二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考

二次函数与几何图形综合题（与线段周长问题）归纳练2026年 中考数学二轮复习备考 1.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C.连接AC, BC. M B B (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若在线段AC上有点D,使得以点O、A、D为顶点的三角形与ABC相似，求 线段AD的长： (3)如图2，点P为抛物线在第三象限的一个动点，PM⊥x轴于点M·交AC于点G, PE⊥AC于点E,求线段PE的最大值 2.如图，直线y=-x+2交y轴于点A,交x轴于点B,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点. M (1)求这个抛物线的解析式， (2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这条抛物线于点N.当t取 何值时，MN有最大值？最大值是多少？ (3)在(2)的情况下，是否存在点D,使以A,M,N,D为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，己知抛物线y=-x2+bx+c过点B(3,0)和点C(0,3). 试卷第1页，共3页 B (1)求该抛物线的函数关系式： (②)已知点P是BC上方的抛物线上一点，作PD⊥x轴于点D,求PD+OD的最大值： (3)当m-1≤x≤m+2,函数y有最小值为0，求m的值， 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象经过A(-2,-10),B(3,0)两 点. (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段AB于点Q,求 线段PQ的最大值； (3)连接OA,将线段OA沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，若线段OA与抛物线无交点， 请直接写出m的取值范围 5.如图，抛物线y=- x2+bx+4的图象与x轴交于A(-2,0),B两点，与y轴交于点C, 2 作直线BC,点P是x轴上方抛物线上一点，其横坐标为m 备用图 试卷第1页，共3页 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于点D,若OC=4PD,求m的值； (3)过点P作PF∥x轴交直线BC于点F,分别过P,F作PM⊥x轴，FN⊥x轴，垂足分 别为M,N两点，得矩形PMNF,令矩形PMNF的周长为l. ①求1关于m的函数解析式； ②点Q是抛物线上一点，其横坐标比点P的横坐标大2.若点K与Q关于抛物线对称轴对称， 过K作KH∥x轴交直线BC于点H,分别过K,H作KE⊥x轴于点E,HG⊥x轴于点G, 得矩形KEGH，令矩形KEGH的周长为f若I+f=20,直接写出m的值， 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧). B (1)求抛物线的表达式 (2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴与点F,交抛物线于点E ,求ME的最大值； (3)试探究当ME取最大值时，直线EF上是否存在一点P,使得PA+PC有最小值，若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由. 7.如图1，已知抛物线y=二x2-x-4的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C. B A B B x 图1 图2 图3 (1)如图2，连接BC,P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交BC于 点e,求Pp+ 4 QB的最大值及此时点P的坐标； 试卷第1页，共3页 (2)如图3，连接AC,BC,抛物线上是否存在一点M,使得∠MBC+∠AC0=45°？若存 在，直接写出其中一个点M的坐标；若不存在，请说明理由。 8.已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于点A、C(C在A的左侧)，与y轴交于点B. 图1 图2 (1)若A3,0),B(0,-3,C(-1,0. ①直接写出抛物线解析式：-； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线AB上是否存在点M使ABC与△ADM相似，若存 在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线y=ax2+bx+c上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y 轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F,直线PC交y轴于点H,设直线PO解析式为 y=c+1,当5.0=2，，试证明？为一个定值，并求出定值， 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ax+2经过点(2，-4)，与x轴交于A,B两 点，与y轴交于C点. VA (1) (2) (I)直接写出a的值和A,B两点的坐标； (2)如图(1)，点E是抛物线上一点，且满足∠EAB=∠BC0,求点E的坐标； (3)如图(2)，点M,N是抛物线对称轴上两点，直线AM,AN分别交抛物线于点P,Q, 试卷第1页，共3页 设点M,N的纵坐标分别为m,n,mn=-3,求点A到直线PQ的距离的最大值. 10.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴是直线x=2 3 B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为 2√2，求出满足条件的P点坐标： (3)在(2)满足的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线BC方向平移√2个单位长度得到 抛物线y,点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线y上的一动点，G为x轴上一定点， -0。若∠FGB±46：L0PE,谐直接写出所有符合条件的点F的坐系，酒 解点F的坐标的其中一种情况的过程. 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+c+c与x轴交于A,84,0)两点，与 y轴交于点C0,4. B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于 点M,作PN∥x轴交抛物线于点N,点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点， 试卷第1页，共3页 连接AE,PF,EF,当2PM+PN取得最大值时，求P点坐标及AE+EF+PF的最小值； (国将抛多线y=方+加+c沿射线BC方向平移后经过点22得到抛物线以，点G为型 物线y上一动点，若2LCA0-∠GAB=90°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写 出求解点G坐标其中一种情况的过程 12.平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0),B两 点，与y轴交于点C,顶点为D(-1,4),点P是抛物线上A,C两点之间的一动点. 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式； (②)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值； ②如图3，过点E作EF⊥y轴于点F,设w=√2PE+EF,求w的最大值， 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A-1,0)、B两点，交y 轴于点C,抛物线的对称轴是直线x= 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD川x轴交抛物线于点D,作 PE1BC于点E,当PD+5PE的最大值时，在抛物线对称轴上有两动点Q,R(点Q在 2 点R的上方)，当QR=2时，求PR+QR+BQ的最小值 试卷第1页，共3页 ③)将抛物线沿射线BC方向平移、5个单位长度，在PD+5PE取得最大值的条件下，点F 2 为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点，若 ∠NMF-∠ABC=45°，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种情况的过程. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)y=x2+2x-3 295或2N5 4 692 8 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据∠OAD=∠BAC,可知只存在△OAD∽△BAC和aOAD∽aCAB这两种情况，据此 利用相似三角形的性质讨论求解即可； (3)求出直线4C的解析式为y=-x-3,证明△PEGn△A0C,可推出PE=5PG;设 Pe广+2-则0p-,测可到店号0=(+引+ ,据此可 2 得答案 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A(-3,0),B(1,0), 9a-3b-3=0 a+b-3=0’ a=1 解得b=2 抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=-3, .C0,-3), A-3,0),B(1,0), .0A=0C=3,0B=1, AB=4,AC=V0C2+0A2=3V2: :LOAD=∠BAC, .只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况， 当△0ADn△BAC时，则4D-OA」 AC AB AD 3 324' 答案第1页，共2页 AD= 4 当04DCAB时，则D-O4 AB AC' :D、3 43V21 .AD=2√2； 综上所述，AD的长为5或22： 4 (3)解：设直线AC的解析式为y=kc+b', 「-3k+b=0 16=-3 k=-1 6=-3 直线AC的解析式为y=-x-3; :PM⊥x, PM∥OC, .∠EGP=∠OCA, :PE⊥AC, .LPEG=∠A0C=90°， .△PEG∽△A0C, 器瓷号 332’ :PE=NPG; 设P(p,p2+2p-3,则G(p,-p-3), G=-p-3(p+2p-到=-p-3p=-(p++} 2 -5<0, 2 :当刀号，PE有最大仁，最大值为门 8 答案第1页，共2页 2.(1)y=-x2+x+2 (2)当1=1时，MN有最大值，MN最大值为1 (3)点D的坐标为0,1或(0,3)或(2,1 【分析】(1)先求出点A的坐标和点B的坐标，再根据待定系数法求解即可. (2)直线x=t与直线y=-x+2的交点M的坐标是(t,-1+2),直线x=t与抛物线 y=-x2+x+2的交点N的坐标是(，-2+t+2),表示出MN=-2+2,再根据二次函数的 性质求解即可. (3)由(1)(2)知，点M的坐标是(1,1)，点N的坐标是1,2)，点A(0,2),分为当MN为 平行四边形的边时，当MN为平行四边形的对角线时，分别求解即可. 【详解】(1)解：：直线y=-x+2交y轴于点A,交x轴于点B, 点A的坐标是(0,2)，点B的坐标是2,0). :抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点， -4+2b+c=0 c=2 .b=1,c=2, 抛物线的解析式为y=-x2+x+2. (2)解：直线x=t与直线y=-x+2的交点M的坐标是t,-t+2). 直线x=t与抛物线y=-x2+x+2的交点N的坐标是(t,-t2+t+2), MN=-12+1+2-（-1+2)=-12+2t. 当t=1时，MN有最大值，MN最大值为1. (3)解：存在. 由(1)(2)知，点M的坐标是(1,1，点N的坐标是1,2)，点A(0,2. 当MN为平行四边形的边时， 则MN∥AD且AD=MN=1,则点D的坐标为0，或(0,3). 当MN为平行四边形的对角线时，设MW的中点为Q,则Q的坐标为 12) 答案第1页，共2页 又：Q为AD的中点， 点D的坐标是(2,1. 综上，点D的坐标为(0,1或(0,3)或(2,1. 3.(1)y=-x2+2x+3 四科 (3)1或0 【分析】(1)待定系数法求解析式，即可求解： (2)设P(1,-2+21+3),D(t,0)表示出PD+OD,根据二次函数的性质，即可求解： (3)先求得抛物线对称轴为直线x=1,分m+2<1,m-1<1且m+2>1,m-1≥1，三种 情况结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c过点B(3,0)和点C(0,3). 「-9+3b+c=0 c=3 [b=2 解得： c=3 该抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+3; (2)解：设P(1,-t2+2t+3,D(1,0),其中0<t<3, -1<0, ·PD+OD的最大值为 4 (3)解：y=-x2+2x+3=-(x-1+4,对称轴为直线x=1, 当y=0时，-x2+2x+3=0 解得：x=-1,x2=3 a=-1<0 ：在对称轴左侧函数y随着x的增大而增大，在对称轴右侧函数y随着x的增大而减小. 故分以下三种情况讨论： 答案第1页，共2页 ①若m+2≤1，即m≤-1 则当x=m-1时，函数y有最小值为0 :m-1=-1,解得：m=0（舍去) ②若m-1<1且m+2>1,即-1<m<2 当x=m+2时，函数y有最小值为0， m+2=3,解得：m=1. 当x=m-1时，函数y有最小值为0， m-1=-1,解得：m=0, m=0或1 ③若m-1≥1，即m>2 则当x=m+2时，函数y有最小值为0， .m+2=3,解得：m=1(舍)， 综上，m的值为1或0. 4.(1)y=-x2+3x ®9 (3)0<m<3或m>7 【分析】(1)利用待定系数法即可求解； (2)利用待定系数法直线AB解析式为y=2x-6,设Pp,-p2+3p,则Q(p,2p-6),可 求出0-广+3-2p-0=-气-+空，然后限署二次数的性质解即阿， A (3)利用待定系数法求出平移前线段A0的解析式为y=5x,可得平移后线段A0的解析式 为y=5x-m),由二次函数的对称性可得点A-2,-10的对称点为5，-10)，再分别求出当 线段A0经过B(3,0)和(5，-10)时对应m的值，结合图象即可得出答案. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象经过A(-2,-10),B(3,0)两点， 「4a-2b=-10 9a+3b=0, a=-1 解得b=3’ 答案第1页，共2页 .y=-x2+3x; (2)解：设直线AB解析式为y=+c, 「-2k+c=-10 则3k+c=0 「k=2 解得 c=-61 直线AB解析式为y=2x-6, :PQ⊥x轴， .设Pp,-p2+3p,则2(p,2p-6), P0=-p2+3p-2p-6) =-p2+3p-2p+6 =-p2+p+6 ( :当0方时，阳取设大位为学： (3)解：设平移前线段A0的解析式为y=:, 代入A(-2,-10)得-2t=-10, 解得：t=5, :平移前线段A0的解析式为y=5x, .329 y=-+3x=气x-2)+4' 3 ·抛物线对称轴为x= 点4210关于对将维=的对称点150， :线段A0向右平移m个单位长度， ·平移后线段A0的解析式为y=5x-m), 当平移后线段A0经过B(3,0),则53-m)=0, 答案第1页，共2页 解得：m=3, 当平移后线段A0经过(5，-10)，则5(5-m)=-10, 解得：m=7, :结合图象得，若线段A0与抛物线无交点，m的取值范围为0<m<3或m>7. S.(0)y=-,x2+x+4 (2)2+√2或2-√2 [-2m+8(-2<m<0) (3)①1= -2m+6m+80<m<4④：②-2+V2或2-V2 【分析】(1)将A(-2,0)代入抛物线解析式，求出b的值即可； (2)先计算出点B和点C的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式.用m的代数式 表示出点P和点D的坐标，根据OC=4PD构造方程并解出m的值； (3)①先计算出点F的坐标，根据点F与点P的相对位置分类讨论，用m的代数式表示出 PF和PM,进而求得I关于m的函数解析式； ②先计算出点Q和点K的坐标，再计算出点H的坐标.仿照①的解法，根据点H和点K的 相对位置进行分类讨论，求出f关于的函数表示式.利用l+f=20构造方程并解出m的 值 【详解】(1)解：将A(-2,0)代入y=-x+bx+4,得， 2 0=-2-2b+4, 解得b=1, :抛物线的解析式为y=一2 -x2+x+4 (2)解：：点P在抛物线上，且横坐标为m, 1 :点P的坐标为m,2m+m+4 1 将y=0代入y=-二x2+x+4,得， 人号x2+x+4=0 解得x=-2或x=4, 点B的坐标为4,0)， 答案第1页，共2页 1 将x=0代入y=-。x2+x+4,得y=4, 2 点C的坐标为0,4)， .0C=4, .OC=4PD .PD=1, 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将B(4,0),C(0,4)代入y=kx+b,得， [0=4k+b 14=b, ∫k=-1 解得6=4' 直线BC的解析式为y=-x+4, :PD∥y轴， .XpXp =m, 点D的坐标为m,-m+4), 1 1 .PD=yp-yo=-5m2+m+4-(-m+4)=-5m2+2m, 2 2 PD=1, +2a=1 化简，得m2-4m+2=0, 解得m=2+√2或2-√2； (3)解：①当点P在y轴左侧时，如图，此时-2<m<0, 点P的坐标为 m,-2m+m+4 1 ,且PM⊥x轴， 答案第1页，共2页 1 .PM=-。m2+m+4, 2 :PF∥x轴， 1 =p=2m+加+4， 将ym+m+4代入直线y=-x+4,得 m+m+4=-X+4, 1 1 解得x=5m2-m, 2 点F的坐标为 1 m2-m, 2 -m2+m+4, 2 :PF Xg -Xp= m2-2m, 2 短形PMNF的周长为l=2PW+PF=2(r+m4+号n-2加-2m+8, 当点P在y轴右侧时，如图，此时0<m<4, 2+m+4 同理可得，点F的坐标为行m-,” PM=-)m2+m+4,PF=X?-X5=- 1 02+2m, 1=2Pn+P时)=22+m+4-+2-2m+6m+8, 当点P在y轴上时，点P与点F重合，矩形PMNF不存在，故舍去； -2m+8(-2<m<0) 综上所述，1= -2m2+6m+8(0<m<4) ②由题意可知，点Q的横坐标为m+2, 将x=m+2代入y=-x2+x+4,得y=-m2-m+4, 1 2 点Q的坐标为m+2,-)m-m+4 答案第1页，共2页 抛物线y=-】x2+x+4的对称轴为直线= 2x9 :点K与Q关于抛物线对称轴对称， 1 .点K的坐标为 -m,2m2-m+4, 1 将y=-三m2-m+4代入直线y=-x+4,得， 1 三m2-m+4=-x+4, 解得x= 2m+m, 1 ÷点1的坐标为}r+m 2m2-m+4】 当-2<m<0时，如图， =--f-+小-2m KE=-m2-m+4, 2 矩形KEGH的周长f=2(HK+KE)=-2m2-6m+8, 由①可得，此时1=-2m+8, :1+f=20, .-2m+8-2m2-6m+8=20, 化简，得m2+4m+2=0, 解得m=-2+√2或-2-√2， :-2<m<0, .m=-2+√2； 当0<m<2时，如图， 答案第1页，共2页 EM ONG 同理可得，E=- m2-m+4, 2 ∫=2(HK+KE)=2m+8, 由①可得，此时1=-2m2+6m+8, 1+f=20, .-2m2+6m+8+2m+8=20, 化简，得m2-4m+2=0, 解得m=2-√2或2+√2， :0<m<2, .m=2-√2； 当m=2时，点K在x轴上，矩形EGH不存在，故舍去； 当2<m<4时，如图， MN 此时点K在x轴下方， 1 E=-y:=2+瓜-4， K三X8方m+2m f=2HK+KE)=2m2+6m-8, 由①可得，此时1=-2m2+6m+8, :1+f=20, 答案第1页，共2页 .-2m2+6m+8+2m2+6m-8=20, 解得四这与2<<4不有，故合去 综上所述，m=-2+√2或2-√2 【点晴】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，中点公 式，公式法解一元二次方程，熟练掌握与坐标轴平行的直线上点坐标的特征并运用分类讨论 思想是解题关键， 6.(1)y=x2-2x-3 6》 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段的最大值， 轴对称的性质。 (1)先根据一次函数的解析式，求得A,C的坐标，再根据待定系数法求二次函数解析式， 即可求解； (2)先根据二次函数的解析式，求得点B的坐标，待定系数法求得直线BC的解析式为 y=x-3,设M(x,x-3)(0≤x≤3)，则E(x,x2-2x-3),表示出ME,根据二次函数的性质， 即可求解； (3)由(2)可得当x=时，ME取最大值，如图所示，作点A关于直线x=对称的点D ,连接CD交EF于点P,则点P即为所求，再求得CD的解析式，进而求得P的坐标，即可 求解， 【详解】(1)解：当y=0时，-3x-3=0,x=-1 A-1,0 当x=0时，y=-3 .C(0,-3) 0 b=-2 .1c=-3 答案第1页，共2页 抛物线的解析式是：y=x2-2x-3 (2)解：当y=0时，x2-2x-3=0 解得：x1=-1,x2=3 .B(3,0 设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0)，代入B(3,0),C(0,-3) 「3k+b=0 b=-3 [k=1 解得： 1b=-3 .直线BC的解析式为y=x-3 设M(x,x-3)川0≤x≤3)，则E(x,x2-2x-3) 版----2x+a-f到9 :当：=弓时，ME的最大值为号 图解：由2)可得当xME取最大 日QD酥·☑学骅区x彩厚士关V学 :PA=PD ..PA+PC=PC+PD=CD, 即PA+PC有最小值为CD的长，点P即为所求， :A-1.o,2+2 3,3, 3+1=4 .D(4,0), 答案第1页，共2页 设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入C(0,-3),D4,0),得 4k+b=0 b,=-3 解得： 3 4 b=-3 直线CD的解析式为y=3 t3 =3×3-3=9-3=-15 当x=时，y2 8 8 P3》 7.0)最大值为25， P气28 ②存在：点M的坐标为-1引或2-4 【分】先录出8C的解新式，设@am-4,Pmm-m-4小 表示出PQ,BQ的 长度，从而表示PQ+V5QB,然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可： 4 (2)分两种情况①当M点位于BC上方时，在OC上取一点D,使得OD=OA,连接BD并 延长交抛物线于点M;②当M点位于BC下方时，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F,CF与 抛物线的交点为E,利用全等三角形的判定与性质进行求解即可. 【详解】(1)解：将x=0代入y=x2-x-4,得到y=-4, 2 C(0,-4), 将7代入y方2--4得0方-4 解得：x=-2,x2=4, A-2,0),B(4,0), 设直线BC的解析式为y=kc+b, C(0,-4,B(4,0), 「4k+b=0 b=4 答案第1页，共2页 「k=1 解得： b=41 :直线BC的解析式为y=x-4, 设Q(m,m-4), P2⊥x轴， P0=a-4日-m-4m+2m,80=4则4-， P为直线BC下方， ∴.m<4, B0=V2(4-m), 4 。C/A￥+7十7T 4 2 2 2m、 2 ·当m时，P0+2QB的值最大，最大为， P房》 (2)解：存在； ①当M点位于BC上方时，在OC上取一点D,使得OD=OA,连接BD并延长交抛物线于 与点M, VA B:0B=0C=4,0D=04,LD0B=∠A0C=90°， △D0B≌△AOC(SAS), .∠0BD=∠AC0, :∠OBD+∠MBC=∠0BC=45°， LAC0+∠MBC=45°， :此时使得∠MBC+∠AC0=45°， 0D=0A=2, 答案第1页，共2页 .D0,-2）, :B4,0), 设直线BD得解析式为y=c+b, 4k+b=0 1b=2’ 1 k= 解得： 2, b=-2 :直线BD的解析式为y=二x-2, =。x2-x-4 联立 1 y=2-2 解得：x=-1或x=4, w-》 ②当M点位于BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F,CF与抛物线的交点为 E,连接BE, B :C(0,-4, 1 当y=-4时，-4=x2-x-4, 解得：x=0或x=2, E(2,-4), CE=2, :∠C0B=∠FB0=∠CFB=90°， 0B=CF=4, :EF=CF-CE=2, :BF=0C=4,∠BFC=C0A=90°，OA=EF=2, 答案第1页，共2页 .∴△BFE≌COA(SAS), :∠EBF=LACO, :CF=BF=4,∠BFC=90°， .∠CBF=LCBE+∠EBF=45°， ∠CBE+∠AC0=45°， 则E即为M点， M(2,-4; 综上所述，使得∠M8C+∠4C0=45,M点的坐标为-1引或2-到。 8.(1)①y=x2-2x-3;②存在， (②？为定值1，证明见解折 【分析】(1)①运用待定系数法求解即可； ②分△ADM∽△ACB和△AMD∽△ACB两种情况讨论求解即可； (2)设直线PC的解析式为y=mx+n,直线CQ的解析式为y=dc+e,则H(0,n, F(0,e),由S△Hce=2Sac得e=2c-n,联立方程组，由根与系数和关系可得出结论. 【详解】(1)解：①将A3,0),B(0,-3),C(-1,0)代入y=ax2+bx+c 0=9a+3b+c 得， c=-3 a-b+c=0 a=1 解得b=-2 c=-3 故抛物线解析式为y=x2-2x-3; ②过M作MF⊥x轴 答案第1页，共2页 :点D与点C关于y轴对称 .D1,0),AC=4,AB=3√2，AD=2 当△ADM∽△ACB时， AD_AM ”ACAB w6, 0A=0B, L0AB=450 F=ME 副 当△AMDn△ACB时， .D AM ·ABAC :AM=42, 3 :0A=0B, .∠0AB=45° AF=MF 自引 (2)解：：抛物线解析式为y=ax2+bx+c 当x=0时，y=c .B(0,c 答案第1页，共2页 设直线PC的解析式为y=mx+n,直线CQ的解析式为y=d+e H(0,n,F(0,e .FH=yE-yn =e-n FB=yE-y8=e-c SAnco 2SABce 号m)=2xaF×e-) .e-n=2(e-c) ..e=2c-m (即十M=c=ya即点B是FH的中点) 2 H y=mx+n y=ax2+bx+c .ax2+(b-m)x+c-n=0 .Xpc =c-n a :=e y=ax2+bx+c ..ax2+(b-d)x+c-e=0 .xoxc=c-e=c-2c+n_n-e a aa pc =c-n xoe=n-c ,xc≠0 a a :'xpxc+xoxc xc(Xp+Xo)=0 .xp+xo=0 答案第1页，共2页 又：直线y=kx+t经过抛物线y=ax2+bx+c上两点P、Q 「y=kcx+t y=ax2+bx+c .ax2+(b-k)x+c-1=0的两个根为xp和xo +2=-b-k a -b-k-0而a+0 a ..b=k 奖为定值1 9.(1)a=-1,A-2,0),B(1,0 a引 3 【分析】(1)将(2，-4)代入y=ax2+ax+2求出a=-1,得到抛物线y=-x2-x+2,然后令 y=0求出A-2,0),B(1,0)； (2)根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出AE所 在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； 1 4 可得AM所在直线的表达式为y=2mx+3m一 3 2 AW所在直线的表达式为y=二nx+n,然后分别于抛物线联立求出 3 然后结合mn=-3表示出PQ所在直线表 0 22 达式，设1=m+m,得到阳-气后-3-3x+3 然后求出心所在直线过定点-》】 进而求解即可. 【详解】(1)解：将(2，-4代入y=ax2+ax+2得，-4=4a+2a+2 解得a=-1 抛物线y=-x2-x+2 答案第1页，共2页 .当y=0时，0=-x2-x+2 解得x=1或x=-2 .A-2,0),B1,0): (2)解：如图，当点E在x轴上方时，设AE与y轴交于点F, :抛物线y=-x2-x+2 当x=0时，y=2 .C(0,2),即0C=2 A-2,0）,B(1,0 .0A=2=0C,0B=1 :LEAB=∠BCO,LAOF=∠COB :△AOF≌△COB(ASA 0F=0B=1 .F(0,1 :AF所在直线表达式为y=2x+1 y=-x2-x+2 与抛物线联立得， 1 y=2x+1 解得x=-2或x=2 将x=代入y+1得，y 4 15） :24) 如图，当点E在x轴下方时，设AE与y轴交于点F, 答案第1页，共2页 A B 同理可得，AG所在直线表达式为y=-】 1 y=-x2-x+2 与抛物线联立得， t1 1 J=- 3 解得x=-2或x= 2 将代入 综上所述，点E的坐标为 到 解y-42=+ 地物线对称轴为直线x :设点M,N的纵坐标分别为m,n, (23 A-2,0) 4 2 可得4M所在直线的表达式为y生mxm，AN所在直线的表达式为y三士D 3 3 3 2 4 联立y=名m+4m和y=-x2-x+2得， y=-mx+-m 3 3 3 y=-x2-x+2 整理得，3x2+2m+3)x+4m-6=0 +n=-2m+3 3，即-2+x。=-2m+3 3 2 .xp=-二m+1 3 将名，=号+1代入y-号r+音阳符，，=音m+2 4 3 3 9 答案第1页，共2页 sr-jek-ici 同理可得， +l+2n :可得P2所在直线表达式为ye= 2(m+n-9,-6(m+n)+4mn+27 -x+ 3 9 mn=-3 :PQ所在直线表达式为yo= 2(m+n)-9,-2(m+n)+5 -x+ 3 3 设t=m+n x+-21+52 2t-9 :ypo= 33 -3x-21+5=22 I+ 3 -3+3(3-3 -x+月 当号0时，即=1时= 4 :PD所在直线过定点风-引 :A-2,0)是定点 :.当AR⊥PQ时，点A到直线PQ的距离取得最大值 AR=、 3 ·点A到直线P?的距离的最大值为V97 10.(1)y=-x2+3x+4 (2)P的坐标为(2,6) (3)(-1+V5,35+2或(6，-23)，过程见解析 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可； (2)设P(m,-m2+3m+4),则K(m,-m+4),根据PK=yp-yx列方程求出m的值即可求 出答案； (3)根据二次函数图象的平移、锐角三角函数、一次函数的图象和性质进行解答即可. 3 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴是直线x= 2 b3 ·-2x-12’ 解得b=3, 答案第1页，共2页 把点A-1,0)代入抛物线y=-x2+bx+c得0=-（-1)2+b×(-1)+c, 即c-b=1, c-3=1,解得c=4, 则抛物线的表达式：y=-x2+3x+4. (2)解：过点P作PH⊥BC于点H,作PM⊥x轴于点M,交BC于点K. MB :0B=0C=4, L0BC=45°. :PH⊥BC,PM⊥x轴， .∠PHK=∠KMB=90°. 又：∠PKH=∠MKB, .∠HPK=45o. 在Rt△PHK中，∠PHK=90°，coS∠HPK= PH PK :PK=PH =4 cos45° B(4,0),C(0,4, .BC:y=-x+4, 设Pm,-m2+3m+4,则K(m,-m+4), PK=yp-yx=-m2+3m+4+m-4=4, ∴.m2-4m+4=0, .m1=m2=2, P的坐标为2,6). (3)将抛物线y=-x2+bx+c沿射线BC方向平移√2个单位长度得到抛物线y, 答案第1页，共2页 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则y'=-(x+1)2+3(x+1)+4+1=-x2+x+7, 过P作PW⊥y轴交y轴于点W, 如图点P沿射线BC方向平移至点E,所以LEPW=LCB0=45°， 图a 图b :∠FGB+45=∠0PE,L0PE=∠0PW+∠WPE=∠0PW+45°， ∠OPW=∠FGB,P的坐标为2,6)， .tan ZFGB=tan∠OPW=3. 0 直线GF:y=3x+5(如图a)或y=-3x-5(如图b), 点F为直线GF与抛物线y的交点， .-x2+x+7=3x+5或-x2+x+7=-3x-5, 解得：x=-1+V3,x2=-1-V5(舍去)或x=6,x4=-2(舍去)， 点F的坐标为：（-1+5,3V5+2或(6，-23). 1.0y=-x2+x+4 2 (2227 2 4 16 答案第1页，共2页 【分析】(1)把点B4,0),C(0,4代入y=-x+bx+c,求解即可 2 (2)求出对称轴为直线x=1,直线8C的解新式为)=-+4，设户怎+x+4】 Mx-x+4,N2-x2+x+4,得PM宁 )x2+2xPW=2x-2,得 2PM+PW=--3+7,得当2PW+PN有最大值时P3引作点P关于y轴的对称点 Q,连接BQFQ,BE,得B0=2四，PF=F0,AE=BE,得AE+EF+PF 2 =BE+EF+FQ≥BQ,得当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，AE+EF+PF=BQ ，AE+EF+PF取得最小值22I, 2 (3)由y=-x2+x+4,求出4-2,0)，得0A=2,0B=0C=4,由平移求出 2 y=-x++号作△40C关于直线4C前对称4HC,作4G,ICH交于点G,4G交 y轴于点E,过点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J,可得 2∠CA0-∠G,AH=90,符合题意.证明AA1 HHJC,得W-C-CH-4=2,设 AHⅢAH2 H(s,(s<0,t>0),则AI=-2-s,H1=t,由四边形0CJⅡ是矩形，得 16 S=- 5 168 CJ=01=-3,J=0C=4,.HJ=4-t,求出 8 ,得H55 ,设直线CH解析式 t= 5 3 3 +联立x+++ 3 为y=mr+4,求出m=子，直线4G,的解析式为y=子 4 24 2 解得x=-7+V93 -7+V1933+3V193 4 得G, 4 ,由y= ,设点E关于 16 x轴的对称点为F0,-3 2 求出直线AF的解析式为y=-3x-3 联立得 -x- 4 x++号子解+2得@ -1+V24121+3V241 24 4 4 16 【详解】D解：把点B4,01,C0,4代入y=)+x+ 得 _1×4+4b+c 0=-21 4=c b=1 解得 c=4 答案第1页，共2页 抛物线的解析式为y=-)x+x+4 2 20:y=*+4=x-+号 对称轴为直线x=1, C(0,4), .设直线BC的解析式为y=c+4, B(4,0), .4k+4=0, 解得k=-1, .y=-x+4, 设P玉产++4 则玉-.w2-++4。 PM=- ++4-+4到=2+2PN=r-2-=2x-2, (1 2PM+PN=22+2x+2x-2=-r+6x-2=-(x-3+7, :-1<0, 当x=3时，2PM+PN有最大值， 此时P心引 作点P关于y轴的对称点Q,连接BQ,FQ,BE, 则BQ= 4+3r+ 5 √221 2 PF=FO, :点A,B关于对称轴对称， :AE BE, :AE +EF PF BE+EF+FO BO, 当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，AE+EF+PF=BQ, AE+EF+PF取得最小值V22I 2 答案第1页，共2页 -45232 1 (3)解：对y=7+x+4 令=0，则x2+x+4=0) 解得x=-2或x=4, .A-2,0), B(4,0),C(0,4, .0A=2,0B=0C=4, :抛物线y=- 2x2+x+4=- x-+号沿射线C方向平移后经过点2,2得到抛物线， 设抛物线y= +x+4x-+向左平移d个单位长度再向上平移d个单位长店 2 经过点(2,2)得到抛物线y, 以=x1+a+号+d 把2,2)代入， 得2=号2-1++ 9 +d, 解得d=±2， 取d=2, x*+号 :2∠CA0-∠GAB=90°， 作△AOC关于直线AC的对称△AHC,作AG,ICH交y于点G,AG交y轴于点E,过 点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J, 则∠AHC=∠AOC=90°，∠CAO=∠CAH,OA=AH=2,OC=CH=4, 答案第1页，共2页 .∠OAH=2∠CAO,∠GAH=180°-∠AHC=90°， :∠OAH-∠GAB=∠GAH, ∴.2∠CA0-∠G,AH=90°，符合题意. :∠1=∠J=90°， .∠CHJ+∠HCJ=90°， :∠CHJ+∠AHI=90°， ∴.∠AHI=∠HCJ, △AIH∽△HJC, 兴品 =4=2, 设H(s,(s<0,t>0), 则A1=-2-s,H=t, :∠1=LJ=∠C01=90°， .四边形0CJⅡ是矩形， .CJ=01=-,1J=0C=4, .HJ=4-t, 4-t=2(-2-s) -5=2t 〔16 s=- 5 解得 8 t= 5 设直线CH解析式为y=mx+4, 则、16 m+48 5 解得m=4' 3 设直线AG,的解析式为y=4r+”, 3 则子-2)+n=0, 答案第1页，共2页 解得n=2' 3 3 3 :直线4G的解析式为y=X+ 2 孩有… 解得x=7+193或=1-195（舍去， 4 4 -7+V1933+3V193 G 4 16 3 3 对y=X+2 令x=0,则y=2 3 设点E关于x椎的对称点为F0,引，直线的解折式为y=x-子 则2 =0, 3 .e=4' y=-33 -x- 42’ 联立得x++-子 +2=-4x-2 解得x=-1+24或x=1-2④ (舍去)， 4 4 .G2 -1+V24121+3241 4 16 -1+V24121+3W241 4 4 16 答案第1页，共2页 B D 【点晴】第(2)作轴对称图形，构建最短路径模型；第(3)小题，作轴对称图形，构建相 似三角形. 12.(1)y=-(x+1)2+4 209V2 8 8 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的最值问题、直线方程的应用以 及几何图形中的线段关系分析 (1)根据抛物线的顶点坐标设顶点式，将A-3,0)代入即可解答； (2)①设P(,-2-2t+3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q(1,t+3),经分析，线段 PE=5Pe,根据P0=--3=-+ +可得当=多时，四有最大位子从面府 4 到线段PE的最大值；②经分析，√2PE=P?=yp-yo=-3,结合图形，求出交点E的 横坐标为x=1,放EF:--,代入可得 2 2 w=nE+=---空 根据二次函数的性质即可解答. 2 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4, 将A(-3,0代入得：0=a-3+1)2+4, 解得a=-1, ：抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3; 答案第1页，共2页 (2)解：①由(1)知C(0,3, 设直线AC的解析式为y=x+b, [-3k+b=0 k=1 将A(-3,0),C(0,3)代入得： b=3 ，解得 b=3’ :直线AC的解析式为y=x+3, 设P(1,-2-21+3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q(1,1+3, B x.P0=(-2-2+3)-1+3)=-P-31, 图2 :0A=0C=3, :aAOC为等腰直角三角形， ∠AC0=45°， :PQ⊥x,OC⊥AB, ∴.PQ∥CO, ∴.∠PQE=∠AC0=45°， :PE⊥AC, “aPEQ为等腰直角三角形， :PE=P0.5n45-5p0. :当t= 含时，P有技大位？ PE的最大值为巨x995 248 ②由①知V2PE=PQ,P(t,-2-21+3,0(t,1+3), 延长FE交PQ于点G, 答案第1页，共2页 E B x:PQ∥CO,EF⊥y, 图3 .EG⊥PQ,则yE=yG :△PEQ为等腰直角三角形， :.PG=0G, -2-21+3-y6=y6-(t+3, -t2-1+6 ..yE =yG=- 2 把，=1+6代入直线4C的解析式y=x+3, 2 可得交点E的横坐标xe=2, -t2-t EF⊥y轴， ∴EF=-xE= 12+1 2 w=2PE+原=-f-3+=--=-++25 t+ 2 22 228 -3<-5<0, 2 ·当t=一 时，w取得最大值，最大值为 2 8 13.0①y=1x2_ x-3 2 (2)2+V37 (3)点N的坐标为 5-4-丽 过程见解析 【分析】(1)把A-1,0)代入y=ax2+bx-3,得a-b-3=0,根据对称轴公式得出-b=5 2a2 ，然后联立方程组求解即可： 答案第1页，共2页 (2)延长PE交x轴于G,过P作PH∥y轴于H,求出PE-25PH,运用待定系数法 5 求度线c解新式为方-3，设P行-子-小，归宁- 1 ,得PH=-x2+3x ,PD=2x-5,可得PD+5PE:-x2+5x-5,由二次函数的性质得PD+5PE取得最 2 2 大值，最大值为此时P5,-3;当P、R、B三点共线时，PR+RB最小，为PB1 长度，由勾股定理求出PB的长度即可： (3)由抛物线沿射线BC方向平移√5个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移 1个单位，可得新的能物线为yx+2-多x+2)-31方女--7，P34,分两 种情况：当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K,证明M(0,),可得 ∠AM0=∠OAM=45°=∠FMK,证明∠NMK=∠ABC;当N在y轴的右侧时，过M作y 轴的垂线，过N'作N'T⊥过M的垂线于T,同理可得∠NMT=∠ABC,再进一步结合三角 函数建立方程求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A-l,0),B两点，交y轴于点C, 抛物线的对称轴是直线x=2’ 5 a-b-3=0 .b5, 2a2 1 a= 2 解得{ b=- 2 (2)解：如图，延长PE交x轴于G,过P作PH∥y轴，交BC于H, 答案第1页，共2页 (P :当y=2 x-3=0时，解得x1=-1,x2=6, 2 2 B(6,0), 当x=0时，y=-3, C(0,-3), .BC=V32+62=3V5, .sin/BCO OB 6 25 BC35=5 :PD∥x轴， ∠PHE=LBCO, ·sin∠PHE=PE-2V5 PH 5 PE-245PH. 5 :B(6,0),C(0,-3, 设BC的解析式为y=mx-3, :6m-3=0,解得：m=2’ 1 :直线BC解析式为y=2-3, 1 PH=-二x2+3x, 2 抛物线y=号2-3x 一2x-3的对称轴为直线x= 答案第1页，共2页 .PD=2x-5, PD+5PE=2x-5+5255+3x- X 2 2521 2× 时，PD+5PE取得最大信，最大值为受：此时P5-列： 2 将B(6,0)沿对称轴向下平移2个单位，得B'(6,-2), 作P5,-3)关于对称轴x=的对称点P,得P0,-3引， 2 此时PR+QR+BQ=PR+2+RB, 当P、R、B三点共线时，PR+RB最小，为PB的长度， .P'B=V6-0)2+(-2+3)2=V37, PR+QR+BQ的最小值为2+√37， (3)解：：抛物线沿射线BC方向平移√5个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下 平移1个单位， 小新的抛物线为-号x+2-x+2小-31--号7，P1-4, 如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K, M 设直线AF的解析式为y=c+b, 把A-1,0),F(3,-4代入得 「-k+b=0 3k+b=-4' [k=-1 解得b=1 答案第1页，共2页 :直线AF的解析式为y=-x-1, 当x=0时，y=-1, M(0,-1, :LAM0=∠0AM=45°=∠FMK, :∠NMF-∠ABC=45°， :∠NMK+45°-∠ABC=45°， :∠NMK=∠ABC, tan∠NMK=tan∠ABC=OC_3_1 OB62' 设--7小 .NK -n 1 MK 2n+72, 解得：n=5-V历或5+7历（舍去） 2 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过N'作NT⊥过M的垂线于T, B 同理可得：∠NMT=∠ABC, 设v分--小则r-, 同理可得：22 x-7+11, x=1+V3或1-3（舍去）， 答案第1页，共2页 压西 棕上点N的坐标为对行4-历+厅 答案第1页，共2页