第11章 二次根式 单元测试-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式单元测试，总分100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖概念理解、运算应用及综合探究，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|最简二次根式、运算、估值|基础概念辨析，如第1题考最简二次根式| |填空题|10/20|取值范围、同类二次根式、几何应用|结合几何情境，如第15题角平分线与面积| |解答题|9/64|新定义运算、海伦公式、几何翻折|综合探究，如26题海伦公式应用培养推理意识，27题翻折问题发展几何直观|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第11章 二次根式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 7．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10．计算的结果是____． 11．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12．若，则______． 13．已知是整数，则正整数的最小值为______． 14．半径为的圆变成面积相等的长方形，长为，宽为，圆的半径为___________． 15．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 16．若为正整数，且满足，则_____． 17．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，点，点，D是的中点，直线l平行于直线，且直线l与直线之间的距离为3，点E在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点O恰好落在直线l上，则点E的坐标为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： (1)． (2)． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 22．（7分）对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 23．（7分）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简． (2)化简． (3)化简：． 25．（8分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 26．（8分）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 27．（8分）在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． (1)如图1，若E、F重合，求的值； (2)若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $第11章二次根式单元测试 总分：100分（参考答案） 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分： 2 3 5 6 7 0 B 0 B C 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.x≥-2 10.π-3 12.1613.3 14.6515.4V3 16.10 17.0-51-5+018.(0,3W2-3或32,3 三、解答题：本题共9小题，共64分 19.(6分) 【答案】562 (2)25 【详解】1)解：原式=26-5+36+5-56-5，(3分) (2)解：原式=9-5-(3-2V5+=9-5-3+2V5-1=25.(6分) 20.(6分) 【答案】 六9 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可 【详解】解：原式=+2-1x-(x+ x+2 x+2 =+L2x+2 x+2(x-1)(x+1 1 =x3分) 当x=1-万时，原式=，1=-2 1-2-1-2(6分) 1/10 21.(6分) 【答案】(1)46 (2)57-V万 【分析】(1)先求出m-n,wm,再根据m2-mn+n2=(m-n2+mn整体代入求值； (2)先求出4，b,再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算. 【详解】(1)解：：m-n=5+√万-(5-√)=2√万，mn=(5+√7)5-万)=25-7=18， :m2-mn+n2=(m-m2+mn=(2+18=46;(3分) (2)解：：2<√7<3， :7<5+√万<8，-3<-万<-2，则2<5-7<3， m的整数部分a为7，n的小数部分b为5-√7-2=3-√万， :ma+b=75+7+5-7)3-V7)=35+7万+15-87+7=57-万.(6分) 22.(7分) 【答案】(1)9√5 (2)2 【分析】(1)根据公式直接代入计算即可； (2)根据公式直接代入计算 【详解】(1)解：48※75=√48+√75=4√5+5V5=9√5.(3分) (2)3※2=5-2,8※12=V8+2=22+2V5=2W2+V5, :(3※2)×(8※12)=5-√2)×2V5+V2)=2.(7分) 23.(7分) 【答案】()65+4v2)m (2)80√6元 【分析】(1)直接利用二次根式的加减运算法则计算可得： (2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得. 【详解】(1)解：√27+√27+√8+V⑧ 2/10 =3V5+3√5+2√2+2√2 =(63+4V2)m, 答：电视背景墙的周长为63+4v2)m.(3分) (2)解：(V27×V⑧-23×2x20 =(33×2V2-2V6)×20 =(66-26)x20 =4v6×20 =80V6(元)， 答：整个电视背景壁纸需要花费80√6元.(7分) 24.(8分) 【答案】) 3 (2)V5-5 ③3面-1 2 【分析】(1)根据题干中方法进行分母有理化即可； (2)根据题干中方法进行分母有理化即可； (3)根据题干中方法进行分母有理化，再进行二次根式的加减法即可. 【详解】(1)解： 33×√27935 √27V27xV27=27=3 2分) 2 (2)解：5+5 2(5-5) (5+55-5 2(5-5 (5°-( 2(5-5) 2 3/10 =5-5(5分) 1 1 1 1 3)解：5++5+万+万+5+…+ 99+√97 5-1 5-5 √万-5 √99-√97 (5+5-可不5+55-不+5jN7-5剪+97j9-阿j 5-+5-)+万-5)++9-7 =5-1+5-5+7-5++9-7列) -刂 311-1 (8分) 2 25.(8分) 94 【答案】()-255 2n+1 n 2 (n+1 n+, 证明见解析 【分析】(1)通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式： (2)归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第n个等式的通用表达式； (3)利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结 果 【详解】(1)解：由上述等式的规律得，第4个等式： 2分 94 -25 2n+1n (2)解：由上述等式的规律得，第n个等式为 (n+1)2 n+19 2n+1 证明： （n+12 (n+1)2 2n+1 V(n+1)2（n+12 n2+2n+1-2n-1 (n+1) 4/10 n2 V(n+1 n+1:(5分) n 3)解：-到-}-G- 99 2500 123 49 、 Γ234 50 1 0·(8分) 26.(8分) 【答案】()4 (2)V5 (3)见解析 【分析】(1)根据三边数字特点选择简便的公式计算； (2)将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可. (3)利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明. 【详解】(1)解：：三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 设a=5,b=5,c=√6 .a2=3,b2=5,c2=6 -s-可 5-可 5/10 =2 =V14 (2分) 2 (2)在三角形ABC中，BC=9,AC=7,AB=8, 半周长p=9+7+8-12, 2 根据海伦公式：△ABC的面积S=V1212-9列(12-712-8=12√5， :O是∠ABC,∠ACB的角平分线交点，且OD⊥AB, 点O到AB,AC,BC的距离相等， 设OD=h,则O到BC,AC的距离都是h, S.ABC=S.4oC+S.oBc+S.4B0 :125=x4Bxh+1xBCxh+x4Cxh 2 2 1 125=1x8xh+1x9xh+x7xh, 1 2 2 2 解得h=√5， 答：0D的长为√5；(5分) (3)证明：=49 1 wrg- 2 1 2ab+a2+b2-c2 2ab-a2-b2+c2 2V (a+b2-c2c2-(a-b2 2V 2 2 (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) 2V 2 1 a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) 2 6/10 -fa+b+eHatb-ele+a-be-a a+b+c .p= 2 .a+b+c=2p,a+b-c=2p-2c=2(p-c,a-b+c=2p-2b=2(p-b,-a+b+c=2p-2a=2(p-a 代入上式得：-42p2D-c]2p-2D-a 6p(p-clp-M-aj =3x4p(p-c)(p-b)(p-a) =p(p-c)(p-b)(p-a).(8) 27.(8分) 【路10能， 4 20∠BAD=45:②%3. 【分析】(I)根据题意设AC=x,BC=2x,则AB=√5x,根据翻折的性质可得AE=AC=x,从而得到 BE=5-1)x,即可得解； (2)连接CF,过点F作FN⊥BC于点N,根据直角三角形斜边中线可得CF=AB=BF=AF,再结合 三线合一的性质和翻折的性质，得出∠AED=∠ACD=90°，∠CAD=∠EAD,AE=BN,证明 Rt△AEF≌Rt△BWNF(HL),得到∠EAF=∠NBF,再利用三角形内角和定理求解即可； ②过点D作DK⊥FH于点K,结合①所得结论，可得△AFH是等腰直角三角形，利用勾股定理和翻折的 性质求解即可. 【详解】1)解：：在R△ABC中，∠C=90,8C2 AC 1 .设AC=x,BC=2x, :AB=5x, ·△AED由△ACD沿AD翻折得到， :AE AC =x, :BE=AB-AE=AB-AC=(5-1)x, 7/10 AE V5+1 BE5-1x 4(2分) (2)解：①如图，连接CF,过点F作FN⊥BC于点N, F C D B :在Rt△ABC中，F为AB中点， CF=TAB=BF AF :FN⊥BC, CN=BN AC 1 BC-2' C-BC-CN-BN, 由翻折的性质可知，AE=AC,∠AED=∠ACD=90°，∠CAD=∠EAD, :AE BN, 在Rt△AEF和RtABNF中， AE=BN AF=BF RtAAEF≌RtABNF(HL), .∠EAF=∠NBF, :在ABC中，∠CAD+∠EAD+∠EAF+∠NBF=180°-90°=90 :2∠DAE+∠FAE)=90°， .∠DAE+∠FAE=45 ∠BAD=45°；(5分) ②如图，过点D作DK⊥FH于点K, 8/10 B 由①得∠EAF=∠ABC,∠BAD=45°， :AG=BG, :F为AB中点， GF⊥AB, “△AFH是等腰直角三角形， AF=FH,∠H=45°， 在ABC中，设AC=4y,BC=8y, :AB=AC2+BC2=45y,AF BF=25y, :AH=√2AF=2V10y, 设AG=BG=a,则CG=BC-BG=8y-a, 在Rt△ACG中，AC2+CG=AG, .(4y)2+(8y-a2=a2, 解得：a=5y, ..AG=BG=5y,CG=3y, ..FG=BG2-BF2=5y, :.HG=FH-FG=AF-FG=25y-5y=5y=FG, SADGn=DK 由翻折的性质可得DE=CD,AE=AD=4y, 设DG=m,则CD=DE=3y-m,EG=AG-AE=y, 在RtaDEG中，DE2+EG2=DG2, ∴(3y-m+y2=m2, 5 ∴.DG=m=。y, 31 9/10 54 CD=3y=3, 六AD=VAC2+CD=4i0 3, DH=AH-AD=20402 3 3, :∠DKH=90°，∠H=45, “aDKH是等腰直角三角形， :.DK=DH=25y 2 3, 2W5, SAa=DK.3y=1.(8分) SAAFG AF 25y3 10/10 第11章 二次根式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 7．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10．计算的结果是____． 11．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12．若，则______． 13．已知是整数，则正整数的最小值为______． 14．半径为的圆变成面积相等的长方形，长为，宽为，圆的半径为___________． 15．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 16．若为正整数，且满足，则_____． 17．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，点，点，D是的中点，直线l平行于直线，且直线l与直线之间的距离为3，点E在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点O恰好落在直线l上，则点E的坐标为________． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： (1)． (2)． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 22．（7分）对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 23．（7分）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简． (2)化简． (3)化简：． 25．（8分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 26．（8分）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 27．（8分）在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． (1)如图1，若E、F重合，求的值； (2)若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 2．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 5．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的取值范围． 【详解】解：首先化简原式：， ∵， ∴ 不等式两边同时减1，得， ∴原式的值在2和3之间． 6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的正负，再根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 7．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 8．如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数为非负数． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 10．计算的结果是____． 【答案】 【分析】先利用二次根式的性质变形，再根据绝对值的性质化简即可得到结果． 【详解】解：． 11．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 12．若，则______． 【答案】 16 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，先求出的值，再代入等式求出的值，最后计算的结果． 【详解】解：要使二次根式与有意义，需满足： 解不等式组得， 把代入原等式得：，即， 因此． 13．已知是整数，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果即可解答． 【详解】解：是整数，是正整数， 又， 是完全平方数， 最小的正整数的值为． 14．半径为的圆变成面积相等的长方形，长为，宽为，圆的半径为___________． 【答案】 【分析】根据长方形和圆的面积公式列出方程，结合二次根式的运算法则求出方程的解，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， 整理得， 解得． 15．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】可求出，由作图方法可知，平分，则，据此可求出的长，由，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】10 【分析】先化简给定的二次根式表达式，再估算无理数的大小，确定表达式介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ 即 为正整数，且满足 17．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，点，点，D是的中点，直线l平行于直线，且直线l与直线之间的距离为3，点E在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点O恰好落在直线l上，则点E的坐标为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当直线l在直线的上方时，先证明，是等腰直角三角形，推出，再根据，得到，则根据折叠的性质得，即可求解；当直线l在直线的下方时，借鉴①的解题过程知，则，即可求解． 【详解】分以下两种情况讨论： 如图，当直线l在直线的上方时，连接交直线l于点F， 四边形是矩形， ，， ，，点D为中点， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点O，点F关于直线对称， ， ， ， ， 点E的坐标为； 如图，当直线l在直线的下方时， 借鉴①的解题过程知， ， 点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式．（6分） 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 , 【分析】先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可. 【详解】解：原式 ；（3分） 当时，原式.（6分） 21．（6分）已知，． (1)求的值； (2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，再根据整体代入求值； （2）先求出a，b，再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴；（3分） （2）解：∵， ∴，，则， ∴m的整数部分a为7，n的小数部分b为， ∴．（6分） 22．（7分）对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【详解】（1）解：．（3分） （2），， ．（7分） 23．（7分）某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【详解】（1）解： ， 答：电视背景墙的周长为．（3分） （2）解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元．（7分） 24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简． (2)化简． (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中方法进行分母有理化即可； （2）根据题干中方法进行分母有理化即可； （3）根据题干中方法进行分母有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：（2分） （2）解： （5分） （3）解： （8分） 25．（8分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：；（2分） （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ；（5分） （3）解： ．（8分） 26．（8分）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三边数字特点选择简便的公式计算； （2）将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可． （3）利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明． 【详解】（1）解：三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 设 ∴ ∴ =（2分） （2）在三角形中，，，， 半周长， 根据海伦公式：的面积， ∵O是，的角平分线交点，且， ∴点O到的距离相等， 设，则O到的距离都是h， ∵， ∴ 即， 解得， 答：的长为；（5分） （3）证明： ∵， ∴，，，， 代入上式得： ．（8分） 27．（8分）在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折得到，延长交于点F． (1)如图1，若E、F重合，求的值； (2)若F为中点． ①如图2，求的度数； ②如图3，延长交于点G，连接并延长交延长线于点H，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据题意设，，则，根据翻折的性质可得，从而得到，即可得解； （2）连接，过点F作于点N，根据直角三角形斜边中线可得，再结合三线合一的性质和翻折的性质，得出，，，证明，得到，再利用三角形内角和定理求解即可； ②过点作于点，结合①所得结论，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理和翻折的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴设，， ∴， ∵由沿翻折得到， ∴， ∴， ∴；（2分） （2）解：①如图，连接，过点F作于点N， ∵在中，F为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ；（5分） ②如图，过点作于点， 由①得，， ， F为中点， ， 是等腰直角三角形， ，， 在中，设，， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， 由翻折的性质可得，， 设，则，， 在中，， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ．（8分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $