江苏南京市第十三中学2025-2026学年高一下学期数学周测2

2025级高一第二学期数学周测2（20260325) 班级 姓名 学号 考试时间：90分钟 满分：120分 命题：何达伟 做题：袁云审校：潘永斌 一、单选题 1.计算sin53cos23°-sin37cos67°的值为() A.-3 2 B.9 c D. 【答案】D 【解析】sin53°cos23°-sin37°cos67°=cos37°cos23°-sin37°sin23° =c0(37+23)=c0s60°=2故选：D. 2.已知cos-孕-手则sin2x的值为( ) A芸 B c. D.25 【答案】C 【解折】因为co(-牙)-号 sin 2x=( w2-引o2x引2or-引-1=)-l=3放选：c 3.己知e,e2是单位向量，且<e1,e2>=3 若向量m=e1+2e2在e2上的投影向量为e2(∈R), 则λ=() A.2 B.月 c.3 D.5 【答案】B 【辩折】张影意，a6=6+2匀)6=66+么+？-月 向量a在e,上的投影向量为 导子=热，所以长冻以 1若角a学的终边经过点双-9织则a=() A.-30 10 B.0 10 c.vio 310 10 D. 10 【答案】C 2025级高一第二学期数学周测2第1页共11页 【1医为a+这可号哥合-，微在腔 则c0a=G a+开}开wsao经na*好 5×巨+25×2- ,故选：C 52 5 210 5.在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD=60°，P为边CD上一点，若AP⊥BD,则线 段AP的长为() A.@ 2 B.V5 C.3 D.2W3 【答案】A 【解析】设AP=AD+2AB,如图， P 因为AP⊥BD, 所以AP.BD=(AD+AB)(AD-AB)=AD°-AB+(-1)AB.AD=0, 即4-9元+(2-)×3×2×，0，解得元= 1 所以AP=AD+1AB, 6 h-0-4+40= 、2 ++x3x2x5-2 故选：A. 43 22 6.在梯形ABCD中，AB=2DC,E为CD的中点，AC,BE交于点F,若AF=1AD十uAB,则入 十u=() A号 B D. 【答案】D 【解析】如图所示，连接BD,交AC于点G.在梯形ABCD中，由AB=2DC,得AB|DC,且 2025级高一第二学期数学周测2第2页共11页 c0A-12%80片所以40号4c.日 、3 AG=AB+sG=AB+号8D=AB+(aD-A)AB+号AD, 因为B为CD的中点：所以4即5C,且CA8=14,所以F器子所以-4C 31 E B 1 7.若m10c0s10=4,则1=(） A.1 B.2 C.3 D.2 【答案】C 【解折】由gm10cos10=4得(n0-小cs10-10-n0cs10 sin10° -os102n20-s10-2sm60-102cos10°-23os10°+2x5 2 sin 109 sin10° sin10° sin10° -=5 故选：C &.已知0<a<受，tama=2iamg,sin(a-月=3则tam6=() A月 C.1 D.2 【答案】B 【解】m=20,即22，manf-2 oin0. sin(a-P)=sin-coss=1②， 3 由①②解得sin a cos B= cosasin B= .sin(a+B)=sinacos B+cosasin B=1, a+B-+2Z,a--B++2,ta a-tam++2k=1g 2 2 2 tanp'又，0<a< 21 tan a=、1 1 1 。>0,即tan B>0,则tana=2tanB= tan B p即ta'A=2 解得nB=5或mB=-5(舍去).故选：B. 2 2 2025级高一第二学期数学周测2第3页共11页 二、多选题 9.己知向量a=(4,3),b=(2cos0,2sin),则( ) A.b|=2 B.当aLb时，sin8=5 C.当a/D时，an20-号 D.M一b的最大值为7 【答案】ACD 因为b=(2cos0,2sin0),所以b=V4cos28+4sim8=2,故A正确： 当a1b时，a.b=-8cos0+6sin0=0,即4cos6+3sin8=0, 因为cosa+m0=1,得sm0=士号，B错误： 24 当a/5时，满足8m0-6cos0-0,即m9=子，所以m20=升，c正瑞： a-b≤d+b=5+2=7,故a-b的最大值为7，D正确故选：ACD. 10.若c24=云m8-5Ae0,分850.马.则) 7 A,48 B.A>2B C.B<A D.A+B<背 【答案】AC 【解析】对于A,cos2A=1-2sim2A= 25,可得nA=±3 又因为A∈0,2) 3.1 所以inA=号>2，可得A>石，放A正确： 7 对于B,由cos2A=2c0s2A-1= 4 得cosA=士 25 又因为A∈0,2) 所以coSA= 4 5’ 5 ew28-129mn-号南白8e0到)928 5 由c0s2B= cosA= 3 4 得A<2B,故B错误： 对因%mA-m8-Ae0引r 3 2025级高一第二学期数学周测2第4页共11页 所以B<A,故C正确： 对D,因为420 所以 cos(4+B)=cos Acos B-sin Asin B= 42W535V51 555552 所以A+B>T,故D错误故选：AC 3 11.己知x1,2,x3是方程sin3x十sin4x=0的根，且0<x1<x2<x3<π，则(） A.-弯 B.x1十x2十X3=2π C.tanx3-tanx2-tanxi=tanxitanxztanx3 D.cosxicosxzcosx3-8 【答案】ACD 【解析】sin3x+sin4x=0,即sin3x=-sin4x=sin(-4x), 则3x=-4x+2kπk∈Z或3x-4x=π+2km,k∈Z, 则x-号eZ或x=-2ez, 则在x0,内的有x--红，x- ， 7 7 4 6 因为0<5<水<飞，<元，所以名子元，飞=，，元 7 12 则x+x2+x=7 π，故A正确，B错误： 因为考=+，所以tan西，=tam(:+x)=an+tan】 1-tan x tan xz tan x (1-tan x,tanx,)tanx +tanx,, 则tanr,-tanr2-tany1=tanx,tanr,tanx,故C正确； 因为9=o26 8 2 4 8 4 三→ 所以c0sx1cosx2cosx3=cos亏兀Cos-兀Cos与兀= 2 8sim兀 4 4 8 8 8 2 4sin7πcosπcos9L2sin9元cos 元si，正s五 +2π (7 1 2 2 2 2 8故D正确故选：ACD. 8sin二π 8sin兰元8sin2π8sin二元 2025级高一第二学期数学周测2第5页共11页 三、填空题 12.若向量a,b满足a=1,(a+b)La,(2+b)⊥b,则-b=」 【答案】V5 (a+b)a=a2+a.b=1+a-b=0 【解析】由=l(a+b)1a,(2a+b)L6得 (2a+b）b=2a.b+b2=2a.b+b2=0 化简得 2所--@-6可-后-2a6+6--22-5 b2=2 13.已知tan(a+)=-多，且sin(a+)=cos(a-m,则（ama+1tamB+1)= 【答案】-10 【解析】因为sin(a+B)=cos(a-B),所以sinacosB+cos osinB=cos ccosB+sinosinB, 两边同时除以cosacosB,可得tana+tanB=1+tanatanB, tana+tanB 5 因为tan(a+6)1-tanctang7'所以tanc+tamg=-0-tanctan/） 所以1+tanatanB= 51-tanctanp）,解得tanctanB=-6. > (tana+1)(tanB+1)=tanatanB+tana+tan6+1=-6-5+1=-10 14.若sin0+sin20+sin30=0且cos0+cos20+cos30=0,则cos20= 【答案】方 【解析】因为sin8+sin28+sin38=sin(28-8)+sin28+sin(20+8) =sin2θcosθ-cos28sinθ+sin20+sin2θcosθ+cos20sin8 =sin28(2cos6+1)=0, cos0+c0s28+c0s3θ=cos(28-8)+c0s20+c0s(28+θ) cos20cos+sin 20sin+cos 20+cos20cos0-sin 20sin 0 =c0s28(2cos0+1)=0, 所以sin220(2cos0+1)+cos228(2cos6+1)'-0, 即(2c0s8+1)'(sim220+cos220)=(2cos0+1)2=0,解得cos日=-1 2025级高一第二学期数学周测2第6页共11页 故c0s20=2c0s20-1=2× 1)2 -2 1 三、解答题 15.(本题满分10分) a 1 知0<a<号<B<元，tan吃宁3：cos(a-)=-0 (1)求sina的值： (2)求B的值. 【答案】(1)sima= 5:(2)B=3π 4 a 1 2tan 2 2 3 3 4 【解析】1)因为tam气亏所以tana= -tan: 14,则cosa 91 9 9 因为sin2a+cos2au=1,所以sin2a= 251 因为0<a<元， 所以sma 5 4分 (2)因为0<a<匹<B<,所以-元<a-B<0, 因为mu-月-9有以eP=cu-A-5 10 则tan(a-P)= in(a-B)=7, cos(a-B) -tan B 因为am(a-p月-1 ma1+tp tand-tanp4 3 =7,所以tanB=-1, 4 因为<B<,所以B= 4 ……… 6分 16.(本题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的锐角，和钝角B的终边分别交单位圆于A,B两 点。已蜘点4的铁坐标9点万的纵坐标沿 2025级高一第二学期数学周测2第7页共11页 (1)求sin(a-): (2)求2a-B的值、 【答案】(1)-3o 10 【解折】1D由题意可知，0ca<分至<A<,csa: 5 sinp-② 10 所以sima=h-cos'a=2V5 5,cos 10 sin(a-B)=sinacosB-cosasin B= 2W5 72 5V2_3w10 10 510 10 ……… …4分 (2)由(1)可得sim(a-p)=-30 10 co(B)co 72)2520 5 10 51010 sin(2a-B)=sin a+(a-B)=sin acos(a-B)+cos asin(a-B) 又cosa= 52 52 2 所以2a-B=-亚 4 6分 17.(本题满分12分) 在△ABC中，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,若AB:AM:AC=6:7:10. (I)用AB,AC表示AM,BN: (2)求∠BAC: (3)若AMBN=一2，求四边形PMCN的面积. 【答案】a)aM-40+54c.Bw-AB+4C:(@写：G)20w5. 【解析】(1)因为AM为BC边上的中线，所以AM=AB+AC, 2 21 因为N为4C边上的中线，所以Bw-A+号BC=号4+4C-4)=-A期+号4C, 2 2025级高一第二学期数学周测2第8页共11页 …3分 (2)因为AM=AB+AC), 所以M-4B+AC+2MB-AC-44BF+4cr+2h8 H4Cco∠B4C) 因为AB:AM:AC=6:7:10, 所以设AB=6k,AM=7k,AC=10k(k>0), 所以(7k°=1(（6k°+10k°+2-6k.10k-cos∠BAC), 所以cos∠A4C- 又因为∠BAC∈(0，x), 所以∠A4C-号 …4分 AM.BN- (3) 4c34c04wc+ac, 已知AM.-BN=-2,设AB=6k,AM=7k,AC=10k(k>0),结合∠BAC=号 AB-AC4到ACo昏-30k,代入得： 36)400)+4000)=-2. 18k2-15k2+2562=2, 解得k2=4,k=2(k>0), 则AB=12AC=20,∠BAC= 3 9e4n4AcmB4c-12x20960w. 2 因为P是重心则Se=}Se,SAo-)5c 1。 3 所以SSe,同理S心名SC 6 6 SPMCN=S.PMC+S.PNC= se=205。 3 …5分 18.(本题满分15分) 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算 机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为 2025级高一第二学期数学周测2第9页共11页 了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距 离.若二维空间有两个点A(x1,y),B(2,y2),则A,B之间的曼哈顿距离为：dA,B)=x1一十 y1一y.A,B之间的余弦距离为1一cos(A,B),其中cos(A,B)= X2 Vx12+y121x22+y22Vx2+y12 2三为A,B之间的余弦相似度. Vx22+y22 (1)若A(2,一1)，B(1,一2)，求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离： (a已知0<a<B<5,M(cosa,,sina,Meosp,sin),Pcos(a+m,sin(a+,且cosM,W 号coM)=多 ①求NP之间的余弦距离： ②求N,P之间的曼哈顿距离 9 【答案】山)曼哈顿距离为2，其余弦距离为：②0有：②，22 325 【解析】(1)由题意得(4，B)=2-1+1-(-2=2, 1-cos(A,B)=1- 21,-1、-2）1 55+555 所以4,8之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为号 …4分 (2)①由题意得cos(M,N)=cos acos B+sin asin B =cos(a-B)iB,0ea<B<经，sim(e-A)= 12 13 cos(M,P)=cosacos(a+)+sinasin(a+B)=cos= 3 mB-号∴cos(到)=(a+B)+si(a+B. =cosa=cos (a-B)+B cos(a-B)cosB-sin(a-B)sinB, =12x35456 13513565 ·V,P之间的余弦距离为1-cos(N,P)=1-56=9 6565 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …5分 ②由①可得sim20=2 sBeo6=24 25,c0s2p=2c0s2B-1=-7 5 2025级高一第二学期数学周测2第10页共11页2025级高一第二学期数学周测2（20260325) 班级 姓名学号 考试时间：90分钟满分：120分 命题：何达伟做题：袁云 审校：潘永斌 一、单选题 1.计算sin53cos23°-sin37°cos67°的值为( A-9 B号 c.- D.克 2.已知cosk-孕=号，则sin2x的值为( ) A芳 B会 c品 D名 3.已知e1,是单位向量，且<e,e2>=季若向量a=e1十2e在e上的投影向量为e∈R), 则2=() A.2 B c.5 D.5 4.若角a叶的维边经过点代-55。则e题-() A.-30 10 ®晋 c晋 D0 5.在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD=60%,P为边CD上一点，若AP⊥BD,则线 段AP的长为() A.② B.5 C.3 D.2W5 2 6.在梯形ABCD中，B=2DC,E为CD的中点，AC,BE交于点R,若F=D+uAB,则x +u=() A B. c.8 D. 7.若oco0=4,则=( ) A.1 B.v2 C.5 D.2 8.已知0<a<受，tana=2ang,sin(a-月=子则tanf=() A克 号 C.1 D.2 2025级高一第二学期数常周测2第1页共4页 二、多选愿 9.己知向量a=(4,3),b=(2cos0,2sin0),则() A.6=2 B.当a⊥b时，sin6写 c.当a/b时，an20-号 D.|a一b的最大值为7 10.若co24=务snB= .7 ,A∈0，，B∈0，，则() A.A>爱 B.A>2B C.B<A D.A+B< 11.已知，2，x是方程sin3x十sin4x=0的根，且0<x1<2<<π，则() A.9 B.x1十2十x3=2π C.tanx3-tanx2-tanx=tanxitanxatanx3 D.coan16oac0a6-日 三、填空题 12.若向量a,b满足|a=1,(a十b)La,(2a十b)Lb,则|a-b= 13.已知tana+m=-多且sima+)=-cos(@--m,侧(则aa+1Xanf+1)= 14.若sim0+sin20+sin30=0且cos0+cos20+cos30=0,则cos20= 三、解答题 15.(本题满分10分) 已知0<a<受B<,他号-月cota-月=-语 (1)求sina的值： (2)求B的值. 2025级高一第二学期数学周测2第2页共4页 16.(本题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的锐角a和钝角阝的终边分别交单位圆于A,B两 点。已知点A的横坐标为5点B的纵坐标为语 (I)求sin(a一： (2)求2a一B的值. 17.(本题满分12分) 在△ABC中，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,若AB:AM:AC=6:7:10. (I)用AB,AC表示AM,BN: (2)求∠BAC: (3)若AMBN=一2，求四边形PMCN的面积， 2025级高一第二学期数学周测2第3页共4页 18.(本题满分15分) 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算 机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为 了检测样本之闻的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距 离.若二维空间有两个点A(,y),B(2,2),则A,B之间的曼哈顿距离为：d(A,B)=1一x十 b一y以.A,B之间的余弦距离为1一cos(A,B),其中cos(4,B)= X2 十 2+yV2+z+2+元 +示为，B之间的余弦相似度 (1)若A(2,一1)，B(1,一2)，求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知0<a<B<,Mcosa,,sina,N(cosB,.simg,Pcos(a+A,sina+),且cosM,M =是cos0M,月=号 ①求N,P之间的余弦距离： ②求N,P之间的曼哈顿距离. 2025级高-…第二学期数学周测2第4页共4页