4.2.1 等差数列的概念（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.2.1《等差数列的概念》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：通过实例理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，能运用等差数列解决简单的实际问题，体会数学建模思想. 课标分析： 本节课是特殊数列——等差数列的开篇，在学习了数列的概念和表示方法之后，进一步研究一种常见且重要的数列.课标强调“通过实例理解”和“掌握”，教学中应从具体生活情境（如生肖纪年、工资增长、水杯厚度等）出发，引导学生观察数列中相邻两项的差为常数，从而抽象出等差数列的定义.重点在于等差数列的定义、公差的概念、通项公式的推导及应用，难点是累加法求通项公式的推导过程以及计算中基本量的运用.本节课对培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等差数列的概念（第1课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第2.1节内容.教材在学习了数列的一般概念后，引入一种具有规律性的数列——等差数列.教材通过多个实例（生肖年份、鞋子尺码、水杯温度等）引导学生观察并归纳出等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.然后通过累加法推导出通项公式 ，并指出等差数列的通项公式是关于 的一次函数（一次项系数为公差）.教材还介绍了等差中项的概念.本节内容是后续学习等差数列前 项和、等比数列等的基础. 3、 学情分析 学生已经学习了数列的概念、通项公式及递推公式，能够由通项公式写出数列的项，也具备了一定的代数运算能力.同时，学生在生活中已经接触过一些等差数列的例子（如偶数数列、奇数数列、固定年份等），但缺乏系统抽象.等差数列的定义中“从第2项起”和“同一个常数”是学生容易忽略的关键点.在推导通项公式时，累加法需要用到多个等式相加，学生初次接触可能会感到陌生.此外，将等差数列的通项公式看作一次函数，需要学生具备数形结合和函数思想.教师应通过丰富实例和分步推导，帮助学生建立清晰概念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从生肖年份、鞋子尺码、水杯温度变化等具体实例中抽象出等差数列的定义，理解公差的概念. 1. 逻辑推理素养：能运用累加法推导等差数列的通项公式，能根据定义判断一个数列是否为等差数列，并能利用通项公式进行简单的推理. 1. 数学运算素养：能熟练运用等差数列的通项公式求任意项、求公差、求项数，能判定一个数是否为数列的项. 1. 数学建模素养：能将生活中的等间隔变化问题（如楼层高度、工资增长、年份循环等）抽象为等差数列模型并求解. 1. 数学语言素养：能用符号语言准确表达等差数列的定义、通项公式及等差中项. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等差数列的定义；等差数列的通项公式及其应用. 1. 难点：用累加法推导通项公式的过程；等差数列通项公式与一次函数的关系；灵活运用公式解决实际问题. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： （1）等差数列的定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母______表示. 答案：；同一个；公差；. （2）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，则其通项公式为 ______. 答案：. （3）在等差数列中，若 ，，则 ______. 答案：. （4）如果三个数 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，且 ______. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调“从第2项起”和“同一个常数”. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 上节课我们学习了数列的概念和通项公式.请写出数列 的一个通项公式. (2) 学生回答：. (3) 追问：观察这个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差有什么特点？ (4) 学生回答：每一项减去前一项都等于 . 2.教师：像这样从第2项起，每一项与它的前一项的差为常数的数列，我们称为等差数列.今天就来学习等差数列. 环节三：合作探究 1. 等差数列的定义（5分钟） 教师展示实例： ① 生肖年份：2025, 2037, 2049, 2061, 2073, … ② 鞋子尺码：34, 36, 38, 40, 42, 44, … ③ 水杯温度变化：25.0, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6, … 引导学生计算相邻两项的差： ① ，，… 公差 ； ② ，，… 公差 ； ③ ，，… 公差 . 给出定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示. 强调：公差可以是正数、负数或零.当 时，数列是常数列. 2. 等差数列的通项公式（5分钟） 设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ， ， ， 归纳得 . 教师用累加法推导： … 将这 个等式左右分别相加，得 ，所以 . 指出：通项公式是关于 的一次函数，一次项系数为 ，常数项为 . 3. 等差中项（5分钟） 教师从实例引入：三个数 ，中间数 是 和 的等差中项. 定义：如果三个数 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且 . 证明：由 得 . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列数列是否为等差数列，若是，指出首项和公差： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）是，；（2）不是（，差不等）；（3）是，；（4）是，. 例2：已知等差数列 中，，，求 . 解：. 答案：. 例3：在等差数列 中，，，求首项和公差. 解：设首项为 ，公差为 ，则 ， ， 两式相减得 ，，代入得 . 答案：. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列数列中，是等差数列的有（ ） A. B. C. D. （ 为常数） 答案：A、C、D 解析：A常数列公差0；B不是，差变化；C常数列；D公差为 （常数）. 例5：已知等差数列 中，，，求 和 ，并写出通项公式. 解： 相减得 ，，代入得 . 通项公式 . 答案：. 例6：在等差数列 中，已知 ，，求 . 解：，解得 ，. 所以 . 答案：. 例7：已知等差数列 中，，，求 . 解法一：设公差 ，则 ⇒ ⇒ ⇒ . . 解法二：，也可先求 ，但利用 更快. 例8：某等差数列的第3项是8，第7项是20，求该数列的第10项. 解：由 得 ，解得 . . . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等差数列的定义（从第2项起，每一项与前一项的差为常数）. (2) 公差 的概念（可正、可负、可零）. (3) 等差数列的通项公式 ，推导方法为累加法. (4) 等差中项公式 . (5) 通项公式可看作一次函数. 1. 教师强调： (1) 判断一个数列是否为等差数列必须验证从第2项起所有相邻项的差都相等. (2) 已知等差数列中任意两项可求公差和首项. 3.等差中项是判断三个数成等差数列的常用工具. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第24页习题4.2第1、2题. (2) 同步练习册《等差数列的概念》基础题. 1. 拓展作业： (1) 已知等差数列 中，，求 的值. 1. 预习引导： 预习下一节“等差数列的性质（第2课时）”，思考等差数列中下标和相等的两项之和有何关系. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从生肖年份、鞋子尺码、水杯温度等生活实例出发，学生能够自然地观察到“等差”的特征，抽象出等差数列的定义.在推导通项公式时，采用累加法并借助数学归纳思想，学生基本能理解其推导过程.通过大量例题练习，学生掌握了已知首项公差求通项、已知两项求首项和公差等基本技能.练习中设计了判断题、计算题和应用题，学生参与积极.不足之处：部分学生在由 和 求公差时，容易混淆公式，可引导学生记住 .另外，等差中项的应用还需更多变式.整体上，本节课为后续学习等差数列前 项和打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $