陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二下学期学业水平合格性数学模拟试卷（四）

A. 与向量 $\overrightarrow{a}$ 方向相同的单位向量是 $( \dfrac{2\sqrt {5}}{5} , \dfrac{\sqrt {5}}{5} )$ B. $( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ) \bot \overrightarrow{a}$
C. 向量 $\overrightarrow{a}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 上的投影向量是 $- \dfrac{\sqrt {10}}{2} \overrightarrow{a}$ D. $| \overrightarrow{a} +2 \overrightarrow{b} |=5$

11.将函数 $y=2\sin (2x+ \dfrac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是( )

A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{2}$
C. 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 对称 D. 的图象关于点 $(-\dfrac{\pi}{4},0)$ 对称

12.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直， $\triangle SAB$ 的面积为，与圆锥底面所成的角为 $30^{ \circ }$ ，则下列说法不正确的是( )

A. 圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B. 圆锥的侧面积为 $3 \pi$
C. 二面角的大小为 $45^{ \circ }$ D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{ \circ }$

三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13.关于的不等式 $\dfrac{x-1}{x-2} \leqslant 0$ 的解集为．

14.函数 $f(x)={{\log }_{2}}({{x}^{2}}-3x-4)$ 的单调减区间为．

15.在 $\text{▵}ABC$ 中，已知 $A=60^{\text{∘}},b=4,c=5,$ 则 $\sin B=$ ．

16. ${\rm 已知}m,n{\rm 是两条不重合的直线},α,β{\rm 是两个不重合的平面},{\rm 有下列命题}：$
$(1)若α∩β=n,m//α,m//β,则n//m.(2)若m{\rm ⊥}α,n{\rm ⊥}β,则α//β$
$(3)若m//α,n{\rm ⊥}m,则α{\rm ⊥}β.(4)若m{\rm ⊥}α,n{\rm ⊥}m,则α//n$
${\rm 其中下列命题正确的序号是\_\_\_\_\_\_\_}\begin{array}{rlrlrlrlrl} \\ \\ \\ \end{array}$

四、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题分

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为， $\cdots$ ，．

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求频率分布直方图中的值；

求该企业名职工对该部门评分的平均数同一组数据用该区间的中点值表示；

从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．

18.本小题分
如图，在长方体 $ABCD-A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$ 中，， $AA _{1} =2$ ，点为棱 $DD _{1}$ 的中点．
证明： $BD _{1} /\!/$ 平面；

求异面直线 $BD _{1}$ 与所成角的大小．

19.本小题分
已知函数 $f(x)= \dfrac {k}{3^{x}+1}-1 (k$ 为常数是定义域为的奇函数．
求的值；
判断的单调性，并证明；
解关于的不等式 $f(log_{a}x)+ \dfrac {1}{2} > 0(a > 0,\text{且}a\neq 1)$ ．

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汉中市仁德学校高二学业水平合格性数学模拟试卷（四）

答案解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可．

【解答】
解：由，得 $z= \dfrac{i}{2−i}= \dfrac{i(2+i)}{(2−i)(2+i)}=− \dfrac{1}{5}+ \dfrac{2}{5}i$ ．
复数在复平面内对应的点的坐标为 $( − \dfrac{1}{5} , \dfrac{2}{5} )$ ，位于第二象限．
故选：．

2.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查集合的交、并运算，考查学生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算属于基础题．
根据集合交集和并集的运算法则即可得到结果．

【解答】解：由题意得 $A \cup B=\{-1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4\}$ ，
又 $C=\{x \in R|-1 \leqslant x < 2\}$ ，
$\therefore (A \cup B) \cap C=\{-1 , 0 , 1\}$ ．
故选C．

3.【答案】

【解析】解：由题意得，点是角终边上的一点，根据任意角的三角函数定义，先计算点到原点的距离：
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ，
则 $\sin\alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{4}{5}$ ，
根据诱导公式 $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ ，可得 $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \dfrac{4}{5}$ ．

4.【答案】

【解析】【详解】由题意可得 $\left \{ \begin{array}{l}x - 2 \geqslant 0 \\ 3 - x > 0\end{array} \right.$ ，解得 $2 \leqslant x < 3$ ，

故函数 $y = \sqrt{x - 2} + \ln \left ( 3 - x \right )$ 的定义域为 $\left [ 2,3\right )$ ．

5.【答案】

【解析】【分析】
可画出图形，据图可得出 $\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{EA}$ ，从而便得到 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{EA}=( \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{EA})\cdot \overrightarrow{EA}$ ，这样进行数量积的运算即可．考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算及计算公式．
【解答】
解：如图，

$\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{EA}$ ；
$∴ \overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{EA}=( \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{EA})\cdot \overrightarrow{EA}$
$= \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{EA}- \overrightarrow{EA}^{2}$

．
故选B．

6.【答案】

【解析】解：因为且，
则 $\dfrac{1}{x}+ \dfrac{2}{y}=\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{2}{y}\right)\left(2x+y\right)=4+ \dfrac{y}{x}+ \dfrac{4x}{y}\geqslant 4+2 \sqrt{ \dfrac{y}{x}× \dfrac{4x}{y}}=8$ ，
当且仅当时，等号成立．

7.【答案】

【解析】解： $\overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}$ 的充要条件为即或
“”是“或”成立的充分不必要条件
“”是“ $\overrightarrow{a}/\!/ \overrightarrow{b}$ ”的充分不必要条件
故选：．

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