8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台 类 比 多面体 旋转体 体 积 表面积 一：复习巩固，导入新课 特殊与一般 转化与化归 圆柱、圆锥、圆台、球 空间几何体 表面积 体 积 二：新知探究，类比学习 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题1 围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面， 如何计算这些曲面的面积呢? 化曲为直 平面问题 空间问题 转化 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题2 圆柱的侧面展开图是什么形状?如何求 圆柱的表面积? 圆柱侧 =2πn 圆柱 =2πr²+2πrl =2πr(r+l) (r是底面半径，l是母线长) 矩形 2πr S S S 圆锥 =π r²+πrl =πr(r+l) (r 是底面半径，l 是母线长) I。o 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题3 圆锥的表面积该如何表示? 2πr 扇形 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题4 圆台的表面积该如何表示? S 圆台 =π r²+πr²+S 圆台 侧? 圆台的侧面积公式的推导：圆台的侧面积 转化 两个扇形的面积之差 因为 △PO'A '一△POA,所 以 化简得 因 此S 圆台侧 B =πl(r'+r) S 圆台侧 =π l(r'+r) 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 S 圆台 =π r²+πr²+S 圆台 侧 =πr'2+πr²+πl(r'+r) =π(r'2+r²+r'l+rl) S 圆 台 = π (r'²+r²+r'l+rl) (r',r分别是上、下底面半径，l是母线长) 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题4 圆台的表面积该如何表示? 扇环 0 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 S 圆柱 =2πr(r+l) ( r 是底面半径， l 是母线长) 圆锥 =π r(r +l)(r 是底面半径， l 是母线长) S圆台 =π (r'²+r²+r'l+rl )(r',r 分别是上、下底面半径， L是母线长) 思考1 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、 圆台的结构特征来解释这种关系吗? ◎国柱、国性、国位的表面Fgg 文件 编辑 视图 选项 工具 窗口 帮助 输入： 绘图区 区 ▼30绘图区 ■▼ 鲁 c ▼ 3 第 印 R=3 h=5 r=1.5 ☑体 □轴截面 主视图 原视角 探究1圆柱、圆锥、圆台的表面积 上底扩大 上底缩小 r'=r r'=0 S 圆 台 = π (r²+r²+r'l+rl) 三 探究1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 s 圆锥 =πr(r+l) S 圆 柱 = 2 πr(r+l) 探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱的体积公式 V 圆柱=πr²h(r 是底面半径，h 是高) 圆台的体积公式 (,分别是上、下底面半径，h 是高) 圆锥的体积公式 V 圆锥 (r 是底面半径，h 是高) 推导 所以圆锥SO’的 高 圆锥SO的 高 所以圆台00'的体积为： Vo₀=Vso-Vso 探究圆柱、圆锥、圆台的体积 圆台体积公式的推导： 因 为 △SA 'O'∽△SO 所以 即有 解得 · 思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱 台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、 锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系? 锥体 A 0 C A‘ 探究2 圆柱、圆锥、圆台的体积 台体 =Sh 柱体 =2πr(r+1),V 圆柱=πr²h 小结：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 S 圆锥 =π r , V圆锥 探究3 球的表面积和体积 问题5 球的表面积能否也通过展开成一个 平面图形得到呢? 展开 ·O 不能 探究3 球的表面积和体积 球的表面积：S 球 = 4 πR². 三：例题练习，学以致用 例1 如图1所示，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而 成，半球的直径是0.3m, 圆柱高0.6 m.如果在浮标表面涂一层 防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标 涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14) 解： 一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.15²=0.8478(m²), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg). 图 1 思考3 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记 得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表 面积公式推导出球的体积公式吗? 割圆术 极限思想 Sm=πr² 探究3 球的表面积和体积 刘徽 πT 探究3 球的表面积和体积 球的体积公式推导： 第一步分割：整个球体被分割成n 个“小锥体”; AD B c O 探究3 球的表面积和体积 球的体积公式推导： 第二步近似求值：当n 越大， “小锥体”越近似于 棱锥，其高越近似于球的半径R. 当n趋向于正无穷大时，这n个“小锥体” 的底面积之和就等于球的表面积. 球的体积公式推导： 第三步求和，取极限： 探究3 球的表面积和体积 探究3 球的表面积和体积 球的体积公式推导： 第四步球的体积： 求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 四：初步应用，巩固知识 例2 如图2所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， V圆 柱 = πR²·2R=2πR³, 图 2 体会转换的思想 学以致用 体会极限的思想 平面展开图 表面积公式 体积公式 应 用 表面积公式 体积公式 应 用 简单几何体 的表面积和体积 圆 五：归纳小结，形成结构 类比 球 棱柱 棱锥 棱 台 圆 柱 圆 锥 圆 台 类比 六：布置作业，练习巩固 基础作业 1.已知圆锥的表面积为am², 且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆 锥的底面直径. 2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等? 提升训练 3.将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最 大零件的体积. 4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm 的水槽中状元200000cm³ 的水， 现放入一个直径为50cm 的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在 水上，那么水是否会从水槽中溢出? “宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。" — 华罗庚 同学们，再见! 华罗庚 $