精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗2026年4月教学质量阶段性监测九年级试题 数学

机密★启用前 2026年4月教学质量阶段性监测（九）年级试题 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 解第一个不等式得，； 解第二个不等式得，， ∴原不等式组的解集为， 故解集在数轴上表示为： ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5. 如图，菱形 的对角线 ，相交于点O，E是的中点，且，则菱形 的周长是（ ） A. 12 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】解：由于菱形对角线互相垂直平分， ∴， ∵E是中点， ∴是斜边上的中线， 则， 菱形 周长． 6. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段 一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 7. 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数，它们之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数图象，利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入一次函数解析式求出函数值，即可得出答案． 【详解】解：设弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， 即当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上， 的取值范围是或． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 现有维生素A，维生素，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查了用 概率公式计算事件概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据公式计算即可． 【详解】解：∵共有四种维生素， ∴恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为． 故答案为：． 10. 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转30°，沿转后方向直行n步后右转30°，再沿转后方向直行n步后右转30°……依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_________步（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，机器人第一次回到出发点时，由于每次向前直行n步后右转30°， 故其路径为一个正多边形， 由于多边形外角和360°， 边数， 共走步． 11. 如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的正切函数求解即可； 【详解】解：过点P作于点D， 根据题意，得， 故， 解得， 故． 12. 如图，在平行四边形 中，于点E，，，P，F分别是， 上的动点，当的值最小时，的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】在 上截取，过点G作于点Q，交于点H，根据垂线段最短，勾股定理求解即可 【详解】解：在 上截取，过点G作于点Q，交于点H， ， 垂直平分 ， ， 故当P与点H重合时，的值最小，且最小值为，， ，， ， 故， 根据三角形的面积，得， 故， ， 故的长为 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式性质化简，零指数幂运算，负整数指数幂运算和特殊角的三角函数值，分别化简各项后再合并即可得到结果； （2）先对括号外分式的分子分母因式分解约分，括号内的通分相减，再与括号外的相加，最后约分化简得到结果. 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：由题意得，且． ． 14. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，， ，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】（1）； （2）D； （3）该景区月份的服务质量良好， ， ， 该景区月份的服务质量良好． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为 的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，， 组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； 【小问3详解】 略 15. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果 箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出 的取值范围，设该公司需花费元，得到关于 的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果 箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随 的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 16. 如图，在中，，以 为直径作，分别交 ， 于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的半径为，连接， 切于点 ， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ， ． 17. 综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ （3）如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为 ，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 【答案】（1） （2）她需要将枪械抬高到距离地面的位置 （3） 解：说法正确．理由如下： 如答图，连接 交抛物线于另一点 ． 由题意，得， 当时，． 解得（舍去）． ∴． 设直线 的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴直线 的函数表达式为． ∵点Q在的图象上， ∴设． 又∵点Q在的图象上， ∴． 解得，（舍去）． ∴． ∵， 她的说法正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，结合抛物线经过原点，运用待定系数法，求出a，即可得到抛物线解析式； （2）由题意可知，，将代入抛物线解析式，求出y值即可； （3）连接 交抛物线于另一点 ，由题意得到，先求出点F坐标，设直线 的函数表达式为，将代入，求得直线 的函数表达式为，由点Q在的图象上，点Q也在的图象上，求出，由说明该说法正确． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为． ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，. 答：她需要将枪械抬高到距离地面的位置． 【小问3详解】 略. 18. 矩形 中，，，E是线段 上异于点B的一个动点，连接．将沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】 （1）如图1，当E为 的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，点M在线段上，，在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段上时，求的长． 【拓展运用】 （3）如图2，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， 四边形 为矩形， ． 由折叠可得，． ， 为 的中点，， ． 在与中， ，， ， ； （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明，即可求证； （2）对运用勾股定理求解即可； （3）过点 作于 ，交 于点 ，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，．设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由折叠可得，， 在矩形 中，，，， 又 ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点 作于 ，交 于点 ， ． ， ， ． ， ， ， ， ，， ． 设，， ，． ， ， ， ． ， 解得． ，，， 四边形是矩形， ，．，，． 设，则，． 在中，， ． 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年4月教学质量阶段性监测（九）年级试题 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形 的对角线 ，相交于点O，E是的中点，且，则菱形 的周长是（ ） A. 12 B. 20 C. 22 D. 24 6. 如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段 一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数，它们之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 现有维生素A，维生素，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为______． 10. 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转30°，沿转后方向直行n步后右转30°，再沿转后方向直行n步后右转30°……依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_________步（用含n的代数式表示）． 11. 如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 12. 如图，在平行四边形 中，于点E，，，P，F分别是， 上的动点，当的值最小时，的长为_________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________； （2）这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； （3）若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，， ，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 15. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 16. 如图，在中，，以 为直径作，分别交 ， 于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 综合与实践 问题情境：飞碟射击，是一项兼具竞技性与观赏性的射击运动．在飞碟射击运动开始时，飞碟从地面上的发射器发射出去，在飞碟落地前，运动员用枪械（子弹沿直线运动，且飞行时间极短，可忽略不计）射击空中的飞碟．飞碟在空中的飞行路线可近似看作抛物线． 数学建模：某次训练中，运动员站在地面上的点A处，飞碟从发射器射出后，教练通过运动捕捉设备记录了飞碟的位移数据．如图1，以飞碟发射器所在位置为原点O，以所在直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．当飞碟距发射器的水平距离为时，到达最高点P，此时距离地面的高度为． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）若运动员水平持枪械射击（子弹沿水平方向运动），想在飞碟距发射器的水平距离为时将其击中，则她需要将枪械抬高到距离地面多少米的位置？ （3）如图2，若运动员倾斜持枪械射击（子弹运动方向与水平线呈一定角度），想在飞碟距离地面3m高的点F处将其击落，第一次瞄准后没有击中，该运动员表示飞碟运动到距点F水平距离为处的位置时重新射击，仍然可以将其击落．已知子弹射出时的位置点E距飞碟发射器的水平距离为，距地面的竖直高度为 ，请判断她的说法是否正确？并说明理由． 18. 矩形 中，，，E是线段 上异于点B的一个动点，连接．将沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】 （1）如图1，当E为 的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，点M在线段上，，在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段上时，求的长． 【拓展运用】 （3）如图2，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且是以为斜边的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $