23.3一次函数与方程（组）、不等式教学设计2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 人教版(2024) 23.3一次函数与方程(组)、不等式 一、教学目标 1.理解并掌握一次函数与二元一次方程(组)的关系； 2.能根据一次函数图象求解二元一次方程(组)； 3.体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题. 二、教学重点及难点 重点：掌握一次函数与二元一次方程(组)的联系. 难点：能利用一次函数图象求解二元一次方程(组). 三、教学过程 【复习导入】 回顾一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 解一元一次方程，从函数值的角度看：求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解就是当一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值. 从函数图象的角度看：求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式，从函数值的角度看：求ax+b>0(或<0)(a≠0)的解集就是一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)时，求自变量x的取值范围. 从函数图象的角度看：求ax+b>0(或<0)(a≠0)的解集就是已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 教师提出：一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间有什么关系呢？ 设计意图：先系统回顾一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的数形对应关系，唤醒学生已有知识与数形结合思想.通过层层递进、类比设问，自然过渡到本节课新知.既搭建了前后知识的逻辑桥梁，形成完整的函数与方程、不等式知识体系，又激发学生探究新知的好奇心，引导学生用类比迁移的方法自主思考，为后续探究新知做好思维铺垫. 【探究新知】 教师阐述：我们知道，方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同解.y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是方程2x-y=1的解，以方程2x-y=1的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 教师提出：由此你能总结出二元一次方程与一次函数的联系吗？ 教师引导学生进行总结，学生做笔记. 二元一次方程与一次函数的联系：由于每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 设计意图：从具体二元一次方程与一次函数的互化入手，让学生直观感受二者形式上的转化关系.通过分析直线上点的坐标与方程解的对应关系，引导学生自主归纳二元一次方程与一次函数的内在联系，渗透数形结合思想. 教师提出：对于二元一次方程组，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 教师引导学生进行分析. 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 学生活动：学生在草稿纸上作图，通过作图得出方程组的解，同桌之间对比答案，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=的图象.这两条直线的交点坐标为(1，1)，由此得出方程组的解是 通过上述探究得出二元一次方程组与一次函数的联系，学生做笔记. 二元一次方程组与一次函数的联系：一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值； 从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 设计意图：通过设问引导学生从函数视角解读二元一次方程组的解，借助具体实例将二元一次方程组转化为两个一次函数.组织学生动手画图、观察交点、同桌互对答案，在实操体验中感知图象交点坐标就是方程组的解.从数和形两个维度归纳二元一次方程组与一次函数的内在联系，深化数形结合思想.让学生掌握利用函数图象解二元一次方程组的方法，实现代数方程组与几何直线图象的相互转化. 同时释放两个探测气球，1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/s的速度上升；2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min. 教师提问1：你能写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式吗？ 学生计算并回答：气球上升时间满足0≤x≤60.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5；对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. 教师提问2：两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 选取两个学生代表在黑板上作答，其余学生在草稿纸上作答.作答完成后，教师公布答案，并规范解题步骤. 解：两个气球在某时刻位于同一高度，即对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此，列二元一次方程组解这个方程组，得 这就是说，当上升20s时，两个气球都位于海拔25m的高度. 设计意图：以探测气球上升的实际生活情境为载体，创设真实的一次函数应用问题，激发学生学习兴趣.引导学生根据行程数量关系列出两个一次函数解析式，巩固一次函数建模方法；再借助“能否处于同一高度”的实际问题，自然转化为求两个一次函数函数值相等时自变量与函数值的问题，衔接二元一次方程组与一次函数的关联. 教师提问3：可以利用一次函数的图象解答此问题吗？ 学生回答：可以. 教师引导学生进行画图、作答. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都位于海拔25m的高度. 通过利用一次函数的图象解答上述问题，发现解题规律，进行归纳总结. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： (1)变函数：把方程组化为一次函数； (2)画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 设计意图：通过设问引导学生尝试用一次函数图象法解决实际问题，实现代数解法到几何图象解法的自然过渡.让学生动手画图、观察交点坐标，直观感知两条直线交点坐标就是对应二元一次方程组的解，深度渗透数形结合思想. 教师阐述拓展知识，学生做笔记. 二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解. 设计意图：在掌握一次函数图象法解二元一次方程组基础上，进行知识拓展延伸，从数与形结合的角度，把二元一次方程组解的情况与两条直线的位置关系对应起来.帮助学生建立系统化认知：相交对应唯一解、重合对应无数解、平行对应无解，完善知识结构. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一次函数与二元一次方程(组)之间的联系； 2.根据一次函数图象求解二元一次方程(组). 六、板书设计 一次函数与二元一次方程(组) 学科网（北京）股份有限公司 $