第2章 第2节 函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第2节函数的单调性 ★[课程标准]1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小 值，理解它们的作用和实际意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.y=f(x)在I上是增函数（减函数）的充要条件 1.增函数、减函数的概念 般地，若I是函数y=f(x)的定义域的子集， 对任意x1,x2∈I且x1≠x2, 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,且I二D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时，都有 记1=f(),2=f(2),Ay=二业（即Af △xx2-x1 △x ,则称y=f(x)在I上是增函数（也称 _fx)-fx),则： 在I上 ),如图(1)所示； x2-x1 (2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时，都有 (1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是Ay>0 △x ,则称y=f(x)在I上是减函数（也称 在I上恒成立； 在I上 ),如图(2)所示. (2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是Ay<0 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I △x 在I上恒成立 为区间时，称I为函数的 ,也可分别称 4.函数的最大值和最小值 为 或 般地，设函数f(x)的定义域为D,且xo∈D: f(a2) (1)如果对任意x∈D,都有 ,则称f(x)的 f 最大值为f(xo),而xo称为f(x)的 (2)如果对任意x∈D,都有 ,则称f(x)的 最小值为f(xo),而xo称为f(x)的 2.函数的平均变化率 5.最值和最值点 (1)直线的斜率 值和 值统称为最值， 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 点和 点统称为最值点. A(1y1),B(x2,2),当x1≠x2时，称2一四 重要结论 x2一x1 1.设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1一x2>0(或< 为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB 0),f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D上单 的斜率不存在， 调递增；x1-x2>0(或<0)，f(x1)-f(x2)<0 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜 (或>0)台(x)在D上单调递减； 程度 @f)-f》>0(或(1-2)[f(1) x1一x2 若记△x=x2一x1,相应的△y=y2一y1,则当 f(x2)]>0)台f(x)在D上单调递增： △：≠0时，斜率可记为器 ③f）-f2<0(或(1-x2)[f(.x1) x1一x2 (2)平均变化率 f(x2)]<0)台f(x)在D上单调递减. 一服造，当大时，移二 x2一x1 2.对勾函数y=x十a(a>0)的增区间为(-o∞，-a 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或 和[√a,+∞)；减区间为[一Ja,0)和(0，√a],且 [x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率， 对勾函数为奇函数. ·28· 第二章函数、导数及其应用 3.单调函数的运算性质 (3)函数y=|x是R上的增函数， (1)在函数f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下 (4)函数y=f(x)在[1，+∞)上是增函数，则函 结论： 数的单调递增区间是[1，+∞). ①若f(x),g(x)都是增（减）函数，则f(x)+ (5)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且 g(x)也是增（减）函数； (x1一x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x) ②若f(x)是增（减）函数，g(x)是减（增）函数，则 在D上是增函数. f(x)一g(x)是增（减）函数， (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间 (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区 端点取到 ) 间D上具有以下性质： ◆[小题查验] ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单 1.(教材改编)(2024·合肥调研)下列函数中，在区 调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的 间(0，十∞)内单调递减的是 () 单调性； A.y= -x B.y=x2-x x ②当函数f(x)恒为正（或恒为负）时，f(x)与 C.y=In x-x D.y=et-x 有相反的单调性； 1 2.设定义在[-1,7]上的函 数y=f(x)的图像如图 ③若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单 所示，则关于函数y= 调性. x的单调区间表述正 1 4.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在 区间[b,c]上单调递减，则函数y=f(x),x∈[a, 确的是 c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=-f(x)在 A.在[-1,1]上单调递减 区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，则 B.在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b). C.在[5,7]上单调递减 自主诊断 D.在[3,5]上单调递增 ◆[思考辨析] 3.函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为 ( 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“X”. A.(0,+∞) B.（-∞，0) C.(2,+∞) D.(-∞，-2) (1)函数f(x)的图像如图所 示，则函数f(x)的单调增区 4.(教材改编)函数f(x)= 年在[12]的最大值 间是(-∞，0]U(0,+∞). 和最小值分别是 5.(教材改编)已知函数f(x)为R上的减函数，若 (2)若定义在R上的函数 m<n,则f(m) f(n);若升 (1),则 f(x),有f(一1)<f(3),则函数f(x)在R上为 增函数. 实数x的取值范围是 跃升>关健能力 层级突破素养提升 吉点1 函数单调性的判断或证明 题后反思 ◆[命题角度1]确定不含参函数的单调性 判断函数单调性常用以下几种方法 (基础点) (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判 下列函数中，满足“Hx1,x2∈(0，十o∞)且x1≠x2, 断符号→得出结论 (-x2）·[f(x1)-fx2)]<0"的是 (2)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者 f(x)的图像易作出，则可由图像的上升或下降 A.f(x)=2 B.f(x)=|x-1 确定单调性. C.f(x)-1-x (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函 D.f(x)=In(x+1) 数的单调区间 29 高考总复习人教数学B版（新教材） (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成 。[互动探究] 的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)士 若只将本例中函数解析式改为“f(x)= ax g(x)增减性质进行判断； x2-1 ②对于复合函数，先将函数y=f(g(x))分解 (其中a>0)”呢？ 成y=f(t)和t=g(x),再讨论（判断）这两个 函数的单调性，最后根据复合函数“同增异 减”的规则进行判断 提醒：判断或证明不含有参数的函数的单调 性时，首先确定定义域，然后利用判断函数 单调性的方法求解. ◆[命题角度2]确定含参函数的单调性（应用点） [典例] 判断并证明函数f(x)=ax (a≠0)在 x-1 (-1,1)上的单调性 核心素养 逻辑推理 函数单调性问题中的核心素养 依据增函数、减函数的定义证明函数单调 性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个 步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养. 方法指导 判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用 信息提取 信息解读 逻辑推理 增（减）函数的定义外，导数法也是一种非常有效 已知函数 的方法，注意分类讨论思想的应用 f(x)= 分a>0与a<0两 判断函数f(x) 易错警示：可导函数也可以利用导数判断.但是， ax 种情况讨论 对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进 x- (a≠0) =a x-1(a≠0)在 行判断. 定义法：当一1< (一1,1)上的单 跟踪训练 x1<x2<1时，判 调性台当一1< 判断函数 断f(.x1)-f(x2) x1<x2<1时， 判断函数f(x)=x+ a(a>0)在(0，+∞)上的 f(x)在(-1， 是大于0还是 判断f(x1)一f(x2〉 单调性. 1)上的单 小0 的符号台判断 调性 导数法：判断f(x) f(x)在(-1,1) 在(-1,1)上是大 上的符号 于0还是小0 [尝试解答] 30 第二章函数、导数及其应用 专点2确定函数的单调区间（重难点） 方法指导 [典例](1)函数y=一x2+2|x|+1的单调递增 1.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 区间为 ,单调递减区间为 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数 (2)函数y=f(x)(x∈R)的 的和、差或复合函数，求单调区间 图像如图所示，则函数g(x) (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义， =f(logax)(0<a<1)的单 (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者 调递减区间是 ) f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它 A.[0,2] 的单调区间. B.[a,1] (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单 C.(-，0U[2+∞ D.[/a,Va+1] 调区间. 2.求复合函数y-f(g(x)的单调区间的步骤 [尝试解答] (1) (2) (1)确定函数的定义域。 O[互动探究] (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u), 1.若将典例(1)中的函数变为“y=|一x2+2x+1|”, u=g(x). 则结论如何？ (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减，则y=f(g(x)为增 函数；若一增一减，则y=f(g(x)为减函数， 即“同增异减” 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合 或不等式表示；如有多个单调区间应分别写， 不能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结 :跟踪训练 1,x>0, 1.设函数f(x)= 0,x=0, g(x)=x2f(x-1), 1,x<0, 则函数g(x)的递减区间是 ( A.(-∞，0] B.[0,1) C.[1,+o∞) D.[-1,0] 2.函数f(x)=ln(.x2一2x-8)的单调递增区间是 2.若将本例题(2)中的“0<a<1”改为“a>1”,则函 ( 数g(x)的单调递减区间如何？ A.（-∞，-2) B.(-0∞，1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 专点3)确定函数的最值（值域）（重难点） [典例] 1)若函数f)=日-在[合2]上的 值域是[2,2]则实数a的值为 (2)函数f(x)=2+8(x>1)的最小值为 x-1 （3)(2024·深圳模拟)函数y-十4的最大值 x2+5 为 [尝试解答] (1) (2) (3) 31· 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 ◆[命题角度2]解函数不等式 求函数最值的五种常用方法及其思路 2.f(x)是定义在(0，十∞)上的单调增函数，满足 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+ 求最值 f(x一8)≤2时，x的取值范围是 () (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高 A.(8,+∞) B.(8,9] 点、最低点，求出最值 (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备 C.[8,9] D.(0,8) “一正二定三相等”的条件后用均值不等式求 ◆[命题角度3]利用单调性求参数的取值范 出最值. 围或值 (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极 (2-a)x+1,x<1, 值，最后结合端点值，求出最值 3.如果函数f(x) 满足对任 (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化 (a2,x≥1 为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 意1≠x2,都有f1)-f(x2) >0成立，那么a 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数的 x1一x2 定义域 的取值范围是 (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上 规律总结 的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最 大值，最小的作为分段函数的最小值. 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 [口诀助读】 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 化到同一个单调区间内，然后利用函数的单 函数值，若有界，上界下界值域外 调性解决 日跟踪训练 (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有关 1.函数y=√ -x(x≥0)的最大值为 的不等式时，利用函数的单调性将“”符号脱 2.函数f(x) 1og2(x+2)在区间[-1,1] 掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别 上的最大值为 注意函数的定义域 专点4 函数单调性的应用（应用点） (3)利用单调性求参数 ◆[命题角度1]比较两个函数值或两个自变 ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调 量的大小 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区 1.已知函数fx)=1ogx+己若∈1,2 间比较求参数； x2∈(2，十∞)，则 ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的，则 A.f(x1)<0,f(x2)<0 该函数在此区间的任意子集上也是单调的， B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关9 D.f(x1)>0,f(x2)>0 ·32·跟踪训练 1.(-1,1)2.[2,4] 命题角度3 [典例2][解析]因为函数f(x)的 定义域为R,所以2+2-a-1≥0对 x∈R恒成立，则x2+2ax-a≥0恒 成立.因此有△=(2a)2+4a≤0，解 得一1a0. [答案][-1,0] 命题角度4 [典例3]D[函数y= mr+4mr+3的定义域为R, 2x-1 .∴.m.x2十4m.x+3≠0. m=0或∫m≠0， 1△=16m2-12m<0, 即m=0或0<m<3 4 实数m的取值范国是[0，寻）门 考点4命题角度1 1.C2.[-4,6] 命题角度2 [典例1][解析]，函数f(.x)= fe+1,x<0, 12,x0, 方程f(1+x2)=f(2x), .当x<0时，2=e+1,解得x=0, 不成立； 当x≥0时，f(1+x2)=f(2x)=2, 成立. .方程f(1十x)=f(2x)的解集是 {xx≥0}. [答案]{xx≥0} 跟踪训练 1.4 5 2 命题角度3 [典例2][解析]第一步解当x> 时)+f(-2)）>1这一不 等式 由题意得，当x>2 时，f(x)十 f(-号)=2+2>1恒成立 即x>2 第二步解当0<≤号时，f()十 -合)>1这-不等式 当0<x≤2时，f(x)+f(x-2)】 =2十x- 合+1>1恒成立，即0< 第三步解x≤0时，f(x)十 (-合）P1这-不等式 当x≤0时，x十1十x-2+1>1,解 得x>一 即-<r<0 第四步取并集计算x的取值范围 综上x的取值范国是(-4，+∞)】 [答案] (-+∞） 参考答案 跟踪训练2.(-∞，8] 当Va≤x1<x2时，t1x2>a,t一t2 第2节 <0, 夯实·必备知识必备知识 所以f(x1)一f(x2)<0, 1.(1)f(x)<f(x2)单调递增 即f(x1)<f(x2), (2)f(x,)>f(x,)单调递减 单调 所以函数f(x)在[√a,十o)上是增 区间单调递增区间单调递减区间 函数 4.(1)f(x)≤f(x)最大值点 (2)f(x)≥f(x)最小值点 综上可知，通数f)=x+（a>0) 5.最大最小最大值最小值 在(0Wa上是减函数，在[Va,十o∞) 思考辨析(1)×(2)× (3)× 上是增函数 (4)×(5)/(6)/ 考点2 小题查验 [典例] 1.A2.B3.C4号1 [解析] (1)由于y= x2+2.x+1,x≥0， 5.>(-1,0)U(0,1) -x2-2.x+1,x<0 跃升·关键能力考点1 即y= 命题角度1C 1-(x-1)2+2,x≥0， 命题角度2 -(x十1)2+2，x<0. [典例门[证明]第一步，取值、作差、 画出函数图像如图所示，单调递增区 变形：设-1<x1<x2<1,f(x)= 间为（一∞，一1]和[0,1]，单调递减 (）=+) 区间为[一1,0]和[1，+∞). (2)由题图可知f(x)在（一∞，0]和 则f),)=a+) 2,十∞）上单调递减，而在 「1 -+) a(x2-1) [0,]上单捐递增，又0<a<1时， 第二步，判号、定论：由于一1<x1< y=logx为(0，十o∞)上的减函数，所 x2<1, 以要使g（x)=f(logx)单调递减， 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1 <0. 需要1ogx∈[0,2]，即0<logx≤ 故当a>0时，f(.x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x), 合解得x∈[a1. 函数f(.x)在（一1,1）上单调递减； 答案](1)(-0，-1]和[0,1] 当a<0时，f(x1）-f(x2)<0,即 [-1,0]和[1，+∞)(2)B f(x1)<f(x2), 互动探究 函数f(x)在（一1,1）上单调递增. 1.解：函数y=|一x2 互动探究 +2x+1|的图像如 证明：设一1<x1<x2<1, 图所示， 1011w2 则f(x)-f(,)=a1 由图像可知，函数y x-1x号-1 =一x2+2.x+1|的单调递增区间为 =ax1x-ax1-ax2x十ax (1一√2,1)和(1+√2，十∞)；单调递 (x-1)(x2-1) 减区间为(-∞，1一√2)和(1,1十√2). a(x2-x1)(x1x2+1) 2.解：由例(2)解析知，需logx≤0或 (x-1)(.x-1) :-1<x1<x2<1, 1ogx>,解得x<1或x≥，又x ∴.x2-x1>0,x1x2十1>0， >0,所以单调递减区间为(0,1]，[va, (x-1)(x-1)>0. +∞). 因此当a>0时，f(.x1)-f(x2)>0, 跟踪训练 1.B2.D 即f(x)>f(x2),此时函数f(x)在 考点3 (一1,1)上为减函数 [典例][解析](1)因为函数f(.x) 跟踪训练 解：设x1,x2是定义域(0，十∞)上的 在区问[合2]上是增函数，位城为 任意两个实数，且x1<2, 则f(x1)一f(x2) [2]所以(）@=2 -(+)(+) 1 1 =-(x-a 即 2=解得=号 a 2 11 T1T? a 2=2, 当0<x1<x2≤a时， 0<x1x2<a,x1-x2<0, (2)f)=+8 x一1 所以f(.x1)-f(x2)>0 即f(x1)>f(x), =x-1)2+2(x-1)+9=(x-1D x-1 所以函数f(x)在(0，√a]上是减 函数： +2≥2-1·+2 ·415· 高考总复习人教数学B版（新教材） =8,当且仅当x-1=9 -,即x=4 综上可知：对于定义域内的任意x, 总有f(一x)=一f(x)成立，.函数 时，f(x)min=8. f(x)为奇函数. (3)令√x+4=t,则t≥2，x2=t2 考点2命题角度11.B 4, 命题角度22.B 1 命题角度33.D y+1t 工，设h()=t十 命题角度4 [典例][解]第一步 根据奇偶性 则h(t)在[2，+∞)上为增函数， 补全函数f(x)和g(x)在整个定义域 h()nn=h(2)= 2…y≤ 上的图像 5 y=f(x)是 2 偶函数，y= =2(x=0时取等号).即y的最大 g(x)是奇函 5 数，根据函数 推为品 图像的奇偶 性画出y=f(x),y=g(x)在[一3,0] [答案] 号 (2)8(3)2 上的图像如图所示， 第二步将分式不等式等价转化 跟踪训练 2.3 f(x) g(x) <0等价于fx)>0, Ig(x)<0 考点4命题角度11.B 命题角度22.B 或/f)<0, g(x)>0, 命题角度3 第三步根据图像，分别解两个不等 式组 第3节 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，一2 夯实·必备知识必备知识 x-1或0<x<1, 1.y轴原点2.(1)f(x+T)=f(x) f(x)<0,g(x)>0时，2<x<3. (2)存在一个最小最小 第四步根据求解结果取并集 思考辨析(1)×(2)× (3)/ 可求得其解集是{x一2<x<一1或0 (4)/(5)/(6)/ x1或2x3. 小题查验 考点3 1.B2.A3.-24.12 [典例][解析](1)因为f(.x)是定义在 5.(-2,0)U(2,5] R上的奇函数，所以f(0)=0,f(x)十 跃升·关键能力考点1 f(一x)=0,所以有 1.D2.D fe-是)十(-+是）-0， 3.解：1)由3x之0得x2=3,解得 {x2-3≥0 由f(+子)为偶函数可得： x=士3， 即函数f(x)的定义域为{一5W5}, f(+)f(+是) 从而f(x)=√/3-x+√x-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x) 故有(+)+(-)0， =f(x), 函数f(x)既是奇函数又是偶 f(+)+)=0, 函数 即fx)= 2)由得定又城为(-1 f(+(+) 一f(x+3),故f(x)=f(x+3),所以 0)U(0,1),关于原点对称. f(x)周期为T=3,则f(2)=f(3-1)= x-2<0,x-2|-2=-x, f(-1)=-f(1)=-3.故f(2023)+ ∴f(x)=g1-x2) f(2024)=f(1)+f(2)=3-3=0. (2)f(.x+2)是奇函数，故f(.x十2)= 又f(-)=1g[1-(-x)] -f(-x+2),且f(2)=0, f(x)是偶函数，故f(x十2) lg1-）=一f(x). =-f(-x十2)=-f(x-2), 则f(.x十4)=一f(x), f(x+8)=-f(.x+4)=f(x), ∴.函数f(x)为奇函数 函数周期为8， (3)显然函数f(x)的定义域为 (-∞，0)U(0,+∞)，关于原点 f(x十2)=-f(一x+2),故f(3)+ f(1)=0,f(4)十f(0)=0,即f(4) 对称. ,当x<0时，一x>0, -1,f(5)=-f(1),f(6)=-f(2) =0,f(7)=-f(3),f(8)=f(0)= 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x 1,故f(1)+f(2)+…+f(8)=0, =-f(x); f(1)+f(2)+…+f(2023)= 当x>0时，一x<0, -f(8)=-1. 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x [答案](1)D(2)-1 =一f(x); 跟踪训练1.C2.5 ·416· 考点4命题角度1 1.A2.D3.AC 命题角度24.A 命题角度35.D6.AC 第4节 夯实·必备知识必备知识 3.(1)y=a(a>0且a≠1)(2)(0， +∞)(0,1)y>10y1y>1 0y<1增函数减函数 思考辨析(1)×(2)×(3)/ (4)×(5) 小题查验 1.B2.A3.C4.D5.2减 跃升·关键能力考点1 83.-162 1.C2. 9 考点2 [典例](1)A[将函数解析式与图 像对比分析，因为函数f(x)=1 e是偶函数，且值战是(-∞，0]，只 有A满足上述两个性质.] (2)D[第一步将不等式2(x a)<1变形为两个基本初等函数构 成的不等式 不等式2(.x-a)<1可变形为x-a () 第二步 画出函 ↑y 数=（）与 y=x一a的图像 在同一平面直角 坐标系内作出直 0 线y=x-4与y -(合)的因像.由题意，在(0 十∞)上，直线有一部分在曲线的 下方. 第三步观察图像，列出有关口满足 的条件 观察可知，有一a1,所以a>一1. (3)[解析]曲线 |y=2+1与直 线y=b的图像如 图所示，由图像 可得：如果|y= -2 y=-2-1 2十1与直线y= b没有公共点，则b应满足的条件是 b∈[-1,1]. [答案][一1,1] 互动探究 1.解析：曲线y=2一1 与直线y=b的图 像如图所示，由图像 可得，如果曲线y= |2一1与直线y=b有两个公共点， 则b的取值范围是(0,1). 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=|2一1的单调递 减区间为（一∞，0]，所以k0,即k的 取值范围为（一∞，0]. 答案：（一∞，0]