题型十一 几何图形的综合题-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 汇编2023-2025年江西、深圳等多地中考几何综合题，涵盖类比探究、新定义等5类题型，通过分层设问与跨情境迁移，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |类比探究类|2题/20分|正方形旋转放缩、菱形性质|从特殊到一般，结合教材实验与探究背景| |新定义类|2题/20分|双等四边形、邻等对补四边形|以教材概念为基础，创设新定义情境| |动点探究类|2题/20分|菱形动点、直角三角形旋转|动态问题与分类讨论，融合几何变换| |操作探究类|2题/20分|折叠、旋转操作|动手操作与逻辑推理结合，注重过程体验| |规律探究类|1题/10分|正多边形线段关系|从特殊图形到一般规律，渗透数学建模|

题型十一 几何图形的综合题 类型1 类比探究类 1．（2025江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，，相交于点． （1）如图①，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为________，的值为________． （2）如图②，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为，），使得点落在上，点落在上，求的值． 类比探究 （3）如图③，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点．将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点，的对应点分别为，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． （4）若（3）中，其余条件不变，探究，，之间的数量关系（用含的式子表示）． 2．（2023襄阳）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下： 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么（此问题不需要作答）？ 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究，内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）． 【特例证明】（1）如图①，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，． ①填空：________； ②求证：（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②． 【类比探究】（2）如图②，将图①中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】（3）如图③，点在边上，，延长交边于点．若，求的值． 类型2 新定义类 3．（2025深圳）综合与探究 【探索发现】如图①，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图②，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图③，在四边形中，，，．填空：①与的位置关系为________；②________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【方法应用】（1）如图④，在中，，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上．求证：四边形是“双等四边形”． （2）如图⑤，在等腰三角形中，，，，在平面内是否存在一点，使四边形是以为“伴随三角形”的“双等四边形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 4．（2024河南）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫“邻等对补四边形”． 【操作判断】（1）用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有________（填序号）． 【性质探究】（2）根据定义可得出“邻等对补四边形”的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图②，四边形是“邻等对补四边形”，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【拓展应用】（3）如图③，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是“邻等对补四边形”．当该“邻等对补四边形”仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 类型3 动点探究类 5．（2025贵州）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】（1）如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为________，线段与线段的位置关系是________． 【问题探究】（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，．探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转120°得到，射线交射线于点．若，，求的长． 6．（2023重庆）在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图①，若，，求线段的长． （2）如图②，以为边在上方作等边三角形，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边三角形．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 类型4 操作探究类 7．（2025山西，有改动）综合与探究 【问题情境】如图①，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． 【猜想证明】（1）判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】（2）如图②，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 8．（2025湖北）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图①，求证：． （2）如图②，当，时，求的长． （3）如图③，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 类型5 规律探究类 9．（2025烟台）【问题呈现】如图①，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图②，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图③，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系________________________． 【类比探究】（2）如图④，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到0.1，参考数据：，，，）． 【拓展延伸】（3）如图⑤，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为________________________________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 讲评式解析 题型十一 几何图形的综合题 1．解：（1）45° （2）根据题意得，，， ，，，． ，，，． （3）的值与无关．理由如下： 同（2）可证，． 在菱形中，，． 是的垂直平分线与的交点， ，． 过点作于点，如图， ，， ，，的值与无关． （4）同（3）可证，，， ，． ， ， 即． 【解析】（1）四边形是正方形，，， 旋转角的度数为45°，． 2．解：（1）①1 ②证明：四边形是正方形， ，，， ，即， ，． 一题多解法 过点分别作于点，于点，如图①， 则． 四边形是正方形，，平分， ，，， 即，，． （2）．理由如下： 过点作交于点，如图②， ，． 四边形是正方形， ，， ，， ，， 即，，． 一题多解法 过点分别作于点，于点，如图③， 则． 四边形是正方形， ，，． ，，． ，， 即，，． （3）过点作交于点， 作于点，作于点，如图④， 则， ， 即，． 由（2）可得． 又，， ，，． ，， ，，． 同理可得，，． ，，，． ，，， ，． 令，则，，， ，，． 3．解：【问题解决】① ②＝ 【方法应用】（1）证明：为旋转得到的， ，，． 令，则，，． ，，， ，，四边形是“双等四边形”． （2）存在． 如图，过点作于点． ，，，． 设，则． 在中，，即， 解得，，． 分以下三种情况讨论： 如图①，当，时，； 如图②，当，时，． 过点作于点，， ， ，； 如图③，当，时， ，， ，，． 综上所述，满足条件时，或或． 4．解：（1）②④ （2）①． 理由：如图①，延长至点，使，连接． 四边形是“邻等对补四边形”，． ，． ，， ，， ，． ②如图①，过点作于点． 由（1）①可知，，， ，，． ，，的长为． （3）的长为或． 【解析】（3），，，． 四边形是“邻等对补四边形”， ，． 分以下四种情况讨论： ①当时， 如图②，连接，过点作于点， ． 在中，． 在中，， ，解得，． ，，， ，即，，， ，； 一题多解法 ，． 又，，， 即，，，． 根据（2）的结论，； ②当时，如图③，连接． ，， ，故不符合题意，舍去； ③当时， 如图④，连接，过点作于点． ，， ，即， 即，解得． ，，， ，即，，， ，； 一题多解法 设，则，，． ，，． 根据（2）的结论，； ④当时，如图⑤，连接． ，， ，故不符合题意，舍去． 综上所述，的长为或． 5．解：（1）30° （2）．理由：如图①，把绕点顺时针旋转60°得到， ，，， 为等边三角形，，． 点在线段上，且，， ，，， ，， ，． （3）如图，设点为的中点． 分以下两种情况讨论： ①如图②，当点在线段上，记与交于点． ，． ，， ，，即． 设，则，，，． ，，，． ，，为等边三角形， ，； ②如图③，当点在线段上时，延长交于点． 同理可得，，， ，即．设． ，，，． 同理可得，，． 综上所述，的长为2或． 6．解：（1）在中，，， ． ，． （2）证明：如图①，延长使得，连接． 是的中点，． 又，，， ，，． 是等边三角形，． 又，，，，四点共圆， ，， ． ，， ，． （3）的值为． 【解析】（3）如图②，当取得最小值时，，则． 设，则，， ，． 易证垂直平分，则． 将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动． 取的中点，连接，则是的中位线， 点在半径为的上运动． 当取最大值时，，，三点共线，此时如图③， 过点作于点，过点作于点． 是的中点，，， ，是等边三角形， ，． ，，，， ，，． ，． 如图④，在图③的基础上连接，交于点，则四边形是矩形． ，是的中点，，即是的中位线． 同理可得是的中位线， ，． 是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ，， ． 在中，， ． 7．解：（1）四边形是菱形．理由如下： 由折叠的性质可得，，． ，，， ，，四边形是菱形． （2）①．理由如下： 由（1）知．由折叠的性质得． ，， ，，． ，，． ②的长为5或． 【解析】（2）②，，，． 分以下两种情况讨论： ①当为底时，． 如图①，延长交于点，设，交点为． ，， ，． 由折叠的性质得，． ，． ，，， ． ，，， ，，． 设，，， ． ，，， 即，， ，． ，， ． ，，， ，解得（舍去），． 经检验，是分式方程的解，且符合题意，； ②当为底时，如图②，则． 同理得， ，，． 设，， ，． ，，，即，， ，． ，，， ，． ，，， ，（舍去），． 经检验，是分式方程的解，且符合题意，． 综上所述，的长为5或． 8．解：（1）证明：由绕点旋转得到， ，，， ，． （2），，， ，，． 如图，过点作于点， ，． 在中，，即， 解得或（舍去），． 在中，， ． ，，即，． （3）①证明：设旋转角为， 则，，， ， ， ，，， ，． ，． ，，． ，，， ，，． ②． 【解析】（3）②，可设，． ，，四边形是平行四边形， ，，． 由①得． 在中，， ， ，． ，． ，， ， 即， ，，， 即，．由①可得． ，， ，，，四点共圆，． ，， ，． 设，，，， 则．① 根据旋转的性质可得， ．② 联立①②可得，，． 9．解：（1） （2）正五边形的一个内角为． 如图①，在射线上截取，连接，过点作于点． ，，． 又，， ，， ，，． ，，， ，． （3） 【解析】（3）如图②，在射线上截取， 连接，过点作于点． 同理可得，，， ，． ，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $