23.3一次函数与方程(组)、不等式（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

23.3一次函数与方程(组)、不等式 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学习了一次函数的基础上，讨论一次函数与方程（组）、不等式的关系，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）．从而建立它们之间的联系。 2. 内容分析 本节课在学生掌握一次函数概念、图象与性质的基础上，从函数视角重新认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组），建立代数与几何的内在联系，是数形结合思想的典型应用课，起到整合知识、升华方法、衔接后续函数综合应用的重要作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解一次函数与方程（组）、不等式的联系。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）的关系，增强几何直观。 （2）经历用函数图象表示方程、不等式解(集)的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。 2. 目标解析 （1）学生能借助一次函数图象，准确说出直线与x轴交点对应方程的解、直线在x轴上方或下方对应不等式的解集、两直线交点对应方程组的解，能用图形直观解释代数结果，发展几何直观素养。 （2）学生经历“作图—观察—归纳—应用”的过程，能用图象表示方程（组）的解、不等式的解集，能用数量关系解释图象特征，牢固体会数形结合思想。 三、教学问题诊断分析 存在问题： 1. 学生习惯用代数方法解方程（组）、不等式，难以主动建立与函数图象的联系，数形转化意识薄弱。 2. 对“交点横坐标、图象位置、解集范围”的对应关系理解模糊，易混淆方程（组）的解和不等式的解集的几何意义。 应对策略： 1. 从具体实例入手，用图象直观演示对应关系，降低抽象理解难度。 2. 用表格、关键词对比梳理三者联系，强化规范表达与识图训练，及时纠错巩固。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解一次函数与方程（组）、不等式的联系。 四、教学过程设计 （一）情境引入 引言 方程(组)、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程(组)和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题. 设计意图：唤醒旧知，点明方程（组）、不等式与函数的内在联系，明确本节课学习方向，自然引出用函数观点统一认识代数问题的主题。 （二）合作探究 先来研究一次函数与一元一次方程的关系. 思考 如图，一次函数y=2x−1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少?由此可以得出一元一次方程2x−1=0的解吗? 一次函数y=2x−1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x−1=0的解是x=0.5. 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 信息技术辅助 归纳总结 一次函数与一元一次方程的关系： 再来研究一次函数与一元一次不等式的关系. 思考 如图，利用一次函数y=2x−1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x−1>0与2x−1<0的解集吗？ 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.由此得出不等式2x−1>0的解集是x>0.5，2x−1<0的解集是x<0.5. 对于可化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 归纳总结 一次函数与一元一次不等式的关系： 最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系. 先来看一个具体例子.我们知道，方程2x−y=1可以转化为y=2x−1，它们有相同的解.y=2x−1对应一次函数y=2x−1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是方程2x−y=1的解，以方程2x−y=1的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 思考 对于二元一次方程组，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x−1与y=− x+，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x−1与y=− x+的图象.这两条直线的交点坐标为(1，1)，由此得出方程组的解是. 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 归纳总结 一次函数与二元一次方程组的关系： 设计意图：通过具体函数实例，分层探究一次函数与方程、不等式、方程组的关系，引导学生自主观察、归纳结论，突出数形结合，突破本节课核心重难点。 （三）典例分析 例1 一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（  A  ） A． B． C． D． 例2 已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（  C  ） A． B． C．当时， D．当时， 例3 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（A） A． B． C． D． 例4 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5 m高处出发，以1 m/s的速度上升；2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式； (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间?位于什么高度? 解：（1）气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. （2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此可以列二元一次方程组， 解这个方程组，得. 这就是说，当气球上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 设计意图：紧扣核心考点，通过典型例题巩固三者对应关系，规范解题思路，提升学生识图、用图、转化的能力，强化知识应用。 （四）巩固练习 1.画出一次函数y=−2x+8的图象，利用图象解方程−2x+8=0及不等式−2x+8>0与−2x+8<0. 解：由图象可知， 方程−2x+8=0的解是x=4， 不等式−2x+8>0的解集是x<4， 不等式−2x+8<0的解集是x>4. 2.一次函数y=2x−3与y=ax+2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程的解和a的值. 解：方程组的解为. ∴1=2a+2，解得：a=. 3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费.当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同? 解：设租用甲公司汽车的费用为y1元，租用乙公司汽车的费用为y2元，租车时间为x h，由题意得： y1=14x+80， y2=30x. 方法1：当 y1=y2时，14x+80=30x，解得：x=5. 答：租车5 h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同. 方法2：如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y1=14x+80与y2=30x的图象.这两条直线的交点坐标为(5，150)，这说明租车5 h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同. 设计意图：分层训练，兼顾基础作图求解与实际应用，让学生在练习中深化理解、熟练方法。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2024年江苏扬州）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为____． 2．（2024年湖南长沙）对于一次函数，下列结论正确的是（  A  ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（2024年广东）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（  B  ） A．B． C． D． 4．（2025年宁夏）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 5．（2023年宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（  C  ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 设计意图：对接中考真题，明确考查方向与题型，增强备考意识，提升学生综合运用知识解决问题的能力。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题23.3 第1，2，3题. 2.探究性作业：习题23.3 第4，5题. 五、教学反思 12 / 12 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $