1.2.1 平方差公式 课件2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 1.2.1 平方差公式 第1章 整式的乘法 湘教版数学七年级下册1.2.1 平方差公式练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕平方差公式（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$）设计，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，兼顾公式应用、易错点突破与逆向运用，旨在帮助同学们熟练掌握公式，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$ （ ） 改正：________ （2）$$(2a+1)(2a-1)=4a^2-1$$ （ ） 改正：________ （3）$$(x+2)(x+2)=x^2-4$$ （ ） 改正：________ （4）$$(a-3)(a+4)=a^2-12$$ （ ） 改正：________ 2. 直接写出下列各式的结果。 （1）$$(x+1)(x-1)=$$________ （2）$$(3a-2)(3a+2)=$$________ （3）$$(-x+5)(-x-5)=$$________ （4）$$(2x+3y)(2x-3y)=$$________ 3. 运用平方差公式计算下列各式。 （1）$$(x+6)(x-6)$$ （2）$$(5a-3b)(5a+3b)$$ 4. 填空：若$$(x+m)(x-m)=x^2-16$$，则m = ________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 运用平方差公式计算下列各式（结果化为最简形式）。 （1）$$(x-2)(x+2)(x^2+4)$$ （2）$$(2x-1)(2x+1)-3x(x-2)$$ 2. 已知$$a+b=5$$，$$a-b=3$$，求$$a^2-b^2$$的值。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 运用平方差公式计算：$$2026 \times 2024 - 2025^2$$，并说明每一步的运算依据。 2. 一个正方形的边长为$$(x+3)$$cm，另一个正方形的边长为$$(x-3)$$cm，求这两个正方形的面积差（面积公式：$$S = 边长 \times 边长$$）；若x = 5，求面积差的实际值。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）×，$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$；（4）×，$$a^2+a-12$$（不满足平方差公式，按多项式乘多项式计算） 2. （1）$$x^2-1$$；（2）$$9a^2-4$$；（3）$$x^2-25$$；（4）$$4x^2-9y^2$$ 3. （1）$$x^2-36$$；（2）$$25a^2-9b^2$$ 4. ±4 二、能力提升题 1. （1）$$x^4-16$$；（2）$$x^2+6x-1$$ 2. 15（解析：由平方差公式逆用，$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，代入$$a+b=5$$，$$a-b=3$$，得$$5 \times 3 = 15$$） 三、拓展应用题 1. -1（解析：第一步，凑平方差公式形式：$$2026 \times 2024 = (2025+1)(2025-1)$$（凑整转化）；第二步，运用平方差公式：$$(2025+1)(2025-1)=2025^2-1^2=2025^2-1$$（平方差公式）；第三步，计算差值：$$2025^2-1 - 2025^2 = -1$$（合并同类项）） 2. 面积差：$$12x$$cm²；实际面积差：60cm²（解析：面积差$$S=(x+3)^2-(x-3)^2$$，逆用平方差公式得$$[(x+3)+(x-3)][(x+3)-(x-3)]=(2x)(6)=12x$$；当x=5时， 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 学习目标 复习导入 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 符号表示：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn. 两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明. 探究新知 计算下列各式，你能发现什么规律： (x + 2 )( x – 2) = x2 - 2x + 2x - 22= ， (x + 1 )( x - 1) = x2 - x + x - 12= ， (x + 3 )( x - 3) = x2 - 3x + 3x -32= ， (x + 4 )( x - 4 ) = x2 –4x + 4x -42= . x2- 12 x2- 22 x2- 32 x2-42 (x + y )( x - y ) = x2 - xy + xy -y2= . x2-y2 (x + y)(x − y) = x2 − y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 − y2， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2. 平方差公式： 知识要点 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (x + y)(x - y) = x2 - y2 相同为 x 相反为 y 适当交换 合理加括号 例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替， 可得 典例精析 分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. (2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1. 看作 x 看作 y 例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ). 解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 典例精析 (x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2. 看作 y 例2 运用平方差公式计算: . 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝ ＝. 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 典例精析 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式． 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 平方差公式的几何验证 2 合作探究 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b a a a2 b a a2 - b2 a b b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900 平方差公式的运用 3 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a − 1)(a + 1) = a2 − 1 例4 计算：(1) 1002×998； 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22 = 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 例4 计算： (2) 118×122. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 例6 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了． 1. 运用平方差公式计算： （1）(3x+y)(3x-y)； （2） 解： (3x+y)(3x-y) = (3x)2-y2 = 9x2-y2 [教材P127 练习第1题] 随堂练习 （3）(-1+5x) (-1-5x) ； （4）(-4a-b) (4a-b). 解： (-1+5x) (-1-5x) =(-1)2 - (5x)2 =1- 25x2 (-4a-b) (4a-b). = (-b-4a) (-b+4a) = (-b)2 – (4a)2 = b2 – 16a2 随堂练习 （1）202×198； （2）49.8×50.2 . 2. 计算： 解: 202×198 = (200+2)(200-2) = 40 000 – 4 = 39 996 49.8×50.2 = (50-0.2)(50+0.2) = 2 500-0.04 = 2 499.96 [教材P17 练习第2题] 随堂练习 3. 下面各式的计算对不对？ 如果不对， 应怎样改正？ （1） ( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 2 ； （2） (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ 4x2－ 1 ． 解：（1） 不对，( x－ 2 )( x ＋ 2 ) ＝ x2－ 4 ； （2）不对， (－2x－ 1)(2x － 1) ＝ (-1-2x)(-1+2x)＝ 1-4x2 . 随堂练习 1. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( ) D A. B. C. D. 2. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 3 C. D. 5 3. 若，则， 的值分别为 _________. ， 中考考法 26 4. 榫卯结构是我国古建筑中采用的一种凹凸 结合的连接方式.如图①是一个榫卯结构的零部件，整体是一 个长为，宽为,高为 的长方体，中 间凿掉一个棱长为 的正方体，图②是其截面图.则这个零 部件的体积为____________ . 中考考法 27 5. 已知,求 的值. 【解】原式 . 中考考法 28 6. 教材P17练习T2 用平方差公式简便计算： （1） ; 【解】原式 . 中考考法 29 （2） . 原式 . 中考考法 30 7. [厦门校级期中] 先化简，再求值： ，其中， . 【解】原式 . 当， 时，原式 . 中考考法 31 8. 试说明：对任意自然数 ，式子 的值都能被12整除. 【解】 . 所以对任意自然数，式子 的 值都能被12整除. 中考考法 32 9. 若，则 等于 ( ) B A. B. C. 6 D. 8 中考考法 33 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 $