精品解析：江苏无锡市经开区2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

初一数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. a3+a3＝a6 B. （a3）2＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （ab）3＝ab3 3. 下列方程中，二元一次方程的是（ ） A. xy=1 B. y=3x-1 C. D. 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A. 2 B. 3 C. D. 6 6. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则正整数m的值为（ ） A. 84 B. 86 C. 94 D. 96 9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 10. “杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为毫米，用科学记数法表示为______ 12. 若，则□内应填的单项式是__________． 13. 计算 ________． 14. 若，，则的值为______． 15. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________． 16. 若，则的值是______． 17. 如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______． 18. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 22. 小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 23. （1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 24. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式为什么成立． 25. 若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，写出这个二元一次方程为 ； （3）已知关于x、y的二元一次方程 的“相伴系数对”为，请求出的值． 26. 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图放置，其中在直线上． （1）如图， °． （2）【操作探究】如图，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分，平分 ， °； （3）【操作探究】如图，在图基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与PM重合时，两三角板都停止转动在旋转过程中，当PC、、三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； （4）【拓广探究】如图，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 °． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a3+a3＝a6 B. （a3）2＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （ab）3＝ab3 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可． 【详解】解：，因此选项不正确； ，因此选项正确； ，因此选项不正确； ，因此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键． 3. 下列方程中，二元一次方程的是（ ） A. xy=1 B. y=3x-1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断即可. 【详解】xy=1的项数是2次，故A选项不符合题意， y=3x-1是二元一次方程,故B选项符合题意， x+=2是分式方程，故C选项不符合题意， x2+x-3=0最高次数为2且只含一个未知数，是一元二次方程，故D选项不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，方程两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数都是一次的方程叫做二元一次方程，熟记二元一次方程的定义是解题关键. 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式， 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“一项相同，另一项互为相反数”的形式． 【详解】选项A： 将第二个括号提取负号，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项B：，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 选项C： 将第二个括号提取负号并调整顺序，得： 其中符合平方差公式，结果为，再乘以负号得，故能用平方差公式计算． 选项D： 将第一个括号改写为，得： 属于完全平方公式，不能用平方差公式计算． 故选：C． 5. 若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法不含某项求参数问题，根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：展开多项式： 根据题意，结果不含的一次项， 一次项系数为0，即，解得． 故选：D． 6. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，得阴影矩形的宽为，长为，解答即可． 本题考查了平移的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得阴影图形是矩形，且矩形的宽为，长为， 故面积为， 故选：B． 7. 如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识．根据旋转的性质、角平分线得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是由绕点旋转而得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B 8. 已知，则正整数m的值为（ ） A. 84 B. 86 C. 94 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 【答案】D 【解析】 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 10. “杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即， 故结论①错误； 当时，， 故结论②正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025． 故结论④正确； 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为毫米，用科学记数法表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则□内应填的单项式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆应用．根据积的乘方的逆运算计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂运算的运用．先利用幂的乘方法则求出的值，再根据同底数幂的除法法则计算的值． 【详解】解：，， 15. 已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是二元一次方程的一个解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解是使等式成立的未知数的值，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 16. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 17. 如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定最小值为，即可求解． 【详解】解：过D作于，连接，如图： 长方形中，，，， ∴ ∴， ∵M关于边，的对称点分别为M1，M2， ∴， ∴， 线段长度最小即是长度最小，此时，即M与重合，最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 18. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 21. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）4． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）取格点J，连接交于点D，结合网格特征证明，得出，因为三角形内角和性质以及，故，所以，线段即为所求， （3）结合网格特征得，再利用等高模型作出点P即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点P的个数为4． 故答案为：4． 22. 小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，再根据多项式乘以多项式的计算法则去括号得到，则，由此即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 23. （1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，二元一次方程组的解．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算，根据已知得出，再代入即可求解． （2）根据同底数幂的乘方进行计算，得出，根据，是正整数得出的值，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ （2）∵ ∴， ∴， ∵，是正整数 ∴ 当时， 当时， ∴的值为或 24. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式为什么成立． 【答案】（1） （2）， 说明： 左边 ； 右边 ； 左边右边， ． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索. （1）根据规律作答即可； （2）根据规律列出等式，根据整式的运算法则分别计算等式左右两边，即可说明． 【小问1详解】 第5个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 25. 若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． （1）二元一次方程的“相伴系数对”为 ； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，写出这个二元一次方程为 ； （3）已知关于x、y的二元一次方程 的“相伴系数对”为，请求出的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到，把代入，求出的值即可； （3）根据新定义，得到，进而求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； 【小问2详解】 由题意可知：， 把代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵“相伴系数对”为， ∴， ∴， ∵， ∴． 26. 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图放置，其中在直线上． （1）如图， °． （2）【操作探究】如图，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分，平分 ， °； （3）【操作探究】如图，在图基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与PM重合时，两三角板都停止转动在旋转过程中，当PC、、三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； （4）【拓广探究】如图，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 °． 【答案】（1）90 （2）30 （3）旋转时间为20秒或35秒 （4）30或210 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，旋转的性质，轴对称图形的性质，平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可求出，再由平角的定义可得答案； （2）由角平分线的定义得到，设，则，，则可得到，求出即可得到答案； （3）分①当平分时， ②当平分时， ③当平分时，三种情况分别建立方程求解即可； （4）分图①和图②两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分∠ ∴， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角， ∵当转到与重合时，两三角板都停止转动， ∴秒， 分三种情况讨论： ①当平分时，根据题意可列方程， 解得，，符合题意； ②当平分时，根据题意可列方程， 解得，，符合题意； ③当平分时，根据题意可列方程， 解得，，不符合题意舍去， 所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角； 【小问4详解】 解：如图①， ∵与关于对称， ∴， 若，则， ∴ ， ∴， ∴旋转角度数为：； ②如图②， 若，则 ∴ ∴旋转角度数为：； 综上，当时，旋转角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $