水平面内的圆周运动四种高频考点专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

水平面内的圆周运动4种高频考点专项训练 水平面内的圆周运动4种高频考点专项训练 考点目录 水平转盘上的物体 圆锥摆问题 物体转弯问题 倾斜转盘上的圆周运动 考点一 水平转盘上的物体 例1．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 例2．（2026·福建·模拟预测）如图所示，水平圆盘可绕通过其中心O的竖直轴转动，圆盘半径，离水平地面高度，在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度大小g取，空气阻力不计，圆盘从静止开始缓慢加速转动，求： (1)物块恰与圆盘发生相对滑动时圆盘角速度的大小； (2)物块滑离圆盘后在空中运动的时间； (3)物块落地点与O点正下方地面上点的距离。 例3．（25-26高三上·甘肃·月考）如图所示，质量为m、可看作质点的滑块放置于木板的右端，滑块和木板绕木板左端点O在水平面内做匀速圆周运动，已知滑块与木板间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，木板长度为L，要使滑块与木板不发生相对滑动，求： (1)滑块做匀速圆周运动的角速度的最大值； (2)木板对滑块的最大作用力F的大小。 变式1．（25-26高三上·山东·月考）如图所示，水平圆形餐桌中央挖空出一圆心与餐桌圆心重合、半径为R的圆形区域，在此区域安装上可绕中心轴水平转动的圆盘，转盘与餐桌的间隙不计，转盘上表面与桌面平齐。在转盘的边缘处放置一个可视为质点的杯子，已知杯子与转盘和桌面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，餐桌始终保持静止。现缓慢增大转盘的角速度。 (1)求杯子相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度大小； (2)当杯子从转盘滑下后，若要保证杯子不从餐桌上掉落，求餐桌的最小半径是多少。 变式2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图甲，为了从筒中倒出最底部的羽毛球，将球筒竖直并筒口朝下，从一定高度松手让球筒自由下落，球筒以撞击地面，球筒与地面碰撞时间，碰撞后球筒不反弹。已知球筒质量，球筒长度，羽毛球质量为，羽毛球和球筒之间最大静摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为简化问题把羽毛球视为质点，空气阻力忽略不计，取，求： (1)碰撞过程中，地面对球筒的平均冲击力大小； (2)碰撞后羽毛球到达球筒口的速度大小； (3)如图乙所示，某人伸展手臂握住球筒底部，使球筒与手臂均沿水平方向且筒口朝外，筒身离地高度为，他以身体躯干为中心轴逐渐加速转动直至羽毛球刚好飞出，筒口离中心轴距离为，羽毛球落地点距离抛出点的水平距离。（结果可用分数和根号表示，羽毛球在空中的运动不计空气阻力） 变式3．（25-26高三上·天津河西·期中）如图所示，圆形水平餐桌面上有一个半径为、可绕中心轴转动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一个质量为的物块，物块与圆盘间的动摩擦因数为，物块与餐桌面间的动摩擦因数为，现从静止开始缓慢增大圆盘的转动速度，直至物块从圆盘上甩出，之后物块在餐桌面上滑行且刚好不滑落。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计，忽略空气阻力，物块视为质点。求： (1)物块随圆盘转动的过程中，圆盘对物块所做的功； (2)餐桌面的半径； (3)物块在餐桌面上滑行过程中，所受摩擦力的冲量大小。 考点二 圆锥摆问题 例1．（2026·北京石景山·一模）如图所示为游乐场“旋转飞椅”的简化原理图。处于水平面内的圆形转盘，可绕穿过其中心的竖直轴转动。让转盘由静止开始逐渐加速转动，经过一段时间后，游客与转盘一起做匀速圆周运动，达到稳定状态，此时轻绳与竖直方向夹角为。已知绳长为且不可伸长，悬点与转轴中心的距离为，座椅与游客可视为质点，总质量为，重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)轻绳拉力的大小； (2)转盘角速度的大小； (3)从静止到稳定转动，轻绳拉力对座椅与游客做的功。 例2．（25-26高三下·广东·月考）如图所示为一种叫“飞椅”的游乐项目。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径也为的水平转盘边缘。当水平转盘从静止逐渐加快转动，座椅在钢绳带动下逐渐偏离竖直方向，圆盘不再加速后，座椅在水平面内做圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。现将座椅和游客视为质点，其总质量为，不计钢绳质量，取，，。求： (1)座椅最终转动的角速度大小； (2)座椅启动过程中，钢绳对“飞椅”做的功； (3)座椅转动半周过程中受到钢绳拉力的冲量大小（取）。 例3．（25-26高三上·广东揭阳·期末）如图甲是游乐场内“空中飞椅”的游乐项目，其简化示意图如图乙所示。在半径为的水平转盘的边缘固定着条长为的钢绳，钢绳的另一端连接着座椅（图中只画出2个），转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴转动。设在每个座椅内坐着质量相同的人，可将人和座椅看成质点。开始时转盘静止，钢绳处于竖直状态，接着转盘开始缓慢加速转动，人和座椅也从静止开始随转盘的转动而升高，经过一段时间后转盘和人保持相同的角速度不变，达到稳定状态，此时钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为。已知人和座椅的总质量为，重力加速度为，不计钢绳的重力及空气的阻力。求： (1)人和座椅稳定状态时需要的向心力的大小； (2)座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，每根绳子的拉力对座椅做的功； (3)座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，若电动机带动转盘时输出功率如图丙所示。时间内是一过原点的直线，时刻电动机达到额定功率，大小为，时刻人和座椅恰好达到稳定状态，此时转盘因转动具有的能量为。求时间内，转盘克服摩擦阻力做的功。 变式1．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲所示，小球B和物块C质量均为2m，B、C由一劲度系数的轻质弹簧连接，静止竖直立于水平桌面上。如图乙所示，某同学设计了一个把C提离桌面的小实验，把轻绳一端与B球连接，另一端穿过一竖直光滑的细管后与质量为m的小球A相连，用手托住A球，使绳子自然伸直，此时绳子无张力，OA长为l。现保持细管顶端O点高度不变，缓慢摇动细管，让小球A转动一段时间后，物块C刚好被提离桌面，此时A在水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示。求： (1)从实验开始到物块C刚好被提离桌面的过程中，B球上升的高度； (2)物块C刚好被提离桌面时A的速率。 变式2．（25-26高三上·广东·月考）小型4旋翼无人机是一种能够垂直起降的遥控飞行器，目前得到越来越广泛的应用，可运输物资，可动态演绎灯光秀等，如图所示一架质量的无人机从地面上由静止开始竖直向上起飞，匀加速上升，历时。不计空气阻力，取。求： (1)无人机平均每个螺旋机翼受到的升力； (2)若通过飞控系统调控，改变无人机受到的升力，让它在水平面内做半径为10m的匀速圆周运动，此时升力F与竖直方向成37°角，求一个周期内重力的冲量。（结果可用表示），，。 变式3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知漏斗壁与竖直方向的夹角为，小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，忽略空气阻力，重力加速度为g。求： (1)漏斗壁对小球的弹力大小； (2)小球做圆周运动线速度的大小。 考点三 物体转弯问题 例1．（2026·福建福州·二模）福州市道庆洲大桥（如图甲）是福建省第一座公轨共建桥梁，上层为双向6车道一级公路，下层搭载地铁6号线。重力加速度取。 (1)地铁启动时，若受到大小为的牵引力作用，做加速度为的匀加速直线运动，一段时间后速度达到。求此过程经历的时间及牵引力的平均功率； (2)水平公路段有一段半径为500m的圆弧形弯道（如图乙），若有一总质量为的汽车（可视为质点）通过该路段时做匀速圆周运动，速度大小为，求汽车通过该路段时所需的向心力。 例2．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）图甲为赤峰市乌兰布统草原上的一段“S”形水平公路。汽车行驶的轨迹可简化为两个圆弧M、N和中间直道PQ，P、Q两点为切点，如图乙所示。已知两圆弧半径分别为、，直道长度为，路面对轮胎的最大横向静摩擦力是车重的倍，，。求： (1)汽车能安全通过M段圆弧的最大速度； (2)汽车以进入直道后，先以加速度匀加速运动一段时间，再匀速运动通过点进入段圆弧。要使汽车能安全通过段圆弧，汽车在直道上运动的最短时间。 例3．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中， (1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小； (2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14m/s。已知武大靖的质量为73 kg，武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、） 变式1．（2025·云南·模拟预测）汽车转弯时，车上的挂件会偏离竖直方向。当汽车以恒定的速率经过某一水平圆形弯道时，挂件偏离竖直方向的角度约为，如图所示。取重力加速度，。求： (1)汽车转弯时向心加速度a的大小； (2)该圆形弯道的半径R。 变式2．（2025·广东深圳·一模）如图所示，为一段赛车训练赛道，赛道在水平面上，宽度为。可视为质点的赛车将在赛道起点线的任意位置由静止起步，沿长为的直道做一段匀加速直线运动，进入弯道后做匀速圆周运动通过半圆形弯道，最终到达终点。已知半圆形弯道内弯半径为，赛车的轮胎与赛道间的侧向最大静摩擦因数为，通过底板的空气动力学设计可使赛车在高速通过弯道时与地面之间的压力达到自身重力的4倍，重力加速度为，求： (1)为避免因速度过快在弯道上发生侧滑，赛车在直道上加速的最大加速度； (2)若赛车在直道的加速度为，求其通过整条赛道的最短时间。 变式3．（25-26高三上·辽宁·月考）自行车山地越野赛上，一位车手在一段山路转弯时的情境如图所示，为了简化过程，把自行车（含车手）看成质点。已知自行车轮胎与路面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弯道可看成一段半径的圆弧，取重力加速度大小。，不计空气阻力，不考虑与速度方向共线的摩擦力。 (1)若弯道处路面水平，求自行车转弯时不发生侧滑的最大速度； (2)若弯道处路面向内侧倾斜，与水平面的夹角为37°，自行车与弯道在同一水平面内，已知，，求自行车不受摩擦力时的速度。 考点四 倾斜转盘上的圆周运动 例1．（2026·四川德阳·二模）如图1所示为一款打弹珠游戏装置，斜面与水平面的夹角为，斜面上固定有两块圆形挡板（一块半圆挡板、一块四分之一圆挡板）和四块直挡板。斜面俯视图及尺寸如图2所示，底板沿水平方向，两圆形挡板均与直挡板相切，右侧两直挡板间距略大于弹珠尺寸，左侧两直挡板间形成了一块矩形中奖区间。游戏时，弹珠置于右侧两直挡板间紧贴底板，通过拉动拉杆后释放拉杆，拉杆上的顶杆穿过底板小孔与弹珠在底板处碰撞，弹珠获得动能，若弹珠运动过程进入“取胜区”即可赢得游戏。已知弹珠质量为m且可视为质点，重力加速度大小为g，忽略一切摩擦，求： (1)弹珠在斜面上做类平抛运动时的加速度大小a； (2)要使得弹珠与点b（左侧直挡板与半圆挡板的切点）相撞击，内侧圆形轨道最高点a对弹珠的作用力大小N； (3)该游戏若能取胜，弹珠被撞击后的动能需要满足的条件（若存在碰撞，仅考虑与区域直挡板的弹性碰撞）。 例2．（2025·广东中山·模拟预测） 如图甲所示，为一游乐场的飞天大转盘娱乐项目，现将该游戏简化为图乙所示的情形。一粗糙的倾斜圆盘，与水平面的夹角为，绕垂直圆盘的轴线以逆时针方向转动，一质量为m=1kg的物体放在转盘上，随转盘一起转动，且物体转到最低点A时恰好与圆盘不发生相对滑动，已知物体与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，在物体从A运动一周回到A点的过程中，求： (1)物体在最高点B点受到的摩擦力； (2)圆盘对物体的摩擦力的冲量大小。 变式1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离处有一质量、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，，。 (1)当圆盘角速度时，求物体受到的向心力大小； (2)当圆盘角速度时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 变式2．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台静止不转动时，将一质量为可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与竖直轴成角，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，答案可保留根号，求： (1)物块在A点静止时受到的摩擦力大小； (2)当物块在与O等高的B点处随陶罐一起匀速转动时，转台转动的角速度最小为多少； (3)若物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起匀速转动且刚好不上滑，则转台转动的角速度为多少。 2 学科网（北京）股份有限公司 $水平面内的圆周运动4种高频考点专项训练 水平面内的圆周运动4种高频考点专项训练 考点目录 水平转盘上的物体 圆锥摆问题 物体转弯问题 倾斜转盘上的圆周运动 考点一 水平转盘上的物体 例1．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由得 可知 可判断随着圆盘角速度的增大，物体A先达到最大静摩擦力，设当角速度为时，物体A刚好达到最大静摩擦力，则： 则： 因为，则物体A受到的摩擦力达到最大值，且绳子有拉力，则：， 解得： A受到的摩擦力达到最大值： （2）两物体都将相对转盘滑动时，对A有 对B有 解得： 故当圆盘转动的角速度为时，两物体都相对于圆盘静止，物体A的线速度： 绳断后，物体A滑至桌面，在桌面上做匀减速运动，则： ，， 解得： 物体A离开桌面后做平抛运动，则：， 解得： 物体A落到地面时距O点的水平距离为： 代入数据解得： 例2．（2026·福建·模拟预测）如图所示，水平圆盘可绕通过其中心O的竖直轴转动，圆盘半径，离水平地面高度，在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度大小g取，空气阻力不计，圆盘从静止开始缓慢加速转动，求： (1)物块恰与圆盘发生相对滑动时圆盘角速度的大小； (2)物块滑离圆盘后在空中运动的时间； (3)物块落地点与O点正下方地面上点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆盘刚好相对滑动时，有 解得 （2）物块在空中平抛运动，满足 解得 （3）平抛速度 水平位移 落地点与距离 联立解得 例3．（25-26高三上·甘肃·月考）如图所示，质量为m、可看作质点的滑块放置于木板的右端，滑块和木板绕木板左端点O在水平面内做匀速圆周运动，已知滑块与木板间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，木板长度为L，要使滑块与木板不发生相对滑动，求： (1)滑块做匀速圆周运动的角速度的最大值； (2)木板对滑块的最大作用力F的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当向心力最大时，角速度最大，有 解得 （2）摩擦力最大时，木板对滑块的作用力最大由力的合成得 解得 变式1．（25-26高三上·山东·月考）如图所示，水平圆形餐桌中央挖空出一圆心与餐桌圆心重合、半径为R的圆形区域，在此区域安装上可绕中心轴水平转动的圆盘，转盘与餐桌的间隙不计，转盘上表面与桌面平齐。在转盘的边缘处放置一个可视为质点的杯子，已知杯子与转盘和桌面间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，餐桌始终保持静止。现缓慢增大转盘的角速度。 (1)求杯子相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度大小； (2)当杯子从转盘滑下后，若要保证杯子不从餐桌上掉落，求餐桌的最小半径是多少。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）杯子恰好滑动时,滑动摩擦力提供向心力有 解得 （2）杯子恰好滑下圆盘时，餐桌存在最小半径，即脱离圆盘时线速度 杯子在桌面做匀减速直线运动根据牛顿第二定律有 又有 解得 由勾股定理得桌面最小半径应为 变式2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）如图甲，为了从筒中倒出最底部的羽毛球，将球筒竖直并筒口朝下，从一定高度松手让球筒自由下落，球筒以撞击地面，球筒与地面碰撞时间，碰撞后球筒不反弹。已知球筒质量，球筒长度，羽毛球质量为，羽毛球和球筒之间最大静摩擦力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为简化问题把羽毛球视为质点，空气阻力忽略不计，取，求： (1)碰撞过程中，地面对球筒的平均冲击力大小； (2)碰撞后羽毛球到达球筒口的速度大小； (3)如图乙所示，某人伸展手臂握住球筒底部，使球筒与手臂均沿水平方向且筒口朝外，筒身离地高度为，他以身体躯干为中心轴逐渐加速转动直至羽毛球刚好飞出，筒口离中心轴距离为，羽毛球落地点距离抛出点的水平距离。（结果可用分数和根号表示，羽毛球在空中的运动不计空气阻力） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）碰撞过程中，对球筒进行分析，根据动量定理有 解得 （2）碰撞后，球向下做匀减速运动，根据牛顿第二定律有 解得 碰撞后球下滑过程，羽毛球能到达筒口的速度为，则 解得 （3）令羽毛球刚好从筒口水平飞出时速度为，根据牛顿第二定律有 羽毛球飞出后做平抛运动，则有， 解得 变式3．（25-26高三上·天津河西·期中）如图所示，圆形水平餐桌面上有一个半径为、可绕中心轴转动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一个质量为的物块，物块与圆盘间的动摩擦因数为，物块与餐桌面间的动摩擦因数为，现从静止开始缓慢增大圆盘的转动速度，直至物块从圆盘上甩出，之后物块在餐桌面上滑行且刚好不滑落。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，圆盘厚度及圆盘与餐桌间的间隙不计，忽略空气阻力，物块视为质点。求： (1)物块随圆盘转动的过程中，圆盘对物块所做的功； (2)餐桌面的半径； (3)物块在餐桌面上滑行过程中，所受摩擦力的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块受到最大静摩擦力时将被甩出，此时物块的线速度为，有， 物块随圆盘转动过程中，根据动能定理有 可得 （2）当物块滑到餐桌边缘时速度恰好为零，设物块在餐桌上滑动的位移为，根据动能定理有 物块从圆盘边缘滑出时沿圆盘的切线方向，由几何关系可得 解得 （3）物块在餐桌面上滑行过程中，根据动量定理有 可得 考点二 圆锥摆问题 例1．（2026·北京石景山·一模）如图所示为游乐场“旋转飞椅”的简化原理图。处于水平面内的圆形转盘，可绕穿过其中心的竖直轴转动。让转盘由静止开始逐渐加速转动，经过一段时间后，游客与转盘一起做匀速圆周运动，达到稳定状态，此时轻绳与竖直方向夹角为。已知绳长为且不可伸长，悬点与转轴中心的距离为，座椅与游客可视为质点，总质量为，重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)轻绳拉力的大小； (2)转盘角速度的大小； (3)从静止到稳定转动，轻绳拉力对座椅与游客做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在竖直方向受力平衡 解得轻绳拉力的大小 （2）根据牛顿第二定律 解得转盘角速度 （3）稳定转动时，座椅和游客的速度 从静止到稳定转动，根据动能定理 解得从静止到稳定转动，轻绳拉力对座椅与游客做的功 例2．（25-26高三下·广东·月考）如图所示为一种叫“飞椅”的游乐项目。长为的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径也为的水平转盘边缘。当水平转盘从静止逐渐加快转动，座椅在钢绳带动下逐渐偏离竖直方向，圆盘不再加速后，座椅在水平面内做圆周运动，此时钢绳与竖直方向的夹角为。现将座椅和游客视为质点，其总质量为，不计钢绳质量，取，，。求： (1)座椅最终转动的角速度大小； (2)座椅启动过程中，钢绳对“飞椅”做的功； (3)座椅转动半周过程中受到钢绳拉力的冲量大小（取）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据牛顿第二定律 可得 （2）设钢绳对“飞椅”做的功为，对加速过程应用动能定理 解得 （3）设座椅转动半周过程中受到钢绳拉力的冲量为，水平方向应用动量定理 竖直方向应用动量定理 钢绳拉力的冲量 解得 例3．（25-26高三上·广东揭阳·期末）如图甲是游乐场内“空中飞椅”的游乐项目，其简化示意图如图乙所示。在半径为的水平转盘的边缘固定着条长为的钢绳，钢绳的另一端连接着座椅（图中只画出2个），转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴转动。设在每个座椅内坐着质量相同的人，可将人和座椅看成质点。开始时转盘静止，钢绳处于竖直状态，接着转盘开始缓慢加速转动，人和座椅也从静止开始随转盘的转动而升高，经过一段时间后转盘和人保持相同的角速度不变，达到稳定状态，此时钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为。已知人和座椅的总质量为，重力加速度为，不计钢绳的重力及空气的阻力。求： (1)人和座椅稳定状态时需要的向心力的大小； (2)座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，每根绳子的拉力对座椅做的功； (3)座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，若电动机带动转盘时输出功率如图丙所示。时间内是一过原点的直线，时刻电动机达到额定功率，大小为，时刻人和座椅恰好达到稳定状态，此时转盘因转动具有的能量为。求时间内，转盘克服摩擦阻力做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对人和座椅整体受力分析，如图所示 人和座椅的重力与绳的拉力的合力指向圆心，提供做圆周运动时需要的向心力，根据平衡条件，得 解得 （2）设人和座椅稳定转动时线速度大小为，人和座椅的重力与绳的拉力的合力提供向心力，做匀速圆周运动，有 其中人和座椅在水平面内的转动半径 人和座椅整体从静止到稳定上升高度 此过程重力做功 由动能定理可得 联立解得 （3）由图丙可知，在座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，电动机输出的总功等于图线与时间轴所围梯形面积，则 由功能关系可得 解得转盘克服摩擦阻力做的功 变式1．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图甲所示，小球B和物块C质量均为2m，B、C由一劲度系数的轻质弹簧连接，静止竖直立于水平桌面上。如图乙所示，某同学设计了一个把C提离桌面的小实验，把轻绳一端与B球连接，另一端穿过一竖直光滑的细管后与质量为m的小球A相连，用手托住A球，使绳子自然伸直，此时绳子无张力，OA长为l。现保持细管顶端O点高度不变，缓慢摇动细管，让小球A转动一段时间后，物块C刚好被提离桌面，此时A在水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示。求： (1)从实验开始到物块C刚好被提离桌面的过程中，B球上升的高度； (2)物块C刚好被提离桌面时A的速率。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）初状态弹簧压缩 得 末状态弹簧拉伸 得 则B球上升高度 （2）以A为研究对象，受力分析如图 则， 对BC整体 联立解得 变式2．（25-26高三上·广东·月考）小型4旋翼无人机是一种能够垂直起降的遥控飞行器，目前得到越来越广泛的应用，可运输物资，可动态演绎灯光秀等，如图所示一架质量的无人机从地面上由静止开始竖直向上起飞，匀加速上升，历时。不计空气阻力，取。求： (1)无人机平均每个螺旋机翼受到的升力； (2)若通过飞控系统调控，改变无人机受到的升力，让它在水平面内做半径为10m的匀速圆周运动，此时升力F与竖直方向成37°角，求一个周期内重力的冲量。（结果可用表示），，。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设无人机匀加速上升的加速度大小为a，末速度大小为v，则有 联立解得无人机平均每个螺旋机翼受到的升力 （2）无人机在水平面内做匀速圆周运动，有 可得匀速圆周运动周期 一个周期内重力的冲量 变式3．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知漏斗壁与竖直方向的夹角为，小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，忽略空气阻力，重力加速度为g。求： (1)漏斗壁对小球的弹力大小； (2)小球做圆周运动线速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对小球受力分析，竖直方向，根据平衡条件 解得 （2）小球做匀速圆周运动，合力提供向心力 解得 考点三 物体转弯问题 例1．（2026·福建福州·二模）福州市道庆洲大桥（如图甲）是福建省第一座公轨共建桥梁，上层为双向6车道一级公路，下层搭载地铁6号线。重力加速度取。 (1)地铁启动时，若受到大小为的牵引力作用，做加速度为的匀加速直线运动，一段时间后速度达到。求此过程经历的时间及牵引力的平均功率； (2)水平公路段有一段半径为500m的圆弧形弯道（如图乙），若有一总质量为的汽车（可视为质点）通过该路段时做匀速圆周运动，速度大小为，求汽车通过该路段时所需的向心力。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）地铁做加速度为的匀加速直线运动，一段时间后速度达到，则有 其中，解得此过程经历的时间为 牵引力的平均功率为 又 解得 （2）汽车做匀速圆周运动的速度大小为 汽车过弯道由牛顿第二定律得 代入数据得 例2．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）图甲为赤峰市乌兰布统草原上的一段“S”形水平公路。汽车行驶的轨迹可简化为两个圆弧M、N和中间直道PQ，P、Q两点为切点，如图乙所示。已知两圆弧半径分别为、，直道长度为，路面对轮胎的最大横向静摩擦力是车重的倍，，。求： (1)汽车能安全通过M段圆弧的最大速度； (2)汽车以进入直道后，先以加速度匀加速运动一段时间，再匀速运动通过点进入段圆弧。要使汽车能安全通过段圆弧，汽车在直道上运动的最短时间。 【答案】(1)15m/s (2)28s 【详解】（1）静摩擦力最大时最大，则由牛顿第二定律 解得 （2）当汽车在N弯道上速度最大时，汽车在PQ上运动的时间最短，则     解得 汽车在PQ上做匀加速运动的时间 汽车在PQ上做匀加速运动的位移 汽车在PQ上做匀速运动的时间 汽车在PQ上运动的最短时间 解得 例3．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中， (1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小； (2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14m/s。已知武大靖的质量为73 kg，武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖过弯时身体与水平面的夹角的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取，、、、） 【答案】(1) (2)27° 【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为a，根据 解得 （2）根据向心力公式 解得过弯时所需的向心力大小为 设场地对武大靖的作用力大小为F，受力如图所示 根据牛顿第二定律可得 解得 可得 变式1．（2025·云南·模拟预测）汽车转弯时，车上的挂件会偏离竖直方向。当汽车以恒定的速率经过某一水平圆形弯道时，挂件偏离竖直方向的角度约为，如图所示。取重力加速度，。求： (1)汽车转弯时向心加速度a的大小； (2)该圆形弯道的半径R。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由牛顿第二定律得 解得 （2）由匀速圆周运动的规律得 解得 变式2．（2025·广东深圳·一模）如图所示，为一段赛车训练赛道，赛道在水平面上，宽度为。可视为质点的赛车将在赛道起点线的任意位置由静止起步，沿长为的直道做一段匀加速直线运动，进入弯道后做匀速圆周运动通过半圆形弯道，最终到达终点。已知半圆形弯道内弯半径为，赛车的轮胎与赛道间的侧向最大静摩擦因数为，通过底板的空气动力学设计可使赛车在高速通过弯道时与地面之间的压力达到自身重力的4倍，重力加速度为，求： (1)为避免因速度过快在弯道上发生侧滑，赛车在直道上加速的最大加速度； (2)若赛车在直道的加速度为，求其通过整条赛道的最短时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设到达弯道的最大速度为，根据直线运动规律 当赛车以最大速度过弯，圆周运动半径为，则有 联立解得 （2）直道加速过程满足 代入解得 直道时间 弯道中，若要时间最短需取最小半径，根据牛顿第二定律可得 解得 弯道时间 总时间 起步点可以位于赛道左侧，最远不能超过，故 变式3．（25-26高三上·辽宁·月考）自行车山地越野赛上，一位车手在一段山路转弯时的情境如图所示，为了简化过程，把自行车（含车手）看成质点。已知自行车轮胎与路面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弯道可看成一段半径的圆弧，取重力加速度大小。，不计空气阻力，不考虑与速度方向共线的摩擦力。 (1)若弯道处路面水平，求自行车转弯时不发生侧滑的最大速度； (2)若弯道处路面向内侧倾斜，与水平面的夹角为37°，自行车与弯道在同一水平面内，已知，，求自行车不受摩擦力时的速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设人和车的总质量为m，刚要发生侧滑时，自行车受到的静摩擦力为最大静摩擦力， 有 对自行车受力分析，由牛顿第二定律有 解得 （2）在倾斜路面上，对自行车受力分析，有 解得。 考点四 倾斜转盘上的圆周运动 例1．（2026·四川德阳·二模）如图1所示为一款打弹珠游戏装置，斜面与水平面的夹角为，斜面上固定有两块圆形挡板（一块半圆挡板、一块四分之一圆挡板）和四块直挡板。斜面俯视图及尺寸如图2所示，底板沿水平方向，两圆形挡板均与直挡板相切，右侧两直挡板间距略大于弹珠尺寸，左侧两直挡板间形成了一块矩形中奖区间。游戏时，弹珠置于右侧两直挡板间紧贴底板，通过拉动拉杆后释放拉杆，拉杆上的顶杆穿过底板小孔与弹珠在底板处碰撞，弹珠获得动能，若弹珠运动过程进入“取胜区”即可赢得游戏。已知弹珠质量为m且可视为质点，重力加速度大小为g，忽略一切摩擦，求： (1)弹珠在斜面上做类平抛运动时的加速度大小a； (2)要使得弹珠与点b（左侧直挡板与半圆挡板的切点）相撞击，内侧圆形轨道最高点a对弹珠的作用力大小N； (3)该游戏若能取胜，弹珠被撞击后的动能需要满足的条件（若存在碰撞，仅考虑与区域直挡板的弹性碰撞）。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）对于弹珠在斜面上的类平抛运动由牛顿第二定律有 解得 （2）设离开a点的速度大小为，沿底板方向有 垂直于底板方向有 解得 在a点，由圆周运动动力学方程有 解得 （3）由于弹珠与间的碰撞为弹性碰撞，可将碰撞后的运动轨迹沿着轴对称折叠，碰撞前后的运动可以合并成类平抛运动。现分析弹珠经碰撞后恰好撞击点的情况，设过a的速度为，轨迹如下 水平方向有 垂直于底板方向有 解得 对离开圆轨道后类平抛运动恰好过f点的情况，设其过a的速度为，水平方向有 垂直于底板方向有 联立解得 若弹珠过a点后恰不脱轨，其刚过a点速度满足 弹珠从底板到a点的过程，解得 弹珠从底板到a点的过程，由动能定理可得 因要取胜，过a点的速度需满足或，故解得弹珠被撞击后的动能需要满足的条件 或 例2．（2025·广东中山·模拟预测） 如图甲所示，为一游乐场的飞天大转盘娱乐项目，现将该游戏简化为图乙所示的情形。一粗糙的倾斜圆盘，与水平面的夹角为，绕垂直圆盘的轴线以逆时针方向转动，一质量为m=1kg的物体放在转盘上，随转盘一起转动，且物体转到最低点A时恰好与圆盘不发生相对滑动，已知物体与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，在物体从A运动一周回到A点的过程中，求： (1)物体在最高点B点受到的摩擦力； (2)圆盘对物体的摩擦力的冲量大小。 【答案】(1)5N，方向沿盘面向上 (2) 【详解】（1）对物体，在最低点A点，根据牛顿第二定律可得 解得      在最高点B点 解得 方向沿盘面向上。 （2）物体转动一周，动量不变，根据动量定理可得 其中 联立解得 变式1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离处有一质量、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，，。 (1)当圆盘角速度时，求物体受到的向心力大小； (2)当圆盘角速度时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）当角速度时，由 代入数据解得 （2）当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑，此时为的最小值，受力分析如图 代入数据解得 变式2．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台静止不转动时，将一质量为可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与竖直轴成角，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，答案可保留根号，求： (1)物块在A点静止时受到的摩擦力大小； (2)当物块在与O等高的B点处随陶罐一起匀速转动时，转台转动的角速度最小为多少； (3)若物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起匀速转动且刚好不上滑，则转台转动的角速度为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对静止在A处的物块进行受力分析可得 代入数据可得 （2）由于 则 当物块在B点处随陶罐一起转动时，由其受力情况可得 解得 （3）当物块在A点随陶罐一起转动且刚好不上滑时，物块的受力情况如图所示 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $