精品解析：广西崇左市江州区2025～2026学年度下学期第二阶段素质评价 八年级数学

2025~2026学年度下学期第二阶段素质评价 八年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 2. 若有意义，则a的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（ ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 6. 一个三角形的两边长为3和6,第三边边长是方程(x-2)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11和13 7. 一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位：）可知两孔中心A，B之间的距离是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（ ） A. 3 B. C. D. 2.2 10. 如图，在小正方形组成的网格中，有，，，四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 12. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 化简：________． 14. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 15. 在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为________米． 16. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在中．于点，，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值． 20. 根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式： ① ② ③ … （1）请举出一个符合上述运算规律的例子为                           ； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述运算规律为                           ； （3）用上述运算规律计算： 21. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根． (1)求m的值； (2)求直角三角形的面积和斜边上的高． 22. 定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． （1）下列方程属于“和谐方程”的是                           ；（填序号） ①；②；③ （2）求证：和谐方程总有实数根； （3）已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 23. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． （2）【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． （3）【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． （4）【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期第二阶段素质评价 八年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴． 2. 若有意义，则a的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴a的值可以是4； 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项中和不是同类二次根式，不能合并，错误； B选项中和不是同类二次根式，不能合并，错误； C选项中和不是同类二次根式，不能合并，错误； D选项中先化简得，因此，计算正确，正确． 4. 小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（ ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 5. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 6. 一个三角形的两边长为3和6,第三边边长是方程(x-2)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】求出一元二次方程的解，与三角形的另外两边比较,找到第三条边,求出三角形的周长. 【详解】∵，∴x1＝2,x2＝4,则当时,2 ＋3 ＜6,不能构成三角形; 当时,4＋3＞ 6，则三角形的周长是3＋4＋6＝13,所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟悉一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键. 7. 一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位：）可知两孔中心A，B之间的距离是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ，． 在中，由勾股定理，得 ． 答：两孔中心A，B之间的距离为． 8. 根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国．已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆．设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找准等量关系，利用初始量、平均增长率和最终量的关系列方程即可． 【详解】解：∵7月出口量为初始量57.5万辆，平均增长率为，从7月到9月共经过2次增长，最终9月出口量为65.2万辆， ∴8月出口量为万辆， 9月出口量为万辆， 因此可列方程为． 9. 如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（ ） A. 3 B. C. D. 2.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，两点在数轴上对应的数分别为和， ， 依题意， 则点在数轴上所表示的数为． 10. 如图，在小正方形组成的网格中，有，，，四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 由题意得：， ， ， ， ∵， ∴， ∴能组成直角三角形． 11. 如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 12. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 在方程中， △=， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质进行化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，根据进行化简，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 请你写一个有两个相等实数根的一元二次方程______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，方位角，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17. 计算或解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 如图，在中．于点，，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）25 （2） 解：是直角三角形，理由如下： ，，， ∴， ， ∵，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：，，，， ∴， ， ； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值． 【答案】方程的另一个根是0，m的值为0或2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求得，再 把代入方程求出m的值即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵关于x的方程有一个实数根为， ∴， 解得， 把代入方程得，， 解得，， ∴方程的另一个根是0，m的值为0或2． 20. 根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式： ① ② ③ … （1）请举出一个符合上述运算规律的例子为                           ； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述运算规律为                           ； （3）用上述运算规律计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【小问1详解】 解：根据材料提示可得，； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：； 【小问3详解】 解： ． 21. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根． (1)求m的值； (2)求直角三角形的面积和斜边上的高． 【答案】(1)14；(2) 直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8. 【解析】 【详解】试题分析：由勾股定理得出a2＋b2＝100，然后根据韦达定理分别将a+b、ab用含m的式子表示，再变形为关于m的一元二次方程，解出m再一一验证即可；（2）求直角三角形面积直接利用公式，要求斜边上的高可以利用面积法求解． 试题解析：解：(1)由勾股定理得a2＋b2＝100， ∵a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根， ∴a＋b＝m，ab＝3m＋6.而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝100， ∴m2－2(3m＋6)＝100，解得m1＝14，m2＝－8. 当m＝14时，方程为x2－14x＋48＝0， 方程的两个根x1＝6和x2＝8符合题意； 当m＝－8时，方程为x2＋8x－18＝0， 方程的两个根异号，不可能作为直角三角形两条直角边的长，所以舍去m＝－8. 故m的值为14. (2)S＝ab＝24.设斜边上的高为h， 则有×10×h＝24，解得h＝4.8. 即直角三角形的面积为24，斜边上的高为4.8. 点睛：1．根与系数的关系 如果方程有两个实数根，，那么，． 2．涉及两根的代数式的重要变形 （1）；（2）； （3）；（4）． 22. 定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． （1）下列方程属于“和谐方程”的是                           ；（填序号） ①；②；③ （2）求证：和谐方程总有实数根； （3）已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】（1）①③ （2） 证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【小问1详解】 解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 23. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． （2）【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． （3）【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． （4）【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2） 解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3） （4） 解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $