带电粒子在匀强电场中的偏转3类高频考点 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

带电粒子在匀强电场中的偏转3类高频考点专项训练 带电粒子在匀强电场中的偏转3类高频考点专项训练 考点目录 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 带电粒子在匀强电场中做非平抛曲线运动 带电粒子在周期性变化的电场运动的相关计算 考点一 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 例1．（2026·河北沧州·一模）空间有一边长为L的立方体 ，O为 的中点，以O为原点建立空间坐标系O-xyz，AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度射出，M点的坐标为粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小 (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O'到O点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 例2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以速度水平向右射出，经电场偏转后从点进入第四象限，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点进入第四象限的速度大小和方向； (3)在第一、三、四象限的某个矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，粒子在该磁场中偏转后能垂直轴指向点再次进入第二象限，求该矩形磁场区域的最小面积和对应的磁感应强度大小。 例3．（25-26高二下·广东深圳·期中）2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER-750H）成功出束，离子注入技术（IonImplantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在直角坐标系平面内，挡板与轴垂直放置，轴下方存在沿轴正方向的电场强度为的匀强电场，第一象限内挡板的左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场。位于点的离子源可沿轴正方向发射初速度为的带正电的离子，已知离子恰好过坐标原点进入磁场，离子第1次从点离开磁场，挡板与轴间的距离为，离子打到挡板上即被挡板所吸收，不计粒子的重力。求： (1)离子的比荷。 (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 (3)离子从点开始运动到打到挡板上所用的时间。 变式1．（2026·四川广元·三模）如图所示，一个位于轴上方带电的平行板电容器，极板长度为、极板间距为，电容器的右极板与轴重合且下端在原点，轴右侧有一与轴平行的虚线，在轴和虚线之间存在垂直于平面的匀强磁场，轴上方磁场方向垂直纸面向外，轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为、电荷量为、不计重力的带电粒子沿轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端射入磁场中。 (1)计算电容器两极板间电场强度的大小； (2)若粒子从点进入磁场经轴上方磁场偏转（未到达虚线）后不会打到电容器的右极板上，求轴上方磁场的磁感应强度应满足什么条件； (3)若轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为，粒子在轴上方做半径为的圆周运动到达轴时从点（图中未画出）进入轴下方磁场。若要粒子垂直于虚线离开磁场，计算虚线与轴之间的最短距离。 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构简化如图所示， 方向足够长，晶圆 (截面为直线 ) 固定放置于 坐标系的第一象限内， 点和 点到原点 的距离均为 。OMN 区域内有匀强磁场，磁感应强度 ，方向沿 轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强 ，方向沿 轴负方向。初速度可忽略的氩离子 (比荷 ) 经电压为 的电场加速后，从距 轴 的 点沿 轴正方向进入匀强电场 中，恰好打到位于原点 处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的带正电的金属离子 从 点沿各个方向飞入磁场区域，速度大小均为 ，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1) 点的纵坐标 ； (2)晶圆 方向上的镀膜(金属离子打中的区域) 长度; (3)打在晶圆上且用时间最短的粒子在磁场中运动轨迹的圆心角的正弦值。 变式3．（2026·广东中山·三模）如图所示，光滑的水平桌面上，平行于y轴方向放置一根空心光滑绝缘细管PQ，P端位于x轴上，管内有一质量为m、带电量为+q的小球。在第一象限内平行于x轴的虚线与x轴之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场区域宽度与细管长度相等，大小均为。开始时小球位于细管内P端且相对细管静止，某时刻细管PQ沿x轴正方向做匀速直线运动，以速率u进入磁场，之后在外力作用下仍保持原速做匀速运动且细管始终与y轴平行。 (1)求小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度v1； (2)从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q，求管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式； (3)小球离开Q端后恰好从a点进入方向水平向左的匀强电场区域内，该区域在桌面上的边界为矩形abcd，已知ab边与虚线重合，ab=L，，从小球进入电场区域到离开的过程中，求电场力对小球做的功W与场强E的关系。 考点二 带电粒子在匀强电场中做非平抛曲线运动 例1．（25-26高三上·陕西·月考）如图所示，在xOy直角坐标系中，第二象限有曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场Ⅰ。曲线左侧有粒子发射器CD，粒子由C极不间断地无初速逸出，经电场加速后，从金属网D以速度沿x轴正方向射出。所有粒子经过电场I都能到达原点O，且速度方向与x轴正方向的最大夹角为53°，然后进入第四象限的电场Ⅱ。已知粒子的电荷量为+q，质量为m，重力忽略不计，，，金属网D出射的粒子均匀分布。 (1)求粒子发射器CD间的电压U； (2)求匀强电场Ⅰ的场强的大小； (3)电场Ⅱ方向竖直向上，场强大小随y坐标的变化满足（k为定值，y为某点到x轴的距离）。若只有一半的粒子能到达平行于x轴的荧光屏MN（屏足够大），求屏MN与x轴的间距d。 例2．（2025·四川乐山·一模）如图所示，在水平平面的第Ⅱ象限内，有一个管径可忽略的半圆形固定绝缘细管道，在轴上方有竖直向上的匀强电场，轴下方有水平向左的匀强电场。一可视为质点的质量为、带电量为的粒子，以初速度从点出发，在管道内无摩擦地运动。当粒子运动到细管道最高点时，动能减小二分之一。已知细管道的半径为，（、均未知），不计粒子重力和一切阻力。 (1)判断粒子的电性，并说明理由； (2)在坐标为处垂直于轴放置一个无限大的绝缘挡板，不计挡板厚度，求粒子第一次到达挡板上表面时的动能； (3)在满足（2）问的情况下，粒子与挡板碰撞时间极短，且每次碰撞后垂直挡板方向的速度大小不变、方向相反，沿挡板方向的速度保持不变，求粒子第5次通过轴正方向的位置坐标。 例3．（25-26高三上·广东·月考）如图所示，在竖直平面内建立xOy平面直角坐标系，x轴沿水平方向，在区域存在沿x轴正方向的匀强电场，在区域存在沿y轴负方向匀强电场，且大小，在x轴上放置一块足够长的水平极板。将一带正电粒子从处静止释放，粒子击中极板后可被反弹。已知粒子质量为，电荷量为，粒子与极板之间的摩擦因数为，不计粒子重力，设碰撞时间极短，支持力远大于电场力。求： (1)带电粒子第一次击中极板的时间及位置； (2)若每次反弹时，粒子竖直方向速率不变，求粒子沿x轴所能达到的最远位置； (3)若每次反弹时，粒子竖直方向速率变为原来的，求粒子沿x轴所能达到的最远位置。 变式1．（25-26高三上·云南大理·月考）如图所示，在真空中，有一半径为的圆，圆心为，为该圆的六等分点，该圆处在与其所在平面平行的匀强电场（图中未画出）中。将一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计受到的重力）从点沿不同方向（在该圆所处的平面内）以大小为的速度射出后，粒子再次与圆相交时，通过点的速度最大，且为。 (1)求该匀强电场的电场强度大小和方向； (2)求粒子运动到点时的速度大小； (3)通过计算说明粒子是否能通过点。 变式2．（24-25高三上·山东青岛·期中）在平行于纸面的匀强电场中，有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从A点以的速度水平抛出，以竖直向下的速度v0经过B点，然后再经过C点。AB连线的距离为d，C点在A点的正下方，粒子初速度方向与AB连线的夹角θ=30°。不计粒子重力，求： (1)电场强度E； (2)从A点到粒子速度最小时的时间t和此时离A点的距离s； (3)AC之间的距离h和粒子经过C点速度的大小vC。 变式3．（2025·河南新乡·模拟预测）在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有固定在O点处的点电荷产生的电场E1（大小未知），该点电荷的电荷量为-Q，且只考虑该点电荷在第一象限内产生的电场；第二象限内有水平向右的匀强电场E2（大小未知）；第四象限内有大小为，方向按图乙周期性变化的电场E3，以水平向右为正方向，变化周期。一质量为m，电荷量为+q的离子从点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动，由x轴处离开第一象限。以离子到达x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力。求： (1)离子在第一象限运动时速度大小v0和第二象限电场E2的大小； (2)当时，离子速度的大小和方向； (3)当时，离子的坐标。 考点三 带电粒子在周期性变化的电场运动的相关计算 例1．（2026·辽宁·二模）如图甲所示，足够宽的金属板M、N水平正对平行放置，金属板长，两板间距，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，两板间加上如图乙所示的周期性电压，带电时M板带正电。时，一个质量、电荷量的带正电粒子，以的速度从距M板2.5cm的A处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间。不计粒子重力，取，计算结果均保留3位有效数字。 (1)求带电粒子在内位移大小； (2)求带电粒子在两板间运动所经历的时间； (3)若撤去两板间所加的电压并将匀强磁场方向变为水平向右（磁感应强度大小不变），在A处放一粒子源，粒子源可在平行纸面的平面内向各个方向发射速率均为的题干中的带电粒子，求带电粒子在两板间运动的最长时间。 例2．（24-25高二上·安徽滁州·期末）利用电场控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。某种研究带电粒子运动的部分简化模型如图甲所示，xOy平面内存在着平行于y轴方向的匀强电场（图中未画出）。时刻，一带电粒子从y轴上的P点以大小为的初速度沿x轴正方向进入电场，电场强度E随时间t的变化如图乙所示。已知O、P两点之间的距离为，粒子在时刻从Q点以与x轴正方向成的角第一次穿过x轴，时刻粒子所在位置的y坐标也为L，粒子在电场中运动时仅受电场力作用。求： (1)Q点的坐标； (2)图乙中与的比值； (3)时刻粒子的速度大小和时刻粒子的位置坐标。 例3．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）如图甲所示，第二象限的矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小。零时刻时，有一带正电粒子从点入射，入射速度大小，方向与水平方向夹角为，粒子从轴上点沿轴正方向射出，进入位于第一象限的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子在辐向电场中恰好做匀速圆周运动，粒子运动轨迹处的电场强度的大小为。粒子从点进入第四象限的交变电场中，交变电场强度随时间的变化关系如图乙所示，规定轴负方向为电场强度的正方向，在点下方处有一粒子收集器，粒子进入收集器后停止运动。已知粒子的电荷量、质量，重力不计，求： (1)点到轴的距离（结果用表示）； (2)粒子在第一象限中运动的轨迹半径（结果用表示）； (3)粒子整个运动过程所用时间。 变式1．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 变式2．（25-26高三上·广西百色·期末）在粒子加速器设计、等离子体物理实验或空间带电粒子探测等科研与工程领域中，精确分析带电粒子在电磁复合场中的运动轨迹至关重要。通过调控电场和磁场的分布与变化，可以实现粒子的加速、偏转、筛选和约束。在如图甲所示的坐标平面内充满如图乙所示的交变电场（图中未画出），已知电场正方向沿轴负方向，电场强度大小为，坐标平面在第一、四象限中有如图所示垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为，现有一个质量为，带电量为的带电粒子在时以初速度大小为从图中点沿轴正方向射入场区，恰好在时到达坐标原点，且速度方向沿轴正方向，不计带电粒子重力，已知，，计算结果中可以含有。 (1)求点的位置坐标； (2)求带电粒子在时刻的位置坐标，并求带电粒子在到时间内离轴的最远距离。 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图1所示，电子枪在P处每秒钟逸出1×1015个初速为0的电子，经U1=180V的电压加速后射入偏转电场的左侧中点。偏转电场的极板长度l=4.0cm，板间宽度为d=2.0cm，偏转电压U2=180sin100πt(V)，见图2，图1中MN为足够大的荧光屏。已知电子质量，带电量，不计电子重力。求： (1)射出加速电场时电子束电流I； (2)电子通过偏转电场所需的运动时间t； (3)1s内能击中荧光屏的电子占所有电子的比例。 2 学科网（北京）股份有限公司 $带电粒子在匀强电场中的偏转3类高频考点专项训练 带电粒子在匀强电场中的偏转3类高频考点专项训练 考点目录 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 带电粒子在匀强电场中做非平抛曲线运动 带电粒子在周期性变化的电场运动的相关计算 考点一 带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算 例1．（2026·河北沧州·一模）空间有一边长为L的立方体 ，O为 的中点，以O为原点建立空间坐标系O-xyz，AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度射出，M点的坐标为粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小 (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O'到O点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知粒子在匀强电场中做类平抛运动，x方向有 y方向有 解得 （2）粒子经过O点时沿y轴方向的速度 粒子在磁场中在平面内做圆周运动，有 粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 由几何关系可知粒子的轨迹半径 解得 （3）粒子在磁场中做圆周运动有 解得 粒子做圆周运动的周期 同时沿x轴做匀速直线运动，所以 所以粒子垂直z轴沿方向离开磁场区域，经过 后落到荧光屏上，粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 所以粒子落到荧光屏上位置的z坐标 y坐标 所以该位置的坐标为 例2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以速度水平向右射出，经电场偏转后从点进入第四象限，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点进入第四象限的速度大小和方向； (3)在第一、三、四象限的某个矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，粒子在该磁场中偏转后能垂直轴指向点再次进入第二象限，求该矩形磁场区域的最小面积和对应的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2)速度大小为，方向为与x轴正方向成角斜向右下 (3)最小面积为，磁场大小为 【详解】（1）粒子在第二象限做类平抛运动。水平方向（x方向）匀速运动 得运动时间 竖直方向（y方向）匀加速运动 加速度 将和代入竖直方向公式 化简得 （2）粒子到达O点时，竖直分速度 合速度大小 设速度与x轴正方向的夹角为，向下为正 解得 即速度方向为与x轴正方向成角斜向右下。 （3）粒子进入磁场后做逆时针匀速圆周运动（正电荷，磁场向里），洛伦兹力提供向心力 即 根据题意，粒子偏转后出磁场速度水平向左，匀速运动后指向P点（P纵坐标为），因此出磁场后速度沿向左，可得圆周运动出射点纵坐标为。结合几何关系（O点速度方向为向下，出射速度向左，圆心坐标为，出射点坐标为），得 即​ 将、代入得 解得 求最小矩形面积。由几何关系，矩形长为，宽为 因此面积为 将​代入得 例3．（25-26高二下·广东深圳·期中）2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER-750H）成功出束，离子注入技术（IonImplantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在直角坐标系平面内，挡板与轴垂直放置，轴下方存在沿轴正方向的电场强度为的匀强电场，第一象限内挡板的左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场。位于点的离子源可沿轴正方向发射初速度为的带正电的离子，已知离子恰好过坐标原点进入磁场，离子第1次从点离开磁场，挡板与轴间的距离为，离子打到挡板上即被挡板所吸收，不计粒子的重力。求： (1)离子的比荷。 (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 (3)离子从点开始运动到打到挡板上所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从A到O点，在匀强电场中做类平抛运动，在水平方向，有， 在竖直方向，有， 根据牛顿第二定律，有 联立解得 （2）粒子到达点时沿轴方向的分速度大小为，则    粒子进入磁场时的速度与轴夹角满足    可得 粒子进入磁场时的速度大小    由几何关系得粒子在磁场中运动轨迹半径    粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有    联立解得 （3）粒子从A点到O点的时间    粒子在磁场中运动周期    由对称性知，粒子第一次出磁场后，在电场中做类平抛运动，在方向运动，再次进入磁场中沿方向运动第二次出磁场又在电场中沿方向运动第三次进入磁场，在磁场中沿方向运动距离    打到挡板上，可知粒子第三次在磁场中运动轨迹圆心角为打到挡板上。粒子从A点开始运动到打到挡板上，在电场中运动总时间为    在磁场中运动总时间    则离子从点开始运动到打到挡板上所用的时间    解得 变式1．（2026·四川广元·三模）如图所示，一个位于轴上方带电的平行板电容器，极板长度为、极板间距为，电容器的右极板与轴重合且下端在原点，轴右侧有一与轴平行的虚线，在轴和虚线之间存在垂直于平面的匀强磁场，轴上方磁场方向垂直纸面向外，轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为、电荷量为、不计重力的带电粒子沿轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端射入磁场中。 (1)计算电容器两极板间电场强度的大小； (2)若粒子从点进入磁场经轴上方磁场偏转（未到达虚线）后不会打到电容器的右极板上，求轴上方磁场的磁感应强度应满足什么条件； (3)若轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为，粒子在轴上方做半径为的圆周运动到达轴时从点（图中未画出）进入轴下方磁场。若要粒子垂直于虚线离开磁场，计算虚线与轴之间的最短距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动 沿轴方向 ，其中   沿轴方向   联立可解得 （2）粒子到达点时的速度 解得 设粒子在点时的速度方向与轴方向夹角为,有 解得   粒子从进入磁场经磁场偏转后不会打到电容器的右极板上，需要粒子进入轴下方磁场，临界条件是粒子轨迹与轴相切，设此时粒子的运动的半径为，则粒子与轴相切时 有   粒子与轴相切时，对应磁感应强度的最大值为 有   解得 所以磁感应强度应满足 （3）当粒子在轴上方轨迹半径为时，有   在下方磁场区域内有   解得   画出粒子的运动轨迹，如图所示 在中，   即刚好为圆的直径，设粒子在点时速度方向与轴负方向成角，根据几何关系 可知   由轨迹可知，粒子有可能在轴上方或下方垂直打在上，也有可能上下转动多次后打在上。 圆心到轴的距离 圆对应轨迹到轴的最远距离 因，可知不可能位于位置。 只有当位于位置时，粒子在轴的上方垂直打到上，刚好满足题设条件的最短距离。   注：判断粒子从哪一个位置离开磁场给1分。 根据几何关系可知三个圆心组成的为等边三角形 最短距离 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构简化如图所示， 方向足够长，晶圆 (截面为直线 ) 固定放置于 坐标系的第一象限内， 点和 点到原点 的距离均为 。OMN 区域内有匀强磁场，磁感应强度 ，方向沿 轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强 ，方向沿 轴负方向。初速度可忽略的氩离子 (比荷 ) 经电压为 的电场加速后，从距 轴 的 点沿 轴正方向进入匀强电场 中，恰好打到位于原点 处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的带正电的金属离子 从 点沿各个方向飞入磁场区域，速度大小均为 ，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1) 点的纵坐标 ； (2)晶圆 方向上的镀膜(金属离子打中的区域) 长度; (3)打在晶圆上且用时间最短的粒子在磁场中运动轨迹的圆心角的正弦值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）氩离子先经加速电场加速，由动能定理 进入第二象限匀强电场后做类平抛运动，方向匀速 方向匀加速有 其中加速度 联立解得 （2）金属离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 设速度方向与正方向夹角为，圆心坐标为，轨迹方程与（）联立。当时，交点为，即上最大值为（可打到点）； 当时，交点为，即上最小值为。 倾斜，镀膜长度为两点间距 （3）粒子在磁场中周期 所有粒子周期相同，运动时间 因此时间最短对应圆心角最小。弦长 最小对应弦长最短，到的最短距离为到的垂线段，即 对圆心三角形（），由余弦定理 可得 因此 变式3．（2026·广东中山·三模）如图所示，光滑的水平桌面上，平行于y轴方向放置一根空心光滑绝缘细管PQ，P端位于x轴上，管内有一质量为m、带电量为+q的小球。在第一象限内平行于x轴的虚线与x轴之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场区域宽度与细管长度相等，大小均为。开始时小球位于细管内P端且相对细管静止，某时刻细管PQ沿x轴正方向做匀速直线运动，以速率u进入磁场，之后在外力作用下仍保持原速做匀速运动且细管始终与y轴平行。 (1)求小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度v1； (2)从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q，求管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式； (3)小球离开Q端后恰好从a点进入方向水平向左的匀强电场区域内，该区域在桌面上的边界为矩形abcd，已知ab边与虚线重合，ab=L，，从小球进入电场区域到离开的过程中，求电场力对小球做的功W与场强E的关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由分析可知，小球进入磁场后，在洛伦兹力的作用下沿y轴方向从静止开始做匀加速直线运动，设其加速度为a，则根据牛顿第二定律有 解得 设细管的长度为l，则根据运动学公式有 解得小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度为 （2）从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q的过程中，设小球的运动时间为t0，则根据运动学公式有 解得 小球沿y轴方向做匀加速直线运动的速度表达式为 则小球受到的洛伦兹力沿x轴方向的分力为 设管壁对小球的弹力为N，由于沿x轴方向小球受力平衡，则有 所以管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式为 （3）小球进入匀强电场区域后，沿y轴方向不受力，将以的速度做匀速直线运动；小球沿x轴方向将做匀变速直线运动，设其加速度大小为a1，则根据牛顿第二定律有 解得 若小球从cd边离开，则小球运动的时间为 同时小球在沿x轴方向的位移应满足 根据运动学公式有 联立解得 则此时电场力对小球做的功为 由分析可知，当时，小球将从bc边离开，则此时小球沿x轴方向的位移为 所以电场力对小球做的功为 当时，小球将从ad边离开，则此时小球沿x轴方向的位移为 所以电场力对小球做的功为 综上所述，电场力对小球做的功W与场强E的关系为：当时，；当时，；当时，。 考点二 带电粒子在匀强电场中做非平抛曲线运动 例1．（25-26高三上·陕西·月考）如图所示，在xOy直角坐标系中，第二象限有曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场Ⅰ。曲线左侧有粒子发射器CD，粒子由C极不间断地无初速逸出，经电场加速后，从金属网D以速度沿x轴正方向射出。所有粒子经过电场I都能到达原点O，且速度方向与x轴正方向的最大夹角为53°，然后进入第四象限的电场Ⅱ。已知粒子的电荷量为+q，质量为m，重力忽略不计，，，金属网D出射的粒子均匀分布。 (1)求粒子发射器CD间的电压U； (2)求匀强电场Ⅰ的场强的大小； (3)电场Ⅱ方向竖直向上，场强大小随y坐标的变化满足（k为定值，y为某点到x轴的距离）。若只有一半的粒子能到达平行于x轴的荧光屏MN（屏足够大），求屏MN与x轴的间距d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在CD间加速，根据动能定理             解得 （2）粒子在电场Ⅰ中运动到O点的过程中，沿方向做匀速运动，有 沿方向做匀加速运动，有， 又曲线方程满足 联立解得 （3）所有粒子经过电场Ⅰ都能到达原点O，且速度方向与x轴正方向的最大夹角为53°，此时有 粒子在电场Ⅰ中沿方向做匀变速直线运动，有 联立解得 有一半粒子可以达到荧光屏，即长度处出射的粒子恰好到达荧光屏；处出射的粒子经过电场Ⅰ到达O处时，有 这些粒子再到达荧光屏时，速度恰好为，且方向平行于x轴；根据动能定理可得 其中                                                         联立解得屏MN与x轴的间距为 例2．（2025·四川乐山·一模）如图所示，在水平平面的第Ⅱ象限内，有一个管径可忽略的半圆形固定绝缘细管道，在轴上方有竖直向上的匀强电场，轴下方有水平向左的匀强电场。一可视为质点的质量为、带电量为的粒子，以初速度从点出发，在管道内无摩擦地运动。当粒子运动到细管道最高点时，动能减小二分之一。已知细管道的半径为，（、均未知），不计粒子重力和一切阻力。 (1)判断粒子的电性，并说明理由； (2)在坐标为处垂直于轴放置一个无限大的绝缘挡板，不计挡板厚度，求粒子第一次到达挡板上表面时的动能； (3)在满足（2）问的情况下，粒子与挡板碰撞时间极短，且每次碰撞后垂直挡板方向的速度大小不变、方向相反，沿挡板方向的速度保持不变，求粒子第5次通过轴正方向的位置坐标。 【答案】(1)带负电，见解析 (2) (3) 【详解】（1）粒子带负电。粒子从A点运动到B点，动能减小二分之一，故电场力对粒子做负功，电场力方向与电场强度方向相反，所以粒子带负电。 （2）粒子从A点运动到B点，由动能定理可得 又 可得 在第Ⅳ象限做曲线运动，可分解为沿方向的匀速直线运动和方向的匀加速直线运动，有，，， 可得 （3）粒子过O点后，在第Ⅳ象限沿着方向做匀速直线运动和方向做匀加速直线运动；在第Ⅰ象限沿着轴方向做匀变速直线运动和方向做匀速直线运动，在第Ⅰ象限向上做减速运动时有， 粒子第5次穿过轴正方向时，在第Ⅳ象限运动时间为 在第Ⅰ象限运动时间为 在第Ⅳ象限，沿着水平方向一直加速，有 在第Ⅳ象限，沿着水平方向有两段速度不同的匀速直线运动，有 综上有 故粒子第5次经过轴正方向时的位置坐标为 例3．（25-26高三上·广东·月考）如图所示，在竖直平面内建立xOy平面直角坐标系，x轴沿水平方向，在区域存在沿x轴正方向的匀强电场，在区域存在沿y轴负方向匀强电场，且大小，在x轴上放置一块足够长的水平极板。将一带正电粒子从处静止释放，粒子击中极板后可被反弹。已知粒子质量为，电荷量为，粒子与极板之间的摩擦因数为，不计粒子重力，设碰撞时间极短，支持力远大于电场力。求： (1)带电粒子第一次击中极板的时间及位置； (2)若每次反弹时，粒子竖直方向速率不变，求粒子沿x轴所能达到的最远位置； (3)若每次反弹时，粒子竖直方向速率变为原来的，求粒子沿x轴所能达到的最远位置。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子加速过程，有 解得， 粒子偏转过程，有 ， 则第一次击中极板的位置 第一次击中极板的时间 （2）由于每次反弹时，粒子竖直方向速度大小不变，即每次支持力的冲量相同，水平方向摩擦力的冲量不变，即水平方向动量变化和速度变化量不变。 竖直方向动量定理： 设每次反弹水平方向速度减小量为，水平方向动量定理： 即有： 即每次反弹过程中，水平速度减小1m/s，则经3次反弹，水平速度减为0，之后小球只做竖直方向的弹跳过程。 且有相邻两次碰撞时间为 则有水平方向总位移为 则全过程水平方向位移为 （3）反弹过程，竖直方向存在速度衰减，呈等比数列分布； 设第n次反弹前竖直方向速度为，即有 对第n次反弹过程竖直方向动量定理 设第n次碰撞过程中水平方向速度减小量为，即有 则由第1次反弹到第n次反弹过程中，水平方向速度减小总量为 则第n次反弹后水平方向速度为 联立解得 由第n次反弹到第次反弹的时间间隔为 由第n次反弹到第次反弹的水平位移为 则粒子弹跳过程中水平总位移为： 联立解得：，当n趋近于无穷时， 当n趋近于无穷时，，，即粒子竖直方向不再弹起，水平方向速度减为1.5m/s，之后粒子在水平面上继续匀减速运动，且加速度大小为，则匀减速位移为 则最终水平总位移为 变式1．（25-26高三上·云南大理·月考）如图所示，在真空中，有一半径为的圆，圆心为，为该圆的六等分点，该圆处在与其所在平面平行的匀强电场（图中未画出）中。将一质量为、电荷量为的带正电粒子（不计受到的重力）从点沿不同方向（在该圆所处的平面内）以大小为的速度射出后，粒子再次与圆相交时，通过点的速度最大，且为。 (1)求该匀强电场的电场强度大小和方向； (2)求粒子运动到点时的速度大小； (3)通过计算说明粒子是否能通过点。 【答案】(1)，方向由点指向点 (2) (3)见解析 【详解】（1）由题意可知从到过，电场力做功最大，则点到圆周上各点中，、两点距离沿电场方向距离最大，故电场方向与过点的切线垂直，如图所示 即电场强度的方向由点指向点；由几何关系可知，点到点沿电场线方向的距离 根据动能定理有 解得 （2）由几何关系可知，从点到点沿电场线方向的距离 根据动能定理有 解得 （3）假设粒子能通过点，设粒子从点射出时与连线成角，粒子从点运动到点的时间为，沿方向做匀速直线运动，有 由几何关系可知，从点到点的距离 沿电场线方向有， 代入数据可得 解得 可知等式不成立，即粒子不能通过点。 变式2．（24-25高三上·山东青岛·期中）在平行于纸面的匀强电场中，有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从A点以的速度水平抛出，以竖直向下的速度v0经过B点，然后再经过C点。AB连线的距离为d，C点在A点的正下方，粒子初速度方向与AB连线的夹角θ=30°。不计粒子重力，求： (1)电场强度E； (2)从A点到粒子速度最小时的时间t和此时离A点的距离s； (3)AC之间的距离h和粒子经过C点速度的大小vC。 【答案】(1)，E与水平方向的夹角为30° (2)， (3)， 【详解】（1）设在水平方向的加速度为a1，则有 在竖直方向上的加速度为a2，则有 因为，， 联立解得 E与水平方向的夹角β，则有 可知E与水平方向的夹角为30°。 （2）将初速度沿着E的方向分解有 解得 则 垂直于E的方向 故 （3）在C点，带电粒子在水平方向上 竖直方向上有 联立解得 因为 联立解得 因为 故 变式3．（2025·河南新乡·模拟预测）在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有固定在O点处的点电荷产生的电场E1（大小未知），该点电荷的电荷量为-Q，且只考虑该点电荷在第一象限内产生的电场；第二象限内有水平向右的匀强电场E2（大小未知）；第四象限内有大小为，方向按图乙周期性变化的电场E3，以水平向右为正方向，变化周期。一质量为m，电荷量为+q的离子从点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动，由x轴处离开第一象限。以离子到达x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力。求： (1)离子在第一象限运动时速度大小v0和第二象限电场E2的大小； (2)当时，离子速度的大小和方向； (3)当时，离子的坐标。 【答案】(1)； (2)；方向与水平方向倾斜向下的夹角 (3) 【详解】（1）在第一象限内，由库仑力提供离子圆周运动的向心力 解得 在第二象限内，只有电场力对离子做功，由动能定理得 解得 （2）离子在方向有公式， 在时，离子的合速度 ，则与水平方向倾斜向下的夹角 （3）一个周期内，离子在x方向的平均速度离子在x方向前进 根据乙图中场强的变化规律可判断，y方向上做匀速直线运动，x方向上第一个半个周期向右匀加速运动，第二个半个周期向右匀减速运动，当t=T时速度恰减为零，之后重复此运动过程，其轨迹如图所示 每半个周期沿x正方向运动的距离均相等 因为开始计时时离子坐标为x0，所以2T时， 离子的横坐标为 纵坐标为 在nT时离子的坐标为 考点三 带电粒子在周期性变化的电场运动的相关计算 例1．（2026·辽宁·二模）如图甲所示，足够宽的金属板M、N水平正对平行放置，金属板长，两板间距，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，两板间加上如图乙所示的周期性电压，带电时M板带正电。时，一个质量、电荷量的带正电粒子，以的速度从距M板2.5cm的A处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间。不计粒子重力，取，计算结果均保留3位有效数字。 (1)求带电粒子在内位移大小； (2)求带电粒子在两板间运动所经历的时间； (3)若撤去两板间所加的电压并将匀强磁场方向变为水平向右（磁感应强度大小不变），在A处放一粒子源，粒子源可在平行纸面的平面内向各个方向发射速率均为的题干中的带电粒子，求带电粒子在两板间运动的最长时间。 【答案】(1)6.28cm/ (2) (3) 【详解】（1）粒子进入电磁场区域后所受电场力 所受洛伦兹力 因为 所以粒子在内做匀速直线运动，其位移 代入数据解得 （2）经分析，粒子在有电场时做匀速直线运动，在无电场时做逆时针方向的匀速圆周运动，设圆周运动半径为，周期为，则 解得， 分析粒子运动过程可知，粒子在内位移 因为此时粒子距板右端 所以粒子从开始到即将从金属板右端离开的运动轨迹，如下图所示 设后，粒子再经离开磁场，内轨迹圆弧对应的圆心角为，则 解得 所以 所以粒子从射入到射出金属板所用时间 （3）经分析，初速度方向与磁场方向夹角为的粒子做等距螺旋运动。在不碰到金属板的粒子中，角越大，粒子在两板间运动的时间越长 设等距螺旋线截面圆的半径为，则能从金属板右端离开的粒子半径满足 设截面圆半径最大的粒子的初速度与磁场方向夹角为，将粒子初速度沿磁场和垂直磁场两个方向分解，有 即 解得 所以 所以粒子在两板间运动的最长时间 代入数据解得 例2．（24-25高二上·安徽滁州·期末）利用电场控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。某种研究带电粒子运动的部分简化模型如图甲所示，xOy平面内存在着平行于y轴方向的匀强电场（图中未画出）。时刻，一带电粒子从y轴上的P点以大小为的初速度沿x轴正方向进入电场，电场强度E随时间t的变化如图乙所示。已知O、P两点之间的距离为，粒子在时刻从Q点以与x轴正方向成的角第一次穿过x轴，时刻粒子所在位置的y坐标也为L，粒子在电场中运动时仅受电场力作用。求： (1)Q点的坐标； (2)图乙中与的比值； (3)时刻粒子的速度大小和时刻粒子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，粒子经过Q点时，竖直方向的速度大小 竖直方向粒子做匀加速直线运动，则有 时间内，粒子沿x轴做匀速直线运动，则有 联立解得 则Q点的坐标为 （2）粒子沿y方向做匀加速直线运动，时间内，则有， 结合牛顿第二定律可得 解得， 同理可得，在时间内 结合题意可得 联立解得 （3）设时刻粒子沿y方向的速度，选取竖直向上的方向为正方向，结合题意可得 即时刻粒子沿y方向的速度大小为，方向竖直向上，则时刻粒子的速度大小为 时刻，粒子沿y轴方向的速度 粒子在时间内沿y轴方向的位移大小 时刻，粒子的y坐标为 粒子的x坐标为 即时刻粒子的位置坐标为 例3．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）如图甲所示，第二象限的矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小。零时刻时，有一带正电粒子从点入射，入射速度大小，方向与水平方向夹角为，粒子从轴上点沿轴正方向射出，进入位于第一象限的辐向电场，电场线沿半径方向指向圆心。粒子在辐向电场中恰好做匀速圆周运动，粒子运动轨迹处的电场强度的大小为。粒子从点进入第四象限的交变电场中，交变电场强度随时间的变化关系如图乙所示，规定轴负方向为电场强度的正方向，在点下方处有一粒子收集器，粒子进入收集器后停止运动。已知粒子的电荷量、质量，重力不计，求： (1)点到轴的距离（结果用表示）； (2)粒子在第一象限中运动的轨迹半径（结果用表示）； (3)粒子整个运动过程所用时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带正电粒子从A点入射进入磁场中，洛伦兹力提供向心力 由几何关系可得 解得 （2）粒子在辐向电场中恰好做匀速圆周运动，设粒子在第一象限中运动的轨迹半径为R，电场力提供向心力 解得 （3）带电粒子在第二象限的磁场中运动时间 解得 带电粒子在第一象限的电场中运动时间 解得 由以上分析可知带电粒子在时，进入到电场E2中 根据牛顿第二定律，设带电粒子减速到0所用时间为，位移为 速度时间关系，位移时间关系 解得， 此时带电粒子距离收集器的距离，画出带电粒子在交变电场中的运动图像如图所示 带电粒子从开始向下做匀加速直线运动，设在一个周期内的位移为 图像与坐标轴所围的面积表示位移 因，所以带电粒子从起，再运动两个周期，恰好达到收集器处。 粒子运动的总时间为 变式1．（2026·安徽淮南·一模）如图甲所示，电子加速器的加速电压为，大量电子由静止加速后，不断地从两板正中间沿水平方向射入偏转电场。两板不带电时，电子通过两板的时间为，当在两板间加如图乙所示的周期为最大值为未知）的变化电压时，偏移量最大的电子恰从两极板右边缘射出。时刻，上极板带正电，两极板间距为，电子的电荷量为，质量为，不计电子重力和它们之间相互作用力。 (1)求偏转电场的板长。 (2)求偏转电压的最大值； (3)在时刻进入偏转电场的电子，求离开偏转电场时竖直方向偏移量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 粒子进入偏转电场后，水平方向有 联立得 （2）时刻入射的电子 根据牛顿第二定律 联立得 （3）粒子进入偏转电场后向上运动 速度减为零后，向下运动 时间段内的总偏移 由（2） 联立得 变式2．（25-26高三上·广西百色·期末）在粒子加速器设计、等离子体物理实验或空间带电粒子探测等科研与工程领域中，精确分析带电粒子在电磁复合场中的运动轨迹至关重要。通过调控电场和磁场的分布与变化，可以实现粒子的加速、偏转、筛选和约束。在如图甲所示的坐标平面内充满如图乙所示的交变电场（图中未画出），已知电场正方向沿轴负方向，电场强度大小为，坐标平面在第一、四象限中有如图所示垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为，现有一个质量为，带电量为的带电粒子在时以初速度大小为从图中点沿轴正方向射入场区，恰好在时到达坐标原点，且速度方向沿轴正方向，不计带电粒子重力，已知，，计算结果中可以含有。 (1)求点的位置坐标； (2)求带电粒子在时刻的位置坐标，并求带电粒子在到时间内离轴的最远距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）粒子在方向做匀速运动，则方向的位移 在方向，由牛顿第二定律得 由对称可得，在方向的位移 点的位置坐标为 （2）经分析，粒子到达坐标原点的速度仍为，在时间内，粒子的运动可以分解为沿轴正方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动，由 得 ，方向水平向左 洛伦兹力提供向心力 粒子做匀速圆周运动的周期 所以在时刻，圆周运动刚好运动一个周期，则水平位移 竖直位移 即粒子在时刻的位置坐标为 由之前分析可知，粒子在时刻的速度仍为，在到时间内，当粒子的速度与轴平行时，离轴最远。在到时间内，粒子的运动可以分解为沿轴负方向以速度做匀速直线运动和以速度做匀速圆周运动。 由得 经分析，如下图时 即 则 又有 解得半径 粒子离轴的最远距离 解得 变式3．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图1所示，电子枪在P处每秒钟逸出1×1015个初速为0的电子，经U1=180V的电压加速后射入偏转电场的左侧中点。偏转电场的极板长度l=4.0cm，板间宽度为d=2.0cm，偏转电压U2=180sin100πt(V)，见图2，图1中MN为足够大的荧光屏。已知电子质量，带电量，不计电子重力。求： (1)射出加速电场时电子束电流I； (2)电子通过偏转电场所需的运动时间t； (3)1s内能击中荧光屏的电子占所有电子的比例。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设t0时间内射出加速电场的电子总电荷量为q，则电流， 联立解得 （2）设电子经加速电场加速后获得速度大小为v0，由动能定理得 解得 电子在偏转电场中，水平方向上做匀速直线运动，所以射出偏转电场的时间为 （3）设电子恰好从偏转电场边缘射出时，偏转电压为Um，竖直方向 水平方向 由牛顿第二定律， 联立以上解得 对应的时刻为，当偏转电压时电子能射出偏转电场击中荧光屏，一个周期内满足条件的时间为，所以能够射到荧光屏的电子占所有电子的比例。 2 学科网（北京）股份有限公司 $