2026年中考数学二轮复习： 一元二次方程、分式方程、不等式与不等式组的实际应用问题 专项训练-

一元二次方程、分式方程、不等式与不等式组的实际应用问题专项训练 一元二次方程、分式方程、不等式与不等式组的实际应用问题专项训练 考点目录 一元二次方程的实际应用问题 分式方程的实际应用问题 不等式与不等式组的实际应用问题 考点一 一元二次方程的实际应用问题 例1．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 【答案】(1) (2)该木雕的售价上涨10元/件 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】（1）解：月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件， 该木雕月销售量为件； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该木雕的售价上涨10元/件． 例2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏的总长度为可得关系式，再根据墙的长度和栅栏的长度建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 其中， ∴； （2）解：当时，则， 整理得， 解得或（舍去）， ∴当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：由题意得， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 例3．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 【答案】(1)该经销商销售额的月平均增长率为 (2)元 【分析】（1）结合一元二次方程的增长率公式进行列方程求解即可． （2）理解题意，设这部手机的价格为x元，再列出不等式，解不等式，结果保留整数，即可作答． 【详解】（1）解：设该经销商销售额的月平均增长率为， 依题意，得 解得（舍去） 答：该经销商销售额的月平均增长率为． （2）解：设这部手机的价格为x元， 依题意得， 解得， ∵结果保留整数， 即结果向上取整至元， ∴这部手机的价格最低为元． 变式1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）由表格数据可判断是的一次函数，利用待定系数法求函数表达式，再根据题意确定自变量的取值范围即可； （）根据总利润单个利润销售量列出一元二次方程，求解后结合自变量取值范围即可得到结果； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据的变化规律可知，是的一次函数， 设与的函数表达式为，把，分别代入得， ， 解得， ∴， ∵成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售， ∴自变量的取值范围为， 综上，与的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 解得，， ， 不符合要求，舍去， ∴， 答：当售价定为元时，每天的利润可达到元． 变式2．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 变式3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)销售单价应为元 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 考点二 分式方程的实际应用问题 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ (2)第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 【答案】(1) 第一次购进个，第二次购进个 (2) 第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元 【分析】（1）根据两次进价的差价关系列分式方程求解； （2）根据总利润不低于要求元列一元一次不等式求解最低售价． 【详解】（1） 解：设第一次购进这款钥匙扣个，则第二次购进这款钥匙扣个， 根据题意得， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：该店第一次购进这款钥匙扣个，第二次购进这款钥匙扣个； （2） 解：设第一次销售时每个钥匙扣的售价为元， 第二次按原价销售的数量为（个），打折销售的数量为（个）， 根据题意得：， 化简得 ， 解得． 答：第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元． 例2．（2026·湖南衡阳·二模）某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元 (2)至少购进8件甲商品 【分析】（1）甲商品的单价乙商品的单价，甲商品的单价乙商品的单价； （2）购进甲商品数量购进乙商品数量，销售甲商品利润销售乙商品利润． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为元． 依题意得，解得， 检验，当时，，故是原方程的解，且符合题意， 乙商品的单价：（元）． 答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元； （2）解：设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 依题意得， 解得， m的最小值为8． 答：至少购进8件甲商品． 例3．（2026·湖南郴州·二模）某公司准备购进洗衣液和洗洁精两种产品．已知洗衣液的单价比洗洁精的单价便宜2元，用80元购买洗衣液和用100元购买洗洁精的数量相等． (1)求洗衣液和洗洁精的单价各是多少元？ (2)某公司准备购进这两种产品共200瓶，且洗洁精的数量不少于洗衣液数量的，当购进洗衣液多少瓶时，所花费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)洗衣液单价8元，洗洁精单价10元 (2)购进洗衣液120瓶时，所花费用最少，最少费用为1760元 【分析】（1）设洗洁精的单价为元，则洗衣液的单价为元，利用“数量总价单价”结合购买数量相等的条件列分式方程求解； （2）设购进洗衣液瓶，总费用为元，先列出总费用的一次函数解析式，再根据不等关系求出自变量取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最小费用． 【详解】（1）解：设洗洁精的单价为元，则洗衣液的单价为元， 根据题意得 方程两边同乘得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 因此是原分式方程的解．， 答：洗衣液的单价是8元，洗洁精的单价是10元； （2）解：设购进洗衣液瓶，总费用为元，则购进洗洁精瓶．根据题意得， 根据题意得不等关系， 解不等式得， ∵购进洗衣液的瓶数不能为负数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 答：当购进洗衣液120瓶时，所花费用最少，最少费用为1760元． 变式1．（2026·山东烟台·一模）某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 变式2．（2026·贵州·一模）电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． (1)求甲、乙两种型号电动车的单价； (2)若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 【答案】(1)甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元 (2)该商店最多可以采购11辆甲型电动车 【分析】（1）设甲型号电动车的单价为a万元，则乙型号电动车的单价为万元，根据题意，即可求解； （2）设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种型号电动车的单价为a万元，则乙种型号电动车的单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型电动车单价为8万元，乙型电动车单价为13万元； （2）解：设采购x辆甲型电动车，则采购辆乙型电动车，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴x的最大值为11， 答：该商店最多可以采购11辆甲型电动车． 变式3．（2026·海南海口·一模）为贯彻落实“健康第一”的指导思想，切实强化学校体育工作，推动学生积极参与体育锻炼，养成良好的运动习惯，提升体质健康水平，某校计划购买篮球和排球．已知篮球的单价比排球的贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)篮球、排球的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，且排球的采购数量不超过篮球数量的2倍，那么排球最多可购买多少个？ 【答案】(1)篮球的单价为150元，排球的单价为100元 (2)20个 【分析】（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，根据“用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同”列出关于的分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购买排球的个数为m个，则购买篮球的个数为，根据“排球的采购数量不超过篮球数量的2倍”列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． ； 答：篮球的单价为150元，排球的单价为100元． （2）解：设购买排球的个数为m个，则购买篮球的个数为， 由题意得：， 解得：， 答：排球最多买20个． 考点三 不等式与不等式组的实际应用问题 例1．（2026·广东深圳·模拟预测）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． (1)求甲、乙两款汉服的单价； (2)该社团计划采购两款（都要采购）汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元 (2)该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元，根据“采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元” 列出方程组，即可求解； （2）设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元， 根据题意得：， 解得：， 故甲款汉服单价为元，乙款汉服单价为元． （2）解：设购买甲款汉服件，总费用为元，则购买乙款汉服件， ∵甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍， ∴， 故 解得：， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时， 故该社团购买甲款汉服件，乙款汉服件时费用最少，最少费用为元． 例2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，B品种的蓝莓购进盒； (2)当品种购进盒，品种购进盒时，利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，由题意可得，然后解方程组即可； （）设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒，由题意可得，解得，且为正整数，然后根据题意可得，再由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒； （2）解：设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得，且为正整数， 由题意可得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时，， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，利润最大，最大利润是元． 例3．（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 【答案】(1)采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． (2)采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 【分析】（1）可设1盆绿萝、1盆吊兰的价格分别为未知数，根据两个总价条件列出二元一次方程组，再利用解二元一次方程组的方法求解． （2）设采购绿萝的数量为未知数，因为两种绿植共20盆，所以可表示出吊兰的数量；然后根据花费不超过228元、绿萝数量不少于吊兰数量的2倍这两个条件，列出不等式组确定未知数的取值范围；接着根据两种绿植的吸碳量，建立每天吸收二氧化碳总量关于未知数的一次函数，再利用一次函数的增减性求出最大值对应的采购方案． 【详解】（1）设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元． 根据题意，得， 解得，     答：采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． （2）设采购绿萝a盆，吊兰盆， 根据题意，得 ， 解得， ． 设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，则 ． ， 随着a的增大而增大． 又为正整数， 当时，最大克． 答：采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 (1)任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． (2)任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 (2)购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元，根据题意列得不等式组，求得，再求得总利润，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 根据题意得， 解得， 答：每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元； （2）解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元， 根据题意得， 解得， 总利润， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ， 答：购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 变式2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【分析】（1）设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件列方程求解； （2）设购进甲种机器人y台，根据每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台列不等式组求解即可； （3）设总价为W万元，根据题意列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 变式3．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)①且m为整数；② 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可； （2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可； ②根据张老师合计付款330元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程、分式方程、不等式与不等式组的实际应用问题专项训练 一元二次方程、分式方程、不等式与不等式组的实际应用问题专项训练 考点目录 一元二次方程的实际应用问题 分式方程的实际应用问题 不等式与不等式组的实际应用问题 考点一 一元二次方程的实际应用问题 例1．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 例2．（25-26九年级下·黑龙江·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 例3．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 变式1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个元，以每个不低于成本价且不超过元的价格销售，售价（元/个）与每天销售量（个）的对应值表格如下： （元/个） （个） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到元？ 变式2．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 变式3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 考点二 分式方程的实际应用问题 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ (2)第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 例2．（2026·湖南衡阳·二模）某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 例3．（2026·湖南郴州·二模）某公司准备购进洗衣液和洗洁精两种产品．已知洗衣液的单价比洗洁精的单价便宜2元，用80元购买洗衣液和用100元购买洗洁精的数量相等． (1)求洗衣液和洗洁精的单价各是多少元？ (2)某公司准备购进这两种产品共200瓶，且洗洁精的数量不少于洗衣液数量的，当购进洗衣液多少瓶时，所花费用最少？并求出最少费用． 变式1．（2026·山东烟台·一模）某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 变式2．（2026·贵州·一模）电动汽车以其环保节能、日常通勤费用低而受大众喜欢．某电动车销售商店欲采购甲、乙两种型号的电动车．已知乙型电动车的单价比甲型电动车的单价多5万元，用160万元采购甲型电动车的数量与260万元采购乙型电动车数量相同． (1)求甲、乙两种型号电动车的单价； (2)若该商店要求采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，且总费用不超过400万元，求该商店最多可以采购多少辆甲型电动车？ 变式3．（2026·海南海口·一模）为贯彻落实“健康第一”的指导思想，切实强化学校体育工作，推动学生积极参与体育锻炼，养成良好的运动习惯，提升体质健康水平，某校计划购买篮球和排球．已知篮球的单价比排球的贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)篮球、排球的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，且排球的采购数量不超过篮球数量的2倍，那么排球最多可购买多少个？ 考点三 不等式与不等式组的实际应用问题 例1．（2026·广东深圳·模拟预测）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉，是涵养社会主义核心价值观的重要源泉．为推进传统文化进校园，某校艺术社团计划采购汉服用于传统礼仪展演．已知采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元；采购件甲款汉服与件乙款汉服共需元． (1)求甲、乙两款汉服的单价； (2)该社团计划采购两款（都要采购）汉服共件，且甲款汉服数量不低于乙款汉服数量的倍．请确定采购方案使总费用最少，并求出最少费用． 例2．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 例3．（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 (1)任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． (2)任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 变式2．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 变式3．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $