江苏南京市第十三中学2025-2026学年高一下学期数学周测3

2025级高一第二学期数学周测3（202600408) 班级 姓名 学号 考试时间：90分钟满分：120分 命题：李进做题：倪琦审校：潘永斌 一、单选题 1.化简证+B-CB等于() A.B B.BA C.0 D.AC 【答案】D 【解析】AE+EB-CB=AB+BC=AC,故选：D, 2.sinl10cos40°-cos70%in40=(） AB9c.专D.9 【答案】A 【解折】sinl10cas40-cos70sin40=sin70cos40-cos70sin40=sin30= 2放透：A. 3.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,cosB= 4,则A=() A.若B晋c.gD.减g 【答案】A 【解折】在646C中，直coB-,得n8=coB-子又a=2b=3. 3 则由正弦定理，得4-QsmB_2d 4-1,又b>a,即A为锐角， b 32 所以4=君故选：A 4.若2sin0-cos8=2,E(5,),则cos20=() A-号B}c.3D.3 【答案】D 4 [2sin0-cos0=2 [cos0=0 cos0=- 5 【解析】联立 sin6+cos26=1'解得： (sm6=1或 3 sin= 试卷第1页，共11页 c0s0=-4 又因为0∈ 5 则cos0<0,所以 sing=3 所以cos20=1-2sin20=1-2× =1-2=13放：D 2525 5.△4BC中，“acos4=-bco:"是△4BC是以zC为5的直角三角形的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在△ABC中，由acsA=beosB及余弦定理，得a2+c-d-b.d+c2- 2bc 2ac 整理得a2c2-a=b2c2-b,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则a=b或a2+b2=c2, 因此△ABC是以∠C为顶角的等腰三角形或以∠C为直角的直角三角形， 所以“acos=-beos"是△AC是以C为的直角三角形”的必要不充分条件故选：B. 6.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若a(cosC十V3sinC=b+c且a =5,则△ABC的周长的最大值为() A.15B.16C.17D.18 【答案】A 【解析】由己知及正弦定理得sin Acos C+√3 sinAsinC=sinB+sinC, ..sinAcosC+3sinAsinc=sin(A+C)+sinC sinAcosC+cos Asin C+sinC, 所以√3sin4sinC=cos Asin C+sinC,因为sinC≠0， 所以V5sin4-c0sA=1,即im-30)=,因为-30<A-30°<150°， 所以A-30°=30°，从而A=60°， 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0SA,即25=b2+c2-bc=(b+c)-3bc, 又3bc≤3 :b+c≤10，当且仅当b=c=5时等号成立，从而a+b+c≤15， .△ABC的周长的最大值为15.故选：A. 试卷第2页，共11页 7.△MBC中，4=买，4D为角A的平分线，4D=2,则AB+24C的最小值是() A.3+2W2B.6+2W2C.6+4W2D.3+4W2 【答案】C 【解析】由题意得：∠BAD=∠CAD= 3 设△ABD,△ACD,△ABC的面积分别为：SABD,SAcD,SABc, 则SBc=SAD+SACD, 即4B,AC sin∠BAC=AB,ADsi血∠BAD+4C,4Dg sin∠CAD, 2 2 2 .AB.AC.4B-AD AC.AD 22 2222 则8=A+4C,所以右+名 2 AB+24C-0AB+440。+)=6+41C+2M码26+24C25=6+4W5, AB AC AB AC VAB AC 当且仅当品-袋即0-24C时，等号度立。 AB=√2AC AB=2+2√2 联立方程组： 1+1=1,解得： AB AC 2 AC=2+√5 [AB=2+2W2 故当且仅当 AC=2+2 时，AB+2AC取最小值6+4V2.故选：C. 8.已知△ABC中，Aò=2AB+(1-)AC,且O为△4BC的外心.若BA在BC上的投影向 量为uBC,且cos2AOCE明，，则u的取值范围为() A.急B.月总C.原争D.店 【答案】A 【解析】 B 00 因为AO=AB+(1-)AC=AB+AC-AC, 则AO-AC=(AB-AC,所以CO=1CB,即B,O,C三点共线. 试卷第3页，共11页 因为O为△ABC的外心，即有|OA=OB曰OCI, 所以△ABC为直角三角形，因此AB LAC,O为斜边BC的中点，因为cos∠AOC∈ 12 33 所以∠AOC为锐角. 如图，过点A作AQ⊥BC,垂足为Q. 因为BA在BC上的投影向量为BO=BC,所以}<u<1, 2 =Oaī-O81=Oa-δa=O0雪回猎浒阴T丁O8 又因为OA=1BC1,所以cos∠A0C (u-Juc 2 =2-1 OA 网 「127 因为cos∠AOC 33 所以2-1∈ 12] 33 故“的取值范围为 25 36 故选：A. 二、多选题 9.己知函数x)=sinxcosx-一cos2x,则下列命题正确的有() A.)的最小正周期为2元B.)的最大值为2) C.直线x= 3 是函数)图象的一条对称轴D.)在区间0，令上单调递增 【答案】BCD 【解析】由题意可得： f(x)=sin xconx-cos x-Isin2x-1+cos2x-Isin2x-1 cos2x1-2sin 1 2 2 2 2 22气 对于选项A,因为7=2”=牙，故A错误， 2 对于选项B,函数最大值为D-!,故B正确。 2 对于选项C,函数f)的对称轴为2x-不=+kπ→x= 42 经当=0时，智 8 故C正确， 对于选项D,令0x当e0则：（0 因为正弦函数在 ππ 上 2'2 单调递增，故D正确. 10.如图，在△ABC中，AD=3DB,AC边上存在点E满足EA=1CE(1>O),直线CD和直 试卷第4页，共11页 线BE交于点R,若心=uDFu>0吵，则(） A.CD-iCA+CB B.M-4 ,+的最小值为12D. C.十 CR.EAA 一9 CD·CA 【答案】ABD 【解析】选项A:由慰意可得CD=Ci+AD=Ci+4=C1+(C-c网-oi+CB, 说法正确： 选项B:因为EA=CE(入>O),FC=uDF(u>O), 所似白cn-Caqs可aF=csc,nc原-ccm, 4 4(+1) ”4(u+1) 又因为BR,B三点共线，所以2+十，3业-1，解得M=4,说法正确： `4(+1)'4(+1) 项c宁气是)爱好层业4， 当且仅当分6，审号。=4N5时将号成立，所以是的技小值为4，说法错 1.64 2 误 选项D:因为EA=CE(2>0),FC=DF(>0), 所以CFEA CF EA cos a∠ACD u 4 CD.CA CDCAcos∠ACD CDCA +元+u+14+2+4+1 又因为元+4≥2=4，当且仅当1=u=2时等号成立， 所以CFBA4 CD.C44+2+4+1S。,说法正确，故选：ABD 11.己知对任意角a,B均有公式sin2a十sin2B=2sin(a+)cos(a一).设△ABC的内角A,B, 试卷第5页，共11页 C满足sim2A+sin4-B+C=sin(C-A-B)+片，面积S满足1≤2.记a,b,c分别为A, B,C所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是() A.bcb-<l65B.6acl2c.4品4W5D.n4 sinBnC--日 1 【答案】ACD 【解析】：A-B+C=π-2B,C-A-B=C-(A+B)=2C-π， 且sm2A+sim(A-B+c=sm(c-Aa到+分 故m2M+s血（π-2B)=sm(2C-)+号，因此可得：sin2A+sn2B+si加2C=) 对任意角a,B均有公式sin2a十sin2B=2sin(a+B)cos(a-B), sin 2A+sin2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)-sin 2(A+B)=2sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B) =2sinC.cos Acos B+sin Asin B-(cos Acos B-sin Asin B)=4sin C.sin Asin B 年4 sin Asin B sinC=2)所以sin Asin Bsin C= 8,D正确， :S=absinC=ac=2R'sin Asin Bsin C=R2(R为△ABC外接圆半径)， 4R 由1sS≤2放2≤R≤2N2,从而a=2Re[44W2],C正确； sinA abc=8 sin Asin BsinC=Re8,16√2]，B错误： bc(b-c)<abc=8 Rsin Asin BsinC≤16√2，bc(b-c)<16√2，A正确.故选：ACD. 三、填空题 12.已知ae(0,2,cosa=3,则sin2= 【答案】 3 【解析】ae0）,则simg>0, 2 由半角公式可得 1-cos a 3.故答案为： 3 in 2V2 2 3 13.己知向量+b+c=0,|d=1,b=lc=2,mb+bc+ca=」 【答案】} 【解析】由已知可得(a+b+c=a+b+c2+2(a-b+bc+ca=9+2(a.b+b-c+ca=0, 试卷第6页，共11页 9 因此，a-b+bc+ca=- 故答案为：2 9 2 14.设实数x,y满足sinx十cosy=1,则cosx+siny的最大值为一 【答案】√5 【解析】通过观察式子可得： (sinx+cos y)2+(sin y+cosx)=sin2 x+2sin x cos y+cos2y +sin2y+2 sin ycosx-+cos2x=2+2sin(x+y)≤4， 因为sinx+cosy=l,代入可得cosx+siny≤√5， 所以cosx+simy的最大值为√B.故答案为：√5. 四、解答题 15.(1)已知sin2a= 其中-票<a<景0<B<x求角2a-B的值 72 cos101+V3tan10) (2)化简： cos70%V1+cos40°· 【答案】1)-；(2)2 【解折】1)因为n2a-子cs0=-25且- .3 10 好a聋0<P<,可得于2u< 4 所以cos2a=V1-sin22a= 3'simB=-co 4 10 sin(2a-B)=sin2acosB-cos2asinB 7√2)4.√2 10 5102 …3分 兀 因为二<飞生，0≤P≤元，可得-气<2x<2 又因为0<sin2au= 3V2 ，cos0=-7V2。V 3π =COS- 521 4 102 4 所以0c2a行平B<,可得-B 4 所以-<2a-B<-子所以2a-B=-证 4 …6分 cos10(1+√3tan10) cos10 (13sin10 cos10 cos10+3sin10 2sin40 (2) -=2√2 cos70°V1+cos40 sin20°√2cos220 √2sin20cos20°√2 -sin 40 2 试卷第7页，共11页 ……4分 16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,S=(b2-c2)simA. (1)证明：b=2c: (2)若a=V7c,求内角A的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)A=120° 【解折】(1D在△ABC中，S=与csiA, 因为s=(-小n4,即cmA(-csm4 且0°<A<180°，则sinA>0, 则bc=b2-2c2,即(b-2c)b+c)=0, 又因为b+c>0,则b-2c=0,即b=2c …5分 (2)若a=√7c,则a2=7c2,且b=2c, 由余弦定理可得cosA= b2+c2-a24c2+c2-7c21 2bc 4c2 2 且0°<A<180°，所以A=120 …5分 (不写角范围，扣2分) 17.设a、b是两个不共线的向量，tR. (1)若，b,(十)三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求t: (2)若4=，且a与b的夹角为 ,那么k为何值时，a一的值最小？ 【答案】0-片⊙k-月 【解折】1)由已知可得a-历=a-+列-号ab, 2=1 “a、b不共线，… 3 t=- 3 3 Γ2 解得 1 .当1=时，向量a6a+列终点在同一直线上 试卷第8页，共11页 …6分 (2)la-=(a-)=a2+(b)-2a-b=1+k2)d2-2 cos60°=1+-k)a, 故当k=号时，a-最小 …6分 18已知臣数K)-9ux+片o2 (1)求w)的单调递增区间： (2)若=3[0，为，求c0s2的值： 3)若)的图象与直线y=a在区间0，)上恰有两个点，其横坐标分别为x1,2,求a的 取值范围以及x1十x2的值. 【答案】a号m+keZ)a-26 6 3)-1<a≤} += 3 【解折】①国上m2xc2xem2x 。。。。。。。。。 …2分 当2-牙≤2x+≤2加+e2☑时，国单调递增， 6 即-背x≤红+keZ)时，f)单调造增。 6 则(y单调区间为[红-号红*e2) 6 2分 2)广则m2引号 6[0引则2+[ m-则229 3 m2m2引m骨5+-6 …5分 试卷第9页，共11页 。7π (3)x∈0,6 ,则2x+6(62” ππ5π 列表： 2 5π 2π 11π 7π 0 6 12 3 12 6 2r+π 公 3π 兀 2元 6 6 2 2 2 f(x) 0 -1 0 1 则f(x)图象如下图所示： y-a 11π7πx 126 =x) 由图易知：-1<as1 关于=对称、即5+5积 3 3 …6分 *19.设n次多项式Pn()=at十-11十..十a2t+t十ao(a≠0)，若其满足P.(cosx)=cosx, 则称这些多项式P.()为切比雪夫多项式.例如：由cos0=cos0可得切比雪夫多项式P1()= x,由cos20=2cos20-1可得切比雪夫多项式P2(x)=2x2-1. (1)若切比雪夫多项式P3(x)=ax3+bx2+cx+d,结合cos30=cos(20+),求实数a,b,c,d 的值： (2)利用cos54°=sin36°，结合(1)的结论，求sin18°的值： (3)已知函数x)=8x3-6x一1在区间（一1,1）上有3个不同的零点，分别记为x1,x2,x3,求 x1十x2十x3的值. 【答案】aa=4b=d=0,c=-3(2n18=5-1 (3)0 4 【解析】(1)依题意， B(cos@)=cos30=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sine=(2cos20-1)cos0-2sin2@cos0 2cos e-cose-2(1-cos20)cose=4cos30-3cose, 因此(x)=4x3-3x,即3+bx2+cx+d=4x3-3x,则a=4,b=d=0,c=-3. 试卷第10页，共11页2025级高一第二学期数学周测3（202600408) 班级 姓名 学号 考试时间：90分钟满分：120分 命题：李进 做题：倪琦审校：潘永斌 一、单选题 1.化简店+-等于() A.丽 B.BA C.0 D.花 2.sin110°cos40°-cos70sin40°=()） A过 B.3 c日 D.一返 2 3.在△MBC中，内角AB,C的对边分别为a,b,6,a=2,b=3,sB=5,则A() 4 A君 B.月 C.5π 乃.或5π 6 66 4.若2sin0-cos0=2,0∈，)，刚cos20=() A手 B c.-2 25 D 5.△ABC中，acosA-=bcosB'”是“△ABC是以∠C为的直角三角形"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ℃.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若a(cosC+V3sinC=b+c且a =5,则△ABC的周长的最大值为() A.15 B.16 C.17 D.18 7,.△MBC中，4=号MD为角4的平分线，4D-2,则B+24C的最小值匙) A.3+2V2 B.6+2N2 C.6+42 D.3+4v2 8.已知△ABC中，AO=1AB十(1一)AC,且O为△ABC的外心.若BA在BC上的投影向 量为rBd,且cos∠A0C∈ 则μ的取值范围为() A.学吾 B. c. D 二、多选题 9.已知函数x)=sinxcosx一cos2x,则下列命题正确的有() A.x)的最小正周期为2 B.)的最大值为上」 2 2025级商一第二学期数学周测3第1页共3页 C.直线x=还是函数网图象的一条对称轴D.心在区间0，令上单调递增 10.如图，在△ABC中，AD=3DB,AC边上存在点E满足E= λCE>0),直线CD和直线BE交于点F,若F元=μD(u>O), D 则() B A.CD-CA+3CB B.4=4 C计的最小值为12 D. 函A CD:CA 9 1l.已知对任意角a,B均有公式sin2a+sin2B=2sin(a+)cos(a一).设△ABC的内角A,B, C满足sin2A十sin(4-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2.记a,b,c分别为4， 2 B,C所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是() A.bc(b-c)<16\2 B.6≤abc≤12 C.4≤4≤42 D.sinAsinBsinC=1 sinA 8 三、填空题 12.己知a∈0，孕，coa-=字则sm号 13.已知向量a+b+c=0,al=1,例=lc=2,ab+bc十ca= 14.设实数x,y满足sinr十cosy=1,则cosx十siny的最大值为_ 四、解答题 15.(1)已知sin2a=3 09g=-5其中-子a<景0<g<,求角2a-啪值， 10 4 (2)化简.cos101+V5tan109) cos70V1+cos40° 16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,S=b2-csin (1)证明：b=2c; (2)若a=V7c,求内角A的大小. 2025级高一第二学期数学周测3第2页共3页 17.设a、b是两个不共线的向量，t∈R. （)若a,b,a+)三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求4 (2)若网=l,且a与b的夹角为，那么k为何值时，a一kb的值最小？ 18、已知函数侧-9n2x+o2r 2 (1)求)的单调递增区间： (2若o)一子∈[0，克，求o2的值： (3)若)的图象与直线y=a在区间(0， 二列上恰有两个点，其横坐标分别为，，求a的 取值范围以及十2的值. 19.设n次多项式P()=an+an-lt1+.十a22+a1t+ao(an0),若其满足P(cosx)=coSnx, 则称这些多项式P(0为切比雪夫多项式.例如：由cos6=cos可得切比雪夫多项式P1(x)=x, 由c0s20=2cos20-1可得切比雪夫多项式P2(x)=2x2-1. (1)若切比雪夫多项式P3(x)=ax3+bx2十cx十d,结合cos30=cos(20+),求实数a,b,c,d 的值： (2)利用cos54°=sin36°，结合(1)的结论，求sinl8°的值： (3)已知函数x)=8x3-6x一】在区间(-1,1)上有3个不同的零点，分别记为x,,3,求 十2十3的值， 2025级高一第二学期数学周测3第3页共3页