第12章 二次根式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第12章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算：的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【融会贯通】 1．估算的结果应在（  ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 2．计算： ，它的值介于连续整数 与 之间． 3．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ． 类型二、二次根式的代数最值 【解惑】已知是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．6 【融会贯通】 1．已知是正整数，则自然数的最小值为（   ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．若二次根式是整数，则整数的最小值为 ． 3．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 类型三、二次根式的几何最值 【解惑】如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，则和周长之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 3．如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接、，点、分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 类型四、二次根式的数形结合最值 【解惑】函数 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为 ． 3．阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 类型五、秦九韶——海伦公式 【解惑】我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 3．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 类型六、二次根式的规律问题 【解惑】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列各式，第一个为，第二个为，第三个为，类比上述式子，根据规律，第七个式子为 ． 3．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， (1)观察、归纳，得出猜想：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． (2)证明你的猜想； (3)应用运算规律： ①化简：______． ②若（均为正整数），则的值为______． 类型七、二次根式的新定义运算 【解惑】对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 2．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 3．我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 类型八、整数部分与小数部分 【解惑】设的整数部分为a，小数部分为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，b为的小数部分，则的值为 ． 3．我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 类型九、分母有理化 【解惑】【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数        B．绝对值相等        C．互为倒数 (2)已知，，求的值； (3)计算：的值． 【融会贯通】 1．在进行二次根式化简时，如遇到，，这类式子，我们需要将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：_____． (2)，，求的值． (3)计算：． 2．问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)________； (2)计算：； (3)若，求的值． 3．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 类型十、复合二次根式化简 【解惑】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【融会贯通】 1．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 2．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 5．如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是 ． 6．如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则 ． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 8．如图，正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点，点G 是线段上一点，将 沿翻折，点D的对应点． 正好落在线段上． (1)求 的度数； (2)求线段的长． 9．阅读下列文字，回答问题： 【材料阅读】平面直角坐标系内两点，，由勾股定理可得，这两点间的距离公式，例如，，，则． 【直接应用】 已知点，点，连接． (1)（多选题）当时，则的值可以是（    ） A．    B．    C．    D． (2)如图1，当时，过点作轴于点，求证：． (3)如图2，当时，点，求的周长的最小值． 10．如图，在中，，，点是平面内一点，满足． (1)延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估算：的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的混合运算得出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值应在6和7之间， 故选：B． 【融会贯通】 1．估算的结果应在（  ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的算术平方根，无理数的大小估算等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 按照二次根式的混合运算法则对原式计算得到，然后利用无理数的大小估算即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 即：， ， 故选：． 2．计算： ，它的值介于连续整数 与 之间． 【答案】 3 4 【分析】根据二次根式的加减运算先求出结果，再估算出范围． 【详解】解：==， ∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴它的值介于连续整数3和4之间， 故答案为：，3，4． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，无理数的估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹值法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．已知，是实数，且，问，之间有怎样的关系： ． 【答案】 【分析】找每一个括号部分的有理化因式，两边相乘，得出两个等式，把两式相加即可． 【详解】a、b之间的关系是：a+b=0． 理由：原等式两边乘以，得=， 原等式两边乘以，得 =， 两式相加，得a+b=-a-b， 故a=-b． 故答案为a=-b． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值的运用，关键点是每一个括号部分的有理化因式与它互为倒数． 类型二、二次根式的代数最值 【解惑】已知是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】解：，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是正整数，则自然数的最小值为（   ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， 是正整数，是自然数， 的最小值为5． 故选：B ． 2．若二次根式是整数，则整数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质将化为，再根据二次根式的定义求出的范围，即可求解． 【详解】解：， ，即， 整数的最小值为， 故答案为：． 3．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 类型三、二次根式的几何最值 【解惑】如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，则和周长之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出的周长的周长，即可得的周长的周长取最小值时，则最小即可，如图，在上截取，连接，证明，得出，平移至，连接，连接交于点，此时，，得出当三点共线时，最小，最小值为，证明四边形是平行四边形，得出，即可得，即点与点重合，此时，，过点作交于点，过点作交于点，在中，求出，得出，在中求出，得出，在中，勾股定理求出，即可得，求出的最小值，即可求出的周长的周长最小值． 【详解】解：∵， ∴的周长的周长 ， ∴的周长的周长最小值时，则最小即可， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 平移至，连接，连接交于点， 此时，， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为， 根据平移可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点与点重合， 此时，， 过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴的周长的周长最小值， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形三边关系，二次根式的性质等知识点，解题的关键是通过转化确定的最小值． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，取的中点，连接，，先证明为等腰直角三角形，得出，然后得出当时，取最小值，则也取最小值，最后直角三角形的性质和勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， ，， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，取最小值，此时的值也最小， ， ， ， ∴， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选：A． 2．如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接、，点、分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．根据正方形的性质可得到，根据三角形三边关系和垂线段最短得到，即可得到的最小值为，再勾股定理求出，利用求出的长即可． 【详解】解：连接，，，，过作于， ∵正方形的边长为10， ∴，与互相垂直平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点是与交点时，最小， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值， 故答案为：． 类型四、二次根式的数形结合最值 【解惑】函数 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把配方得，得到y就是在x轴上的点到和的距离之和，求得点关于x轴的对称点为，连接交x轴于P，则此时，点到和的距离之和最小，即为的长，根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】   就是在 x轴上的点到和的距离之和， 点关于x轴的对称点为 连接交x轴于点P， 则此时，点到和的距离之和最小，即为的长， 根据两点间的距离公式得：， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的最值，两点间的距离公式，推理出函数的最值就是的长，是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的最小值为3， 故选：D． 2．已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】构造如下：设，，，，则，过点D作，交的延长线于点H，结合题目方法解得即可．本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，，，则， 则， 根据， 当三点共线时，取得最小值， 过点D作，交的延长线于点H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ． 3．阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 类型五、秦九韶——海伦公式 【解惑】我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B． 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ， ∴b边上的高为， 故选：A． 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，由题意得：，，，先求出，再代入公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线求面积，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出p，再代入求出面积；②直接代入计算即可； （2）先利用求出的面积，再由三角形的中线等分面积求出，再由三等分点分类利用共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解（1）①由题意得，， ∴； ② ； （2）如图，连接 ∵在中，， ∴ ∴， ∵点M是中点，N是边上的一个三等分点， ∴，或 ∴或， ∴的面积为或． 类型六、二次根式的规律问题 【解惑】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 2．观察下列各式，第一个为，第二个为，第三个为，类比上述式子，根据规律，第七个式子为 ． 【答案】 【分析】根据规律，列出关于的式子，代入，即可求解， 本题考查了，列代数式，二次根式的性质与化简，解题的关键是：找出规律，列出代数式． 【详解】解：根据规律可得：， 当时，，即：， 故答案为：． 3．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， (1)观察、归纳，得出猜想：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． (2)证明你的猜想； (3)应用运算规律： ①化简：______． ②若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）由材料提示，归纳总结即可； （2）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （2）解：， 等式左边等式右边； （3）①解： ． ②， ， ， ． 类型七、二次根式的新定义运算 【解惑】对于、，定义一种新运算“”，当时，，当时，，下列说法： ①已知，，的值与的取值无关，则，； ②对于任意的实数、，若，， 则； ③满足的整数解共有种． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算及整式的加减，完全平方公式，整式的加减，根据新定义运算列出式子，再根据整式加减运算和代数式求值解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴，，故①正确； ∵，， ∴ ，故②正确； ③∵， ∴， 即， ∵，， ∴满足的整数解为，，共种，故③错误； 故选：． 【融会贯通】 1．我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 2．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【详解】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 3．我们定义新运算：，例如：． (1)计算：________； (2)若a为实数，试化简． 【答案】(1) (2)时，原式；时，原式． 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据新规定运算法则计算即可； （2）先根据新规定运算法则计算，再讨论a的取值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 当，即时，原式； 当，即时，原式． 类型八、整数部分与小数部分 【解惑】设的整数部分为a，小数部分为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式估值，代数式计算．根据题意可得，，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分为a，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：A． 2．已知，b为的小数部分，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先求出的小数部分，再求出和的值，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 3．我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分及其相关计算，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，进而可确定的整数部分和小数部分； （2）由可确定的整数部分为a，小数部分为b，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 类型九、分母有理化 【解惑】【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数        B．绝对值相等        C．互为倒数 (2)已知，，求的值； (3)计算：的值． 【答案】(1)C (2) (3)2024 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化方法是解题的关键． （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简，求出的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）先将括号内每个加数分母有理化，再相加化简，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：C； （2）解：由题意得：， ， ， ． （3）解：      ． 【融会贯通】 1．在进行二次根式化简时，如遇到，，这类式子，我们需要将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简：_____． (2)，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)10 (3)2025 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先求出，，，再把变形为，最后整体代入计算即可； （3）先把括号内的部分进行分母有理化，然后合并同类二次根式再进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∴ ； （3）解： ． 2．问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)22 (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出，然后将变形求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 3．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）44；（2） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）先求出，再把所求式子裂项求解即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； （2） ， ∴ ； （3）， ， ∵，且， ∴． 类型十、复合二次根式化简 【解惑】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【融会贯通】 1．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 2．先阅读下列材料然后作答． 提出问题 该如何化简？ 分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有． 解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ． 方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． （1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可； （2）根据勾股定理及题中方法求出即可． 【详解】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 3．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3）， ， ． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，二次根式的加减法，二次根式的乘除法，根据以上计算法则逐一判断即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．再计算出二次根式混合运算的结果，再估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， 故选：C 3．对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（   ） ①对37进行一次操作后的结果是6； ②对138进行两次操作后的结果是3； ③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0； ④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义；先对138进行一次操作后的结果是，同理得对138进行两次操作后的结果是3；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，因为，故．即，得．结合是正整数．得的最大值为255．即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， 故①符合题意； ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴对138进行两次操作后的结果是3； 故②符合题意； 设正整数n， 则， 即， ∴， 则， 故对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1； ③不符合题意； 设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m， ∵正整数进行3次操作后变为1， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵要经过3次操作，故． ∴． ∵是正整数． ∴的最大值为255． 故④不正确； 故选：C． 4．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 5．如图，在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点，若，，则点F到边的距离是 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过作于，证明，，，可得，，求解，，设，则，再利用勾股定理进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵在正方形的边上有一点E，将直角三角形沿直线进行折叠，点F是点B的对应点， ，， ∴，，，设垂足为K， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴点F到边的距离是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．如图，是等边三角形中延长线上一点，连接，是上一点，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，，由等边三角形的性质得，，则，再由含30°角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 7．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； （2）由（1）知，，， 8．如图，正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点，点G 是线段上一点，将 沿翻折，点D的对应点． 正好落在线段上． (1)求 的度数； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明四边形为矩形，折叠得到，取的中点，连接，证明为等边三角形，得到，进而求出的度数即可； （2）设，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为10，E，F 分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 取的中点，连接， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）由（1）知：，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，矩形的判定和性质，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 9．阅读下列文字，回答问题： 【材料阅读】平面直角坐标系内两点，，由勾股定理可得，这两点间的距离公式，例如，，，则． 【直接应用】 已知点，点，连接． (1)（多选题）当时，则的值可以是（    ） A．    B．    C．    D． (2)如图1，当时，过点作轴于点，求证：． (3)如图2，当时，点，求的周长的最小值． 【答案】(1)BC (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了两点之间距离公式，利用二次根式的性质化简，垂线段最短，完全平方公式等知识点，灵活运用两点之间距离公式求解是解题的关键． （1）先求出每个选项中点P坐标，再由两点之间距离公式求解进行比较即可； （2）先根据两点之间距离公式表示，然后根据完全平方公式化简，再根据二次根式的性质化简，而，即可证明； （3）先由两点之间距离公式求出，则的周长的最小值化为的最小值，过点分别作轴，轴，垂足为点，由上可得，，而，当且仅当点共线时，取得最小值． 【详解】（1）解： A、时，，则，故A不符合题意； B、时，，则，故B符合题意； C、时，，则，故C符合题意； D、时，，则，故D不符合题意， 故选：BC； （2）证明：∵点，点， ∴， ∵轴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴的周长的最小值化为的最小值， 过点分别作轴，轴，垂足为点， 由上可得，， ∴，当且仅当点共线时，取得最小值， ∴的周长的最小值为． 10．如图，在中，，，点是平面内一点，满足． (1)延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； (2)如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①首先证明，推出是等腰直角三角形，可得结论； ②如图2中，过点A作于点H，交于点T，证明，推出，证明，推出，再证明，可得结论； （2）如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．证明点M在线段的垂直平分线上，设垂足为Q，当线段的垂直平分线时，的值最小，设交于点J（如图3-2中），求出，可得结论． 【详解】（1）解：①如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图2中，过点A作于点H，交于点T． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即, ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴； （2）解：如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小， 设交于点J（如图3-2中）， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质、勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$