专题1.3 乘法公式（4大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理平方差公式（两数和差积等于平方差，含结构特征与拓展应用）、完全平方公式（和差平方的核心形式、结构特征及常用变形），通过对比辨析明确公式区别，结合几何意义构建“代数-几何”双向联系，形成从定义到应用的递进学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固公式直接运算，培优题型强化变形求值与简便运算，压轴题型融入新定义与最值问题，通过几何图形验证公式培养几何直观（数学眼光），变形题训练提升运算能力与推理意识（数学思维），课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.3 乘法公式 知识点1：平方差公式 1.核心公式：，即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2.结构特征： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（），另一项互为相反数（与）； 右边：相同项的平方减去相反项的平方，结果为两项式； 拓展应用：公式中、可表示单项式、多项式（如）。 知识点2：完全平方公式 1.核心公式： 和的完全平方：； 差的完全平方：。 2.结构特征： 左边：一个二项式的平方，符号为“+”则对应和的公式，符号为“-”则对应差的公式； 右边：二次三项式，首尾两项为左边二项式各项的平方（均为正），中间项为两项乘积的2倍，符号与左边二项式的符号一致； 拓展变形（常用）： ； ； 。 知识点3：乘法公式对比与辨析 公式类型 核心形式 右边项数 关键区别 常见应用场景 平方差公式 2项 两项平方差，无中间项 两数和差相乘、简便计算、因式分解逆用 完全平方公式 3项 平方和加/减2倍乘积，中间项是关键 二项式平方、求代数式最值、配方运算 知识点4：乘法公式的几何意义 公式 几何解释 平方差公式 边长为的大正方形减去边长为的小正方形，剩余部分可拼成长为、宽为的长方形，面积相等即 完全平方公式 和的平方：边长为的大正方形，面积等于边长为、的两个小正方形面积加两个长宽的长方形面积，即； 差的平方：边长为的正方形，面积等于边长为的大正方形减去两个长宽的长方形加边长为的小正方形，即 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接运算 1.核心知识点 平方差公式的结构特征； 符号与系数的运算规则。 2.解题方法技巧 找准“同项”与“反项”：先确定完全相同的项（）和互为相反数的项（与）； 直接套公式：相同项平方减相反项平方，注意系数和符号的平方运算。 【例题1】.（2026七年级下·全国·专题练习）在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，，则 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 【题型2】完全平方公式的直接运算 1.核心知识点 完全平方公式的结构特征； 中间项的符号与系数计算。 2.解题方法技巧 口诀辅助：“首平方，尾平方，积的2倍在中央，和加差减”； 避免漏项：切勿忽略中间项（如误算为，正确结果为）。 【例题2】.（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东广州·期末）填空： （1） ； （2） ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 【题型3】利用公式求基础代数式的值 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式的直接应用； 代数式的整体代入思想。 2.解题方法技巧 直接代入：已知、的值，直接代入公式计算（如已知，，则）； 简单变形：先根据已知条件变形（如已知，则），再代入求值。 【例题3】.（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·期中）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【题型4】乘法公式与整式混合运算 1.核心知识点 乘法公式的灵活应用； 整式的加减、乘除混合运算顺序。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再用乘法公式展开，最后合并同类项； 简化运算：能连用公式的先连用（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1) (2) (3) 【变式题4-1】.（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： (1) (2) 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【培优高频题型】 【题型5】完全平方公式的变形求值 1.核心知识点 完全平方公式的常见变形（、与的关系）； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 缺啥补啥：根据已知条件与待求代数式的关系，利用变形公式补全所需项； 符号注意：中间项的符号由、的符号共同决定。 【例题5】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，，则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图所示，两个正方形的边长分别为，．如果，． (1)求的值； (2)求阴影部分的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：用配方法分解因式： 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的值． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【题型6】乘法公式的简便运算 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式的逆用； 接近整十/整百数的运算技巧。 2.解题方法技巧 凑整法：将数拆分为“整十/整百数±小数”； 逆用公式：利用简化平方差计算。 【例题6】.（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算，能简便计算的请简便计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川成都·月考）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1)计算：； (2)解方程：． (3)例：用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （i i）用简便方法计算：． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期中）观察下列各式：，，，⋯容易发现规律：个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数是 (1)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为（且a为整数），请你借助代数式解释发现的规律（不需要化简）：______； (2)这种简便计算也可以推广应用： 如果把三位数195看成十位数字为“19”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果． 十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，如：，请写出这一算式的简便计算过程和结果． 【题型7】公式的几何意义验证与应用 1.核心知识点 乘法公式的几何背景； 图形面积的和差计算。 2.解题方法技巧 面积转化：通过大图形面积的两种表示方法建立等式，验证公式； 图形拆解：将复杂图形拆分为正方形、长方形，利用面积公式推导公式（如用拼图法验证完全平方公式）。 【例题7】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，完全平方公式可以通过下面的图形进行验证． (1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个直角梯形，根据此图写出你的验证过程； (2)已知，，求的值． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，针对可以通过下面的图形进行验证． (1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个上底长为，下底长为，高为的直角梯形和直角梯形，根据此图写出你的验证过程： (2)请利用完全平方公式计算； (3)已知，求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广东阳江·期末）【追本溯源】数形结合是一种非常重要的数学思想方法．利用数形结合的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习整式乘法公式时．通过构造几何图形，用等积法直观地验证了平方差公式和完全平方公式，如图和：，． (1)【初步应用】请利用图来验证完全平方公式并简单写明你的验证思路，同时写出该数学等式_____________________________． (2)【拓展应用】 请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若，求的值； ②正方形和如图所示方式摆放，已知，求图中阴影部分的面积． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的乘法公式应用 1.核心知识点 乘法公式的本质特征； 新定义运算的翻译与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算转化为乘法公式形式； 灵活套用：根据新定义的规则，结合乘法公式化简计算。 【例题8】.（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 【题型9】乘法公式与最值问题 1.核心知识点 完全平方公式的非负性（）； 代数式最值的求解方法。 2.解题方法技巧 配方转化：将代数式化为“完全平方+常数”形式； 最值判断：完全平方项非负，故当完全平方项为0时，代数式取最值。 【例题9】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）探寻规律，解决问题： (1)【观察探索】 比较与的大小： ①当，时，______（填“>”“<”或“=”）； ②当，时，______（填“>”“<”或“=”）； (2)【猜想证明】 通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明： (3)【问题解决】 如图，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为，求的最小值； 易错点 1.完全平方公式漏写中间项：如误将算为，忽略； 2.平方差公式符号错误：如误算为，正确结果为（相同项为，相反项为与）； 3.多项式代入公式时未加括号：如误算为，正确结果为； 4.混合运算顺序错误：先算加减后算乘方或乘法，导致结果偏差； 5.变形公式应用时符号混淆：如（错误），正确为。 重点 1.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能准确直接运算； 2.掌握乘法公式的常见变形，能利用变形公式求代数式的值； 3.会将多项式视为整体，拓展应用乘法公式； 4.能运用乘法公式进行简便运算、解决实际情境问题； 5.理解乘法公式的几何意义，建立“代数-几何”双向联系。 难点 1.多项式作为“整体”代入乘法公式的运算，尤其是含多层括号的情况； 2.乘法公式与整式混合运算的综合应用，需灵活选择公式、合理安排运算顺序； 3.利用完全平方公式的非负性求代数式最值，需熟练掌握配方技巧； 4.跨学科情境与新定义运算中，准确提取数量关系并转化为乘法公式形式； 5.规律探究题中，从特例归纳通用规律并用法则验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 3．已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 4．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则的值为 ． 7．定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为 ． 8．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是 ． 9．小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为 ． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 11．先化简，再求值：，其中． 12．某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 14．若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 15．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭； (1)填空：① ，② ． (2)复数与复数共轭，则 ． (3)已知，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 乘法公式 知识点1：平方差公式 1.核心公式：，即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2.结构特征： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（），另一项互为相反数（与）； 右边：相同项的平方减去相反项的平方，结果为两项式； 拓展应用：公式中、可表示单项式、多项式（如）。 知识点2：完全平方公式 1.核心公式： 和的完全平方：； 差的完全平方：。 2.结构特征： 左边：一个二项式的平方，符号为“+”则对应和的公式，符号为“-”则对应差的公式； 右边：二次三项式，首尾两项为左边二项式各项的平方（均为正），中间项为两项乘积的2倍，符号与左边二项式的符号一致； 拓展变形（常用）： ； ； 。 知识点3：乘法公式对比与辨析 公式类型 核心形式 右边项数 关键区别 常见应用场景 平方差公式 2项 两项平方差，无中间项 两数和差相乘、简便计算、因式分解逆用 完全平方公式 3项 平方和加/减2倍乘积，中间项是关键 二项式平方、求代数式最值、配方运算 知识点4：乘法公式的几何意义 公式 几何解释 平方差公式 边长为的大正方形减去边长为的小正方形，剩余部分可拼成长为、宽为的长方形，面积相等即 完全平方公式 和的平方：边长为的大正方形，面积等于边长为、的两个小正方形面积加两个长宽的长方形面积，即； 差的平方：边长为的正方形，面积等于边长为的大正方形减去两个长宽的长方形加边长为的小正方形，即 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接运算 1.核心知识点 平方差公式的结构特征； 符号与系数的运算规则。 2.解题方法技巧 找准“同项”与“反项”：先确定完全相同的项（）和互为相反数的项（与）； 直接套公式：相同项平方减相反项平方，注意系数和符号的平方运算。 【例题1】.（2026七年级下·全国·专题练习）在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；利用平方差公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由平方差公式，得 ． 又，， ∴． 故答案为：10． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2】完全平方公式的直接运算 1.核心知识点 完全平方公式的结构特征； 中间项的符号与系数计算。 2.解题方法技巧 口诀辅助：“首平方，尾平方，积的2倍在中央，和加差减”； 避免漏项：切勿忽略中间项（如误算为，正确结果为）。 【例题2】.（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东广州·期末）填空： （1） ； （2） ． 【答案】 12 2 5 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过配方法将二次式化为完全平方形式，比较系数求解； （2）使用配方法，提公因式后配完全平方，再比较系数． 【详解】（1）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：12，2； （2）解：设空白处分别为和， 则， 展开右边，得， 比较系数，得，， 解得：， 代入得， 故答案为：，5． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南开封·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可； （2）先将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3】利用公式求基础代数式的值 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式的直接应用； 代数式的整体代入思想。 2.解题方法技巧 直接代入：已知、的值，直接代入公式计算（如已知，，则）； 简单变形：先根据已知条件变形（如已知，则），再代入求值。 【例题3】.（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·期中）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）如果多项式是完全平方式，那么m的值是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，需根据完全平方公式的两种形式推导m的值． 【详解】解：∵完全平方式的形式为 又∵多项式是完全平方式，且， ∴， 根据多项式恒等，对应项系数相等，可得． 故选：C． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【题型4】乘法公式与整式混合运算 1.核心知识点 乘法公式的灵活应用； 整式的加减、乘除混合运算顺序。 2.解题方法技巧 运算顺序：先算乘方，再用乘法公式展开，最后合并同类项； 简化运算：能连用公式的先连用（如）。 【例题4】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则和运算顺序是关键． （1）利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法计算后，再合并同类项即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂计算即可； （3）利用乘法公式和单项式的除法计算后，再进行整式的加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·新疆和田·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式的化简与求值，非负数的性质，掌握好相关知识是关键． 先按照整式混合运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出和的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，且， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 去括号，合并同类项进行化简，非负性求出，的值，再代入化简后的结果中计算即可． 【详解】解：， ，，解得，． 原式 ． 当，时， 原式． 【培优高频题型】 【题型5】完全平方公式的变形求值 1.核心知识点 完全平方公式的常见变形（、与的关系）； 整体代入思想。 2.解题方法技巧 缺啥补啥：根据已知条件与待求代数式的关系，利用变形公式补全所需项； 符号注意：中间项的符号由、的符号共同决定。 【例题5】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若，，则 ． 【答案】 60或68/68或60 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用完全平方公式将表示为，再根据求出的值，代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴或， 当时， ； 当时，， 故答案为：或． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图所示，两个正方形的边长分别为，．如果，． (1)求的值； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、代数式求值，关键是公式变形的灵活应用； （1）根据完全平方公式变形即可得出； （2）先表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：用配方法分解因式： 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题的关键． ()根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； ()先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出的值，然后代入求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 【题型6】乘法公式的简便运算 1.核心知识点 平方差公式、完全平方公式的逆用； 接近整十/整百数的运算技巧。 2.解题方法技巧 凑整法：将数拆分为“整十/整百数±小数”； 逆用公式：利用简化平方差计算。 【例题6】.（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）计算，能简便计算的请简便计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式计算，多项式乘以多项式的运算，同底数幂的乘法、积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算； （3）将原式变形为，再由平方差公式计算； （4）先将原式变形为，再由积的乘方逆运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川成都·月考）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． 【答案】(1) (2) (3)①38025；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索： （1）观察前面三个式子可知，个位数字为5的两位数的平方等于十位数字乘以十位数字加1的积再乘以100后加上25，据此规律求解即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）①把1和9看做一个整体，利用（1）（2）的规律求解即可； ②把变成，变成，利用平方差公式展开，然后利用（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有； ② ． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·四川达州·开学考试）计算： (1)计算：； (2)解方程：． (3)例：用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （i i）用简便方法计算：． 【答案】(1)95 (2) (3)（i）平方差公式（i i）1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程的方法，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式并能灵活运用是解决此题的关键． (1)首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法和减法即可； (2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可； (3)（i）根据公式变形可知其满足平方差公式，（i i）将变形成符合平方差公式的形式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1，可得：； （3）解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （i i） ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期中）观察下列各式：，，，⋯容易发现规律：个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数是 (1)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为（且a为整数），请你借助代数式解释发现的规律（不需要化简）：______； (2)这种简便计算也可以推广应用： 如果把三位数195看成十位数字为“19”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果． 十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，如：，请写出这一算式的简便计算过程和结果． 【答案】(1) (2) ，过程见解析 ，过程见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，代数式，解题的关键是找到规律计算． （1）通过观察个位为5的两位数平方的规律，用代数式表示该数并展开，验证规律的正确性． （2）①将三位数视为“十位部分+个位的形式，直接应用规律计算． ②利用“十位相同，个位互补”的乘法技巧，快速得出结果． 【详解】（1）解：依题意，设十位数字为a，则该两位数为， 则， 规律：末尾两位为25，前部分为 故答案为： （2）解：①依题意，，把三位数195看成十位数字为“19”个位数字为“5”的“两位数”， ∴ ． ②结合①的规律，，末尾两个数是两个的个位数的乘积， 则． 【题型7】公式的几何意义验证与应用 1.核心知识点 乘法公式的几何背景； 图形面积的和差计算。 2.解题方法技巧 面积转化：通过大图形面积的两种表示方法建立等式，验证公式； 图形拆解：将复杂图形拆分为正方形、长方形，利用面积公式推导公式（如用拼图法验证完全平方公式）。 【例题7】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，完全平方公式可以通过下面的图形进行验证． (1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个直角梯形，根据此图写出你的验证过程； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)验证过程见解析 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义及代数式的求值，解题的关键是利用图形面积关系验证公式，以及通过完全平方公式的变形进行代数式的推导． （1）通过大正方形面积与分割后各部分面积的等量关系，验证完全平方公式； （2）利用已知条件，结合完全平方公式求出的值，再通过构造的表达式计算其值． 【详解】（1）解： ； ； 又， ； （2）解： ． ． ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）整式乘法运算公式大多都能找到几何验证的方法，针对可以通过下面的图形进行验证． (1)如图，已知正方形的边长为，将正方形按如图所示分割为边长为的正方形以及两个上底长为，下底长为，高为的直角梯形和直角梯形，根据此图写出你的验证过程： (2)请利用完全平方公式计算； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)10609 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是整体代入思想的运用． （1）利用“大正方形面积=各部分图形面积之和”建立等式，推导公式； （2）把103写成，运用（1）的结论求解即可； 【详解】（1）解：， ； ； ∵， ∴， ∴； （2）解： ； （3）解：∵ 设， ∴ ∴， 解得， 即． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·广东阳江·期末）【追本溯源】数形结合是一种非常重要的数学思想方法．利用数形结合的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习整式乘法公式时．通过构造几何图形，用等积法直观地验证了平方差公式和完全平方公式，如图和：，． (1)【初步应用】请利用图来验证完全平方公式并简单写明你的验证思路，同时写出该数学等式_____________________________． (2)【拓展应用】 请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若，求的值； ②正方形和如图所示方式摆放，已知，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、完全平方公式的变形应用以及平方差公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征及其变形，能结合图形面积分析数量关系是解题的关键。 （1）从图形面积的角度出发，大正方形边长为，面积为；它又可拆分为一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和两个长为、宽为的长方形，总面积为。通过面积相等验证完全平方和公式。 （2）①已知与的值，先对平方得到，再利用的变形公式，代入数值计算②先确定，对其平方后，结合已知求出；再利用完全平方公式求出，最后通过图形面积关系或平方差公式计算阴影部分面积． 【详解】（1）解：由图可知： 故答案为：； （2）解：①， ， 又， ， ②如图，则 ， 即 ， 解得 【变式题7-3】.（25-26七年级上·上海金山·期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的乘法公式应用 1.核心知识点 乘法公式的本质特征； 新定义运算的翻译与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将新定义运算转化为乘法公式形式； 灵活套用：根据新定义的规则，结合乘法公式化简计算。 【例题8】.（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据伴侣数的定义和完全平方公式解答即可求解； （）根据伴侣数的定义和完全平方公式分别求出的值，进而求出的值，再与比较即可求解； 本题考查了新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：与为伴侣数， ， ， ， ∵， ； （2）解：与为伴侣数， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， 即， ∴ ， ． 【题型9】乘法公式与最值问题 1.核心知识点 完全平方公式的非负性（）； 代数式最值的求解方法。 2.解题方法技巧 配方转化：将代数式化为“完全平方+常数”形式； 最值判断：完全平方项非负，故当完全平方项为0时，代数式取最值。 【例题9】.（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【教材原题】 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； 【知识应用】 （2）根据图2所得的公式：①若，，求的值； ②若，求的值； 【知识拓展】 （3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和． 【答案】（1）；（2）①，②；（3）种花区域的面积和为102平方米 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）①由（1）的结论得，再整体代入计算即可得出答案； ②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，，，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； ②由（1）的结论得：， 又∵， ∴； （3）设，， ∵于点E，， ∴， ∵种草区域的面积和为：， ∴种花区域的面积和为： ． 答：种花区域的面积和为102平方米． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，得出，计算再把整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ． （3）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为2026， 此时，，解得：，． 当，时，有最小值，最小值为2026． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）探寻规律，解决问题： (1)【观察探索】 比较与的大小： ①当，时，______（填“>”“<”或“=”）； ②当，时，______（填“>”“<”或“=”）； (2)【猜想证明】 通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明： (3)【问题解决】 如图，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为，求的最小值； 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)的最小值为 【分析】本题考查完全平方公式与基本不等式的证明，几何图形的面积计算与代数转化．熟悉完全平方公式，并通过完全平方公式转化证明基本不等式，是解题的关键． （1）代入数值计算，比较大小即可． （2）通过完全平方公式：，证明即可． （3）结合正方形、三角形的面积公式，将几何问题转化为代数问题，再利用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：当，时，，， ∵， ∴括号内填“”， 当，时，，， ∵， ∴括号内填“”， 故答案为：；； （2）证明：，理由如下： ，即， ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ， 的面积为，即， ， ， ， 的最小值为 易错点 1.完全平方公式漏写中间项：如误将算为，忽略； 2.平方差公式符号错误：如误算为，正确结果为（相同项为，相反项为与）； 3.多项式代入公式时未加括号：如误算为，正确结果为； 4.混合运算顺序错误：先算加减后算乘方或乘法，导致结果偏差； 5.变形公式应用时符号混淆：如（错误），正确为。 重点 1.熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能准确直接运算； 2.掌握乘法公式的常见变形，能利用变形公式求代数式的值； 3.会将多项式视为整体，拓展应用乘法公式； 4.能运用乘法公式进行简便运算、解决实际情境问题； 5.理解乘法公式的几何意义，建立“代数-几何”双向联系。 难点 1.多项式作为“整体”代入乘法公式的运算，尤其是含多层括号的情况； 2.乘法公式与整式混合运算的综合应用，需灵活选择公式、合理安排运算顺序； 3.利用完全平方公式的非负性求代数式最值，需熟练掌握配方技巧； 4.跨学科情境与新定义运算中，准确提取数量关系并转化为乘法公式形式； 5.规律探究题中，从特例归纳通用规律并用法则验证。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算，包括合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是掌握各运算法则． 需根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一判断选项的正误． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意；     B. ，该选项错误，不符合题意；     C. ，该选项正确，符合题意；     D. ，该选项错误，不符合题意；     故选：C． 2．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 3．已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 4．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张， 面积为， 小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为， 还需4张丙纸片，即， 故选：A． 5．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 二、填空题 6．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 7．定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，掌握相应的运算法则是解题的关键．根据新运算定义，计算得到表达式，令其等于完全平方公式，通过比较系数求解． 【详解】解：由定义，，， 则 ， ∵为完全平方公式， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 8．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是 ． 【答案】22 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：22． 9．小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． 根据完全平方公式将两式展开后得到、的值，进而根据平方差公式计算即可． 【详解】解：，即， ，即， ∴． 故答案为：4047． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及幂的乘方、同底数幂的乘除、平方差公式、多项式乘多项式以及合并同类项的知识点．关键是严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，熟练运用整式运算法则计算． （1）先分别计算乘方、乘法、除法运算，再合并同类项得到结果； （2）先利用平方差公式计算第一部分，利用多项式乘多项式法则计算第二部分，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值．先把括号内展开，合并同类项进行计算，化简后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 12．某学校为了提高学生的实践能力和综合运用知识的能力，计划在其实验基地建立如图所示的种植园．图中阴影部分设计为种植园，该长方形场地的长为，宽为，中间是边长为的正方形空地． (1)用含，的代数式表示该种植园（阴影部分）的面积并化简； (2)学校组织学生种植作物，若，，每平方米的种植成本是40元，则完成种植共需多少元？ 【答案】(1) (2)116000元 【分析】本题考查的是整式的乘法与图形面积，求解代数式的值. （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积可得答案. （2）把，代入（1）中的代数式求解面积，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设阴影部分的面积为，由图可知： ． （2）解：当，时， ∴（元）． 答：完成种植共需116000元． 13．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】（1）解：图面积为，图面积为， ∵阴影面积相等， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 14．若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，S是完美数，见解析； (3)的最小值等于． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键． （1）根据13是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， （3）由得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴13是“完美数”； （2）解：，是完美数， 理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是“完美数”，且是大于等于2的最小“完美数”， 当时，可由解得符合题意， 故的最小值等于 15．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭； (1)填空：① ，② ． (2)复数与复数共轭，则 ． (3)已知，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)12 【分析】本题主要考查了实数的运算和新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）①利用平方差公式展开并计算即可；②利用完全平方公式展开并计算即可； （2）根据共轭复数的定义求得a、b的值，再计算的值即可； （3）将计算后求得和的值，然后将利用完全平方公式变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：2； ② ， 故答案为：； （2）解：∵复数与复数共轭， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $