江苏南京市第十三中学2025-2026学年高一下学期数学周测5

2025级高一第二学期数学周测5（20260506) 班级 姓名 学号 考试时间：90分钟 满分：120分 命题：倪琦做题：李进审校：潘永斌 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 已知角Q的终边过点43，m且sina,则m三 A.3 B.4 C.3 D.4 【答案】B 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【解祈】角的终边过点4(-3，m)且sina=4 m 三所以3)+m5且m>0,解得m=4. 故选：B. 2.若z=2+1 1-i (i为虚数单位)，则=() B.√2 C.Vi0 2 3-2 D 【答案】C 【解折1：=242+0+D-牛1-+所以 1-i1-i01+)22 1-tan 3.若sina三-。，a是第三象限角，则二 2=() 1+tan A.-2 B.2 C.、8 D.3 8 【答案】A 【解析】sina=- 5，是第三象限角，cosa=-V-$in2a=-4 3 第1页共11页 Sin 1- 1-tan O cos cos -sin 因此， 2 -sin a 1+tan2 a cos+sin Sin cos -sin 1+ 2 2 2 2 cos 1-2sin cosa 2 2 _1-sina 1×3 = =-2, cos2a -sin cosa 4 2 2 5 故选：A. 4.△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、充要条件的证明 【解析】因为4>B,由大角对大边可符a>b,由正弦定理得品日且么BeQ列。 所以sinA>0,sinB>0,故sinA>sinB,充分性成立， 同理当sinA>sinB时，A,B∈(0，π)，sinA>0,sinB>0, 由正弦定理0 b 可得a>b,由大边对大角可得A>B,必要性成立， sin A sin B “A>B”是“sinA>sinB的充要条件. 故选：C 5.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为0，b,c.若c2=(a-b+45,且C= 3 则△ABC的面积为() A.35 B.9V3 C.3 D.3v5 2 2 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【解析】由余弦定理可得：c2=d2+62-2abos=a-b}+45,所以b=45, 所以s=absin C=2V5×5-3, 第2页共11页 故选：C 6.已知a=(cos75,sin75),b-(2,-1),且a1b,则=() A.2+5 B.2-V5 C.V5+1 D.V5-2 【答案】A 【知识点】利用向量垂直求参数 【解析】a⊥b,.ab=0,则ab=cos75°-sin75°=0， 即1=sin75o 1+ c0s750 =iam75°=tan(45+30)=f3。=3+5 1-1x53-5 =2+5 3 7.若a,6c均为单位向量，且a-b=0,(a-c)(6-c)≤0，则a+b-d的最大值为() A.√2-1 B.1 c.2 D.2 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【解析】因为a,b,c均为单位向量，且a.b=0, 因为(a-c)(6-cs0,所以ab-(a+be+c2≤0，所以a+b)e≥l, 则a+b-=1+1+1+2a-2(a+bE=1+1+1-2(a+bE≤3-2=1. 则a+b-d的最大值为1. 故选：B 8.已知△BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C,若，1+1= 3 ,则cosB的最小值 tan A tanC tan B 为() A方 1 B. C. √5 D. 9 2 5 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基 本不等式求和的最小值 1 【解析】因为 1 cos A,cosC sin Ccos 4+sin AcosC sin(4+C)sin B tan A tan C sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin AsinC' 第3页共11页 又1+13 ,所以_sinB-3cosB tan A tan C tan B sin Asin C sin B 所以sin?B=3 sin Asin Ccos B,由正弦定理可得b2=3 ac cos B, 又余弦定理6=ad+2-2 aecosB,即6=a2+c2-2b, 3 2 所以6=a+c2,则由余弦定理 cosB=a'+c2-b2 a2+c2） -ac 2, 2ac 2ac 2ac 5 当且仅当a=c时取得等号， 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选 错的得0分. 9.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，E,F分别为棱AB1和AC上的点（不包括端点），且 BE∩CF=P,则下列结论正确的是() E A.B,C,E,F四点共面 B.PE平面ABBA C.AE与平面BB,C,不相交 D.P,A,A三点共线 【答案】ABD 【解析】对于A,根据两条直线相交可以确定一个平面即可求解； 对于B,C,D,根据点线面的位置关系即可求解； 对于A,因为BE∩CF=P,所以BE,CF共面，所以A正确： 对于B,P∈BE,BEC平面ABB,A,所以P∈平面ABB,A,故B正确， 对于D,P∈CF,CFc平面ACC,A,P∈平面ACCA, 第4页共11页 所以P∈平面ABB,A∩平面ACCA=AA,故D正确： 对于C,AE与BB,相交，则AE与平面BBC,相交，故C不正确. 故选：ABD. 10.若3,22,3，为复数，31≠0，下列命题正确的是() A.若z=z,，则= B若=三，则5 z C.若>，则23>3 D.若222=0，则22=0 【答案】ABD 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【解析】对于A,因为z=z2,所以3=z2,则22=，故A正确； 对于B,因为，=三，所以24=，则2，=小，所以=，则= 故B正确. z 对于C,取22=2i,z3=1,则满足z2>,但由于虚数无法比较大小，故22>2不成立，故C错 误； 对于D,因为22=0，所以，=0（舍去）或22=0，故D正确。 故选：ABD 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若(b2-a2)sinB=2S, 则以下说法正确的有() A.a2+ac=b2 B.B=24 c4 D. 6+c∈(5+1,5+2 a 【答案】ABD 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【解析】已知在锐角△4BC中，(62-d2)sinB=2S,其中面积S=acsin B, 公2-a2)sinB=2.】acsin B=acsin B,因为sinB≠0，所以B-a=ac,即a+ac=b,A正 确： 第5页共11页 由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B,代入b2=a2+ac得： a2+ac=a2+c2-2accos B=a=c-2acos B, 由正弦定理，a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,代入得：sinA=sinC-2 sin Acos B, 继续化简 sin A=sin(-(A+B))-2sin Acos B=sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin A=sin(B-A), 因为64BC是悦角三角形，所以4B0引8-4（号引 ,故B-A=A,即B=2A,B正确： B=24< 因为△ABC是锐角三角形，且B=2A,所以： 2 π 6 至，C错误， ,解得：又<A< C=π-A-B< 2 b+c sin B+sin C sin 24+sin34 而sin3A=sin(A+2A)=3sinA-4sin3A,代入得： a sin A sinA b+c_2sin4cosA+3sinA-4sim3A=4os2A+2cosA-1,因为A∈（区，，所以 a sinA 6'4 cos4e( 2’2 令1=cosA,则f)=42+2t-1,该函数是开口向上，对称轴为 b 。21 的二次函数， 2a2x44 因为区间(5,5)在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 22 2+1, √3 而 5+2,所以b+c∈(N2+l,5+2),D正确。 2 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12.在△ABC中，H为BC的中点，M为AH的中点.若AM=AB+AC,则元+4的值为 【答案】205 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【解析】因为在△ABC中，H为BC的中点，M为AH的中点.所以AM=AH, A=)(AB+AC),所以M=B+AC, 4 又因为=A+C,所以=-子则2+u-分 故答案为：2 1 第6页共11页 cos(&-80） 13.若tana=2tanl0°，则 sin(a-10)】 【答案】3 【知识点】给角求值型问题 cos(a-80）cos(a+10°-90）sim(a+10） 【解析】tana=2tanl0, sin(a-10) sin(a-10） sina-10） sina cos10°+cosa sin10°tana+tanl0°3tanl0° =3 sina cos10°-cosa sin10° tana-tan10 tan10' 故答案为：3 14.在锐角△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2 sin C,则tanA+tanB+tanC的最 小值为 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正切公式化简、求 值 【解析】根据正弦定理由a=2 bsin C,可得sinA=2 sin BsinC, 所以sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C=2 sin Bsin C,即可得tanB+tanC=2 tan Btan C, 又因为tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC ,可得tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C, 1-tan Btan C an4-2'所以tan Atan BtanC=tanA, tan A tan A 因此tan B tan C= tan A-2 因为△ABC为锐角三角形，所以an Btan C=anA,>0,即mA>2, tan A-2 令tanA-2=t,可知t>0, 所以an4 tan BunC=tan d:tand,-亿+2Y-1+4+4≥2，f女手+4=8 4 tanA-2 t V t 当且仅当t=2时，即tanA=4时，等号成立，所以tanA+tanB+tanC的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本大题共4小题，共47分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字 说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题满分10分) 已知向量a=(2,3),b=(1,2),c=ka+b(k∈R). (I)若向量与a-3b共线，求实数k的值： 第7页共11页 (2)若向量c与6的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 【路案10=a(0小0+对 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算 的坐标表示 【解析】(1)由题意可得c=ka+b=(2k+1,3k+2),a-3b=(2,3)-3(1,2)=（-1,-3), 若向量c与ā-3b共线，可得-3(2k+1)+3k+2=0, 解得k …5分 3 (2)若向量c与i的夹角为锐角可得ab>0,且c与i不共线， (2k+1)+2(3k+2)>0 即可得 2(2k+1)≠3k+2, 解得k> 5且k≠0， 即实数的取值范围为k1k>-且k≠0以.5分 8 (漏掉k≠0扣2分) 16.(本题满分10分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，各棱长均为6，P,Q分别是侧棱BB1,CC上的点，且BP=CQ =2. (1I)在AC上是否存在一点D,使得BD∥平面APQ?并说明理由. (2)求异面直线PA与A1C所成角的余弦值 【解析】(I)当D是AC的中点时，BD∥平面APQ.…1分 理由如下：在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为6，BP=C1Q=2, 所以P,Q分别是BB1,CC上的三等分点. 取AQ的中点E,连接PE,ED,则DE为△AQC的中位线， 所以ED/COED=CO.又BP∥QC,BP=QC,所以BP∥DE,BP=DE, 从而四边形BDEP是平行四边形， 第8页共11页 所以PE∥BD.因为PEC平面APO,BDa平面APQ,所以BD∥平面APQ.…4分 (2)由(I)得∠PAC或其补角即为所求.…1分 在直三棱柱中，BB1⊥AB,BB1⊥BC, AP2+AC2-PC2 310 所以AP=PC=2V10.又AC=6,则由余弦定理得cos∠PAC=2APAC 20. …4分 17.(本题满分12分) 0肥aeo引8行且ma+)=mu- 65 ,求cosB的值； ②E知2na-+sn0=0,且a-月++点a受keZ.求ml,月的值。 tang 253 【答案】(1)-325；(2)-3 ysn(a+p月）=-3cos(a+)=-sma+=手， 3 65 .cosa--sina-16 sina-63 65 cosB=cos[(a+B)-a] =au+aa+如una=号将g 65325 …6分 (2)..2sin(2a-B)+sinB=0, ..2sin(2a-B)=-sinB=sin(-B),2sin[(a-B)+a]=sin[(a-B)-a], 2sin(a-B)cosa+2cos(a-B)sina =sin(a-B)cosa-cos(a-B)sina sin(a-B)cosa=-3cos(a-B)sina, +ta主keZ,cosa-例0coa0 .tan(a-B)=-3tana, 即lan(a-）_-3. tana …6分 18.(本题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,2 bcosA+b=c. ()若B=,求C的值： 第9页共11页 (2)若2CD=DB,AD平分∠BAC,求cosC的值： (3)若△ABC为锐角三角形，且b=1,求△ABC周长的取值范围. 【答案】()c=牙；(20：(3)2+V2,3+V5 【解析】(I)由2 bcosA-+b=c得b=c-2 bcosA, 由正弦定理得sinB=sinC-2 sinBcosA, sinB sin(A+B)-2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-2sinBcosA, sinB=sinAcosB-cosAsinB sin(A-B), 因为A,B为三角形内角，所以B=A-B或B+A-B=元（舍去）， 所以A=2B, 4,则C-π 因B= 4 …4分 (2)由(1)得A=2B,AD平分∠BAC,则∠BAD=∠DAC=∠B, 设CD=x,因2CD=DB,则BD=DA=2x, 因为AD平分∠BAC,则由角平分线定理得AB:AC=BD:DC=2, 则AC=b,AB=2b, 在等腰△ABD中，cosB 2,在△ABC中由余弦定理得，c0sB=4+9x2-2 12bx 由b=46+9r2- 2x 12bx ,得b=3,cosB=5, 因为BE0,,则B=,C=π-3B=所以cosC( 6 …4分 及 (3)在△4BC中由正弦定理得0三1三 sinA sinB sinC' sing c=sinc 得a=sinA sinB 所以a+c=sin4+sinC sinB 又因为A=2B, 第10页共11页 所以a+c=sin2B+sin3B_2 2sinBcosB+sin(B+2B) sinB sinB 2sinBcosB+sinBcos2B+cosBsin2B sinB =2cosB+cos2B+2cosB=4cos2B+2cosB-1 …4分 因为△4Bc为角三角形，则4c(0引cc0,到 且A=2B, 所以a+c=4cos2B+2cosB-1∈1+V2,2+5, 所以△ABC周长的取值范围为(2+2,3+V5 …3分 第11页共11页2025级高一第二学期数学周测5（20260506) 班级 姓名学号 考试时间：90分钟满分：120分 命题：倪琦做题：李进审校：播永斌 一、选择题：本大共8小愿，每小顺5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合顺目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。 1.已知角a的终边过点A-3,m)且sa=4,则m气） A.3 B.4 C.3 D.4 2若2为虚数单位)，则时() B.2 C. √10 D. 3 2 1-tan 3。若na=}e是第三象限角，则如 2（ ) 1+tan 2 A.-2 B.2 c D.8 4.ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在4BC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,C.若c2=(a-b+45,且C= 则免4BC的面积为() A.33 B.9W5 C.3 D. 33 2 2 6.已知a=(cos75°，sin75）,6=(,-1),且aLb,则元=( A.2+3 B.2-V5 c.3+1 D.5-2 7.若a,五，c均为单位向量，且ab=0,(a-c)6-c)≤0，则a+-的最大值为() A.√2-1 B.1 c.2 D.2 8.已知4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1 13 tan d'tanc-tan'则cosB的 致小值为) A. B. 2 9 c.3 D. 2 5 2025级高-一第二学期数学周测5第1页共4页 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，请把答泉填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分 分，不选成有选错的得0分、 9.如图，在三棱柱ABC-ABC中，E,F分别为棱A1B1和A1C1上的点（不包括端点）， 且BE∩CF=P,则下列结论正确的是() A.B,C,E,F四点共面 B.P∈平面ABB1AI C.AE与平面BB1C1不相交 D.P,A1,A三点共线 10.若31,2,23，为复数，31≠0，下列命题正确的是() A.若三=五，则= B若名=三， 司 C.若>，则2> D.若2=0，则z2=0 11.在锐角4BC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,记4BC的面积为S,若(b2-a2)sinB=2S, 则以下说法正确的有() A.a2+ac=b2 B.B=24 c平<4贤 Dge5+15+2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位霞上， 12.在ABC中，H为BC的中点，M为H的中点.若AM=1AB+HAC,则1+4的值为 13.若tana=2tan10°，则 os(a-80） ina-10） 14.在锐角ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2 bsinC,则tanA+anB+tanC 的最小值为一 四、解答题：本大题共4小题，共47分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤. 2025级高-第二学期数学周测6第2页共4页 15.(本题满分10分) 已知向量a=(2,3),b=(1,2),c=ka+b(keR). (1)若向量与a-3乃共线，求实数的值： (2)若向量c与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16.(本题满分10分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为6，P,Q分别是侧棱BB1,CC上的点，且 BP=C1O-2. (I)在AC上是否存在一点D,使得BD∥平面APQ？并说明理由； (2)求异面直线PA与A1C所成角的余弦值. C 17.(本题满分12分) 2025级高一第二学期数学周测5第3页共4页 已知ao引p臣列且ma+叭=nag。 =65·求eosP的值： 2)已知2sin(2a-P)+s6=0,且&-B≠5+a≠低，ke乙.求a(a-P2的值. 2 tana 18.(本题满分15分) 在4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,2 bcosA-+b=c. ()若B=牙，求C的值： (2)若2CD-DB,AD平分∠BAC,求cosC的值； (3)若ABC为锐角三角形，且b=1,求4BC周长的取值范围. 2025级高一第二学期数学周测5第4页共4页