1.2.2 完全平方公式 课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 1.2.2 完全平方公式 第1章 整式的乘法 湘教版数学七年级下册1.2.2 完全平方公式练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕完全平方公式（两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$）设计，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，兼顾公式应用、易错点突破与逆向运用，旨在帮助同学们熟练掌握公式，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列计算是否正确，错误的请改正。 （1）$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$ （ ） 改正：________ （2）$$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$$ （ ） 改正：________ （3）$$(x-3)^2=x^2-6x-9$$ （ ） 改正：________ （4）$$(a+b)^2=a^2+b^2$$ （ ） 改正：________ 2. 直接写出下列各式的结果。 （1）$$(x+1)^2=$$________ （2）$$(3a-2)^2=$$________ （3）$$(-x+5)^2=$$________ （4）$$(2x+3y)^2=$$________ 3. 运用完全平方公式计算下列各式。 （1）$$(x+6)^2$$ （2）$$(5a-3b)^2$$ 4. 填空：若$$(x+m)^2=x^2+8x+16$$，则m = ________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 运用完全平方公式计算下列各式（结果化为最简形式）。 （1）$$(x-2)^2+(x+2)^2$$ （2）$$(2x-1)^2-3x(x-2)$$ 2. 已知$$a+b=5$$，$$ab=3$$，求$$a^2+b^2$$和$$(a-b)^2$$的值。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 运用完全平方公式计算：$$2025^2 + 2026^2 - 2 \times 2025 \times 2026$$，并说明每一步的运算依据。 2. 一个正方形的边长为$$(x+3)$$cm，若边长增加2cm，求新正方形的面积比原正方形的面积增加了多少（面积公式：$$S = 边长 \times 边长$$）；若x = 5，求增加的实际面积。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）√；（2）√；（3）×，$$(x-3)^2=x^2-6x+9$$；（4）×，$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$（遗漏积的2倍项） 2. （1）$$x^2+2x+1$$；（2）$$9a^2-12a+4$$；（3）$$x^2-10x+25$$；（4）$$4x^2+12xy+9y^2$$ 3. （1）$$x^2+12x+36$$；（2）$$25a^2-30ab+9b^2$$ 4. 4 二、能力提升题 1. （1）$$2x^2+8$$；（2）$$x^2+2x+1$$ 2. 19、13（解析：由完全平方公式逆用，$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$，代入$$a+b=5$$，$$ab=3$$，得$$5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$$；$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=19 - 6 = 13$$） 三、拓展应用题 1. 1（解析：第一步，识别完全平方差逆用形式：$$2025^2 + 2026^2 - 2 \times 2025 \times 2026=(2026-2025)^2$$（完全平方公式逆用）；第二步，计算括号内的值：$$2026-2025=1$$；第三步，计算平方：$$1^2=1$$） 2. 增加的面积：$$(4x+4)$$cm²；实际增加面积：24cm²（解析：原面积$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$，新边长$$x+3+2=x+5$$，新面积$$(x+5)^2=x^2+10x+25$$，增加的面积$$(x^2+10x+25)-(x^2+6x+9)=4x+4$$；当x=5时，$$4 \times 5 + 4 = 24$$） 温馨提示：解题时需牢记完全平方公式的结构，切勿遗漏“积的2倍”项；注意符号变化，$$(a-b)^2$$中是“减2ab”，$$(-a+b)^2$$与$$(a-b)^2$$结果一致；逆用公式可简化求值问题，易错点为漏项和符号出错，计算时可对照公式分步验证。 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点. （重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点) 学习目标 复习导入 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？ (x+3)2 = ______________________， (x-3)2 = _______________________, (x+3) (x+3) = x2+6x+9 (x-3) (x-3) = x2-6x+9 这些式子的左边和右边有什么规律? (2m+3n)2=________________________________, (2m-3n)2=______________________________. (2m+3n) (2m+3n)=4m2+12mn+9n2 (2m-3n) (2m-3n)=4m2-12mn+9n2 完全平方公式 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 p2－2p + 1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？ (x＋y)2 = . x2 + 2xy + y2 (x－y)2 = . x2－2xy + y2 1 完全平方公式 (x + y)2 = ； x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = . x2 - 2xy + y2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式. 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想： 设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b)² = a² ± 2ab + b². 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 完全平方公式1： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 a2 (1) ( a + )2； = a2 + a + + + 2 • a • 解：( a + )2 = 例1 运用完全平方公式计算： 典例精析 解：(2x－3)2 = = 4x2 (3) (2x－3)2. ( x－y )2 = x2 － 2xy + y2 (2x)2 － 2×(2x)×3 + 32 － 12x + 9. (2) (3m＋n)2. 解：将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代 入，可得 (3m＋n )2＝ (3m)2＋2 • 3m • n ＋n2 ＝9m2＋6mn＋n2. 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2×6x · 5y. 所以m＋1＝±60. 所以 m＝59 或 m＝－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解． 1.运用完全平方公式计算： (1) (2x+3)2 (2) 解： (2x+3)2 = (2x)2+2·2x·3+32 = 4x2+12x+9 [教材P19 练习第1题] 随堂练习 (3) (5x-2y)2 (4) (-4a-3b)2 解： (5x-2y)2 = (5x)2-2·5x · 2y+(2y)2 = 25x2-20xy+4y2 (-4a-3b)2 = (-4a)2-2· (-4a) ·3b+(3b)2 = 16a2+24ab+9b2 随堂练习 2.计算： [教材P19 练习第2题] (1) 1032 (2) 2972 1032 =(100+3)2 =1002+2×100×3+32 =10 000+600+9 =10 609 解： 2972 = (300-3)2 = 3002-2×300×3+32 = 90 000-1800+9 = 88 209 随堂练习 3.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2 [教材P19 练习第3题] a b b a b2 由图可知把一个边长为 a 的正方形分割成 4 部分 则 (a-b)2为图中黄色部分的面积 黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积 可得: (a-b)2=a2-2b(a-b)-b2 = a2-2ab+2b2-b2 = a2-2ab+b2 所以 (a-b)2=a2-2ab+b2 解： 随堂练习 1. 下列算式： ； ； ； .其中计算 错误的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如果,则 的值是( ) D A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】因为 , ,所以,.所以 .所 以 . 中考考法 17 3. 教材P19练习T3 边长为 的正方形如图所示， 这个正方形的面积不能表示为( ) C A. B. C. D. 中考考法 18 4. 在多项式 中添加一个单项式，使 其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______________ _____（写出一个即可）. （答案不唯 一） 中考考法 19 5. 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 20 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 中考考法 21 6. 已知,,为实数，且 ， ，则,, 之间的大小关系是( ) A A. B. C. D. 中考考法 22 7. 已知， ，则 的值为( ) B A. 2 B. 19 C. 25 D. 31 【点拨】因为 ，所以 .所以 .又因为 ，所以.所以.所以 .故选B. 中考考法 23 8. 现有甲、 乙两个正方形纸片，如图，将 甲、乙并列放置后得到图①， 已知点为 的中点，连接 ， ；将乙纸片放到甲纸 19 片的内部得到图②，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图 ②中阴影部分的面积为6，则图①中阴影部分的面积为____. 中考考法 24 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面） 课堂小结 $