成第6个平行四边形． 图中只有这6个基本三角形，且平行四边形是由两个相邻三角形组成的． 由3个或更多三角形组成的图形（如梯形、五边形、六边形）都不是平行四边形． 因此，图中平行四边形的总数就是由相邻三角形对组成的数量． 综上所述，图中共有6个平行四边形． 故选：C． 2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．下列条件： ①AB∥CD，AD∥BC； ②AB∥CD，AD＝BC； ③∠A＝∠C，∠B＝∠D； ④∠A＝∠C，AO＝CO； ⑤AB∥CD，AO＝CO． 其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【解答】解：根据平行四边形的判定可得：①③⑤能使四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 3．如图，已知AB∥CD，下列结论中不能说明ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC B．AD∥BC C．AB＝CD D．AO＝CO 【解答】解：当AD＝BC，AB∥CD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当AD∥BC，AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，所以B不符合题意； 当AB＝CD，AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，所以C不符合题意； 当AB∥CD时，可得∠ABD＝∠BDC，∠BAC＝∠ACD，由AO＝CO，可知△AOB≌COD，可得BO＝DO，则四边形ABCD是平行四边形，所以D不符合题意， 故选：A． 4．已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC，AB＝CD B．AD＝BC，OB＝OD C．∠DAB＝∠DCB，OA＝OC D．AB∥CD且∠ABC＝∠ADC 【解答】解：根据平行四边形的判定判断如下： A：当AD∥BC，AB＝CD时，四边形可以是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A错误． B：当AD＝BC，OB＝OD时，无法推出对角线互相平分或两组对边平行相等，不能判定是平行四边形，故B错误． C：当∠DAB＝∠DCB，OA＝OC 时，无法推出两组对边分别平行，不能判定是平行四边形，故C错误． D：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°． ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD中两组对边分别平行，因此四边形ABCD是平行四边形，故D正确． 故选：D． 5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AB∥CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形ABCD为平行四边形； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形ABCD为平行四边形； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形ABCD为平行四边形； D、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形． 故选：D． 6．四边形的四条边的比依次如下，其中是平行四边形的为（　　） A．1：2：2：1 B．1：3：1：3 C．1：1：4：4 D．1：2：3：4 【解答】解：已知四边形的四条边的比，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 其中是平行四边形的为1：3：1：3， 故选：B． 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件后，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．BD∥AC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠C 【解答】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意； B、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意； C、四边形ABCD有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故C符合题意； D、由AB∥CD推出∠A+∠C＝180°，得到∠A+∠B＝180°，判定AC∥BD，推出四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD 【解答】解：A、由OA＝OC，OB＝OD，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； B、由AB∥CD无法判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、由AB＝CD，AD∥BC无法判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； D、由AC⊥BD无法判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意． 故选：A． 9．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形，CH， ∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF，故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH， 故③正确， ∵CD＝2BD，AF＝2CF． ∴S△AEFS△AEC•S△ABD， 故④错误， 故选：C． 10．如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　） A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD 【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD， ∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形， ∴S△EOGS▱AEOG，S△EOHS▱BEOH，S△FOHS▱OHCF，S△FOGS▱OGDF， ∴四边形EHFG的面积▱ABCD的面积， ∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积， 故A不符合题意； B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO， ∴S▱BEOH＝S▱GOFD， ∵， ∴S▱BEOH＝S▱OGDF2， ∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积， 故B不符合题意； C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积， 故C符合题意； D、∵， ∴， ∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•， ∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积； 故D不符合题意； 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝16cm，点E为BC上一点，EC＝7cm，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动，两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动当运动时间为t秒时，以A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则t的值是　或7　 秒． 【解答】解：根据题意知，AD∥BC， ①当点Q在线段CE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝7﹣2t，解得t， ②当Q在线段BE上，AP＝QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣7，解得t＝7， 综上所述，t或7时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或7． 12．如图，已知∠A＝∠E＝90°，A，C，F，E在一条直线上，AF＝EC，请添加一个条件BC＝DF（或BC∥DF或∠ABC＝∠EDF或AB＝DE）　 ，使四边形BCDF是平行四边形． 【解答】解：∵AF＝EC， ∴AC＝EF； 添加BC＝DF， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）， ∴AB＝DE， ∴△ABF≌△EDC（SAS）， ∴BF＝CD， ∴四边形BCDF是平行四边形； 添加BC∥DF， ∴∠BCF＝∠DFC， ∴∠ACB＝∠EFD， ∴△ABC≌△EDF（ASA）， ∴BC＝DF， ∴四边形BCDF是平行四边形； 添加∠ABC＝∠EDF， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴BC＝DF，∠ACB＝∠EFD， ∴∠BCF＝∠DFC， ∴BC∥DF， ∴四边形BCDF是平行四边形； 添加AB＝DE， ∴△ABC≌△EDF（SAS）， ∴BC＝DF，∠ACB＝∠EFD， ∴∠BCF＝∠DFC， ∴BC∥DF， ∴四边形BCDF是平行四边形； 故答案为：BC＝DF（或BC∥DF或∠ABC＝∠EDF或AB＝DE）． 13．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝18cm，点P从A出发，以1cm/秒的速度向D运动，点Q从C出发，以2cm/秒的速度向B运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动．以下时间t：①t＝6；②t；③t；④t＝8，能使以P、Q和A、B、C、D中的某两个点为顶点的四边形是平行四边形的时间t有　①②　 （填序号）． 【解答】解：由题意得，AP＝tcm，CQ＝2tcm，如图， 当DP＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形， ∴10﹣t＝2t， ∴t； 如图，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝18﹣2t， ∴t＝6， ∴能使以P、Q和A、B、C、D中的某两个点为顶点的四边形是平行四边形的时间t有①②， 故答案为：①②． 14．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形EFGH的面积　先变大后变小　 （填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF、GH分别为△ABC、△ADC的中位线， ∴EFAC，EF∥AC，GHAC，GH∥AC，FGBD， ∴EF＝GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EFAC，EF∥AC， ∴S△BEFS△ABC， 同理可得：S四边形EFGHS四边形ABCD， ∴先变大后变小， 故答案为：先变大后变小． 15．如图，在四边形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点，已知OB＝OD＝5cm，OA＝3cm，当OC＝　3　 cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【解答】解：当OB＝OD，OA＝OC＝3cm时，四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：3． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD于点E，M为BC中点，连接ME，过M作MF∥AD交AB于F．则下列结论：①∠ACE＝2∠BCE；②四边形AEMF为平行四边形；③CE＝AF；④若AC＝10，BF＝16，则线段MF的长为8．其中一定正确的结论是　①②③④　 ．（请将正确的序号填在横线上） 【解答】解：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ACB＝3∠ABC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣4∠ABC， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠DEC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（90°﹣2∠ABC）＝2∠ABC， ∵∠DEC＝90°， ∴∠DCE+∠CDE＝90°， ∵ME∥AD， ∴∠MFB＝∠BAD＝90°﹣2∠ABC，∠EDC＝∠FMD， ∵∠FMD＝∠B+∠MFB， ∴∠FMD＝∠CDE＝∠ABC+90°﹣2∠ABC＝90°﹣∠ABC， ∴∠DCE+90°﹣∠ABC＝90°， ∴∠DCE＝∠ABC， ∴∠ACE＝2∠ABC＝2∠BCE，故①正确； 延长CE交AB于点H， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠AEH＝90°， ∵AE＝AE，∠CAE＝∠HAE， ∴△AEC≌△AEH（ASA）， ∴，即点E是CH的中点， ∵点M是BC的中点， ∴ME∥BH， 即ME∥AB，， ∵ME∥AD， ∴四边形AEMF是平行四边形，故②正确； ∴， 由①得到∠ABC＝∠BCE， ∴HBC＝∠HCB，则BH＝CH， ∴ME＝AF＝CE，故③正确； 根据上述证明得到，AC＝AH＝10， 设FH＝x，则AF＝AH﹣FH＝10﹣x，BH＝BF﹣FH＝16﹣x， ∵， ∴， 解得，x＝4， ∴FH＝4， ∴BH＝16﹣4＝12， ∴， 在Rt△ACE中，， ∴MF＝AE＝8，故④正确； 故答案为：①②③④． 三．解答题（共8小题） 17．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B+∠A＝180°．求证：四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵∠B+∠A＝180°， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 18．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠FAE∠BAD，∠FCE∠BCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCE，∠FAE＝∠AEB， ∴∠FCE＝∠AEB， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形． 19．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC．求证：四边形BFEC是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABF和△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴BF＝EC，∠AFB＝∠DCE， ∴∠CFB＝∠FCE， ∴BF∥EC， ∴四边形BFEC是平行四边形． 20．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）若△AEF的面积是7，求四边形BCFD的面积． 【解答】（1）证明：∵点E是AC中点， ∴AE＝CE． 又∵DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴AD＝CF，AD∥CF， ∵点D是AB中点， ∴AD＝BD， ∴BD∥CF，BD＝CF， ∴四边形BCFD是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形BCFD是平行四边形，四边形ADCF是平行四边形， ∴S△CEF＝S△CED＝S△AEF＝7， ∴S△BCD＝S△CFD＝S△CED+S△CEF＝7+7＝14． ∴若△AEF的面积是7，则平行四边形BCFD的面积是28． 21．如图，点B是线段AC的中点，点D、E在AC的同侧，AE＝BD，AE∥BD． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形． 【解答】（1）证明：∵B是AC的中点， ∴AB＝BC． ∵AE∥BD， ∴∠EAB＝∠DBC， 在△ABE和△BCD中， ∴△ABE≌△BCD（SAS）． （2）证明：∵△ABE≌△BCD， ∴∠ABE＝∠BCD，BE＝CD， ∴BE∥CD． ∴四边形BCDE是平行四边形． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AD边的中点，连接CE并延长，交BA延长线于点F．若FE＝CE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【解答】证明：∵E是AD边的中点， ∴DE＝AE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△DCE≌△AFE（SAS）， ∴∠DCE＝∠F， ∴AB∥DC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 23．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的四个顶点坐标分别是A（1，3），O（0，0），B（6，0），C（7，3），D为AC的中点，点P在x轴正半轴上． （1）求证：四边形AOBC是平行四边形； （2）若△OPD为等腰三角形，求点P的坐标． 【解答】（1）证明：∵A（1，3），C（7，3），O（0，0），B（6，0）， ∴AC∥OB，AC＝6，OB＝6， ∴AC＝OB． ∴四边形AOBC是平行四边形； （2）如图，过点D作DH⊥OB于点H， ∵A（1，3），O（0，0），B（6，0），C（7，3），D为AC的中点， ∴DH＝3，OH（7﹣1）+1＝4， 在Rt△DHO中，由勾股定理得：OD5， 当OD＝OP时，OP＝5， ∴P（5，0）； 当OD＝DP时，OH＝PH＝4， ∴OP＝4+4＝8， ∴P（8，0）； 当OP＝DP时，如图2， ∵OH＝4，DH＝3， ∴点P在点H的左侧， 设OP＝DP＝x，则PH＝4﹣x， 在Rt△DHP中，由勾股定理得：DP2＝DH2+PH2， 即x2＝32+（4﹣x）2， 解得：x， ∴P（，0）， 综上所述，点P的坐标为（5，0）或（8，0）或（，0）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/10 8:58:48；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $