机械振动3种高频考点 简谐运动 单摆问题 外力作用下的振动 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

**基本信息** 聚焦机械振动三大高频考点，通过典例与变式构建从基础规律到综合应用的知识逻辑链，强化运动和相互作用观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |简谐运动|3例+3变式|振动图像分析、波速计算、弹簧振子综合|从振动方程建立到波传播规律，结合能量守恒与动量定理| |单摆问题|3例+3变式|周期计算、受力分析、多过程力学综合|基于单摆周期公式，关联机械能守恒与碰撞规律| |外力作用下的振动|5例+5变式|共振条件判断、受迫振动分析、多普勒效应应用|从受迫振动规律到共振现象，结合生活实际情境|

机械振动3种高频考点专项训练 机械振动3种高频考点专项训练 考点目录 简谐运动 单摆问题 外力作用下的振动 考点一 简谐运动 例1．（2026·重庆沙坪坝·二模）在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以O点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立x轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距0.5m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。 (1)请写出无人机b的振动方程； (2)若该波的波长大于0.2m，求波速的大小。 例2．（2026·山东潍坊·二模）如图所示，质量为0.8kg的木板B静置在光滑的水平地面上，在木板右端上方静置一质量为0.4kg的小球A，木板左侧水平放置一轻质弹簧，弹簧左端固定在竖直墙壁上，右侧与B左端接触（不拴接），初始时，弹簧处于原长。现用力向左推木板，使弹簧处于压缩状态，压缩量。撤去外力的同时释放A，弹簧恢复原长时A与B的上表面恰好接触，发生碰撞，A与B的接触时间。碰后，A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。之后A在最高点与固定挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即撤去挡板。已知弹簧的劲度系数为，A与B上表面间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为（k为劲度系数、x为形变量），弹簧振子的周期表达式为（m为振子的质量、k为劲度系数），g取，A不会从B上滑下，求： (1)初始时，A所处的高度h； (2)A和B第一次碰撞结束时A的速度大小； (3)A和B第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需的总时间t。 例3．（2026·贵州·模拟预测）如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距的两个质点，某时刻a、b两质点正好都经过平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，求： (1)波源的振动方程以及在内运动的路程； (2)该简谐横波传播速度的大小可能值。 变式1．（2026·贵州·模拟预测）如图所示，光滑的台面左侧固定有一根劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧的右侧与质量为的滑块A拴接，质量也为m的滑块B紧靠滑块A一起静止在台面上。台面右侧下方光滑的地面上固定有一圆心角为、半径的光滑圆弧轨道，一表面与圆弧轨道右端相切且质量为的长木板C与圆弧轨道接触但不粘连。现用恒力向左推动滑块B，当滑块A、B加速度为0时，撤去恒力F，此后某时刻，滑块B与滑块A分离，分离后滑块A在台面上做简谐运动，滑块B从平台右侧飞出，恰好从圆弧轨道左端沿切线方向滑入，一段时间后滑上C。若C与B之间的动摩擦因数，重力加速度为；弹簧弹性势能公式，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量。求： (1)撤去恒力F时弹簧的形变量； (2)滑块A做简谐运动的振幅A； (3)若B未从C上滑落，则长木板C的最短长度。 变式2．（2026·北京海淀·一模）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度为g。 (1)求小球速度最大时，弹簧的形变量大小。 (2)小球从接触弹簧开始到压缩弹簧至最低点过程中，分析说明小球速度最大的位置处在最大形变量中点上方还是下方。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中画出小球压缩弹簧至最低点过程中合力F随下降距离x的变化图线，并分析小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小和重力的关系。 变式3．（2026·江西九江·二模）如图，光滑竖直玻璃管内有一劲度系数为k的轻质弹簧，下端固定，上端与一物块P相连，物块Q与物块P之间不粘连，P、Q质量均为。初始时用竖直向下的力压物块Q，系统处于静止状态，某时刻撤去外力，此后在物块P、Q运动过程中，两者会分离。每当两者分离时立刻给物块Q施加竖直向上的恒力，每当两者接触时立刻撤去。P、Q之间的碰撞为弹性碰撞，且弹簧始终处于弹性限度内。已知弹簧的弹性势能与形变量x的关系为，弹簧振子的周期公式为。求： (1)从撤去外力到P、Q第一次分离时的位移大小； (2)从撤去外力到P、Q第一次分离时的时间； (3)从撤去外力到P、Q第2026次相遇时的时间及此次相遇的位置。 考点二 单摆问题 例1．（25-26高二下·河北保定·月考）如图所示，在铁架台横梁上安装一个力传感器，用细线一端系一质量为m=0.1kg的小球，另一端系在力传感器上，做成一架单摆，取 ，。 (1)在小球摆动过程中，力传感器的示数也在不停地发生变化，示数的最大值与最小值出现的最短时间间隔为0.5s，求单摆的摆长l； (2)若在小球摆动过程中力传感器示数的最大值为1.1mg，求小球摆动过程中的最大线速度以及力传感器示数的最小值。 例2．（2026·北京朝阳·一模）物理图像是形象的思维工具。图像所包围的“面积”往往有特定的物理含义。 (1)图1中的甲图为某球形金属电极静电除尘器的主体部分，表面均匀分布着正电荷，其半径为R，在空间各点产生球对称的电场。场强大小E与该点到球心距离r的变化图像如图1中的乙图所示。已知E-r曲线下R～2R部分的面积为S。若电荷量为-q的尘埃微粒从距球心2R处被吸附至球壳表面，求此过程尘埃微粒电势能的变化量； (2)图2中甲图为某发电机的简化模型。质量为m的导体棒在水平驱动力F的作用下，以恒定加速度a从静止开始沿光滑水平导轨向右运动。定值电阻阻值为R，忽略其余电阻。磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于导轨平面。导轨间距为L。 a．写出驱动力F与运动时间t的关系式； b．在图2乙给出的坐标系中定性画出驱动力F大小随运动时间t的变化图像，并结合图像求出0～t0时间内F的冲量大小I。 (3)如图3所示，y随t按照正弦规律变化，其中Ym、t0均为已知量。为得到内的阴影面积，除利用函数微积分方法外，请你展开想象的翅膀借助物理量间的内在关联，构建物理模型，求此阴影面积A。 例3．（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，质量为的小球用长度为的细线悬挂于点，质量为的物块静止在质量为的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板。现将小球拉起由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动。已知重力加速度，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： (1)小球与物块发生第一次碰撞后，物块的速率； (2)木板的长度； (3)初始时，木板左端到挡板的距离。 变式1．（2026·浙江·二模）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，长为l的轻绳悬挂一可视为质点的滑块C，C的下端恰好与B的上表面平行。现施加一外力F作用在A上，使A与B由静止开始向右做匀加速直线运动，同时将C拉起一小角度后静止释放。在C第一次到达最低点时绳子被拉断，C恰好从B的左端以水平速度v滑上B的上表面，此时撤掉外力，木板的速度为，此时B右端与墙P的距离为s。已知，，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，C不会从B上滑下。A、B的碰撞为弹性碰撞，所有碰撞时间极短，取重力加速度，。 (1)求外力的大小F； (2)若s足够大，求从C滑上木板到B与C第一次共速时，木板滑行的距离s。 (3)若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W； (4)若，B与C共速后立即锁定为一整体，其与P碰撞后速度反向，大小变为原来的0.1，求A与B碰撞过程，物块A动量的变化量的大小。 变式2．（25-26高三上·安徽·期末）如图甲所示，倾角为的光滑斜面体固定，点固定一拉力传感器，传感器上用一段不可伸长的轻绳拴接一小球，现将小球拉离平衡位置一个小角度，然后将小球由静止释放，小球在斜面上做简谐运动，整个过程拉力传感器的示数随时间的变化规律如图乙所示，不计空气阻力，忽略小球的半径，重力加速度，.求： (1)细绳的长度； (2)小球离开平衡位置时，细绳最大摆角的余弦值. 变式3．（2025·江苏·模拟预测）某同学自己制作了一套玩具，利用剖开的半径为R的圆管一部分作为轨道，固定在水平面内，如图所示，弧，长为，在处挖一小洞。游戏时，用弹簧枪将一质量为的小球（比洞略小）沿方向射出，通过控制弹出时的速度大小，可使小球落入洞中，a、b、c、d在同一水平面上，不计一切阻力，小球可视为质点，当地重力加速度为g。若使小球能够进入洞中，求： (1)小球从点射出时可能的速率； (2)发射前，弹簧弹性势能的最大可能值。 考点三 外力作用下的振动 例1．（2026·辽宁·模拟预测）振动和波存在于我们生活的方方面面，图（a）是救护车在向右行驶，A、B两人都听到了救护车发出的警笛声；图（b）是宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中记录的“古琴正声”实验：剪小纸人放在需要调整音准的弦上，然后拨动另一个音调准确的琴上对应的琴弦，同样地拨动力度下，小纸人晃动越明显代表音调越准确。下列说法正确的是（　　） A．图（a）中，A、B两人听到警笛声的频率相同 B．图（a）中，B听到的警笛声比A听到的更尖锐 C．图（b）“古琴正声”实验的原理是共振 D．图（b）“古琴正声”实验的原理是波的干涉 例2．（2026·四川成都·二模）某同学自制了一台“地动仪”，他将一个弹簧振子和一个单摆悬挂在天花板上，弹簧振子的弹簧和小球（球中间有孔）都套在固定的光滑竖直杆上。某次有感地震中，震源同时产生频率相同的横波与纵波，“地动仪”恰好位于震源的正上方，他观察到，静止的振子开始振动，时间t后单摆才开始摆动。下列说法正确的是（　　） A．实验现象证明地震波中横波传播得比纵波快 B．单摆的稳定振动频率等于弹簧振子的稳定振动频率 C．增加小球的质量，弹簧振子的稳定振动频率变小 D．若震源产生的纵波和横波的波速分别为、，则震源到“地动仪”的距离为 例3．（25-26高三上·江苏常州·月考）如图为港珠澳大桥，为保障大桥安全，需加装一种工程减震装置，叫作调谐质量阻尼器，该装置是一个由弹簧、阻尼器和质量块组成的振动控制系统，附加在需要振动控制的主结构上。主结构在外界作用下产生振动时，能带动减振装置一起振动，当满足一定条件时，能最大限度地降低主结构的振动，达到减振的效果。关于该调谐质量阻尼器下列说法正确的是（　　） A．工作时减震装置与主结构振动周期一定相同 B．调谐质量阻尼器和主结构固有频率相等时，减震效果最好 C．减震质量越大减震效果越好 D．主结构振动时调谐质量阻尼器和主结构振动频率相等 例4．（2026·黑龙江双鸭山·一模·多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　）          A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期 C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 例5．（2026·湖南·模拟预测·多选）荡秋千是一项少数民族传统体育项目，蕴含了丰富的物理知识。为了将秋千越荡越高，专业运动员会在秋千到达最低点时完全蹲下，达到最高点时完全站起来，如此反复。若蹲下、站起的节奏太快或太慢都会导致秋千越来越低。某秋千可看作一摆长为的单摆，设人质量为60kg，秋千和绳质量不计，初始时候人从最低点以0.5m/s的速度被推出，推出后再开始起立。已知无人时秋千单摆的运动周期为，人从最低点开始站起，再蹲下到最低点的运动周期为，整个运动过程都在可近似为单摆的范围内，忽略空气阻力，重力加速度取，则（　　） A．这一荡秋千的原理类似共振，且 B．不考虑人身高的影响，推出瞬间秋千板对人的支持力为605N C．秋千第一次到达最高点时比推出时升高了1.25cm D． 变式1．（2026·江苏·一模）单摆做阻尼振动的位移-时间图像如图所示，则摆球在P与N时刻相同的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．势能 D．机械能 变式2．（2026·广东·一模）跳水运动员借助跳板弹力起跳，在起跳前通过周期性上下移动重心以增大跳板振动的振幅，起跳前跳水运动员双脚没有离开跳板，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．跳板的振动频率一定等于跳板的固有频率 B．跳板的振动频率等于跳水运动员重心振动频率 C．跳水运动员应该在动能最大的位置蹬板起跳 D．跳水运动员应该在跳板运动到最高点蹬板起跳 变式3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）兴趣小组利用如图1所示装置研究机械振动，通过手机传感器测量加速度a随时间t变化的图像如图2所示。比较曲线上P、N两点对应的时刻，N时刻（　　） A．小车合外力较大 B．系统机械能较大 C．弹簧弹性势能较大 D．小车动能较大 变式4．（25-26高三上·贵州安顺·期末·多选）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（　　） A．只要驱动力足够大，共振就能发生 B．系统的固有频率与驱动力频率无关 C．医学上应用多普勒效应可以测定心脏跳动、血管血流快慢等情况 D．观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率小 变式5．（2026·陕西延安·一模·多选）延安某黄土边坡存在深层蠕滑风险。科研团队部署了一种改进型惯性式位移传感器：将质量为m的金属块通过两根相同的轻质弹簧（劲度系数均为k）水平连接于固定支架两端，初始时系统处于平衡。当边坡发生微小形变时，支架整体产生缓慢位移，而金属块因惯性滞后，其相对位移实际运行中发现，由于黄土颗粒摩擦和空气阻尼，系统存在微弱阻力，且雨季时边坡常受周期性降雨入渗诱发的低频振动激励频率约为（0.2Hz），已知该振子无阻尼固有频率为。下列说法正确的是（　　） A．若忽略阻尼，以地面为参考系，金属块的运动方程为 B．当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅达到最大，可能发生共振 C．由于阻尼存在，系统自由振动的机械能不断减小，但振动周期略大于 D．在长期监测中，若记录到金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，则说明边坡已停止形变且无外部激励 2 学科网（北京）股份有限公司 $机械振动3种高频考点专项训练 机械振动3种高频考点专项训练 考点目录 简谐运动 单摆问题 外力作用下的振动 考点一 简谐运动 例1．（2026·重庆沙坪坝·二模）在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以O点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立x轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距0.5m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。 (1)请写出无人机b的振动方程； (2)若该波的波长大于0.2m，求波速的大小。 【答案】(1) (2)、或 【详解】（1）由图可得振幅 周期 所以 所以无人机b的振动方程为 （2）由图可得，b的振动图像落后于a，相位差为 所以 当时，有 则 当时，有 则 当时，有 则 当时，有 所以该波的波长大于0.2m，波速的大小为、或。 例2．（2026·山东潍坊·二模）如图所示，质量为0.8kg的木板B静置在光滑的水平地面上，在木板右端上方静置一质量为0.4kg的小球A，木板左侧水平放置一轻质弹簧，弹簧左端固定在竖直墙壁上，右侧与B左端接触（不拴接），初始时，弹簧处于原长。现用力向左推木板，使弹簧处于压缩状态，压缩量。撤去外力的同时释放A，弹簧恢复原长时A与B的上表面恰好接触，发生碰撞，A与B的接触时间。碰后，A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。之后A在最高点与固定挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即撤去挡板。已知弹簧的劲度系数为，A与B上表面间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为（k为劲度系数、x为形变量），弹簧振子的周期表达式为（m为振子的质量、k为劲度系数），g取，A不会从B上滑下，求： (1)初始时，A所处的高度h； (2)A和B第一次碰撞结束时A的速度大小； (3)A和B第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需的总时间t。 【答案】(1) (2) (3)1s 【详解】（1）弹簧和木板B组成弹簧振子，设振子周期为 则 从释放到弹簧恢复原长，经历的时间为，则 小球A做自由落体运动，则初始时，A所处的高度为 （2）A第一次与B碰撞前的速度为，根据 可得，方向竖直向下。 碰后，小球A运动轨迹的最大高度与初始位置等高。可知，碰后A的速度 规定向上为正，根据动量定理，对A分析竖直方向 水平方向 其中 联立可得 进行速度合成，可得小球A的速度 （3）A和B第一次碰撞前，木板B的速度为，根据机械能守恒可知 可得 第一次碰撞，规定水平向右为正，根据动量定理，对B分析由动量定理 可得碰后B的速度 第一次碰后，A做斜上抛运动，运动时间 与挡板发生弹性碰撞后，A做平抛运动，运动时间 A与B发生第二次碰撞，接触时间为 第二次碰前，A水平方向速度，B的速度 根据第（2）问分析可知，碰后A水平方向速度，B的速度 碰后A做竖直上抛运动，第二次碰撞结束后，到第三次碰撞前，A运动的时间 A与B发生第三次碰撞，接触时间为 第三次碰前，A水平方向速度，B的速度 根据第（2）问分析可知，碰后A水平方向速度，B的速度，可知此时A、B水平共速，B达到稳定状态。所以从第一次碰撞结束到B的速度刚达到稳定，所需时间 例3．（2026·贵州·模拟预测）如图甲所示，一列简谐横波沿水平直线传播，a、b为介质中相距的两个质点，某时刻a、b两质点正好都经过平衡位置，且a、b间只有一个波峰。已知这列波波源做简谐运动的图像如图乙所示，求： (1)波源的振动方程以及在内运动的路程； (2)该简谐横波传播速度的大小可能值。 【答案】(1)， (2)或或 【详解】（1）由图可知周期、振幅，则波源的振动方程为 因为为20个完整的周期，则波源在内运动的路程 （2）由题意可得或或 则波长或或 由                     解得或或 变式1．（2026·贵州·模拟预测）如图所示，光滑的台面左侧固定有一根劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧的右侧与质量为的滑块A拴接，质量也为m的滑块B紧靠滑块A一起静止在台面上。台面右侧下方光滑的地面上固定有一圆心角为、半径的光滑圆弧轨道，一表面与圆弧轨道右端相切且质量为的长木板C与圆弧轨道接触但不粘连。现用恒力向左推动滑块B，当滑块A、B加速度为0时，撤去恒力F，此后某时刻，滑块B与滑块A分离，分离后滑块A在台面上做简谐运动，滑块B从平台右侧飞出，恰好从圆弧轨道左端沿切线方向滑入，一段时间后滑上C。若C与B之间的动摩擦因数，重力加速度为；弹簧弹性势能公式，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量。求： (1)撤去恒力F时弹簧的形变量； (2)滑块A做简谐运动的振幅A； (3)若B未从C上滑落，则长木板C的最短长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）撤去外力时A、B加速度为零，设此时弹簧形变量为x，则 解得 （2）经分析，A、B在弹簧恢复原长时分离，由动能定理有 解得 此后对A由能量守恒有                 解得 （3）设B落到圆弧轨道时速度为，到达圆弧轨道最底端时速度为，由题意有   根据动能定理有 解得 对B、C系统由动量守恒定律有 对B、C系统由能量守恒定律有 解得 变式2．（2026·北京海淀·一模）如图1所示，将轻弹簧竖直固定在水平地面上。质量为m的小球由弹簧的正上方h处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，小球下落到最低点。弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，已知重力加速度为g。 (1)求小球速度最大时，弹簧的形变量大小。 (2)小球从接触弹簧开始到压缩弹簧至最低点过程中，分析说明小球速度最大的位置处在最大形变量中点上方还是下方。 (3)以竖直向下为正方向，从小球接触弹簧开始计时，在图2中画出小球压缩弹簧至最低点过程中合力F随下降距离x的变化图线，并分析小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小和重力的关系。 【答案】(1) (2) 见解析 (3) ，见解析 【详解】（1）小球由静止下落到最低点，根据机械能守恒有 小球速度最大时合力为零，此时弹簧的形变量大小为 联立解得 （2）小球速度最大时弹簧的形变量大小为 整理得 又知 所以，故小球速度最大的位置处在最大形变量中点的上方。 （3）小球压缩弹簧至最低点的过程中，合力，合力F随下降距离x的变化图线如图所示 图线与横轴围成的面积等于合力做的功，在合力由变化到的过程中，图线与横轴围成的面积为零，合力做的总功为零，根据动能定理有 所以 当时小球的速度等于刚接触弹簧时的速度，小球还会继续下降，小球所受合力的大小继续增大，故小球下降到最低点时合力的大小 又知合力的大小 联立解得，小球在压缩弹簧至最低点时受到的弹力大小 变式3．（2026·江西九江·二模）如图，光滑竖直玻璃管内有一劲度系数为k的轻质弹簧，下端固定，上端与一物块P相连，物块Q与物块P之间不粘连，P、Q质量均为。初始时用竖直向下的力压物块Q，系统处于静止状态，某时刻撤去外力，此后在物块P、Q运动过程中，两者会分离。每当两者分离时立刻给物块Q施加竖直向上的恒力，每当两者接触时立刻撤去。P、Q之间的碰撞为弹性碰撞，且弹簧始终处于弹性限度内。已知弹簧的弹性势能与形变量x的关系为，弹簧振子的周期公式为。求： (1)从撤去外力到P、Q第一次分离时的位移大小； (2)从撤去外力到P、Q第一次分离时的时间； (3)从撤去外力到P、Q第2026次相遇时的时间及此次相遇的位置。 【答案】(1) (2) (3)，在弹簧原长位置 【详解】（1）当P、Q分离时P、Q之间弹力为0，加速度大小相等，令为 对Q由牛顿第二定律有 对P有 解得 初始状态 P、Q第一次分离时弹簧处于原长，解得P、Q位移大小 （2）当PQ一起振动时，周期 平衡位置 可得振幅 根据公式 代入和A可得 时间 （3）从撤去力到第一次分离，令P、Q速度为 根据能量守恒 分离后Q物块 分离后Q物块回到与P分离处的时间 分离后P物块做简谐运动的周期 故P、Q在分离处第一次相遇，此时P向上，Q向下，速度大小相等，发生弹性碰撞，速度交换 P向下振动，Q向上做匀变速运动，P、Q第二次在分离点相遇，具有共同向下的速度，压缩弹簧后又在弹簧原长位置分离，以后将重复上述过程 以此类推，P、Q奇数次相遇时，速度方向相反，发生碰撞速度交换；偶数次相遇时，P、Q速度方向相同 故P、Q第2026次相遇时的位置在弹簧原长位置 分析可得，P、Q第2026次相遇的时间 代入可得。 考点二 单摆问题 例1．（25-26高二下·河北保定·月考）如图所示，在铁架台横梁上安装一个力传感器，用细线一端系一质量为m=0.1kg的小球，另一端系在力传感器上，做成一架单摆，取 ，。 (1)在小球摆动过程中，力传感器的示数也在不停地发生变化，示数的最大值与最小值出现的最短时间间隔为0.5s，求单摆的摆长l； (2)若在小球摆动过程中力传感器示数的最大值为1.1mg，求小球摆动过程中的最大线速度以及力传感器示数的最小值。 【答案】(1)1m (2)1m/s ，0.95N 【详解】（1）小球摆动时，拉力最大值出现在最低点，最小值出现在最高点；相邻的最大值与最小值的最短时间间隔为 因此单摆周期 根据单摆周期公式 解得 （2）小球在最低点速度最大，拉力最大，由向心力公式 解得最大线速度 设摆球最大偏角为，从最高点到最低点由机械能守恒 代入数据得 最高点摆球速度为0，沿绳方向合力为0，最小拉力满足 解得 例2．（2026·北京朝阳·一模）物理图像是形象的思维工具。图像所包围的“面积”往往有特定的物理含义。 (1)图1中的甲图为某球形金属电极静电除尘器的主体部分，表面均匀分布着正电荷，其半径为R，在空间各点产生球对称的电场。场强大小E与该点到球心距离r的变化图像如图1中的乙图所示。已知E-r曲线下R～2R部分的面积为S。若电荷量为-q的尘埃微粒从距球心2R处被吸附至球壳表面，求此过程尘埃微粒电势能的变化量； (2)图2中甲图为某发电机的简化模型。质量为m的导体棒在水平驱动力F的作用下，以恒定加速度a从静止开始沿光滑水平导轨向右运动。定值电阻阻值为R，忽略其余电阻。磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于导轨平面。导轨间距为L。 a．写出驱动力F与运动时间t的关系式； b．在图2乙给出的坐标系中定性画出驱动力F大小随运动时间t的变化图像，并结合图像求出0～t0时间内F的冲量大小I。 (3)如图3所示，y随t按照正弦规律变化，其中Ym、t0均为已知量。为得到内的阴影面积，除利用函数微积分方法外，请你展开想象的翅膀借助物理量间的内在关联，构建物理模型，求此阴影面积A。 【答案】(1)= - qS (2)a．；b．； (3) 【详解】（1）图中面积为球壳表面与2R处的电势差，根据功能关系有 （2）a．导体棒速度为v时， 产生的电动势为 其中 回路的电流 根据牛顿第二定律有 得 b．由上式可知，F随t的变化为线性图线，如图所示 时间内F的冲量大小即为图中阴影部分的面积，可得 （3）设内y-t图像的平均值为，则面积 可建构下列不同的物理模型，求出内y-t图像的平均值与最大值之间满足关系。 方法一，将y想象成正弦交变电流i，则图中阴影面积代表半周期内电路通过的电量q。建立模型如下，①在匀强磁场B中有一N匝线圈，面积为S，电阻为R；②线圈的转动轴垂直于磁场；③线圈以角速度转动，t=0时线圈与磁场垂直。 在上述模型条件下，线圈中的电流的最大值为 半周期内电路中通过的电量为 半周期内电路中电流的平均值 类比可知，y-t图像的面积 方法二，将y想象成匀速圆周运动在x方向的分速度vx，则图中阴影面积代表半周期内质点在该方向通过的位移大小x。建立模型如下， ①质点在平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为；②t=0时质点位于x轴上，其线速度与x轴垂直。 质点沿该方向的最大速度 质点转动半周期在该方向上通过的距离 在该方向的平均速度为 类比可知，y-t图像的面积 方法三，将物理量y想象成单摆做简谐运动时摆球的速度v，则图中阴影面积表示半周期内摆球通过的路程x。建立模型如下，①摆长为L的单摆，t=0时质点从细线偏离竖直很小的θ角处由静止释放；②摆球仅在细线拉力和重力作用下运动。 单摆从最高点摆至最低点，根据动能定理有 得 小球从静止开始摆动半个周期过程内的位移 运动时间 可得小球的平均速度为 类比可知，y-t图像的面积 方法四，将物理量y想象成单摆做简谐运动过程中受到的回复力F，则图中阴影面积表示半周期内摆球受到的回复力的冲量I。建立模型如下，①摆长为L的单摆，t=0时质点从平衡位置开始摆动，最大摆角θ很小；②摆球仅在细线拉力和重力作用下运动。 单摆在摆动过程中受到的最大回复力 单摆从最高点摆至最低点，根据动能定理 得 运动时间 根据动量定理 类比可知，y-t图像的面积 例3．（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，质量为的小球用长度为的细线悬挂于点，质量为的物块静止在质量为的木板右端，物块和木板上表面的动摩擦因数为，木板静置于光滑水平地面上，木板左侧地面上固定一个和木板等高的挡板。现将小球拉起由静止释放，小球沿圆弧运动至最低点和物块发生弹性碰撞，碰撞后小球开始做简谐运动。物块和木板达到共速后再运动一段时间，木板与挡板发生弹性碰撞，物块和木板再次达到共速时物块恰好未从木板上滑下。物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动。已知重力加速度，物块可视为质点，空气阻力忽略不计，求： (1)小球与物块发生第一次碰撞后，物块的速率； (2)木板的长度； (3)初始时，木板左端到挡板的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设碰前小球速度为，碰后小球速度为，物块的速度为，取向左为正方向，则由动能定理有 解得 小球与物块发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒和机械能守恒，则， 联立解得， （2）设物块和木板第一次共速速度为，取向左为正方向，物块在木板上运动过程系统动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 木板与挡板发生弹性碰撞，木板速度反向，物块和木板再次达到共速过程动量守恒，则 解得 设此时相对位移为，由功能关系有 解得 所以木板的长度 （3）取向左为正方向，小球与物块碰撞后，对木板，由牛顿第二定律有 解得 第一次共速时，对木板有， 解得， 设初始时，木板左端到挡板的距离为，以速度匀速运动用时为，则 木板与挡板碰撞后第二次共速有， 解得， 设以以速度再匀速运动，物块回到点正下方，则 碰撞后小球开始做简谐运动，则其周期 物块再次回到点正下方时，小球恰好完成次全振动，则 联立解得 变式1．（2026·浙江·二模）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，长为l的轻绳悬挂一可视为质点的滑块C，C的下端恰好与B的上表面平行。现施加一外力F作用在A上，使A与B由静止开始向右做匀加速直线运动，同时将C拉起一小角度后静止释放。在C第一次到达最低点时绳子被拉断，C恰好从B的左端以水平速度v滑上B的上表面，此时撤掉外力，木板的速度为，此时B右端与墙P的距离为s。已知，，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，C不会从B上滑下。A、B的碰撞为弹性碰撞，所有碰撞时间极短，取重力加速度，。 (1)求外力的大小F； (2)若s足够大，求从C滑上木板到B与C第一次共速时，木板滑行的距离s。 (3)若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W； (4)若，B与C共速后立即锁定为一整体，其与P碰撞后速度反向，大小变为原来的0.1，求A与B碰撞过程，物块A动量的变化量的大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）从释放物块C到最低点过程根据单摆周期公式得 而 由牛顿第二定律可知 解得 （2）以初速度方向为正方向，当物块C与木板B接触后，根据牛顿第二定律， 求物块C与木板B接触后，到二者速度相等，所需要的时间 可得 过程中木板B前进距离为 （3）由，故B和C已经共速 ， 运动总时间，，未与木板B相碰。 以C为研究对象，由动能定理可得 该过程摩擦力对C做的功为 （4）A碰后速度为，锁定后与墙相碰后速度为，经过后停止，此时还未与A相碰，故A之后与静止的BC相碰， 得， 接下来A将以与初速度相反的方向匀速直线离开。 大小 变式2．（25-26高三上·安徽·期末）如图甲所示，倾角为的光滑斜面体固定，点固定一拉力传感器，传感器上用一段不可伸长的轻绳拴接一小球，现将小球拉离平衡位置一个小角度，然后将小球由静止释放，小球在斜面上做简谐运动，整个过程拉力传感器的示数随时间的变化规律如图乙所示，不计空气阻力，忽略小球的半径，重力加速度，.求： (1)细绳的长度； (2)小球离开平衡位置时，细绳最大摆角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图乙可知，单摆的周期为 单摆做简谐运动的等效重力加速度为 由单摆的周期公式得 解得 （2）设小球的质量为，最大的摆角为，小球的最大速度为，由图甲可知，小球在最低点时传感器的示数最大，结合图乙可知最大拉力为 由牛顿第二定律得 小球在最高点时，传感器的示数最小，结合图乙可知最小拉力为 得 小球由最高点向最低点运动的过程中，小球的机械能守恒，则有 联立解得 变式3．（2025·江苏·模拟预测）某同学自己制作了一套玩具，利用剖开的半径为R的圆管一部分作为轨道，固定在水平面内，如图所示，弧，长为，在处挖一小洞。游戏时，用弹簧枪将一质量为的小球（比洞略小）沿方向射出，通过控制弹出时的速度大小，可使小球落入洞中，a、b、c、d在同一水平面上，不计一切阻力，小球可视为质点，当地重力加速度为g。若使小球能够进入洞中，求： (1)小球从点射出时可能的速率； (2)发射前，弹簧弹性势能的最大可能值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球的运动可看作沿方向的匀速直线运动和简谐运动的合成，其简谐运动相当于单摆模型，故其简谐运动的周期为 小球要进入洞中，其可能的运动时间为 又因为小球沿方向做匀速直线运动，则小球从点射出时的速率满足 联立解得 （2）当取1时小球弹出的速率最大，即 根据能量守恒定律可知，弹簧弹性势能的最大可能值为 考点三 外力作用下的振动 例1．（2026·辽宁·模拟预测）振动和波存在于我们生活的方方面面，图（a）是救护车在向右行驶，A、B两人都听到了救护车发出的警笛声；图（b）是宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中记录的“古琴正声”实验：剪小纸人放在需要调整音准的弦上，然后拨动另一个音调准确的琴上对应的琴弦，同样地拨动力度下，小纸人晃动越明显代表音调越准确。下列说法正确的是（　　） A．图（a）中，A、B两人听到警笛声的频率相同 B．图（a）中，B听到的警笛声比A听到的更尖锐 C．图（b）“古琴正声”实验的原理是共振 D．图（b）“古琴正声”实验的原理是波的干涉 【答案】C 【详解】AB．根据多普勒效应，图（a）救护车向右运动的过程中，A听到警笛声的频率大于车发出的频率，B听到警笛声的频率小于车发出的频率，因此 则A、B两人听到警笛声的频率不同，音调“尖锐”对应频率更高，A听到的频率更高更尖锐，AB错误； CD．同样地拨动力度下，小纸人晃动越明显代表音调越准确，小纸人所在的琴弦发生了共振，C正确，D错误。 故选C。 例2．（2026·四川成都·二模）某同学自制了一台“地动仪”，他将一个弹簧振子和一个单摆悬挂在天花板上，弹簧振子的弹簧和小球（球中间有孔）都套在固定的光滑竖直杆上。某次有感地震中，震源同时产生频率相同的横波与纵波，“地动仪”恰好位于震源的正上方，他观察到，静止的振子开始振动，时间t后单摆才开始摆动。下列说法正确的是（　　） A．实验现象证明地震波中横波传播得比纵波快 B．单摆的稳定振动频率等于弹簧振子的稳定振动频率 C．增加小球的质量，弹簧振子的稳定振动频率变小 D．若震源产生的纵波和横波的波速分别为、，则震源到“地动仪”的距离为 【答案】B 【详解】A．弹簧振子由纵波驱动，振子先振动说明纵波先到达，即纵波传播速度比横波快，故A错误； B．受迫振动的稳定振动频率等于驱动力的频率，题干明确横波与纵波频率相同，弹簧振子的驱动力为纵波、单摆的驱动力为横波，因此二者稳定振动频率相等，故B正确； C．弹簧振子的稳定振动频率由驱动力（纵波）的频率决定，与小球质量等自身结构参数无关，故C错误； D．设震源到“地动仪”的距离为，纵波传播时间，横波传播时间，且，故时间差 整理得，故D错误。 故选B。 例3．（25-26高三上·江苏常州·月考）如图为港珠澳大桥，为保障大桥安全，需加装一种工程减震装置，叫作调谐质量阻尼器，该装置是一个由弹簧、阻尼器和质量块组成的振动控制系统，附加在需要振动控制的主结构上。主结构在外界作用下产生振动时，能带动减振装置一起振动，当满足一定条件时，能最大限度地降低主结构的振动，达到减振的效果。关于该调谐质量阻尼器下列说法正确的是（　　） A．工作时减震装置与主结构振动周期一定相同 B．调谐质量阻尼器和主结构固有频率相等时，减震效果最好 C．减震质量越大减震效果越好 D．主结构振动时调谐质量阻尼器和主结构振动频率相等 【答案】D 【详解】A．调谐质量阻尼器是受迫振动，在稳态阶段，其振动周期等于主结构的振动周期，但在启动的暂态阶段，周期并不完全相同，故A错误； B．调谐质量阻尼器的固有频率和主结构受迫振动的频率相等时，减震效果最好，故B错误； C．减震质量的大小会影响阻尼器的固有频率，若阻尼器的固有频率和主结构受迫振动的频率差距较大，则不能起到较好的减震效果，故C错误； D．主结构振动时，调谐质量阻尼器做受迫振动，其振动频率和主结构振动频率相等，故D正确。 故选D。 例4．（2026·黑龙江双鸭山·一模·多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力，下列判断正确的是（　　）          A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期 C．若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 【答案】CD 【详解】A．若使M振动起来，其余三个摆都会做受迫振动，从而振动起来，A错误； B．若使N振动起来，其余三个摆都会做受迫振动，其振动周期都等于N摆的振动周期，B错误； C．因M、P固有周期相同，且大于N的固有周期，则若使P振动起来，稳定时M、P发生共振，M的振幅最大，即M比N的振幅大，C正确； D．因O的固有周期为3s，则若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于O的周期，即为3s，D正确。 故选CD。 例5．（2026·湖南·模拟预测·多选）荡秋千是一项少数民族传统体育项目，蕴含了丰富的物理知识。为了将秋千越荡越高，专业运动员会在秋千到达最低点时完全蹲下，达到最高点时完全站起来，如此反复。若蹲下、站起的节奏太快或太慢都会导致秋千越来越低。某秋千可看作一摆长为的单摆，设人质量为60kg，秋千和绳质量不计，初始时候人从最低点以0.5m/s的速度被推出，推出后再开始起立。已知无人时秋千单摆的运动周期为，人从最低点开始站起，再蹲下到最低点的运动周期为，整个运动过程都在可近似为单摆的范围内，忽略空气阻力，重力加速度取，则（　　） A．这一荡秋千的原理类似共振，且 B．不考虑人身高的影响，推出瞬间秋千板对人的支持力为605N C．秋千第一次到达最高点时比推出时升高了1.25cm D． 【答案】BD 【详解】A．若蹲下、站起的节奏太快或太慢都会导致秋千越来越低，表明只有当人蹲下、站起的周期与无人时秋千单摆固有周期之比为一定值时，秋千才会越荡越高，即这一荡秋千的原理类似共振，由于人在秋千到达最低点时完全蹲下，达到最高点时完全站起来，而人从最低点开始站起，再蹲下到最低点的运动周期为，则有 解得，故A错误； B．不考虑人身高的影响，推出瞬间，对人进行分析有 解得F=605N，故B正确； C．秋千和绳质量不计，令秋千第一次到达最高点时，人的重心上升的高度为h，则有 解得h=1.25cm 由于在上述过程中，人由蹲下到站立，人重心上升的高度大于秋千板上升的高度，即秋千第一次到达最高点时比推出时上升的高度小于1.25cm，故C错误； D．根据单摆周期公式有 由于 解得，故D正确。 故选BD。 变式1．（2026·江苏·一模）单摆做阻尼振动的位移-时间图像如图所示，则摆球在P与N时刻相同的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．势能 D．机械能 【答案】C 【详解】从位移-时间图像可知：时刻：位移，时刻：位移，两时刻位移大小相等、方向相反。 A．单摆加速度满足，方向与位移相反。可知摆球在P与N时刻加速度大小相同、方向相反，故加速度不同，A错误； B．动能，由速率决定。阻尼振动中机械能随时间衰减，时刻晚于时刻，总能量更低；且两时刻速度方向相同但速率因阻尼存在差异，故动能不同。B错误； C．重力势能，、时刻对应高度相同，故势能相同，C正确； D．阻尼振动因克服阻力做功，机械能随时间衰减。时刻晚于时刻，故，机械能不同，D错误。 故选C。 变式2．（2026·广东·一模）跳水运动员借助跳板弹力起跳，在起跳前通过周期性上下移动重心以增大跳板振动的振幅，起跳前跳水运动员双脚没有离开跳板，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．跳板的振动频率一定等于跳板的固有频率 B．跳板的振动频率等于跳水运动员重心振动频率 C．跳水运动员应该在动能最大的位置蹬板起跳 D．跳水运动员应该在跳板运动到最高点蹬板起跳 【答案】B 【详解】A．跳板在运动员周期性动作的驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力频率，仅当发生共振时才等于跳板的固有频率，并非一定等于，故A错误； B．运动员双脚始终未离开跳板，二者振动完全同步，因此跳板的振动频率等于运动员重心的振动频率，故B正确； C．运动员动能最大的位置为振动平衡位置，此时跳板形变量小、弹力大小等于重力，蹬板无法获得最大的向上冲量，实际应在跳板最低点（形变量最大、弹力最大）蹬板才能获得最大起跳速度，故C错误； D．跳板运动到最高点时形变量最小、弹力最小，此时蹬板获得的向上作用力极小，且跳板接下来会向下运动，不利于起跳，故D错误。 故选B。 变式3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）兴趣小组利用如图1所示装置研究机械振动，通过手机传感器测量加速度a随时间t变化的图像如图2所示。比较曲线上P、N两点对应的时刻，N时刻（　　） A．小车合外力较大 B．系统机械能较大 C．弹簧弹性势能较大 D．小车动能较大 【答案】C 【详解】A．由图可知，P、N两点加速度相同，由牛顿第二定律可知合外力相等，故A错误； B．由图可知，手机在做阻尼振动，说明有摩擦力作用，从P到N，系统需要克服摩擦力做功，故N点系统机械能较小，故B错误； C．P点加速度在增大，说明小车在远离平衡位置，摩擦力与弹力同向，设形变量为x1，N点加速度在减小，说明小车在靠近平衡位置，摩擦力与弹力反向，设形变量为x2，根据牛顿第二定律可得， 由此可知 则N点弹簧弹性势能较大，故C正确； D．由于N点系统机械能较小，N点弹簧弹性势能较大，则在N点小车动能较小，故D错误。 故选C。 变式4．（25-26高三上·贵州安顺·期末·多选）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（　　） A．只要驱动力足够大，共振就能发生 B．系统的固有频率与驱动力频率无关 C．医学上应用多普勒效应可以测定心脏跳动、血管血流快慢等情况 D．观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率小 【答案】BC 【详解】A．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，故A错误； B．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，故B正确； C．医学上应用多普勒效应，通过测量反射波的频率可以测定心脏跳动、血管血流快慢等情况，故C正确； D．观察者与波源相互靠近时，根据多普勒效应，接收到的波的频率比波源的频率大，故D错误。 故选BC。 变式5．（2026·陕西延安·一模·多选）延安某黄土边坡存在深层蠕滑风险。科研团队部署了一种改进型惯性式位移传感器：将质量为m的金属块通过两根相同的轻质弹簧（劲度系数均为k）水平连接于固定支架两端，初始时系统处于平衡。当边坡发生微小形变时，支架整体产生缓慢位移，而金属块因惯性滞后，其相对位移实际运行中发现，由于黄土颗粒摩擦和空气阻尼，系统存在微弱阻力，且雨季时边坡常受周期性降雨入渗诱发的低频振动激励频率约为（0.2Hz），已知该振子无阻尼固有频率为。下列说法正确的是（　　） A．若忽略阻尼，以地面为参考系，金属块的运动方程为 B．当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅达到最大，可能发生共振 C．由于阻尼存在，系统自由振动的机械能不断减小，但振动周期略大于 D．在长期监测中，若记录到金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，则说明边坡已停止形变且无外部激励 【答案】ACD 【详解】A．金属块与弹簧组成弹簧振子，以地面为参考系，所受回复力为 所以金属块的运动方程为 可得，A正确； B．由于系统存在阻尼，其振幅达到最大时的驱动频率（共振频率）略小于系统的固有频率。因此，当边坡受频率为0.5Hz的外部扰动时，系统振幅很大，但并非达到最大值，B错误； C．在有阻尼的自由振动中，系统因克服阻力做功导致机械能不断减小。同时，阻尼会使振动周期延长，使其略大于系统的无阻尼固有周期，C正确； D．金属块相对位移呈指数衰减的正弦波，系统的振动为阻尼振动，系统的机械能逐渐转为内能，阻尼振动最终会停下来，说明边坡已停止形变且无外部激励，D正确。 故选ACD。 2 学科网（北京）股份有限公司 $