安徽合肥市第十一中学等校2026届高三第二学期4月质量检测数学试题

机密★启用前 2026届高三第二学期4月质量检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={x|x2-5x+4>0),B={x∈Z√<3}，则A∩B= A.{2,3} B.{0,2,3} C.{5,6,7,8} D.{0,5,6,7,8} 2.若|z|=|之一2，则之的虚部为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.函数f(x)=sin2x一2cos2x的最小正周期是 A军 B受 C.元 D.2π 4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a十b=5,c=I3,C=,则ab的 值为 A.4 B.23 C.3 D.3 5.26078被7除所得的余数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若a+合十 tan(a+晋)】 =4,则cos(2a-)- B- c 7.已知随机变量X的所有可能取值为0,1,2，且P(X=0)=0.3,E(X)=1.2,则D(X)= A.0.48 B.0.54 C.0.76 D.0.92 高三数学试题第1页（共4页） 8,设椭圆C等+芳=1(a>6>0)的左右焦点分别为R,R,0为坐标原点，过R,的直线 与C交于A,B两点，若|AB|=a,S△ABF,=3S△AoF,,则C的离心率为 B.5 3 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=ln(sinx),则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.fx≥8 D.f(x)≤0 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过点M(m,0)(m>0)的 直线交C于A,B两点，设O为坐标原点，则 A.p=2 B.若F为△AOB的重心，则|AB|=2√6 C.若∠AOB=90°，则m=2 D若A+MB为定值，则m=2 11.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，对Hx,y∈(0，+∞)都有f(xy+1)= 不》十Tf2)=分记a,=mmEN",则下列说法正确的是 f(xy) A.数列{an}是等差数列 B当2时2症 c当2时)层。)号 Dad+a+叶ai>号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知f()=,则曲线y=f(x)在点（合f(合）)处的切线方程为 13.已知非零向量a,b满足a⊥(3a+2b),b⊥(4a+b),则cos(a,b)= 14.如图，点P,A,B,C均在球O的表面上，PA=PC=BC=1,AB=2, PB=√2，平面PAC⊥平面ABC,则球O的体积为 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}是等差数列，且a4=10,Sg=117. (1)求数列{am}的通项公式； (2)设6，=2必，数列6，}的前n项和为T,证明：是<号。 16.(本小题满分15分) 已知双曲线C:号-苦-1(0>0,6>0)的左，右焦点分别为，F,离心率为2，且点 (2,5)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线上存在一点A,满足AF,·AF2=3,求点A到双曲线的两条渐近线的距离 之和. 17.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PBD是正三角形，AB=AC=2, PC=2√3，E为PD的中点」 (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD; (2)求二面角B-CE-D的正弦值. 高三数学试题第3页（共4页） 18.（本小题满分17分) 某区域中的物种N拥有A、B两个亚种.设从该区域中随机捕获1个物种N,该物种N 为A种的概率为饣(0<<1)，为了估计该区域中物种N的数目，研究人员从该区域中 随机捕获3个物种N,设3个物种N中A种的数目个数为X,再将捕获的物种全部放 回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次.记第i次捕获时A种的数目为x.统计结 果如下表： i 1 2 3 4 6 xi 3 3 2 1 3 (1)求X的分布列； (2)设函数f(p)=21nP(X=x),已知该区域中B种的数目为180.（将使f八p)取得最 大值的p值作为p的估计值) (i)求p的估计值； (ii)据(i)估计该区域中物种N的数目. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2-2(a-1)x-2xlnx. (1)当a=1,x∈(1，+∞)时，证明：f(x)>1; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2（x1<x2),记A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)). (i)求a的取值范围； (ii)若x2-3x1≤0，求直线AB斜率的最小值， 高三数学试题第4页（共4页）2026届高三第二学期4月质量检测·数学 参考答案 题号 2 3 5 6 8 答案 D C A A D C B 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】D 【解析】由x-5x+4>0解得A=(a<1或x4},且B=(0.1,2,3,4,5,6,7,8),所以A∩B={0,5,6,7,8.故选D. 2.【答案】A 【解析】设之=a十bi(a,b∈R),则x-2i=a+(b-2)i,由题意得√a2+(b-2)=√a2+6,解得b=1,则z的虚部为1.故 选A. 3.【答案】C 【解折1/x)=sinx-(2-2sinx)=3sin2x-2=是(1-cos2x)-2=一之(3c0s2x+1),所以f八x)的最小正周期为 π，故选C 4.【答案】A 【解析】由余弦定理得a2十b2-c2=2 abcos C=(a十b)2-c2-2ab,所以3ab=(a十b)2-c2=25-13=12,ab=4.故选A. 5.【答案】A 【解析】26078=(22)2026=8226=(7+1)226=C22672026(1)°+C22672025(1)1+…十C号870(1)2026，所以26078=7n十1， 26o8被7除所得的余数为1，故选A. 6.【答案】D 【解标+)+女-o+爱+aat-2 2 =4.则sin(2a+子）=是，所以 cos(2a-吾)=sin(2a+受)=，故选D. 7.【答案C 【解析】设P(X=1)=a,P(X=2)=b,则a十b=0.7,故E(X)=a十2b=1.2,解得a=0.2,b=0.5,E(X2)=02X0.3十12 ×a+22×b=a+4b=2.2,由D(X)=E(X)-E(X)可得，D(X)=2.2-(1.2)2=0.76.故选C. 8.【答案】B 【解折】抽已知得，5a=25a所Sa片=号5a所Sa,5=25 即IAF:=2引BF,AB=a,|AF:I=号，BF:=号，∴BF,=2a-|BFl =号，AF=2a-AF:I=号，所以IAR,+1ABI:=BF,P,所以△ARB为直 角三角形且∠FAB=90°，故在Rt△AFF2中，|AFI+|AF2|2=|F1F2,即 (号)}+（号）=(2，受=，放=后=号=9故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BD 【解析】sinx>0,所以2kπ<x<π十2kπ，(k∈Z),故f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)非奇非偶，A错误； f(x+2x)=ln[sin(x+2π)]=ln(sinx),故f(x十2π)=f(x),所以f(x)是周期函数，B正确； 令t=sinx,所以t∈(0，l],故f(x)=lnt∈(-∞，0]，C错误，D正确.故选BD. 10.【答案】ABD 【解析】F到其准线的距离为p=2,A选项正确； 若F为△AOB的重心，则AB垂直x轴，且m=之，令x=号，则yP=6,所以1AB=26,B选项正确： 设直线AB:=y十m,联立抛物线可得，y一4y一4m=0,不妨设A(1),B(2),Oi.成=能+为=0，解 16 得m=4,C选项错误； 高三数学试题参考答案第1页（共4页） a=1+1M8=1+,所以+中（货+）市·赞=市 1,因为十为定值，所以8m=16,解得m=2.D选项正确：故选ABD, 1 1 11.【答案】BCD 【解折]玲x=y=1,所以水2)=解得=1.令=1，则x+1)=品故7十高=1，所以 f(x) 1 1 {高}是公差为1的等差数列，放向=…则。，-√厂A选项错误： 是-1=-可=，反- 1 >1 an an-1 (W)-(m-1)m+n-后>2 ,B选项正确： (品)（经）万‘后且当≥2时6≥≥1m≥.所以 1 +后'后+后中×+痘×痘安c法项正箱 1 1 1 因为+122所以产南故时店2产异曲题意得名>[1-专)+（兮一专）+中 (日)】-=祭则总a>器D选项正跪故选CD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】2e2x-y-3e=0 【解析1r(x)=1-h三，则了（日）=2，f(日）=-e,故曲线y=了(x)在点（日-c)处的切线方程为y r? 2e(x-）-e,即2ex-y-3e=0. 18.【答案】- 【解析】由题意得3|a2+2|a1 blcos(a,b)=0①，|b2+4|al1 blcos(a,b)=0②，所以1b1=√61al③，将③代入 ①解得cosa,b)=-5 4 14.【答案5 【解析】取AC的中点D,连接PD,BD,如图，在△PAC中，PD⊥AC,因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面 ABC=AC,所以PD⊥平面ABC. 设AD=x,则PD=1-x2,cOS∠BAC=AB+AC-BC=3+4x 2AB·AC BD2=ADP+AB-2AD·ABc0s∠BAC=x+4-2·2x:3=号-x, 因为PB=PD十BD,所以1一+号-=2，解得-号则PD=合 所以AC=2x=√3，因为AC+BC=AB2,所以AC⊥BC 取AB的中点G,则G为△ABC外接圆的圆心，过点G作直线1垂直于平面ABC, 设△APC外接圆的圆心为E,过E作直线L2垂直于平面APC,记l∩l2=F, 在△APC中，由正弦定理可得2PE=mAC西-2，解得PE=1, PC PA 则F为四面体P-ABC外接球的球心.连接AF, 则FG=DE=PE-PD=1-名=合， 四面体P-ABC外接球的半径为AF=√AG+FC=巨， 2, 所以四面体A-BCD外接球的体积为号x·(停)°-5✉ 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.【答案】(1)an=3n-2(2)详见解析 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, a=a1+3d=10 由a4=10,S=117,可得 s=9am+9=17 …2分 高三数学试题参考答案第2页（共4页） 解得：=1，d=3,… …4分 所以an=a1十(n-1)d=3n-2;…… …5分 (2)由(1)知a,=3m-2,由6，=2，得6=2r=子·8，… …7分 则数列{bn》是首项为2，公比为8的等比数列，… …8分 所以T.=2(1-8”）=2(8"-1) 1-8 …10分 7 所以是=号(。）=号(1-安)号 …13分 16.【答案11号-y-1(2w6 ￡=23 a 3 【解析】(1)由题意得 4 1 2分 a23=1 a2+6=c2 a=√5 解得b=1· …5分 c=2 故双曲线的方程为号-了=1： …6分 (2)设点A(x00),则号-8=1， …7分 由(1)，得号-y=1,则F(一2,0).F(2,0,即A=(-2--为).A=(2--为…9分 因为AF.AF2=3,所以(-2-x)(2-x)十(-)2=3，整理得x十yg=7,…10分 又因为号-=1，所以后=6=1，… …11分 双曲线C:亏-=1，故两条渐近线为y= 3x,… 12分 设点A到两条渐近线的距离分别为d1,d2,…。 …13分 则d+d=+3l+53l=l=6, 23 2W5 故点A到双曲线的两条渐近线距离之和为√6. ………………………………… …… 15分 17.【答案】(1)详见解析(2)6⑤ 11 【解析】(1)如图，记AC∩BD=O,连接OP.……1分 因为四边形ABCD为菱形，所以OB=OD,AC⊥BD,…2分 因为△PBD是正三角形，所以PB=PD,所以OP⊥BD,…3分 因为AC,OPC平面PAC,AC∩OP=O,故BD⊥平面PAC,因此平面PAC⊥平面ABCD;…5分 （2)由已知得OP=3,OC=1,AC=2.…6分 且c0s∠PCA=2+（2y2-PA=1+252-3,解得PA=22.…7分 2×2×2W3 2X2√3 因此PA2十AC=PC,即PA⊥AC.…8分 且PA⊥BD,AC∩BD=O,所以PA⊥平面ABCD. …9分 以A为坐标原点，AD的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xy之. 则B(3,-1,0),C(√3,1,0)，D(0,2,0),P(0,0,2√2)，E(0,1N2). 所以BC=(0,2,0),CE=(-√5,02)，Cj=(-√3,1,0).…11分 设平面BCE的法向量n1=(x,y,z),平面CDE的法向量n2=(p,q,r),则 m·BC=0即2y-0, m.Ci=0,即{-5x+2z=0, 可取n1=(W2,0√5). 12分 ·C市=0即一p+90。可取m=E6. ………………………13分 m2·CE=0, -3p+√2r=0, 所以oa=员语=厘 …………………………14分 11 因此二面角B-CE-D的正弦值为√1-（厘）】 =66 11 ……15分 高三数学试题参考答案第3页（共4页） 18.【答案(1)详见解析(2)()号 (ii)1080 【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,3，…1分 且P(X=k)=C哈p。(1-p)3-k,k=0,1,2,3,…3分 故X的分布列为， X 0 1 2 3 ò (1-)3 3p(1-p)2 3p2(1-p) …6分 (2)(i)由题设得f(p)=4lnp3+ln[3p·(1-p)2]+ln[3p2·(1-p)]=15lnp+3ln(1-p)+2ln3,…9分 ∫(p)=15-,3=3(5-62) p一1-p(1-p) ……10分 当p(0,吾)时，《p)>0,p)单调递增：当p(号，1)时，(p)<0,p)单调递减.…12分 因而当p=名时，p)取得最大值，故p的估计值为吾： …14分 ()由（①可知，当且仅当D=名时，了(p)取得最大值，即出现上述试验结果的概率最大，因此可以认为从该区域中随机 捕获1个物种N时为A种的概率为 6· …15分 放该区线中物种N的数目为2。-1080，…17分 19.【答案】1)详见解析(2)(i)(1,+∞)(i)2-2ln3 【解析】(1)当a=1时，f(x)=x2-2.xlnx,则f(x)=2x-2lnx-2,…1分 记g(x)=∫(x),则g()=2-2 …2分 当x∈(1，十∞)时，g(x)>0,∫(x)单调递增，………3分 故∫(x)>了(1)=0，所以∫(x)在区间(1，十∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)=1;…4分 (2)(D(x)=2x-21nx-2a,且f(x)存在两个极值点1，x2(a<x2),设h(x)=2x-21n,则h'(x)=2-二，当x∈ (0,1)时，h'(x)<0,x∈(1，十0∞)时，h'(x)>0.…6分 故h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，十o)上单调递增，且h(1)=2,曲线y=2x-21nx与直线y=2a有两个不 同的交点，所以2a>2,即a>1;…8分 (i由)可得1二h=0,所以a-1=n-1n=1n兰，4=>1，又因为2-31≤0，所以兰≤3，则= z2-In z2=a' In t 所以三2设直线AB的斜率为k:………………… h=Kz)-K(x:)=[xi-2(a-1)z-2xIn x]-[x-2(a-1)x:-2x:In x:] x1-x2 x1-x2 =（x十x2）-2(a-1）-2nxx2n2……12分 1-x2 且二h名8则n—zh=看方a=2,……B 代人得k=(十2)-2a-1）-2--a-）=-(十2)十2.…14分 x1一x2 -21nt+t-1 设=中血兰(1<≤3)，则)=-D t（1<≤3)，m… …15分 t-1 设m0=一2h+1-,则m)=一D>0,故m(在1,3上单调递增，则m(0>m1)=0,故)单调递指，所 2 以p(0≤(3)=3t1Dlh3=2n3,且n十=+1linL. 3-1 t-11 …16分 则k=-(x1十x2)十2≥-g(3)十2=2-2n3,故直线AB斜率的最小值为2-2ln3.…17分 :数学试题参考必 1页（共4页）