2.4函数的奇偶性与周期性 讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数奇偶性与周期性专题，将定义、性质、综合应用等核心考点按“定义-结论-应用”逻辑链构建知识网络，通过填空任务、例题驱动等问题导向设计，引导学生自主推导周期性结论和奇偶性判定方法，形成完整认知框架。 亮点在于诊断性练习与分层任务设计，如开篇知识点填空自主梳理考点，例题一题多解培养数学思维，限时训练含选择填空解答实现自我诊断。每个模块配方法指导和反思记录，帮助学生用数学语言表达规律，教师可通过学情反馈精准指导，提升自主复习能力与备考实效。

第4节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 函数的周期性 1.周期函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 结论：对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. （1）（2025·重庆一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，则下列是周期函数的是（　D　） A.y＝f（x）－x B.y＝f（x）＋x C.y＝f（x）－2x D.y＝f（x）＋2x 解析： 依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期为1的周期函数. （2）若函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝，则f（23）＝（　B　） A.－1　　　B.－ C.0　　　　D. 解析：由f（x＋2）＝－f（x），可得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，f（23）＝f（23－4×6）＝f（－1）.因为f（－1＋2）＝－f（－1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝，所以f（－1）＝－f（1）＝－＝－，故选B. 规律方法 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.周期性的应用主要有两方面.①求值：借助周期将自变量的值转化为已知的函数值或转化为解析式已知的区间上，代入求值；②求解析式：求函数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数的周期将自变量的值转化到解析式已知的区间上，同时结合函数的奇偶性得到所求解析式. 练1 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.1　　　　B. C.　　　　D.7 解析：C　因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 025）＝f（1）＝＝. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 定义域关于　原点　对称 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　－x　∈D 且f（－x）＝　f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 结论：（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　法一（定义法）　对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 法二（特殊值法）　对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 规律方法 判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒　设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 练2 （1）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　D　） A.f（x）＋g（x）为R上的奇函数 B.f（x）－g（x）为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.｜f（x）g（x）｜为R上的偶函数 解析： 因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x）.对于A，x∈R，设F（x）＝f（x）＋g（x），则F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝－f（x）＋g（x）≠－f（x）－g（x）＝－F（x），故错误；对于B，x∈R，设N（x）＝f（x）－g（x），则N（－x）＝f（－x）－g（－x）＝－f（x）－g（x）≠f（x）－g（x）＝N（x），故错误；对于C，x∈R，g（x）≠0，设M（x）＝，M（－x）＝＝－＝－M（x）≠M（x），故错误；对于D，x∈R，设H（x）＝｜f（x）g（x）｜，H（－x）＝｜f（－x）g（－x）｜＝｜－f（x）g（x）｜＝｜f（x）g（x）｜＝H（x），所以H（x）为偶函数，故正确. （2）〔一题多解〕函数f（x）＝为　偶　函数.（填“奇”或“偶”） 解析：法一（图象法）　画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数. 法二（定义法）　易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称， 当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）； 当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 函数奇偶性的综合应用 角度1　求值（解析式） （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－）＝（　A　） A.－ B.－ C. D. 解析： 法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（－）＝1－＝－.故选A. 法二（优解）　f（－）＝f（）＝f（＋2）＝5－2×（＋2）＝－. （2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2－x＋1，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝　. 解析：当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋x＋1＝x2＋x＋1，因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2＋x＋1，所以f（x）＝－x2－x－1，综上，函数f（x）的解析式为f（x）＝ 规律方法 1.求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 2.求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式. 角度2　解不等式 已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式xf（x－2）＞0的解集为（　　） A.（1，3） B.（3，＋∞） C.（－3，－1）∪（3，＋∞） D.（0，1）∪（3，＋∞） 解析：D　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 规律方法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法步骤 练3 （1）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　B　） A.－1 B.0 C. D.1 解析： 法一　要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 法二　因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. （2）（2026·陕西西安质检）已知奇函数f（x）的定义域为R，且当x≥0时，f（x）＝log2（x＋3）＋a，则f（－3）＝　－1　　，当x＜0时，f（x）＝　　log2　　. 解析：由题意，知f（0）＝log23＋a＝0.解得a＝－log23.所以f（x）＝log2（x＋3）－log23（x≥0）.所以f（3）＝log26－log23＝log22＝1，所以f（－3）＝－f（3）＝－1.当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－log2（－x＋3）＋log23＝log2. （时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：B　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝. 2.下列函数中为偶函数的是（　　） A.y＝｜ln x｜ B.y＝e－x C.y＝xsin x D.y＝xcos x 解析：C　A项，函数定义域为x∈（0，＋∞），不关于原点对称，不可能为偶函数；B项，由e－（－x）＝ex≠e－x，故y＝e－x不为偶函数；C项，（－x）sin（－x）＝xsin x，且定义域为R，故y＝xsin x为偶函数；D项，（－x）cos（－x）＝－xcos x，且定义域为R，故y＝xcos x为奇函数.故选C. 3.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析：C　因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f（x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－1）＝－2，故选C. 4.（2026·安徽阜阳模拟）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x＋x－1，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A.2－x－x－1 B.2－x＋x＋1 C.－2－x－x－1 D.－2－x＋x＋1 解析：D　当x＜0时，－x＞0，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－2－x＋x＋1，故选D. 5.设f（x）为偶函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则使f（x）＞0的x的取值范围是（　　） A.{x｜x＞1} B.{x｜－1＜x＜0} C.{x｜x＜－1或x＞1} D.{x｜1＜x＜0或x＞1} 解析：C　∵当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x－1单调递增，又∵f（x）为偶函数，故可以作出f（x）的图象如图所示.由图象可知，若f（x）＞0，则x＜－1或x＞1. 6.〔多选〕已知定义在R上的偶函数f（x），其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则（　　） A.f（2 026）＝2 B.f（x）的值域为[－1，2] C.f（x）在[4，6]上单调递减 D.f（x）在[－6，6]上有8个零点 解析：AB　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，且f（x）在[4，6]上单调递增，所以B正确，C错误；令f（x）＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上有6个零点，所以D错误. 7.〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函数，则（　　） A.f（x－1）为奇函数 B.f（x）为周期函数 C.f（x＋3）为奇函数 D.f（x＋2）为偶函数 解析：ABC　由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C. 8.已知函数f＝2x2＋ax＋2，若f是偶函数，则a＝　　－4　　. 解析：因为f是偶函数，所以f＝f，所以2＋a＋2＝2＋a＋2，即8x＝－2ax，解得a＝－4. 9.（2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋＋2且f（2 026）＝16，则f（－2 026）＝　－12　. 解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋，则g（x）的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋＝－ax3－＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上式，可得f（－2 026）＝－12. 10.（13分）（2026·广东茂名模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）求证：f（x）是周期函数； （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式. 解：（1）证明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.∴f（x）是周期为4的周期函数. （2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2. 又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.∴f（x）＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）. 又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8. 11.设函数f（x）＝，则下列函数为奇函数的是（　　） A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1 C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1 解析：B　由题意可得f（x）＝＝－1＋.对于A，f（x－1）－1＝－2不是奇函数；对于B，f（x－1）＋1＝是奇函数；对于C，f（x＋1）－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f（x＋1）＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 12.〔多选〕已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（　　） A.f（3）＝0 B.f（3）＝f（5） C.f（x＋3）＝f（x－1） D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1 解析：ABC　因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确. 13.已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f（x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为　　2　　. 解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时等号成立，故函数f（x）的最小值为2. 14.（15分）函数f（x）的定义域为D＝{x｜x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）. （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f（4）＝1，f（x－1）＜2，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求x的取值范围. 解：（1）因为对于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），所以令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0. （2）f（x）为偶函数.证明如下： 令x1＝x2＝－1，有f（1）＝f（－1）＋f（－1）， 所以f（－1）＝f（1）＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f（－x）＝f（－1）＋f（x），所以f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数. （3）依题意有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，由（2）知，f（x）是偶函数，所以f（x－1）＜2⇔f（｜x－1｜）＜f（16）. 又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以0＜｜x－1｜＜16，解得－15＜x＜17且x≠1. 所以x的取值范围是{x｜－15＜x＜17且x≠1} 学科网（北京）股份有限公司 $第4节函数的奇偶性与周期性 ⑦课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 考点一 函数的周期性 1.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x十T∈ D,且 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期， 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期。 结论：对f(x)定义域内任一自变量x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0); (2)若f(x十a)=F,则T=2a(a>0); (3)若f(ax+a)=-F☆，则T=2a(a>0)· 圆1(1)(2025·重庆一模)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=∫(x)一2，则下列是周期函数的是 () A.y=f(x)-x B.y=f(x)十x C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x (2)若函数f()满足f(x+2)=-∫(x)，且当x∈[0,1]时，f()=4云，则f(23)=（) A.-1 B.- C.0 D克 听课记录 金规律方法 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期 2.周期性的应用主要有两方面.①求值：借助周期将自变量的值转化为已知的函数值或转化为解析式已知的区间 上，代入求值；②求解析式：求函数在某一区间上的解析式时，可先设自变量在该区间上，然后利用函数的周期 将自变量的值转化到解析式已知的区间上，同时结合函数的奇偶性得到所求解析式. 练1函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)=() A.1 B名 c.号 D.7 考点二 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 定义域关于 对称 般地，设函数f(x)的定义域为D,如果Vx∈D,都有∈D 定义 且f(一x)=,那么函数f(x)就且∫(-x)= 那么函数f(x)就叫做奇函数 叫做偶函数 图象 关于 对称 关于对称 特征 结论：(1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则一定有f(0)=0;如果函数∫(x)是偶函数，那么 f(x)=∫(-x)=f(IxI); (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 例2 〔一题多解](2024·天津高考4题)下列函数是偶函数的是() A./(x) e8- B.f(x)= COSX+X2 +1 cfx)=器 D.f(x) =+4 e 听课记录 金规律方法 判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数： (2)判断∫(x)与∫（一x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系 式(f(x)+∫（一x)=0(奇函数）或f(x)一∫（一x)=0(偶函数）)是否成立， 提醒设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上：奇十奇=奇，奇X奇=偶，偶十 偶=偶，偶×偶=偶，奇X偶=奇， 练2(1)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是() A.f(x)+g(x)为R上的奇函数 B.f(x)一g(x)为R上的偶函数 c骨为R上的偶函数 D.If(x)g(x)I为R上的偶函数 x2+xx<0, (2)〔一题多解]函数f(x) x2-xx>0 为 函数.（填“奇”或“偶”） 提能点 函数奇偶性的综合应用 角度1求值（解析式） 例3(1)〔一题多解)(2025·全国I卷5题)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3 时，f(x)=5-2x,则f(-星)=() A.-3B.- ：C D. (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x+1,则函数f(x)的解析式为 听课记录 金规律方法 1.求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 2.求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出∫(x)的解析式，或充分利用奇偶 性构造关于f(x)的方程式（组)，从而得到f(x)的解析式. 角度2解不等式 例4已知偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递减，且f(1)=0,则不等式xf(x一2)>0的解集为(） A.(1,3) B.(3,+∞) C.(-3,-1)U(3,+∞) D.(0,1)U(3,+∞) 听课记录」 金规律方法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法步骤 判断函数x)的奇偶性 判断函数)的单调性 对于奇函数) 利用奇偶性对函数值进行整理 有-f(g(x)=f(-gx) 转化 对于偶函数x) 将不等式化为a)>b)的形式 有fg(x)=fgx) 根据单调性将不等式化为a>b 或a<b 解不等式a>b或a<b即得结论 练3(1)〔一题多解)(2023·新高考Ⅱ卷4题)若∫(x)=(x+a)h为偶函数，则a=() A.-1 B.0 c克 D.1 (2)(2026·陕西西安质检)已知奇函数f(x)的定义域为R,且当x≥0时，f(x)=log2(x十3)十a,则f (-3)=,当x<0时，f(x)= 第4节函数的奇偶性与周期性 (时间：60分钟，满分：91分) [备注：单选、填空题5分，多选题6分] A级基础达标 1.己知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a十b的值是() A.-青 B.青 c D.- 2.下列函数中为偶函数的是（) A.y=I InxI B.y=ex C.y=xsinx D.y=xcos x 3.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f(-1)=2,则f(2025)=() A.2 B.0 C.-2 D.-4 4.(2026·安徽阜阳模拟)己知函数∫(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，∫(x)=2十x一1，则当x<0 时，f(x)=() A.2-x-x-1 B.2-x+x+1 C.-2-x-x-1 D.-2-x十x+1 5.设f(x)为偶函数，当x∈(0，十∞)时，f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是() A.(x I x>1) B.{x|-1<x<0 C.{x|x<-1或x>1} D.x|1<x<0或x>1} 6.〔多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)=2-2,则() A.f(2026)=2 B.f(x)的值域为[-1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 7.〔多选)函数f(x)的定义域为R,且f(x)与∫(x+1)都为奇函数，则() Af(x一1)为奇函数B.f(x)为周期函数 C.f(x十3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数 8.己知函数f(x)=2x2+a十2，若f八x+1)是偶函数，则a= 9.(2026·福建三明四校联考)已知函数∫(x)=x3+是+2且∫(2026)=16，则f(-2026)= 10.(13分)(2026·广东茂名模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x十2)=-f (x).当x∈[0,2]时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式. B级综合应用 1.设函数∫(x)=器， 则下列函数为奇函数的是() A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 12.〔多选)已知f(x)为奇函数，且f(x十1)为偶函数，若f(1)=0,则（) A.f(3)=0 B.f(3)=f(5) C.f(x+3)=f(x-1) D.f(x+2)+f(x+1)=1 l3.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)十e是偶函数，y=f(x)一3e是奇函数，则函数f(x)的最小值 为】 14.(15分)函数f(x)的定义域为D=x|x≠0}，且满足对于任意1，∈D,有f(12)=∫()十f(). (1)求f(1)的值： (2)判断∫(x)的奇偶性并证明你的结论： (3)如果∫(4)=1，f(x-1)<2,且f(x)在(0，+∞)上单调递增，求x的取值范围