15.3 互斥事件和独立事件（第2课时 独立事件）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

15.3　互斥事件和独立事件 第2课时　独立事件 A层 基础达标练 1.据天气预报,春节期间甲地的降雪概率是0.4,乙地的降雪概率是0.3.已知这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响,则春节期间两地都不降雪的概率是(　　) A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46 2.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为(　　) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 3.如图所示是一个古典概型的样本空间Ω和事件A与B,其中n(Ω)=12,n(A)=3,n(B)=8,n(A∪B)=9,则事件A与事件B是(　　) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不是 4.甲、乙两队进行羽毛球决赛,甲队只要再胜一局就获得冠军,乙队需要再胜两局才能获得冠军,若每局甲队获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. 5.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率为　　　　.  6.甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动,在每轮活动中,甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响. (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率; (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率. B层 能力提升练 7.甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛,教练组根据训练情况,安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3,假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(　　) A.p1p2p3 B.1-p1p2p3 C.(1-p1)(1-p2)(1-p3) D.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3) 8.甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以2∶0领先,则下列结论正确的是(　　) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以3∶0获胜的概率为 C.乙队以3∶1获胜的概率为 D.乙队以3∶2获胜的概率为 9.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)为(　　) A. B. C. D. 10.已知从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,现从两袋中各摸出一个球,则下列结论中错误的是(　　) A.两个球都是红球的概率为 B.两个球中恰有1个红球的概率为 C.两个球不都是红球的概率为 D.至少有1个红球的概率为 11.(多选题)随机投掷一颗质地均匀的正方体骰子两次,记录朝上一面的点数.设事件A为“第一次为偶数”,事件B为“第二次为偶数”,事件C为“两次点数之和为偶数”,则下列结论中正确的是(　　) A.P(A)=1-P(B) B.A与B对立 C.B与C相互独立 D.P(A+B)= 12.甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛(每两队只进行一场比赛),每场小组赛结果相互独立.已知甲与乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p1>p2>p3>0.记甲连胜两场的概率为p,则下列说法中正确的是(　　) A.甲在第二场与乙比赛时,p最大 B.甲在第二场与丙比赛时,p最大 C.甲在第二场与丁比赛时,p最大 D.p与甲和乙、丙、丁的比赛次序无关 13.如图为竖直平面内的一些通道,图中线条均表示通道,一钢珠从入口E处自上而下沿通道自由落下,则其落到B处的概率是　　　　.  14.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路. (1)在如图所示的一段电路中,电路不发生故障的概率是多少? (2)三个元件按要求连成怎样的一段电路时,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时的电路图,并说明理由. C层 拓展探究练 15.我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　) A. B. C. D. 参考答案 1.B　设“甲地降雪”为事件A,“乙地降雪”为事件B,“甲、乙两地都不降雪”即事件同时发生,P()=1-0.4=0.6,P()=1-0.3=0.7,利用独立事件的性质可知,事件相互独立,所以P()=P()P()=0.6×0.7=0.42.所以甲、乙两地都不降雪的概率为0.42.故选B. 2.D　设“甲被录取”记为事件A,“乙被录取”记为事件B,则两人至少有一人被录取的概率P=1-P()=1-(1-P(A))(1-P(B))=1-0.4×0.3=0.88.故选D. 3.C　因为n(Ω)=12,n(A)=3,n(B)=8, 所以P(A)=,P(B)=, 又因为n(A∪B)=9,所以P(A∪B)=, 所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)==P(A)·P(B), 故事件A与事件B相互独立.故选C. 4.D　甲队获得冠军包含下面两种情况: ①第一场比赛甲赢,概率为; ②第一场比赛乙赢,第二场比赛甲赢,概率为, 则甲队获得冠军的概率为故选D. 5　“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M,“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N,因为事件M,N相互独立,所以能配成A型螺栓(即取一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)=P(M)P(N)=故答案为 6.解 (1)一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率为(1-)= (2)两轮活动甲都猜对的概率为()2,甲仅猜对一个的概率为2, 乙都猜对的概率为()2,乙仅猜对一个的概率为2, 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为()2)2= 7.C　∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1,p2,p3, ∴三次交接棒不失误的概率分别为1-p1,1-p2,1-p3, ∴假设三次交接棒相互独立,则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1-p1)(1-p2)(1-p3).故选C. 8.B　对于A,在乙队以2∶0领先的前提下,若甲队获胜,则第三、四、五局均为甲队获胜,所以甲队获胜的概率为()3=,故A错误; 对于B,若乙队以3∶0获胜,则第三局乙获胜,概率为,故B正确; 对于C,若乙队以3∶1获胜,则第三局甲获胜,第四局乙获胜,概率为,故C错误; 对于D,若乙队以3∶2获胜,则第五局为乙队获胜,第三、四局甲队获胜,所以乙队以3∶2获胜的概率为,故D错误.故选B. 9.D　由题意,知P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y, 则 ∴x2-2x+1=,∴x-1=-或x-1=(舍去), ∴x=,即事件A发生的概率P(A)=故选D. 10.C　对于A,两个球都是红球的概率为,故A正确; 对于B,两个球中恰有1个红球的概率为(1-)+(1-),故B正确; 对于C,两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球,所以概率为1-,故C错误; 对于D,至少有1个红球包含两个球都是红球,两个球中恰有1个红球,所以概率为,故D正确. 故选C. 11.ACD　由题意可得P(A)=,P(B)=,所以P(A)=1-P(B),故A正确;因为事件A,B可以同时发生,所以A与B不是对立事件,故B错误;因为事件A,B互不影响,所以事件A,B相互独立,则P(C)=P(AB)+P()=因为事件BC表示第一次为偶数且第二次为偶数,所以P(BC)=,又P(B)P(C)==P(BC),所以B与C相互独立,故C正确;事件A+B表示第一次或第二次为偶数,它的对立事件为第一次和第二次都是奇数,所以P(A+B)=1-,故D正确.故选ACD. 12.A　因为甲连胜两场,则第二场甲必胜,①设甲在第二场与乙比赛,且连胜两场的概率为P1,则P1=2(1-p2)p1p3+2(1-p3)p1p2=2p1(p2+p3)-4p1p2p3;②设甲在第二场与丙比赛,且两场连胜的概率为P2,则P2=2(1-p1)p2p3+2(1-p3)p1p2=2p2(p1+p3)-4p1p2p3;③设甲在第二场与丁比赛,且两场连胜的概率为P3,则P3=2(1-p1)p2p3+2(1-p2)p1p3=2p3(p1+p2)-4p1p2p3,所以P1-P2=2p3(p1-p2)>0,P1-P3=2p2(p1-p3)>0,P2-P3=2p1(p2-p3)>0,所以P1>P2>P3,当甲在第二场与乙比赛时,p最大.故选A. 13　首先分清从E处出发到达B处的具体途径,然后继续求解. 钢珠从E处落下,①有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HJ,经JM后有的概率落到MN,最后落到B处,即P1=; ②有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P2=; ③有的概率落到EG,经GI后有的概率落到IK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即P3= 所以P=P1+P2+P3= 14.解 记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3, 则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)= (1)电路不发生故障的事件为(A2∪A3)·A1, ∴电路不发生故障的概率为 P1=P[(A2∪A3)·A1]=P(A2∪A3)·P(A1)=[1-P()·P()]·P(A1)= (1-) (2)如图,此时电路不发生故障的概率最大.证明如下: ① ② 图①中电路不发生故障的事件为(A1∪A2)·A3, ∴电路不发生故障的概率为 P2=P[(A1∪A2)·A3]=P(A1∪A2)·P(A3)=[1-P()·P()]·P(A3)= (1-), ∴P2>P1. 图②不发生故障的事件为(A1∪A3)·A2, 同理,不发生故障的概率为P3=P2>P1,命题得证. 15.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的血型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为;当小明父亲的血型是AA时,因为其母亲的血型为AB,所以小明的血型可能是AA,AB,它们的概率均为,此时小明是A型血的概率为;当小明父亲的血型是AB时,因为其母亲的血型为AB,所以小明的血型是AA的概率为,此时小明是A型血的概率为;当小明父亲的血型是BB时,因为其母亲的血型为AB,则小明的血型不可能是AA,所以小明是A型血的概率为故选C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $