精品解析：广东深圳市高级中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试 初一数学 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是同位角的是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间．线段最短 C. 经过一点有无数条直线 D. 垂线段最短 5. 下列说法正确的是（） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 6. 图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 11 B. C. D. 11或 8. 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和若知道下列条件，不能求出值的是（ ） A. 长方形纸片的周长和面积 B. ②的长与宽之差 C. 图1与图2阴影部分的面积差 D. 长方形纸片和②的面积差 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，，则＝_____ ． 10. 至少需要调查______名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件． 11. 如图（1）是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图（2）是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 12. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 13. 折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则_____°． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图2，延长交于点． （已知）， （__________）． 又（已知）， __________（__________） （__________）． __________（两直线平行，同旁内角互补）． 又__________（已知）， （__________）． （__________）． 17. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会．小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少？她获得现金奖励的概率是多少？ （2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用． 18. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于M，N，且，． （1）证明：； （2）若平分，，求的度数． 19. 探究与实践 （1）【探索发现】 用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、、的等量关系式是__________； （2）【解决问题】 ①若，，则__________； ②当时，求的值； （3）【拓展提升】 如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且，，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 20. 【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 （1）如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） （2）如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 （3）如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 （4）在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试 初一数学 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 3. 如图，与是同位角的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，由定义逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.不符合同位角的定义，故不符合题意； B.符合同位角的定义，故符合题意； C.是同旁内角，故不符合题意； D.不符合同位角的定义，故不符合题意； 故选：B． 4. 如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间．线段最短 C. 经过一点有无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两点确定一条直线，理解题意即可得出结果，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是两点确定一条直线， 故选A． 5. 下列说法正确的是（） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加深圳市半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 随机掷一枚质地均匀的骰子，若前3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率表示事件发生可能性大小的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵成活率只表示这种花卉成活的可能性为，种植100株不一定会有95株成活，∴A错误； B、∵“明天降水概率是”指明天降水的可能性为30%，不是30%的时间会下雨，∴B错误. C、∵体育老师参加马拉松比赛获得大奖是随机事件，不是必然事件，不一定能发生，∴C错误； D、∵掷质地均匀的骰子是独立随机事件，每次掷出的结果互不影响，前3次掷出1后，第4次仍然可能掷出1，∴D正确． 6. 图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线以及垂直的定义求出的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图2， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 7. 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 11 B. C. D. 11或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中的定义，列出算式进行化简，再根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ，或者， 解得或． 8. 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和若知道下列条件，不能求出值的是（ ） A. 长方形纸片的周长和面积 B. ②的长与宽之差 C. 图1与图2阴影部分的面积差 D. 长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为，分别表示出和，可得，再运用整式的运算分别验证每个选项的正误． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 可得，，，， ，， ， ，， ， ， A、长方形纸片的周长为，面积为，即知道和，根据完全平方变形公式可得，即知道，故A不符合题意； B、②的长与宽之差为，即知道，故B不符合题意； C、，，，， 图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为，，即知道，故C不符合题意； D、长方形纸片和②的面积差为，不能得到的值，故D符合题意． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，，则＝_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，可得：，再把，代入进行计算． 【详解】解：，， ． 10. 至少需要调查______名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据一年有12个月，结合必然事件的定义解答即可. 【详解】解：一年有12个月，所以至少需要调查13名学生，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件. 故答案为：13. 11. 如图（1）是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图（2）是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】过作，推出，由平行线的性质推出，求出，可得，即可解答． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 12. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二项式展开式的规律探索和应用．从给出的图中可以分析出，第二项系数为，且第二项的次数为，通过化简计算即可得出含项的系数． 【详解】由题意可得，含项是，所以含项的系数是． 13. 折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点B，C分别落在点，的位置，在上，再沿折叠，点落在点位置，点在上，若，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由折叠的性质可得和，进而证得，根据和可得和，进而得到，在中，根据三角形的内角和为，列出方程，解出、的值即可． 【详解】解：设，， 由折叠得：、， , ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质、矩形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质和角与角之间的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先算乘方、单项式乘以单项式，再计算单项式除以单项式； （2）先计算乘方、负整数指数幂和零次幂，再计算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 16. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图2，延长交于点． （已知）， （__________）． 又（已知）， __________（__________） （__________）． __________（两直线平行，同旁内角互补）． 又__________（已知）， （__________）． （__________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【详解】略 17. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会．小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少？她获得现金奖励的概率是多少？ （2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用． 【答案】（1）小颖恰好抽到＂圆周率＂的概率为；小颖获得现金奖励的概率为 （2）商场这一个月里大约需支付此活动的费用为4350元 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）求出邮票的费用，然后根据抽到的概率和奖励计算解答即可． 【小问1详解】 解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种， 所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为； 小颖获得现金奖励的概率为； 【小问2详解】 解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：（元） 抽到“圆周率”的总次数约为：（次） 抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为：（次） 商场这一个月里大约需支付此活动的费用为：（元） 18. 如图，直线与被直线所截，与，分别交于M，N，且，． （1）证明：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和邻补角的定义可得，结合已知可得，即可得出结论； （2）由角平分线的定义结合邻补角的定义可得，根据可得，结合求解方程组即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， 即， 又， ，， ， ， ． 19. 探究与实践 （1）【探索发现】 用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到、、的等量关系式是__________； （2）【解决问题】 ①若，，则__________； ②当时，求的值； （3）【拓展提升】 如图②，深圳某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，两条路相交于点G，且，，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求的值．（道路的宽度均不计） 【答案】（1） （2）①；②276 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据图形即可解答； （2）①由（1）的结果可知，，再将，代入即可； ②同理将变形为即可解答； （3）设，，可得，，故，再结合可求出，利用（1）问中公式即可求出，即的值． 【小问1详解】 解：根据图形可得； 【小问2详解】 ①解：由（1）中结论可得：， ， ； ②解： ，即的值为276； 【小问3详解】 解：设，， 由题意得：，，， ，，长方形与长方形的面积均为， ，即， ， ， 解得， ， ， ，即的值为20． 20. 【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 （1）如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） （2）如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 （3）如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 （4）在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 【答案】（1） （2） （3） （4）①秒或27秒或36秒；②的值为8秒或17秒或23秒或32秒 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过点作，得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）由，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （4）①根据题意分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可； ②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点，交于点， ， ， 由题意得，，， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 ①解：如图，当时， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 当时，此时正好旋转了半周， ， 符合条件的值为9秒或27秒或36秒； ②解：如图，当平分，且时， 则，，，，， ， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为8秒． 如图，当平分时， ， ， ，， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为17秒． 如图，当平分时， 则，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得， 符合条件的值为23秒， 如图，当平分，且时， ， 平分， ， ， 解得 综上所述，符合条件的值为8秒或17秒或23秒或32秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $