安徽宿州市第二中学2025-2026学年第二学期四月教学质量检测高三数学试题

2025-2026学年第二学期四月教学质量检测试题

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

 

第一部分（选择题 共58分）

一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数z＝i（1+i），则的虚部为（　　）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

2．已知集合A＝{x∈N|x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤3}，则A∩B＝（　　）

A．{1} B．{1，2} C．{0，1} D．{0，1，2}

3．若，，，的夹角为135°，则等于（　　）

A． B． C． D．2

4．设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，2）上单调递减，则a的取值范围是（　　）

A．[4，+∞） B．[﹣4，0） C．（0，4] D．（﹣∞，﹣4]

5．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若四边形PF1QF2为矩形，则四边形PF1QF2的外接圆面积为（　　）

A．16π B．12π C．8π D．4π

6．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（　　）

A． B． C． D．

7．已知P，M，N分别为直线x﹣y﹣3＝0，圆，圆上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

 

8．已知a＝4ln5π，b＝5ln4π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a

 

二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若X～N（600，σ2），其中σ＞0，则（　　）

A． 

B．P（592＜X＜598）＜P（602＜X＜606） 

C．P（X＜595）＝P（X＞605） 

D．σ越小，P（X＜598）越大

10．已知抛物线C：x2＝4y，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点A（2，2），则下列说法正确的是（　　）

A．焦点F到准线l的距离为2 

B．焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1 

C．|PA|+|PF|的最小值是3 

D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切

11．数列{an}中，a1＝0，a2＝1，an+2）（n∈N*），则下列结论中正确的是（　　）

A．0≤an≤1 B．{|an+1﹣an|}是等比数列 

C．a8＜a10＜a9 D．a9＜a10＜a8

 

 

第二部分（非选择题 共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．曲线y在点（2，）处的切线方程为　              　

13．已知α是第三象限角，，则 　     　 ．

14．某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到

的圆锥容器内壁总面积为　     　 ．

 

四．解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求△ABC的面积；

（3）求b+c的取值范围．

16．（15分）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元．已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为，，，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立．

（1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；

（2）记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望．

17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面为BB′C′C菱形，AB⊥B′C，B′C∩BC′＝O．

（1）求证：平面BB′C′C⊥平面ABC′；

（2）若AC⊥AB′，∠CBB′＝60°，AB＝BC＝2，求异面直线AB′与BC所成角的余弦值．

18．（17分）已知函数（a，b，c∈R）．

（1）当a＝b＝1，c＝﹣2时，求函数f（x）的最小值；

（2）当a＝c＝1时，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：；

（3）设a，b为函数f（x）的极值点，且a＜b，若a，b，c是一个三角形的三边长，求a+b﹣c的取值范围．

19．（17分）双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左、右顶点分别为A，A1，点A1到C的渐近线的距离为．

（1）求C的方程；

（2）按照如下方式依次构造点An（n≥2且n∈N）；过点An﹣1作斜率为﹣2的直线交C于另一点Bn﹣1，设An是点Bn﹣1关于实轴的对称点，记点An的坐标为（xn，yn）．

（i）证明：数列{xn﹣yn}，{xn+yn}是等比数列，并求数列{xn}和{yn}的通项公式；